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例說中考數學探究性試題的解答策略
長沙中學 吳敦林
中考數學試卷中的探究性試題，因為綜合程度高，解答時要用到眾多的數學思想方法，考生往往感到束手無策。現以某些省市中考數學探究性試題為例，談談這類問題的解答策略。
1.從“特殊”到“一般”，拾階而上。
某些探究性試題一般給出幾問，其中第一問在具體的數據或特殊情形下求解，其他幾問則要求在一般情形下探究。解決問題的方法是：順著解“特殊” 問題的思路，并注意 “一般”與“特殊”的轉化，便能迎刃而解。
例1．如圖1，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分別為B、C。
(1)當AB= 4，DC=1，BC= 4時，在線段BC上是否存在點P，使AP⊥PD？如果存在，求線段BP的長；如果不存在，請說明理由。
(2)設AB= a，DC=b，AD=c，那么，當a、b、c之間滿足什么關系時，在直線BC上存在點P使AP⊥PD？
簡析：第(1)題在具體的數值情形下探究點P是否存在，用相似三角形的知識就能順利解決。第(2)題在一般情形下探究三條線段滿足何種關系，才存在結論AP⊥PD，其探究的方法有多種，這里僅探討順著解第(1)題的思路，貫徹“特殊到一般”的思想，繼續用相似三角形的知識拾階而上來研究。首先，求出BC=，再設存在這樣的點P，且BP=x，則PC=－x， 由AP⊥PD得，△ABP∽△PCD，則，化簡，得x+ab=0，△=，由△≥0，得 c≥a+b，方程有解，點P存在；由△＜0得c＜a+b，方程無解，點P不存在。所以當c≥a+b時，在直線BC上存在點P使AP⊥PD。
例2．數學課上，老師出示圖2和下面框中條件，
如圖2，在直角坐標平面內，O為坐標原點，A點坐標為（1，0），點B在x軸上且在點A的右側，AB=OA，過點A和B作x軸的垂線，分別交二次函數的圖象于點C和D。直線OC交BD于點M，直線CD交y軸于點H。記點C、D的橫坐標分別為，點H的縱坐標為。
同學發現兩個結論：①；
②數值相等關系：=－。
請你驗證結論①和②成立；
請你研究：如果將上述框中條件“A點坐標為（1，0）”改為“A點坐標為（t，0），（t＞0）”，其他條件不變，結論①是否仍成立？（請說明理由）
進一步研究：如果將上述框中條件“A點坐標為（1，0）”改為“A點坐標為（t，0），（t＞0）”，又將條件“” 改為“（a＞0）”，其他條件不變，那么和有怎樣的數值關系？（說明理由）
簡析：題（2）把題（1）中的點A由特殊條件（定點）改成一般條件（動點），兩題在研究問題的方法上相同（把一般條件t當著特殊值參與運算），結論①仍成立。題（3）點A和拋物線都由“靜”變“動” ，結論②雖然發生了變化，研究問題的方法仍沒變，但必須體會“從特殊到一般”的數學思想，要懂得“動和靜、變和不變是相對的”的辯證思維方式。
2．化“動”為“靜”，分而治之。
有些以動態為情景的探究性試題，條件中涉及到點、線、面的運動，圖形的全等、相似以及特殊三角形的關系。解決這類問題時，首先，化“動”為“靜”，其次，根據運動的特征找準分類討論的“臨界點”，再則，有序的找出全等、相似以及特殊三角形中各種可能的“對應”，分別進行探究。
例3．如圖3，在直梯形ABCD中，∠D=∠C=，AB=4，BC=6，AD=8。點P、Q同時從A點出發，分別作勻速運動，其中點P沿AB、BC向終點C運動，速度為每秒2個單位，點Q沿AD向終點D運動，速度為每秒1個單位。當這兩個點達到自己的終點時，另一個點也停止運動，設這兩個點從出發運動了t秒。
動點P與Q哪一點先達到自己的終點？此時t為何值？
當0＜t＜2時，求證：以PQ為直徑的圓與AD相切
以PQ為直徑的圓能否與CD相切？若有可能，求出t的值或t的取值范圍；若不可能，請說明理由。
簡析：題（1）、（2）只是為題（3）作鋪墊。我們從兩方面來探究題（3）首先，點P運動速度快故先達到終點，且它折線上運動，分類討論只能以它為標準，由AB=4，BC=6，點P的速度為每秒2個單位，則0、2、5秒是三個“臨界點”；其次，點P、Q運動的“路程”（動態線段或折線長），其數學思想上是t的一次函數，我們在方法上化“動”為“靜”，把它當“常數”處理。所以分類討論如下：①當點P沿AB運動時0＜t＜2，以PQ為直徑的圓不可能與CD相切；②當點P沿BC運動時2≤t≤5，設以PQ為直徑的圓與CD相切于點K，交AD于點Q、H（如圖4）。則DK=，DH=CP=10－2t，DQ=8－t，由切割線定理，得=DH·DQ。即 =(10－2t)(8－t),2t－26t+77=0，解之,得t=＞5(舍去)，t=≈4.56＜5，所以，當t=時，以PQ為直徑的圓與CD相切。
例4．在直角坐標系xoy中，O為坐標原點，A、B、C三點的坐標分別是A（5，0），B（0，4），C（-1，0）。點M和點N在x軸上（點M在點N的左邊），點N在原點右邊，作MP⊥BN，垂足為P（點P在線段BN上，且點P與點B不重合），直線MP與y軸交于點G，MG=BN。
求經過A、B、C三點的拋物線的解析式；（2）求點M的坐標；
（3）設ON=t，△MOG的面積為s，求s與t的函數關系式，并求自變量t的取值范圍。
點B作直線BK∥x軸，在直線BK上是否存在點R，使△ORA為等腰三角形，若存在，請直接寫出點R的坐標；若不存在，請說明理由。
簡析：題（2）、（4）都隱含著分類討論，其中題（2）要按點M在原點左邊和在原點右邊分別探究（如圖5），再考慮△BON≌△MOG，便能解之。探究題（4）時，首先確定以等腰三角形的頂角作為分類標準，那么∠O、∠A、∠R都可以作為頂角，其次再進行二級分類，以∠O、∠A為頂角的等腰三角形又分別有兩種情況，這樣五個解就不會遺漏，這就是所謂的“有序的找出各種可能的情況”。
3.尋“變”中之“不變”，隨機應變。
在直線形或圓中，某些幾何結論可能隨著圖形位置的變化而變化，也有的圖形位置變化而幾何結論不變，但是無論幾何結論變化與否，探究問題方法的基本思路不變，僅在某些方面略有差異。因此，把握解決第一問的解題規律，注意前后問的差異，就能探究成功。
例5．如圖6四邊形AEFG與ABCD都是正方形，它們的邊長分別是a、b（b≥2a），且點F在AD上（以下問題的結果可用a、b的代數式表示）。
求；
（2）把正方形AEFG繞點A按逆時針方向旋轉45得如圖7，求圖7中的；（3）把正方形AEFG繞點A旋轉任意角度，在旋轉的過程中，是否存在最大值、最小值？如果存在，試求出最大值、最小值；如果不存在，請說明理由。
簡析：題（1）求△BDF的面積以DF為底，AB為高計算雖然簡便；若從探究問題（2）、（3）考慮，抓住正方形AEFG繞點A旋轉任意角度，在旋轉的過程中DB始終不變，△BDF的面積隨DB上高的變化而變化，求DB上的高成為問題的關鍵。據此，解題（1）時以DB為底，用解三角形求DB上的高，但是，此求高的方法對探究問題（2）、（3）不利。我們細心觀察圖6發現EF∥DB，聯想到等積變形，把求△BDF的面積轉化成求△BDE的面積，在尋找△BDE邊DB上高的過程中又發現A、E、C在一直線上，OE就是高，此時已知DB上高與對角線AC相關（這就是隨機應變）。顯然探究問題（2）成了（1）的翻版（只是AF∥DB，△BDF與△BDA等積變形, 這就是本題的“變”中之“不變”）。解決問題（3）的關鍵是，要看到正方形AEFG繞點A旋轉任意角度，點F的軌跡是以A為圓心，AF為半徑的圓（如圖8），當b＞2a時，在位置時△BDF的面積最小（b=2a時，沒有最小值）；在位置時△BDF的面積最大，高仍與對角線AC相關。

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