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八下第一章《二次根式》
§1．1 二次根式
1A．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x>0）、、、-、、（x≥0，y≥0）．
2A．當x是多少時，在實數范圍內有意義？
1B． 已知，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2B．若+有意義，則=_______．
1C．某工廠要制作一批體積為1m3的產品包裝盒，其高為0.2m，按設計需要，底面應做成正方形，試問底面邊長應是多少？
2C.已知、b為實數，且+2=b+4，求、b的值．
答案：
1A. 二次根式有：、（>0）、、-、（≥0，y≥0）；不是二次根式的有：、、、．
2A. 由3x-1≥0，得：x≥
當x≥時，在實數范圍內有意義．
1B．C
2B.
1C. 設底面邊長為x，則0.2x2=1，解答：x=．
2C.a=5，b=-4
§1．2 二次根式的性質(1)
1A．判斷題（對的打“∨”，錯的打“×”）
（1）（）2=- （ ）;（2）=- （ ）
（3）（-）2=- （ ）;（4）（2）2=2×=1 （ ）
2A．計算：+
1B．計算：
2B. 數a沒有算術平方根，則a的取值范圍是（ ）．
A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0
1C． 把下列非負數寫成一個數的平方的形式:
（1）5 （2）3.4 （3） （4）x（x≥0）
2C．在實數范圍內分解下列因式:
（1）x2-2 （2）x4-9
答案:
1A．× × × ×
2A.
1B.
2B．非負數
1C.（1）5=（）2 （2）3.4=（）2
（3）=（）2 （4）x=（）2（x≥0）
2C.（1）x2-2=（x+）（x-）
（2）x4-9=（x2+3）（x2-3）=（x2+3）（x+）（x-）
§1．2 二次根式的性質(2)
1A．下列運算正確的是（ ）
A．=-=5-4=1; B．=×=-4×（-5）=20
C．=+=;D．=×=4
2A．下列化簡錯誤的是（ ）
A．== B．=×=0.1×0.7=0.07
C．== D．=·=1×=
1B.計算：(1) (2)
2B.已知等腰三角形的底邊長為10cm，腰為13cm，則此等腰三角形的面積為________cm2．
1C.-=________．
2C．在直角坐標系中，已知點A（1，-2），B（5，-7），C（5，-2）是三角形的三個頂點，求AB的長．
答案:
1A. D
2A. D
1B. (1) (2)
2B. 60
1C.
2C.
§1．3 二次根式的運算(1)
1A．判斷題（對的打“∨”，錯的打“×”）
（1）×=2×= （ ）;（2）÷===1 （ ）
（3）×===6（ ）;（4）===20
2A． 已知：是整數，則滿足條件的最小正整數為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
1B. 下列各式正確的是（ ）
A．已知ab>0，則=·; B．2×3=（2×3）=5
C．= D．÷==
2B.解方程：-2X=．
1C．一個三角形的面積為2，若它的一條邊上的高為，求這條邊長．
2C．如圖，△ABC中，∠ACB=Rt∠，AB=，BC=，求斜邊AB上的高CD．
答案:
1A. ∨ × × ×
2A. D
1B. D
2B.
1C.
2C.
§1．3 二次根式的運算(2)
1A．填空：
（1）+-=_______； （3）3+4-=_______；
2A．下列各式計算正確的是（ ）
A．2+3=5 B．2-=1 C．2×3=6 D．2×3=6
1B．下列各式計算正確的是（ ）
A．=4+3=7 B．（2+）（1-）=2-6=-4
C．（+）2=（）2+（）2=3+5=8
D．（-+）（--）=（-）2-（）2=2-3=-1
2B．如果·= ，則（ ）
A．a≥4 B．a≥0 C．0≤a≤4 D．a為一切實數
1C． 已知：是兩個連續自然數，且．設，則（　?。?br/>Ａ．總是奇數 Ｂ．總是偶數
Ｃ．有時是奇數，有時是偶數 Ｄ．有時是有理數，有時是無理數
2C．求當a=-1時，代數式（a+1）2-（a-）（a+1）的值．
答案:
1A. 0 ,
2A . C
1B. D
2B. A,
1C. A
2C.
§1．3 二次根式的運算(3)
1A．在Rt△ABC，∠C=Rt∠，AB=c，BC=a，AC=b．若a：b=：，C=2，則b的值
2A一道斜坡的坡比為1：8，已知水平AC=16，則斜坡AB的長為______m．
1B．在等腰中，兩邊長為4，10，則這個三角形的面積為______．
2B．從一張斜邊長為18cm的等腰直角三角形紙板中剪出一個盡可能大的正方形，則正方形的邊長為多少cm？
1C．如圖，架在消防車上的云梯AB的坡比為1：0.8，已知云梯AB的長為16m，云梯底部離地面1.5m（即BC=1.5m）．求云梯頂端離地面的距離AE．
2C．如圖，一艘快艇從O港出發，向東北方向行駛到A處，然后向南行駛到B處，再向西北方向行駛，共經過2小時回到O港，已知快艇的速度是45km/h，問AB這段路程是多少km？
答案：
1A.
2A.
1B. 或40
2B.
1C.
2C.
八下第三章《頻數及其分布》
§3．1 頻數與頻率（1）
1A、全班50人，期中考試最高分為100分，最低分為67分，如果組距是5分，那么應分成
組．
2A、某校八年級共有學生400人，為了解這些學生的視力情況，抽查20名學生的視力，對所得數據進行整理，在得到的頻數分布表中，各小組頻數之和等于________
1B、已知樣本：8，6，10，13，10，8，7， 10，11，12，10，8，9，11，9，12，10，12，11，9．在列頻數分布表時，如果取組距為2，那么應分成_________組；9.5～11.5這一組的頻數是___ ___．
2B、為了解某小區居民的日用電情況，居住在該小區的一名同學隨機抽查了l5戶家庭的日用電量，結果如下表：
日用電量
(單位：度)
5
6
7
8
10
戶 數
2
5
4
3
l
則關于這l5戶家庭的日用電量，下列說法錯誤的是
(A)眾數是6度 (B)平均數是6.8度
(C)極差是5度 (D)中位數是6度
1C、某養魚專業戶去年在魚塘中投放一批魚苗，為了了解魚苗的長勢，從中撈取20條，測得其長度如下:（單位：厘米）18，19，14，17，16，18，15，19，22，21，18，21，16，18，19，23，17，20，20，19．
（1）填寫 頻數分布表中的空格欄：
（2）由頻數分布表可知：
① 長度不小于20厘米的魚苗所占的百分比為 ；
②在這批魚苗中，有40℅的魚苗長度在 厘米 厘米之間．
組別（厘米）
頻數
13.5 ～ 15.5
15.5 ～ 17.5
17.5 ～ 19.5
8
19.5 ～ 21.5
21.5 ～ 23.5
2
合計
2C、紅星養豬場400頭豬的質量頻數分布表如下，其中數據不在分點上
組別
頻數
45.5 ～ 50.5
40
50.5 ～ 55.5
80
55.5 ～ 60.5
160
60.5 ～ 65.5
80
65.5 ～ 70.5
30
70.5 ～ 75.5
10
（1）這一組數據的中位數落在哪一個組別內；從中任選一頭豬，可能性最大的是落在哪一個范圍？
（2）質量在60.5千克以上的豬占總數的多少？
答案：
1A、7組
2A、20
1B、4組；8。
2B、D
1C、（1）填寫 頻數分布表中的空格欄：2、4、4、20。
（2）由頻數分布表可知：
① 長度不小于20厘米的魚苗所占的百分比為 30% ；
②在這批魚苗中，有40℅的魚苗長度在 17.5 厘米 19.5 厘米之間．
2C、（1）55.5 ～ 60.5; 55.5 ～ 60.5.
（2）30%.
§3．1 頻數與頻率（2）
1A、將一個有40個數據的樣本經統計分成6組，若某一組的頻率為0.15，則該組的頻數為 ( )
A．6 B．0．9 C．6．67 D．1
2A、 將50個數據分成3組，其中第一組和第三組的頻率之和是0.7，則第二組的頻數是____.
1B、已知樣本數據個數為30，且被分成4組，各組數據個數之比為2∶4∶3∶1，則第二小組和第三小組的頻率分別為 ( )
A．0.4和0.3 B．0.4和9 C．12和0.3 D．12和9
2B、一個樣本，分組后落在第二組的頻數是12，頻率是0.24，則這個樣本的容量是　　　　　.
1C、已知一個40個數據的樣本，把它分成六組，第一組到第四組的頻數分別為10，5，7，第四組、第五組的頻率分別是0.15，0.10，則第六組的頻率為________.
2C、數據6，8，x，14的平均數是9，則數據8出現的頻率是_________.
答案：
1、A
2A、0.3
1B、A
2B、50
1C、 0.2
2C、0.5
§3．2 頻數分布直方圖
1A、一組數據，，，，的極差是，那么的值可能有
2A、將某樣本數據分析整理后分成6組，且組距為5，畫頻數分布折線圖時，求得某組的組中值恰好為20，則該組為（ ）
A 、 16.5~21.5 B、 18.5~21.5 C、、16.5~23.5 D 、17.5~22.5
1B、某班50名學生期末考試數學成績（單位：分）的頻率分布直方圖如圖所示，其中數據不在分點上，對圖中提供的信息作出如下判斷：
成績在49.5～59.5分數段的人數與89.5～100
分數段的人數相等；
②從左到右，第四小組的頻率是0.3；
③成績在79.5分以上的學生有20人；
④本次考試成績的中位數落在第三小組。
其中正確的判斷有（ ）
A.4個 B.3個 C.2個 D.1個
2B、在一組160個數據的頻數分布直方圖中，共有11個小長
方形，若中間一個小長方形的高等于其它10個小長方形
高的和的，則中間一組的頻率是( ) 　　　
A．32 B．0.2 C．40 D．0.25
1C、據《生活報》報道，我省有關部門要求各中小學要把“每天鍛煉一小時”寫入課表．為了響應這一號召，某校圍繞著“你最喜歡的體育活動項目是什么？（只寫一項）”的問題，對在校學生進行了隨機抽樣調查，從而得到一組數據．圖1是根據這組數據繪制的條形統計圖．請結合統計圖回答下列問題：
（1）該校對多少名學生進行了抽樣調查？
（2）本次抽樣調查中，最喜歡籃球活動的頻數和頻率是多少？
（3）若該校九年級共有200名學生，圖2是根據各年級學生人數占全校學生總人數的百分比繪制的扇形統計圖，請你估計全校學生中最喜歡跳繩活動的人數約為多少？
2C、為了進一步了解八年級學生的身體素質情況，體育老師對八年級（1）班50位學生進行一分鐘跳繩次數測試，以測試數據為樣本，繪制出部分頻數分布表和部分頻數分布直方圖．如下所示：
組別
次數
頻數（人數）
第1組
第2組
第3組
第4組
第5組
請結合圖表完成下列問題：
（1）表中的　　　??；
（2）請把頻數分布直方圖補充完整；
（3）這個樣本數據的中位數落在第 　 組；
（4）若八年級學生一分鐘跳繩次數（）達標要求是：不合格；為合格；為良；為優．根據以上信息，請你給學校或八年級同學提一條合理化建議：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
答案：
1A、6或-2
2A、D
1B、A
2B、B
1C、（1）40人
（2）頻數是18人，頻率是0.45
（3）200÷（1-24﹪-26﹪-30﹪）=1000
1000×(8÷40)=200（人）
答: 全校學生中最喜歡跳繩活動的人數約為200人。
2C、（1）12
（2）
八年級（1）班學生一分鐘跳繩次數頻數分布直方圖
（3）第3組
（4）不合格的人數較多，要加強中學生體育鍛煉等
§3．3 頻數分布折線圖
1A、如圖是護士統計一位病人的體溫變化折線圖，這位病人中午12時的體溫約為 （ ）
A．39.0℃ B．38.5℃
C．38.2℃ D．37.8℃
2A、為選派一名學生參加杭州市實踐活動技能競賽，A、B兩位同學在學校實習基地現場進行加工直徑為20mm的零件的測試，他倆各加工的10個零件的相關數據依次如下圖表所示（單位：mm）
根據測試得到的有關數據，試解答下列問題：
（1） 考慮平均數與完全符合要求的個數，你認為 的成績好些；
（2） 考慮圖中折線走勢及競賽中加工零件個數遠遠超過10個的實際情況，
你認為派誰去參賽較合適？說明你的理由。
1B、某中學部分同學參加全國初中數學競賽，取得了優異的成績，指導老師統計了所有參賽同學的成績（成績都是整數，試題滿分120分），并且繪制了頻數分布直方圖。
請回答：
(1)該中學參加本次數學競賽的有多少名同學？
(2)如果成績在90分以上（含90分）的同學獲獎，那么該中學參賽同學的獲獎率是多少？
（3）請在所給頻數分布直方圖上畫頻數分布折線圖
2B、甲、乙兩人在某公司做見習推銷員，推銷“3G”手機，他們在1～8月份的銷售情況如下表所示：
月份
1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月
8月
甲的銷售量（單位：只）
7
8
6
7
6
6
7
7
乙的銷售量（單位：只）
5
6
5
6
7
7
8
9
（1）在右邊給出的坐標系中，繪制甲、乙兩人這8個月的月銷售量的折線圖：（甲用實線；乙用虛線）
（2）請根據（1）中的折線圖，寫出2條關于甲、乙兩人在這8個月中的銷售狀況的信息. ① ；
② .
1C、“虎年春節”期間，杭州市某風景區共接待游客約22.5萬人．為了了解該景區的服務水平，有關部門從這些游客中隨機抽取500人進行調查，請他們對景區的服務質量進行評分（滿分為100分），評分結果的統計數據如下表：
分值a（分）
50≤a<60
60≤a<70
70≤a<80
80≤a<90
90≤a＜100
人 數
25
85
125
200
65
根據表中提供的信息
（1）畫出頻數分布直方圖和頻數分布折線圖
（2）若評分不低于70分為“滿意”，試估計“虎年春節”期間對該景區服務“滿意”的游客人數．
2C、小明和小白參加某體育項目訓練，近期的8次測試成績(分)如下表：（滿分18分）
測試
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
第7次
第8次
小明
10
10
11
10
16
14
16
17
小白
11
13
13
12
14
13
15
13
(1)根據上表中提供的數據填寫下表：
平均數(分)
眾數(分)
中位數(分)
方差
小明
10
8.25
小白
13
13
(2) 根據表中提供的數據在右邊
的所給的圖中畫出頻數分布折線圖
（小明用實線；小白用虛線）
(3)若從中選一人參加市中學生運動會，
你認為選誰去合適呢？請說明理由.
答案：
1A、C
2A、⑴ B
（2）從圖中折線走勢可知，盡管A的成績前面起伏較大，
但后來逐漸穩定，誤差小，預測A的潛力大，可選派A去參賽。
不唯一。說法合理即可。
1B、(1)4+6+8+7+5+2=32人
(2)90分以上人數：7+5+2=14人

(3)略（畫頻數分布折線圖時注意兩邊的虛擬組）
2B、（1）略
（2）①乙的月銷售量總體上呈上升趨勢；
②甲的月銷售量總體上呈平穩態勢；等等.
1C、（1）略（畫頻數分布折線圖時注意兩邊的虛擬組）
（2）滿意率為78%，估計有17.55萬游客表示滿意
2C、（1）
平均數(分)
眾數(分)
中位數(分)
方差
小明
13
l 2.5
小白
13
1.25
(2)略
(3)小明和小白成績的平均數均為13分，但小白的方差比小明的
方差小，說明小白的成績比小明的成績穩定，且得13分的次數多，所以讓小白去較合適．
或：小明成績總體上呈現上升趨勢，且后幾次的成績均高于13分，所以讓小明去較合適．
八下第二章《一元二次方程》
§2.1一元二次方程（1）
1A、方程（+1）2 -3-2=0的一次項系數為 ，常數項為 。
2A、關于的方程是否是一元二次方程?請說明理由。
1B、關于的一元二次方程的解為（ ）
A、 B、 C、 D、無解
2B、已知是方程的一個不為零的根，求下式的值：
1C、若方程是關于的一元二次方程，求的值。
2C、請根據所給方程：（16-2）(10-2)=112，聯系實際，編寫一道應用題
（ 要求題目完整，題意清楚，不要求解方程）。
答案：
1A、-1，-1，
2A、不是，由m+1=2得m=1，此時
1B、C
2B、2010
1C、m=-1,n=-3或m=0,n=-2，或m=1,n=0
2C、略（答案不唯一）
§2.1一元二次方程（2）
1A、已知代數式的值為5，則代數式的值為
2A、方程與方程的解相同，則的值是 。
1B、 方程的解是（ ）
A． B． C．或 D．或
2B、 關于的兩個方程與有一個解相同，則 ．
1C、方程（x-2）(x-4)=0的根為 ；方程5（x-2）(x-4)=0的根為 ；以-3,4為兩個根且二次項系數為2的一元二次方程為 。
2C、設是一個直角三角形兩條直角邊的長，且，求這個直角三角形的斜邊長。
答案：
1A、-13，47，
2A、 1
1B、D
2B、-5
1C、2，4；2，4；2(x+3)(x-4)=0
2C、
§2.2 二元一次方程的解法（1）
1A、解方程：
2A、 將4個數排成2行、2列，兩邊各加一條豎直線記成，定義，上述記號就叫做2階行列式．若，則 ．
1B、解方程：-4（x+2）2+9（x-1）2=0
2B、X2+mx+m是完全平方式，則m=
1C、已知方程x2-6x+q=0可以配方成（x-p）2=7的形式，那么x2-6x+q=5可以配方成
2C、x2-x+1有沒有最大值或最小值，若有，請求出這個最大值或最小值。-x2+4x-5呢？
答案：
1A、x1= x2=
2A、
1B、x1= 7 x2= -0.2 ；
2B、m=0或4
1C、（x-3）2=12；
2C、有最小值、當x=0.5時，最大值是0.75；有最大值、當x=2時，最大值是-1
§2.2一元二次方程的解法（2）
1A、用配方法解方程：
x2－6x＋5＝O；
2A、用配方法解方程：
(2)x2＋2x＝1；
1B、 用配方法解方程：
(3x＋2)(2x－3)＝－5；
2B、 三角形的每條邊的長都是方程的根，則三角形的周長是 ．
1C、已知＝a（a≠0），求的值．
2C、已知a、b、c是△ABC的三邊，且滿足a2+b2+c2-ab-bc-ca=0，判定△ABC是正三角形．
答案:
1A、 2A、

x=1或x=5
1B、 (3x＋2)(2x－3)＝－5； 2B、 6或10或12




1C、 因為＝a（a≠0），所以=，即x++1=，
∴x+=-1．
∵x2+=（x+）2-2，
∴=x2++1=（x+）2+1-2
=（-1）2-1=
2C、 由已知等式兩邊乘以2，得
2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=0 拆項、配方，得 （a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0．
由非負數的性質，得 a-b=0，b-c=0，c-a=0， ∴a=b，b=c，c=a，a=b=c．
故△ABC是等邊三角形．
§2．2一元二次方程的解法（3）
1A、如果關于x的方程4mx2-mx+1=0有兩個相等實數根,那么它的根是_______.
2A、不解方程判斷下列方程中無實數根的是( )
A. -x2=2x-1 B. 4x2+4x+=0; C. D.(x+2)(x-3)=-5

1B、已知三角形的兩邊長分別是1和2，第三邊長是方程2x2－5x + 3 =0的根，求三角形的周長。
2B、 已知關于x的一元二次方程x2-2kx+k2-2=0.
(1)求證:不論k為何值,方程總有兩不相等實數根.
(2)設x1,x2是方程的根,且 x12-2kx1+2x1x2=5,求k的值.

1C、在解一元二次方程時,粗心的甲、乙兩位同學分別抄錯了同一道題,甲抄錯了常數項,得
到的兩根分別是8和2;乙抄錯了一次項系數,得到的兩根分別是-9和-1.你能找出正確的原方程嗎?若能,請你用適當的方法求出這個方程的根。
2C、當a取什么值時,關于x的方程ax2+4x-1=0有兩個實數根?
(1)一變:當a取什么值時,關于x的一元二次方程ax2+4x-1=0有實根?
(2)二變:當a取什么值時,關于x的方程ax2+4x-1=0有實根?
(3)三變:當a取什么值時,關于x的方程ax2+4x-1=0的兩根都是正數?
答案:
1A、，
2A、B，
1B、 4.5，+3或-3，2B ：x2-10x+9=0,x1=9,x2=1
1C、略，
2C、； (1) ;(2) ;(3)
§2.3一元二次方程的應用（1）
1A、某超市一月份的營業額為200萬元，三月份的營業額為288萬元，如果每月比上月增長的百分數相同，則平均每月的增長率為（ ）
A、 B、 C、 D、
2A、某種手表，原來每只售價96元，經過連續兩次降價后，現要每只售價54元。則平均每次降價的百分率是 。
1B、某食品連續兩次漲價10%后價格是a元,那么原價是_______ ___.
2B、某班同學畢業時都將自己的照片向全班其他同學各送一張表示留念，全班共送1035張照片，如果全班有x名同學，根據題意，列出方程為 ( )
A．x(x＋1)＝1035 B．x(x－1)＝1035×2
C．x(x－1)＝1035 D．2x(x＋1)＝1035
1C、某種電腦病毒傳播非常快，如果一臺電腦被感染，經過兩輪感染后就會有100臺電腦被感染．請你用學過的知識分析，每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦？若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會不會超過800臺？
2C、某電腦銷售商試銷某一品牌電腦（出廠為3000元/臺）以4000元/臺銷售時，平均每月可銷售100臺，現為了擴大銷售，銷售商決定降價銷售，在原來1月份平均銷售量的基礎上，經2月份的市場調查，3月份調整價格后，月銷售額達到576000元。已知電腦價格每臺下降100元，月銷售量將上升10臺
（1）求1月份到3月份銷售額的月平均增長率；
（2）求3月份時該電腦的銷售價格。
答案：
1A、C
2A、25%
1B、
2B、C
1C、會
2C、（1）20% （2）3200

§2.3 一元二次方程的應用（二）
1A、一個兩位數，個位數比十位數小2，這兩個數的積比它們的和的3倍少1，則這個兩位數是 。
2A、如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=60㎝，BC=80㎝，點P、
Q同時由A、B兩點出發，分別沿AC，BC方向向點C勻速移動，
它們的速度都是10㎝/s，則經過 s后，△PCQ的面積為
Rt△ACB面積的一半。
1B、要對一塊長60米、寬40米的矩形荒地進行綠化和硬化．設計方案如圖①所示，矩形P、Q為兩塊綠地，其余為硬化路面，P、Q兩塊綠地周圍的硬化路面寬都相等，并使兩塊綠地面積的和為矩形面積的，求P、Q兩塊綠地周圍的硬化路面的寬．
2B、有一批圖形計算器，原售價為每臺800元，在甲、乙兩家公司銷售．甲公司用如下方法促銷：買一臺單價為780元，買兩臺每臺都為760元．依此類推，即每多買一臺則所買各臺單價均再減20元，但最低不能低于每臺440元；乙公司一律按原售價的75%促銷．某單位需購買一批圖形計算器：
（1）若此單位需購買6臺圖形計算器，應去哪家公司購買花費較少？
（2）若此單位恰好花費7 500元，在同一家公司購買了一定數量的圖形計算器，請問是在哪家公司購買的，數量是多少？
1C、機械加工需要用油進行潤滑以減少摩擦，某企業加工一臺大型機械設備潤滑用油90千克，用油的重復利用率為60%，按此計算，加工一臺大型機械設備的實際耗油量為36千克。為了建設節約型社會，減少油耗，該企業的甲、乙兩個車間都組織了人員為減少實際耗油量而進行攻關。
（1）甲車間通過技術革新后，加式一臺大型機械設備潤滑用油量下降到70千克，用油的重復利用率仍為60%，問甲車間技術革新后，加工一臺大型機械設備的實際耗油量是多少？
（2）乙車間通過技術革新后，不僅降低了潤滑用油量，同時也提高了用油的重復利用率，并且發現在技術革新的基礎上，潤滑用油每減少1千克，用油量的重復利用率將增加1.6%，這樣乙車間加工一臺大型機械設備的實際耗油量下降到12千克。問乙車間技術革新后，加工一臺大型機械設備潤滑用油量是多少？用油的重復利用率是多少？
2C、如圖，直線的解析式為，它與軸、軸分別相交于兩點．平行于直線的直線從原點出發，沿軸的正方形以每秒1個單位長度的速度運動，它與軸、軸分別相交于兩點，設運動時間為秒（）．
（1）求兩點的坐標；
（2）用含的代數式表示的面積；
（3）以為對角線作矩形，記和重合部分的面積為，在直線的運動過程中，當為何值時，為面積的？
答案
1A、75
2A、2
1B、兩塊綠地周圍的硬化路面寬都為10米．
2B、(1）應去乙公司購買；
（2）設該單位買臺，若在甲公司購買則需要花費元；
若在乙公司購買則需要花費元；
①若該單位是在甲公司花費7?500元購買的圖形計算器，
則有，解之得(舍去)．
②若該單位是在乙公司花費7?500元購買的圖形計算器，則有，解之得，不符合題意，舍去．
故該單位是在甲公司購買的圖形計算器，買了15臺．
1C、（1）技術革新后，甲車間加工一臺大型機械設備的實際耗油量是28千克。
（2）技術革新后，乙車間加工一臺大型機械設備潤滑用油量是75千克。用油的重復利用率是84%
2C、（1）當時，；當時，．；
（2）；
（3）當時，，
解得兩個都不合題意，舍去；
當時，，解得，
綜上得，當或時，為的面積的．
八下第五章《平行四邊形》
§5．1 多邊形（1）
1A.四邊形中有三個角分別為72?，89?，65?，則第四個角的度數為______。
2A.在四邊形ABCD中，∠Ａ與∠Ｃ互為補角，∠Ａ:∠Ｂ:∠Ｄ＝６:４:５，
求∠Ｃ的度數。
1B.如圖，在四邊形ABCD中，∠A=85°，∠D＝110 °，∠1的外角是71 °，則∠1＝____，∠2＝____。
2B.已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠C=900，BE平分∠ABC，交CD于點E，DF平分∠ADC，交AB于點F。求證BE∥DF。


（B組第1題） （B組第2題）
1C.如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠C, ∠ABC=∠ADC。(1)CD∥AB (2)AD=BC。
2C.探索五邊形,六邊形, ……, n邊形的內角和、外角和,你能否發現并找出n邊形的內角和與外角和的計算規律嗎?

（C組第1題）
答案：
1A. 1340
2A. 600
1B. 1090，560
2B. 在四邊形ABCD中，
∵∠A=∠C=900
∴∠ABC+∠ADC=3600-900-900=1800
∵BE，DF分別是∠ABC，∠ADC的平分線
∴∠ABE=∠CBE，∠ADF=∠FDC
∴∠CBE+∠FD C=900
又∵∠CBE+∠BEC=900
∴∠FDC=∠BEC
∴BE∥DF
1C. （1）∵∠A=∠C，∠ABC=∠ADC，∠A+∠C+∠ABC+∠ADC=3600
∴∠ABC+∠C=1800
∴CD∥AB
（2）連接AC
∵CD∥AB
∴∠ACB=∠CAD，∠BAC=∠ACD
∵AC=CA
∴⊿ABC≌⊿CDA
∴BE∥DF，AD=BC
2C. n邊形的內角和為（n-2）×1800（n≥3）
任何多邊形的外角和為3600
§5．1 多邊形（2）
1A. 某多邊形的內角和是其外角和的3倍，則此多邊形的邊數是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2A.一個多邊形的外角都等于72°，這個多邊形是幾邊形？
1B.在五邊形ABCDE中，若∠A=∠D=900,且∠B:∠C:∠E=3:2:4,則∠C是_____度。
2B．過多邊形一個頂點的所有對角線將這個多邊形分成3個三角形,求:
(1)這個多邊形的邊數； (2)這個多邊形內角和的度數.
1C.一個六邊形如圖，已知AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，求∠A＋∠C＋∠E的度數。
（C組第1題）
2C.一個內角和為1620°的多邊形可連多少條對角線？
答案：
1A. D
2A. 五邊形
1B. 80度
2B. （1）邊數是5 （2）內角和為（5-2）×1800=5400
1C. 連接AD
∵AB∥DE， CD∥AF
∴∠EDA=∠BAD，∠FAD=∠CDA
∠EDA+∠CDA=∠BAD+∠FAD，
即∠FAB=∠CDE
同理，∠E=∠B，∠F=∠C
∵∠FAB+∠B+∠C+∠CDE+∠FAD+∠E+∠F
=（6-2）×1800=7200
∴∠ABE=∠CBE，∠ADF=∠FDC
∴∠FAB+∠C+∠E=0.5*7200=3600
2C.（n-2）×1800=16200°
n= 11
對角線的條數為：11×(11-3) ÷2=44（條）
§5．1 多邊形（3）
1A.若正n邊形的一個外角為600，則n的值為多少？
2A.求正八邊形的各內角及外角的度數。
1B.一個正多邊形的內角和等于12600，那么這個正多邊形有多少條邊？它的一個外角是多少度？外角和是多少度？
2B.用任意三角形鑲嵌平面時,同一頂點處應擺放( )個三角形;用任意四邊形鑲嵌平面時，同一頂點處應擺放( )個四邊形.
1C.如圖這幅鑲嵌圖由集中正多邊形組成？請說明它們能鑲嵌平面的數學原理。
2C、探索用正多邊形進行平面鑲嵌總共有多少種？
答案：
1A、 n=6
2A、 各內角為1350，各外角為450。
1B、 （n-2）×1800=12600°
n=9
這個正方形是九邊形。
它的一個外角是360÷9=400，外角和是3600°
2B、 6個，4個
1C、 解：由正三角形和正六邊形兩種正多邊形組成。如果幾種正多邊形能鑲嵌平面，那么共頂點的各個角之和為3600。圖中正三角形的內角為600，正六邊形的內角為1200，而600×4+1200=3600，所以構成每個共頂點的五個角之和都等于3600。
2C、
§5．2 平行四邊形
1A、 ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可能是（　?。?br/>A． 1∶2∶3∶4　　　B． 1∶2∶2∶1　　　C． 2∶2∶1∶1　　　D． 2∶1∶2∶1
2A、如圖：△ABC中，D、E、F分別在△ABC的三邊上，且DE∥BC，DF∥
AC，EF∥AB，則圖中平行四邊形的個數有（ ）
A、4個 B、3個 C、2個 D、1個
1B、若一個平行四邊形的一個內角平分線將它的一條對邊分成
2和3兩部分,則這個平行四邊形的周長為__________.
2B、如圖，P是平行四邊形ABCD內任意一點，ΔAPD與ΔBPC的面
積之和為8，則SABCD = .
1C、如圖所示：在△ABC中，∠A=600，∠B=600，∠C=700，以A、B、C
為其中的三個頂點，能得到幾種不同形狀的平行四邊形。要求畫
出圖示，并寫出所得到的平行四邊形兩個相鄰內角的度數。
2C、若平行四邊形PQRS的各頂點在另一個平行四邊形ABCD的各邊上，求證：這兩個平行四邊形的對角線經過同一點。
答案：
1A、D
2A、B
1B、14或16
2B、16
1C、可得3種不同的平行四邊形，
相鄰內角的度數分別為500、1300；700、1100；600、1200；
2C、分別連接AC、QS，兩線相交于點M。
∵ ABCD、PQRS均為平行四邊形
∴ ∠BAD=∠DCB，PS=QR
∵ AD∥BC，PS∥QR
∴ ∠ASQ=∠CQS，∠PSQ=∠RQS
∴ ∠ASP=∠CQR
在△APS≌△CQR中（AAS）
∴ AS=CQ
易證：△AMS≌△CMR （ AAS）
故：M是AC的中點，也是SQ的中點。
即：這兩個平行四邊形的對角線經過同一點
§5．3 平行四邊形性質（1）
1A、□ABCD中，∠A：∠B=1:2,則各角的度數為
2A、如圖，l1∥l2，AD∥BC，CD：CF=2︰1。若△CEF的面
積為10，則四邊形ABCD的面積為 。
1B、如圖：在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC交AB于點
E，EF∥AC交BC于點F。求證：BE=CF
2B、已知平行四邊形ABCD周長為60cm，對角線AC、BD交于
點O，△AOB的周長比△COB的周長少8cm，求這個平行四
邊形的各邊長度。
1C、如圖1，P是四邊形ABCD的DC邊上的一個動點．當四邊
形ABCD滿足條件______時，△PBA的面積始終保持不變
（注：只需填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形）．
2C、如圖，正方形網格中的每個小正方形邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點．以格點為頂點分別按下列要求畫圖：
（1）在圖甲中，畫出一個平行四邊形，使其面積為6；
（2）在圖乙中，畫出一個梯形，使其兩底和為5．
答案：
1A、600、1200；
2A、40
1B、由BD平分∠ABC，DE∥BC可得: △BDE中BE=DE
由DE∥BC，EF∥AC可得：DE=CF
∴ BE=CF
2B、11，19
1C、DC∥AB
2C、略
§5．3 平行四邊形性質（2）
1A、?在以下平行四邊形的性質中,錯誤的是?(?? ??)A.?對邊平行???????B.?對角相等???? C.?對邊相等????????D.?對角線互相垂直
2A、 如圖，在□ABCD中，，的平分線交于點，交的延長線于點，，垂足為，若，則的周長為（ ）
A．8 B．9.5 C．10 D．11.5
1B、已知點A（3，0）、B（-1，0）、C（0，2），以A、B、C為頂點畫平行四邊形，你能求出第四個頂點D嗎？
2B、如圖：在平行四邊形ABCD的對角線AC交BD于點O，過O點任作直線EF，分別交線段AB、CD于點E，F。
求證：（1）OE=OF。（2）S四邊形AEFD=S四邊形形CFEB
1C、若平行四邊形PQRS的各頂點在另一個平行四邊形ABCD的各邊上，求證：這兩個平行四邊形的對角線經過同一點。
2C、在五里河體育場前的寬為40cm綠化帶上有一條路，數據如圖所示。你能求出這條路的寬度嗎？
答案：
1A、D
2A、A
1B、能 D(4,2) D(-5,2)、D(2,-2)
2B．（1）∵ ABCD為平行四邊形
∴ ∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，OA=0C
∴ △AEO≌△COF中（AAS）
∴ OE=OF
（2）由（1）可得：CF=AE，DF=BE
∵S梯形AEDF=1/2(AE+DF)×高
S梯形CFEB=1/2(CF+EB)×高。
∴S四邊形AEFD=S四邊形形CFEB
1C、分別連接AC、QS，兩線相交于點M。
∵ ABCD、PQRS均為平行四邊形
∴ ∠BAD=∠DCB，PS=QR
∵ AD∥BC，PS∥QR
∴ ∠ASQ=∠CQS，∠PSQ=∠RQS
∴ ∠ASP=∠CQR
在△APS≌△CQR中（AAS）
∴ AS=CQ
易證：△AMS≌△CMR （ AAS）
故：M是AC的中點，也是SQ的中點。
即：這兩個平行四邊形的對角線經過同一點
2C、8
§5．4 中心對稱
1A、下列圖形中是中心對稱圖形的是___________
2A、下列說法錯誤的是（ ）
A．一條線段的中點是它的對稱中心
B．正方形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形
C．軸對稱圖形的對稱軸是對稱點連線的垂直平分線
D．關于軸對稱的兩個圖形，對應線段平行且相等
1B、如果一個四邊形只是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，那么這個四邊形一定是________
2B、已知四邊形ABCD和O點，畫出四邊形ABCD關于O點的對稱圖形
1C、在等邊三角形、平行四邊形、矩形和圓這四個圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
2C、請寫出兩個既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的正多邊形 。
答案：
1A、（1）（4）
2A、D
1B、平行四邊形
2B、略
1C、B
2C、正方形（不唯一）
§5．5 平行四邊形的判定（1）
1A、下列條件不能確定四邊形是平行四邊形的是（ ）
A. AB∥CD AB＝CD B. AB＝CD AD=BC
C. AB＝CD AD∥BC D. AB∥CD AD∥BC
2A、已知：四邊形ABCD中，AB∥CD，要使四邊形ABCD為平行四邊形，需添加一個條件
是： （只需填一個你認為正確的條件即可）。
1B、四邊形中,有兩條邊相等,另兩邊也相等,則這個四邊形為( )
A.一定是平行四邊形 B.一定不是平行四邊形
C.可以是平行四邊形,也可以不是平行四邊形 D.以上都不對.
2B、已知：如圖 4－22，E和F是□ABCD對角錢AC上兩點，AE＝CF．求證：四邊形BFDE是平行四邊形．
??
??
?
1C、李大伯家有一口如圖所示的四邊形的池塘,在它的四個角上均有一棵大柳樹,李大伯開挖池塘,使池塘面積擴大一倍,又想保持柳樹不動,如果要求新池塘成平行四邊形的形狀.請問李大伯愿望能否實現?若能,請畫出你的設計;若不能,請說明理由.
2C、已知：如圖，在四邊形ABCD中，MO⊥ON，說明四邊形ABCD是平行四邊形．
答案：
1A、C
2A、AB＝CD或AD∥BC
1B、C
2B、說明△ADE≌△CBF，△ABE≌△CDF得到DE=BF，BE=DF
1C、如圖所示:
2C、由勾股定理得x=8 得到兩組對邊相等

§5．5 平行四邊形的判定（2）
1A、下列條件中，能說明四邊形是平行四邊形的是（ ）
A.一組對邊平行，一組對角相等 B.一條對角線平分另一條對角線
C.一組對邊平行，另一組對邊相等 D.一組對邊平行，一組對角互補
2A、如圖，D是⊿ABC的邊AB上一點，DF交AC于點E，且AE=AC，
FC∥AB，試說明：四邊形ADCF是平行四邊形。
1B、如圖點A、B、C、D在同一平面內，從①AB∥CD、②BC∥
AD、③AB=CD、④BC=AD、⑤∠A=∠C、⑥∠B=∠D這六個條
件中任取兩個，能說明ABCD是平行四邊形的有 種選法，分別是：
2B、如圖：等邊三角形ABC中，P是內部一點，PE∥BC ，PF∥AC，
PD∥AB，試說明：PD+PE+PF=AB
1C、已知點A（3，0）、B（-1，0）、C（0，2），以A、B、C為頂點
畫平行四邊形，則第四個頂點D的坐標是_____________（寫出所有情況）
2C、已知：如圖，∠1=∠2，BE∥MF，EF∥AB．求證：AF=BM．
答案：
1A、 A
2A、說明△ADE≌△CFE得到DE=FE，再通過對角線相互平分說明
1B、9 ①② ①③ ①⑤ ①⑥ ②④ ②⑤ ②⑥ ③④ ⑤⑥
2B、延長FP交AB于點G說明DP=AG，PE=PG，FG=BG，即PF+PE+PD=PF+PG+AG=BG+AG=AB
1C、（4，2） （2，-2） （-4，2）
2C、說明∠AEF=∠1=∠2 ，AF=EF ，在說明四邊形BEFM是平行四邊形，EF=BM
§5．6 三角形的中位線
1A、如圖，在四邊形ABCD中，P是對角線BD的中的，E、F分別是AB、CD的中點，AD=BC，∠ CBD=24°，∠ADB=60°,則∠PFE= °
2A、如圖，在△MBN中，BM=8、BN=6，點A、C、D分別是MB、NB、MN的中點，則平行四邊形ABCD的周長是（ ）
A.14 B.18 C.16 D.32
1B、如圖，已知AG⊥BD,AF⊥CE,BD、CE分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，若BF=2，ED=3,GC=4.則△ABC得周長為 .
2B、在△ABC中,M是BC中點，AN平分∠BAC，AN⊥BN于N，且AB=10，AC=16.求MN的長度。
1C、如圖，正方形ABCD中，AB=8、Q是CD的中點，設∠DAQ=x ,在CD上取一點P，使∠BAP=2x，則CP的長是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.
2C、已知：如圖AD是△ABC的BC邊的中線，BE垂直平分AD，垂足為O，且BE交AC于點E，BE=4，AO=2,求AC的長.
答案：
1A、18
2A、A
1B、30
2B、3
1C、B （提示：AP=BC+CP,然后用代數方法）
2C、如圖，△ABC中，∠B的平分線BE與BC邊的中線AD垂直，且BE=AD=4.求△ABC三邊的長.
2C、作DF∥BE交AC于F，則,,,,
,,,由，得,
§5．7 逆命題和逆定理（1）
1A、下列說法中，正確的是（ ）
A.每一個命題不一定都有逆命題 B.每個命題逆命題的真假和原命題一樣
C.真命題的逆命題仍是真命題 D.假命題的逆命題未必是假命題
2A、（1）寫一個命題，要求它的逆命題是真命題，
（2）寫一個命題，要求它的逆命題是假命題。
1B、寫出命題“等邊三角形是有一個角為60°的等腰三角形”的逆命題，并證明這個命題是真命題。
2B、如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，BC=CD，但AD≠CD,我們稱這樣的四邊形為“半菱形”，小明說“半菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半”。你認為這是真命題嗎？請你判斷并證明你的結論。
1C、定理“正方形的對角線互相垂直平分且相等，每條對角線平分一組對
角”的逆命題有下形幾種說法，其中下確的是（ ）
A.對角線互相垂直的平行四邊形是正方形。
B.對角線相等，且一條對角線平分一組對角的四邊形是正方形。
C.對角線互相垂直，且一條對角線平分一組對角的四邊形是正方形。
D.對角線互相垂直平分且相等，且每條對角線平分一組對角的四邊形是正方形。
2C、已知在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，①AB∥CD;②AO=CO;③AD=BC ④∠ABC=∠ADC;
(1)請從以上條件中選取兩個作為命題的條件，結論為四邊形ABCD是平行四邊形，并使構成的命題為真命題，請對你所構造的真命題給予證明；
（2）能否從以上條件中選取兩個作為命題的條件，結論為四邊形ABCD是平行四邊形，并使構成的命題為假命題？若能，請寫出一個滿足條件的假命題，并舉反例說明。
答案:
1A、D
2A、(2)兩直線平行，同位角相等。（2）對頂角相等。
1B、逆命題為：有一個角等于60°的等腰三角線是等邊三角形。
證明：若60°角為頂角，則底角為60°，為等邊三角形；若底角為60°，則頂角為
60°，為等邊三角形。
2B、是真命題。根據已知寫出已知求證并寫出證明過程。證明提示，易證AC⊥BD,從而得四
邊形ABCD的面積為
1C、D
2C、（1）①②或①④或（證明提示用全等）
（2） ①③（等腰梯形）
§5．7 逆命題和逆定理（2）
1A、命題“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的逆命題是 。
2A、已知命題“平行四邊形一組對邊平行，另一組對邊相等”寫出這個命題的逆命題，判斷原命題和逆命題的真假，并說明理由。
1B、已知△ABC的三條邊長分別為，判斷△ABC是不是直角三角線，并說明理由。
2B、已知命題“等邊三角形的三條高相等”寫出這個命題的逆命題，判斷逆命題的真假，并說明理由。
1C、寫出命題“在三角形中，鈍角所對的邊最大”這一命題的逆命題。并判斷逆命題的真假，說明理由。
2C、已知a,b,c是△ABC的三邊，且滿足，試判斷△ABC的形狀。
解：∵,①
∴②
∴③
∴△ABC是直角三角形。④
問：（1）上述解題過程，從哪一步開始出現錯誤？請寫出該步的代號 ；
（2）錯誤的原因是 ；
（3）本題正確的結論是 。
答案:
1A、逆命題是：一邊上的中線等于這條邊的一半的三角形是直角三角形。
2A、逆命題：一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形
是假命題。因為梯形滿足上述條件
1B、是直角三角形。因為
2B、逆命題：三條邊上的高相等的三角形是等邊三角形。
是真命題。根據面積不變性， ∴
1C、逆命題是：在三角形中，最大邊所對的角是鈍角。假命題，反例如：直角三角形中，最大邊所對的角是直角。
2C、（1）③ （2）沒考慮的情況 （3）直角三角形或等腰三角形。
八下第六章《特殊平行四邊形與梯形》
§6．1 矩形（1）
1A．若矩形的一條對角線與一邊的夾角是40°,則兩條對角線所加的銳角的度數為_____度.
2A.如圖,在矩形ABCD中,AE⊥BD于點E，且∠CAE=45°，求∠BAE
的度數.
1B.已知：如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是邊 BC、AB上的點，
且AE平分∠BAD，EF⊥ED.求證：EF=ED
2B.如圖所示，在矩形ABCD中，，E為BC的中點，且AE=AD，
求∠DEC的度數.

1C.如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是邊AD、BC的中點，點G、H在DC邊上，且GH=DC．若
AB=10，BC=12，求圖中陰影部分的面積為．
2C.自己來設計：現有一個長為40cm，寬為30cm的矩形木板，要求將它切割拼接改成寬慰
20cm的長方形平板（利用率高，沒有余料）作書架鋪板用，試試看怎樣拼接，如果改成
寬為另一長度呢？自己設計，要求沒有余料且拼接牢固.
2C.答案提示: 按上圖虛線處切割，把下一部分向右推20 cm，再向上推10cm即可.
自己設計：可按寬為25m，方法同上，見上右圖，拼接方法同上.

§6．1 矩形（2）
1A．農村家庭建房打地基時，不像城市蓋大樓有專門的儀器放樣，他們往
往采用土辦法，先用繩子拉成四邊形，分別量出房基的長a和寬b（如
圖），但還要一道重要的工序，才能保證房基是矩形.你能根據所學知
識說出這道工序嗎？請說明理由.
2A.如圖□ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分別是∠DAB, ∠ABC, ∠BCD,
∠CDA的平分線AQ與BN交于點P，CN與DQ交于點M. 求證：四邊
形PNMQ為矩形.
1B.如圖，在□ABCD紙片中，AC⊥AB于點A，AC與BD相交于O，將△ABC
沿對角線翻轉180°，得到△AB′C.
（1）求證：以A、C、D、B′四點為頂點的四邊形是矩形.
（2）若四邊形ABCD面積S為12cm2，求翻轉后紙片重疊部分的面
積即S△ACE.
2B.如圖，已知□ABCD中，E、F為直線BC上兩點，DE與AF相交于
點O，BE=CF，∠E=∠F. 求證：
（1）△ABF≌△DCE；（2）四邊形ABCD是矩形.
1C.如圖：設P為等腰直角三角形ACB斜邊AB上任意一點，PEAC于
點E，PF⊥AC于點E，PF⊥BC于點F，PG⊥EF 于點G，延長GP并在
其延長線上取一點D，使得PD=EF，連結CD.求證：CD⊥AB.
2C.如圖，在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=12cm，P點在AD邊上以每秒1cm
的速度從A向D運動，點Q在BC邊上，以每秒4cm的速度從C點出
發，在CB間往返運動，兩點同時出發，待P點到達D點為止，在這
段時間內，四邊形ABQP有多少次為矩形？
答案提示：
1A．由兩邊分別相等的四邊形是平行四邊形可知上圖是平行四邊形.只要其對角
線相等就可判定該四邊形是矩形，所以重要的一道工序應該是使對角線相等.
2A. 1B. 2B. 1C. 2C.略
§6．1 矩形（3）
1A．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜邊AB的中點，∠B=58°. 求∠BDC和∠ACD的度數
2A. 如圖，在Rt△ABC中，AD⊥BC于點D，E、F分別是AB、AC的中點，若△DEF的周長為13，求△ABC的周長.
1B. 如圖，在Rt△ABC中，斜邊BC上的高AD=5cm，斜邊BC上的中線AE為6cm.
求△ABC的面積.
2B.如圖，AD、BE是△ABC的高，G是AB的中點，GF⊥DE于點F. 求證：EF=FD.
1C. 如圖，已知□ABCD中，以AC為斜邊作Rt△ACE，又知∠BED是直角. 求證：四邊形ABCD是矩形.
2C.已知：如圖，AB 與直線l相交于一點，過點A、B分別作AC⊥l于點C，BD⊥l于點D，M為AB的中點，連結MC、MD. 求證：MC=MD.
§6．2 菱形（1）
1A． 菱形在平面直角坐標系中的位置如圖所示，，則點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
2A.如圖，在菱形ABCD中，分別延長AB、AD到E、F，使得BE=DF，連結EC、FC. 求證：EC=FC.
1B.已知菱形的周長是40cm，一邊的高與菱形邊長之比為，求菱形的兩條對角線分別為多少？
2B. 如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分線交對角線AC于點F，E為垂足，連結DF. 求∠CDF的度數.
1C. 已知菱形ABCD的兩條對角線AC、BD的乘積等于菱形的一條邊長的平方的倍.（如圖）（1）求的度數；（2）若AB=4，E在BC上，BE=2，P點在BD上，求PE+PC的最小值.
2C.如圖，已知□ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，BD是對角線，連結EF，AG//BD交CB的延長線于點G. 若四邊形BEDF是菱形，則圖中除□ABCD、菱形BEDF外，其他還有特殊四邊形嗎？若有，則證明你的結論.
§6．2 菱形（2）
1A． 如圖，菱形ABCD的兩條對角線分別長6和8，點P是對角線AC上的一個動點，點M、N分別是邊AB、BC的中點，則PM+PN的最小值是_____________．
2A.已知線段a、b，如圖，請用直尺和圓規作一個菱形，使它的一條對角線為a，邊長為 b.
1B.已知如圖，過矩形ABCD的頂點作CE//BD交AB的延長線于點E，F為CE的中點，連結BF，BD與AC交于點O. 求證：四邊形COBF為菱形.
2B. 如圖，菱形的邊長為1，；作于點，以為一邊，做第二個菱形，使；作于點，以為一邊做第三個菱形，使；依此類推，這樣做的第個菱形的邊的長是 ．
1C. 如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC，AD（1）求證：四邊形CD C′E是菱形；
（2）若BC=CD+AD，試判斷C′C與AB的位置關系.
2C.如圖：在平面直角坐標系xoy中，把矩形COAB繞點C順時針旋轉角，得到矩形CFED，連結AC，過B作BG//CD交OC于點G，交AC于點H，且，.
（1）當°時，求證：四邊形BHCD為菱形；
（2）在（1）條件下，求直線BG的解析式.
§6．3 正方形
1A．(只填序號)順次連結平行四邊形各邊中點得到的四邊形是___________；順次連結菱形各邊中點得到的四邊形是___________；順次連結等腰梯形各邊中點得到的四邊形是___________；如果一個四邊形的對角線互相垂直且相等，那么順次連結其各邊中點得到的四邊形是___________。 （①平行四邊形 ②菱形 ③矩形 ④正方形）
2A.（1） 如圖（1），正方形ABCD的邊長為4cm，則陰影部分的面積為_____________cm2.
（2）如圖（2），正方形是由k個相同的長方形組成，上、下個有兩個水平放置的矩形，中間豎放若干個矩形，則k=__________________.
1B.如圖，P是正方形ABCD對角線BD上一點，PE⊥DC，PF⊥BC，E，F分別是垂足，求證：AP=EF．
2B.如圖，過正方形ABCD的頂點A作直線，于BC延長線交于點F，與BD、CD分別交于點N、E，M是EF的中點，試猜想CM與CN的位置關系，并加以證明.
3B. 如圖，正方形內有兩條相交線段、、、、分別在邊、、、上，小明認為：若則．小亮認為：若，則．你認為誰對，請說明理由。
1C. 如圖，Rt△ABC中，∠ABC=Rt∠，在三角形外作正方形ACDE和正方形BCGF，過點C做AB的垂線，交DG于點M，垂足為H，求證：（1）DG=AB ；（2）2CM=DG.
2C. 如圖，四邊形ABCD是正方形，四邊形ACEF是菱形，點F在BE上，求證：AE、AF三等分∠BAC.
3C.如圖，已知正方形ABCD中，∠MAN=45○，∠MAN繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長線）于點M、N，當∠MAN繞點A旋轉到BM=DN時，（如圖1）易證BM+DN=MN.
（1）當∠MAN繞點A旋轉到BM≠DN時，（如圖2）線段BM、DN和MN之間有怎樣的數量關系？寫出猜想，并加以證明.
（2）當∠MAN繞點A旋轉到如圖3的位置時，線段BM、DN和MN之間又有怎樣的數量
關系？請直接寫出證明.

§6．4 梯形（1）
1A．已知四邊形ABCD是等腰梯形，CD//BA，四邊形AEBC是平行四邊形，
求證：∠ABD =∠ABE.

2A. 如圖，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，延長CB至E，使EB=AD，
連結AE、AC. 求證：AE=CA.
1B.（1）已知梯形的上底長為3，下底長為7，則梯形的中位線把梯
形分成的兩個梯形的面積比為__________________.
（2）如圖，梯形ABCD中，對角線AC⊥BD，AC=5cm，BD=12cm，則該梯形的中位線的長等于_____________cm，梯形ABCD的面積等于________________cm2.
（3）作一條直線平分如圖所示梯形的面積，請盡可能多地嘗試不同的
分割方法.
2B. 如圖，梯形ABCD中，∠A=90°，EF是中位線，EG⊥BC，G為垂足，已知，求證：
1C.如圖，等腰梯形ABCD的對角線相交于點O，∠AOB=60°，E、F、G分別是OA、BC、OD的中點. 求證：△EFG是正三角形.
2C.如圖，在△ABC中，P是BC上任意一點，D、E、F分別是BC、AC、AP的中點，G是DF的中點，直線EG交BC于M. （1）求證：M是BP的中點；（2）已知BC=6，△ABC在BC上的高線長為4，設，梯形MCEF的面積為，求與的關系式及的取值范圍；（2）當點P在什么位置時，梯形MCEF的面積為△ABC的面積的一半.
§6．4 梯形（2）
1A．如圖，在△ABC中， E、F、D分別是AB、AC、BC的中點，AH⊥BC，垂足為H. 試證：四邊形EFHD為等腰梯形.
2A. 已知直角梯形中，．點在上移動，則當取最小值時，中邊上的高為（ ）
A． B． C． D．3
1B. 如圖，在等腰梯形ABCD中，AB//DC，BD平分∠ABC，且與中位線MN交于點P，已知 MP=3，PN= 2，求BD的長.
2B.如圖，梯形ABCD中，AD//BC，E是CD上一點，AE、BE分別平分∠BAD，∠ABC，求證：AB=AD+BC.
3B. 如圖，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠B=45°，BC的中垂線與DA的延長線交于點F，與AB 交于點G，垂足為E，若，求DF的長.
1C. 如圖，在梯形ABCD中，AB//DC，AB+CD=3，求證：AC⊥BD.
2C. 如圖，在直角梯形紙片中，，，，將紙片沿過點的直線折疊，使點落在邊上的點處，折痕為．連接并展開紙片．
（1）求證：四邊形是正方形；
（2）取線段的中點，連接，如果，試說明四邊形是等腰梯形．
答案提示：
2C.（1），，．
由沿折疊后與重合，知，．
四邊形是矩形，且鄰邊相等．
四邊形是正方形．
（2），且，四邊形是梯形．
四邊形是正方形，，．
又點為的中點，．連接．
在與中，，，，
，．
，，四邊形是平行四邊形．
．．．
四邊形是等腰梯形．
注：第（2）小題也可過點作，垂足為點，證．
八下第四章《命題與證明》
§4．1定義與命題
1A．“1+2=4”，是不是命題？
2A “兩點之間，線段最短”，是不是命題？
1B. 給下圖命名，并給出名稱的定義
2B.指出命題“對頂角相等”的條件和結論，并改寫成“如果……，那么……”的形式。
1C．指出命題“等腰三角形兩腰上的高相等”的題設與結論，并畫圖，寫出已知、求證。
2C.下列四個命題中條件與其它三個命題的條件不相同的命題是（ ）
（A）全等三角形的對應邊相等；
（B）全等三角形的對應角相等；
（C）有三邊對應相等的兩個三角形全等；
（D）全等三角形對應邊上的高相等。
答案：
1A. 是
2A. 是
1B. 三角形：三條線段首尾順次相連組成的圖形。
2B. 條件：有兩個角是對頂角。結論：這兩個角相等。
如果有兩個角是對頂角，那么這兩個角相等。
1C. 題設：兩條線段是等腰三角形兩條腰上的高。結論：這兩條線段相等。
2C. C
§4．2 定義與命題（2）
1A.下列條件中，不能判斷一個三角形是直角三角形的是 ( )
A．三個角的比為1∶2∶3 B．三條邊滿足關系a2＝b2－c2
C．三條邊的比為1∶2∶3 D．三個角滿足關系∠B＋∠C＝∠A
2A. 填空，使下列各句成為真命題。
（1）如果，那么
（2）如果點M是線段AB的中點，那么AM= AB
（3）在四邊形ABCD中，如果AB∥CD，，那么
1B. 下列四個命題：①對頂角相等；②內錯角相等；③平行于同一條直線的兩直線平行；④垂直于同一條直線的兩直線垂直，其真命題的是（填序號）
2B. 若a2﹥b2,則a﹥b。這個命題是真命題還是假命題？請說明理由。
1C. 判斷下列命題的真假。
（１）．有一個角是４５°的直角三角形是等腰直角三角形。
（２）．能被2整除的數也能被4整除。
（３）．兩條直線被第三條直線所截，同位角相等．
（４）．若a∥b,b∥c,則a∥c
2C. 命題“x=1是方程x2-2x-3=0的解”是真命題還是假命題？請說明理由。
答案：
1A. C
2A. （1）∠2=∠3 （2） （3）AD∥BC
1B. ①、③
2B. 假命題
1C. （1）真命題 （2）假命題 （3）假命題 （4）真命題
2C. 假命題
§4．3證明（一）
1A．命題“若a>b，則a|c|>b|c|”是真命題還是假命題？請說明理由。
2A．已知：如圖四邊形ABCD中，∠A=∠C，AB//CD。求證：AD//BC。
1B．證明命題“一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，則這兩個
角相等”是真命題還是假命題？若是真命題，請說明理由。若是假命題，
請修改命題的結論，使它成為真命題，并說明理由。
2B．證明命題“一邊上的中線等于這條邊的一半的三角形是直角三角形”是真命題。
1C．如圖，在ΔABC中，BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，且PD∥AB，PE∥AC。求證：ΔPDE的周長是定值。
2C．（1）已知：如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F是AD、BC上兩點，點P是CD邊上的一點（不包括端點），求證：∠EPF=∠DEP+∠CFP。
（2）若點P在線段DC的延長線上，那么∠EPF=∠DEP+∠CFP還成立嗎？畫出圖形，進行探究。如果成立，請給予證明；如果不成立，猜想∠EPF、∠DEP、∠CFP之間的數量關系，并給于證明。
（3）若點P在邊AB上，那么∠EPF=∠DEP+∠CFP還成立嗎？畫出圖形，進行探究。如果成立，請給予證明；如果不成立，猜想∠EPF、∠DEP、∠CFP之間的數量關系，并給于證明。
答案：
1A.假命題。證明略
2A.證明略
1B.把結論改成這兩個角相等或互補。
2B.證明略
1C.ΔPDE的周長是BC的長。
2C.（1）過點P作PH//AD，交AB于點H。證明略
（2）∠EPF=∠DEP-∠CFP
（3）∠EPF+∠DEP+∠CFP=360°.
§4．4證明（2）
1A. 如圖在ΔABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB
于點E，觀察直線AD與線段CE，你能寫出它們的關系嗎？利用
所學的知識，證明你的觀察結果。
2A. 已知：如圖△ABC、△ADE都是等邊三角形，
（1）求證：CD＝BE
（2）求直線CD,BE所夾銳角的度數
1B.已知:如圖，AD是三角形紙片ABC的高。將紙片
沿直線EF折疊，使點A和點D重合。求證：EF∥BC.
2B.上題中如果E、F分別是AB，AC的中點.將紙片沿直線EF折疊，使點A和點D重合，求證：AD是△ABC的高
1C. 如圖，AB、CD 相交于E， AD＝AE,
CB＝CE,F、G、H 分別是DE、BE、AC
的中點．求證：HF＝HG
2C. 上題中若∠FHG=1000,求直線AF,CG所夾銳角的度數
答案：
1A. AD⊥CE
2A. （1）、略 （2）、60度
1B. 略.
2B. 略
1C. 略
2C. 40度
§4．5證明（3）
1A．已知，如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，AB=CD。
求證：AB∥CD，AD∥BC。
2A．如圖，OA=OD，且OD⊥AB，OC=OB，求證AE⊥BD。
1B．已知，如圖，把兩張全等的直角三角形紙片ADE和ACB
疊成如圖形狀。BE和CD平行嗎？請證明你的判斷。
2B．如圖，已知點B，D，E，C在同一條直線上，
且∠1=∠2，BD=EC。求證:△ABE≌△ACD。
1C. 已知，如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，O是
BC邊的中點，D，E分別是AB，AC上的點，AE=BD，
求證：OE=OD。
2C．在△ABC中，∠ABC=45，H是高AD，BE的交點。
（1）當∠BAC為銳角時，求證BH=AC。
（2）當∠BAC為鈍角時，其他條件不變，請畫出符合
要求的圖形，這時BH=AC還成立嗎？若成立，請證明；
若不成立，請說明理由。
答案：
1A．證明：連接AC或（BD）
在△ADC和△CBA中，
∵AD=BC，DC=BA，AC=CA，
∴△ADC≌△CBA
∴∠DCA=∠BAC，∠DAC=∠BCA；
∴AB∥CD，AD∥BC
2A．證明：∵OD⊥AB,
∴∠DOB=∠AOC=90,
又∵OA=OD,OC=OB,
∴△AOC≌△DOB
∴∠A=∠D,
又∵∠B+∠D=90,
∴∠A+∠B=90,
∴∠AEB=90,
∴AE⊥BD
1B．結論：BE∥CD
證明: ∵△AED≌△ABC,
∴AD=AC,AE=AB,
∴∠ABE=∠AEB.
∵∠A+∠ABE+∠AEB=180,
∴∠ABE=∠AEB=90-1/2∠A.
同理, ∠ADC=∠ACD=90-1/2∠A.
∴∠ABE=∠ADC,
∴BE∥CD
2B．證明: ∵∠1=∠2
∴AD=AE.
∵BD=CE,
∴BE=CD.
∴△AEB≌△ADC (SAS)
1C.證明: 連接AO.
∵AB=AC, O是BC邊的中點,
∴∠BAO=∠CAO.
∵∠BAC=90, AO⊥BC
∴∠B=∠C=45,BO=AO=CO.
∵AO⊥BC
∴∠BAO=∠CAO=45,
∴∠B=∠CAO=45.
∵AE=BD,
∴△BDO≌△AEO (SAS)
∴OD=OE.
2C．證明:(1) ∵∠ABC=45,
∴BD=AD.
∵H是高AD，BE的交點,
∴∠ADC=∠BDH=90,
∴∠C+∠CAD=90,∠C+∠CBE=90,
∴∠CAD=∠CBE.
∴△BDH≌△ADC (SAS)
∴BH=AC.
(2)圖略.
(3)HB=AC仍然成立,同理可證.
§4．6 反例與證明
1A．一個三角形中的內角是銳角的至少有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
2A．以下可以用來證明命題“對于自然數n，代數式n2-3n+7的值都是素數”是假命題的反例
的是（ ）
A．n=3 B．n=4 C．n=5 D．n=6
1B．有下列命題：①不論p為何值，一元二次方程x2+px-1=0必定有兩個不相等的實數根；②有一個角為60°的三角形為等邊三角形；③兩個無理數的和是無理數；④a，b，c是三角形的三條邊，若a2+b2≠c2，則這個三角形不是直角三角形．其中假命題有（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
2B．舉反例說明下列命題是假命題：
（1）已知x與y是實數，則有│x+y│=│x│+│y│．
（2）等腰三角形邊上的中線、高線、角的平分線互相重合．
（3）兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形全等．
1C．當n=0，1，2，3，4，5時，代數式n2-4n-12的值都是負數嗎？你是否能得出結論：對
于所有的自然數n，n2-4n-12的值都是負數？為什么？
2C．取一張長方形紙片進行折疊，具體操作如下：
第一步：先把長方形ABCD對折，折痕為MN，如圖1所示；
第二步：再把B點疊在MN上，折痕為AE，點B在MN上的對應點為B1，得Rt△AB1E（如圖2所示）；
第三步：沿EB1折疊得折痕EF，EB1的延長線交AB于點F（如圖3所示）．
利用展開圖4探究△AEF是什么三角形，證明你的結論．
答案：
1A. B 2A. A 1B. B 2B．（1）x=1，y=-1 （2）畫圖略 （3）畫圖略 1C．是的，不是，當n≥6時n2-4n-12≥0 2C．△AEF是等邊三角形，只要證△AEB1≌△AFB1
§4．7 反證法
1A．寫出下列結論的反面情況：
（1）a∥b；（2）AB=CD；（3）x是負數；（4）a>b；（5）∠A是銳角；
2A．否定結論“至多有兩個解”的說法，以下正確的是（ ）
A.有一個解 B.有兩個解 C.至少有三個解 D.至少有兩個解
1B．用反證法證明：三角形的三個內角中至少有兩個銳角.
2B．用反證法證明：若xy=0,則x、y中至少有一個等于0.
1C．你能談談舉反例與反證法的區別嗎？
2C．（小組合作完成）甲、乙、丙、丁、戊五人在運動會上分獲一百米、二百米、跳高、跳遠和鉛球冠軍，有四個人猜測比賽結果：
A說：乙獲鉛球冠軍，丁獲跳高冠軍；B說：甲獲百米冠軍，戊獲跳遠冠軍；C說：丙獲跳遠冠軍，丁獲二百米冠軍；D說：乙獲跳高冠軍，戊獲鉛球冠軍．
其中每個人都只說對一句，說錯一句．你知道五人各獲哪項冠軍嗎？
答案：
1A. （1）a不平行b；（2）AB≠CD；(3)x是非負數；（4）；（5）∠A是直角或鈍角。
2A. C
1B. 略
2B. 略
1C. 略
2C. 甲100米冠軍；乙200米冠軍；丙跳遠冠軍；丁跳高冠軍；戊鉛球冠軍。

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