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軌跡的“純粹性”與“完備性”
　　“曲線的方程與方程的曲線”的定義包括兩個方面：一是曲線上點的坐標都是方程的解———稱為純粹性；二是以方程的解為坐標的點都在曲線上———稱為完備性．兩者缺一不可，否則就容易導致失誤．
　　例１　方程的曲線是（　　）
　　Ａ．兩個點　　　　　　　Ｂ．一個圓
　　Ｃ．一條直線和一個圓　　Ｄ．兩條射線和一個圓
　　解析：有不少同學由原方程直接得或，從而誤選（Ｃ）．
　　以上解法忽視了定義域的限制，因此不符合軌跡的純粹性．事實上，直線上的點并不都適合該曲線（必須在圓上或圓外才行）．故應選（Ｄ）．
　　例2　試求到兩坐標軸距離之差恒為2的點的軌跡．
　　解析：設為軌跡上任意一點，則．
　　當，時，方程為，此時軌跡為以為端點，斜率為１的兩條射線；
　　當時，方程為，此時軌跡為以為端點，斜率為的兩條射線；
　　當時，方程為，此時軌跡為以為端點，斜率為１的兩條射線；
　　當時，方程為，此時軌跡為以為端點，斜率為的兩條射線．（曲線如右圖）
　　評注：求軌跡的方程時，如果在軌跡條件解析化過程中忽視了方程變形的同解性，就可能破壞軌跡的純粹性和完備性．本題易犯以下兩方面的錯誤：一、如將方程兩邊平方，化為，即①，再兩邊平方得，即②，從而誤認為軌跡為四條直線，就破壞了軌跡的純粹性．這是因為方程①中，化為②后把的區域的一些點也包括進去了；二、如果將點到x軸的距離與到y軸的距離誤認作y和x，得軌跡方程|，則不但會破壞軌跡的純粹性，還會破壞軌跡的完備性———失去軌跡的四條射線，同時多出兩條線段（即以為端點的兩條線段）．
　　例3　過原點作直線與曲線交于A、B兩點，求線段的中點的軌跡方程．
　　解析：設直線的方程為，把它代入曲線方程中，得，
　　設，
　　由根與系數的關系知，[來源:21世紀教育網]
　　∴，，消去k，得，
　　又由于直線與曲線有兩個交點，
　　所以，
　　解得或．
　　由，得或．
　　從而可得，線段的中點的軌跡方程是（或）．
　　評注：求軌跡方程時，一定要清除“多余”，彌補“遺漏”，以保證相應軌跡的純粹性與完備性．
精析“曲線與方程”
　　一、曲線與方程的概念21世紀教育網
　　1．對概念的理解
　　平面直角坐標系建立以后，平面上的點，M與實數對（x，y）建立了一一對應關系，點的運動形成了曲線C，與之對應的實數對的變化，就形成了方程．這樣，在曲線與方程之間就形成了某種對應關系．這種對應關系表現為：
　　如果曲線C上的點與方程的實數解建立了如下關系：[21世紀教育網
　　①曲線C上點的坐標都是方程的解；
　　②以方程的解為坐標的點都在曲線C上．
　　那么，方程叫做曲線C的方程；曲線C叫做方程的曲線．
　　曲線與方程建立了上述嚴格的對應關系后，兩者就成為同一關系的兩種不同表達形式．因此，我們就可以通過方程來研究曲線，也可以利用曲線來研究方程，這就是解析幾何處理問題的基本思想———數與形的統一．
　　注意：在坐標系確定以后，曲線被它的方程惟一確定．但曲線的方程不是惟一的，因為在同一坐標系下，還有同解方程．
　　2．對概念在兩種觀點下的再認識
（1）以軌跡的觀點認識“曲線與方程”
條件①保證了曲線上所有的點都適合條件；條件②保證了適合條件的所有點都在曲線上．前者是說這樣的軌跡具有純粹性，后者是說軌跡具有完備性．①、②同時成立說明曲線C上符合條件的點既不能多也不能少，純粹性和完備性同時成立才能保證曲線與方程間的相互轉化．
（2）以集合的觀點認識“曲線與方程”
設集合，，條件①說明，條件②說明．若條件①、②同時成立，則可認為既有，又有，從而集合相等，即．
　　二、求曲線的方程的流程圖
[來源:21世紀教育網]
21世紀教育網
　　流程圖可簡記為：
　　注意：1．建立適當的坐標系．坐標系建立得適當，可使運算過程簡單，所得的方程也比較簡單．在實際解題過程中，應充分利用圖形的幾何特性．如中心對稱圖形，可利用它的對稱中心作為坐標原點；軸對稱圖形，可以利用它的對稱軸作為坐標軸；條件中若有直角，可考慮將直角的兩直角邊作為坐標軸等．
　　2．由條件列出方程．根據曲線上的點所滿足的條件列出方程是最重要的一環．應認真分析題設條件，綜合利用平面幾何的知識，列出幾何等式，再利用解析幾何的一些相關概念、公式、性質、定理等將幾何等式坐標化，便得曲線的方程，還要將所得方程化簡，使求得的方程是最簡單的形式．
　　3．求曲線的方程與求軌跡是有不同要求和區別的．若是求軌跡，則不僅要求出方程，而且還要說明和討論所求軌跡是什么樣的圖形，在何處等，即圖形的形狀、位置、大小都要加以說明、討論等．
　　三、曲線的交點
求曲線的交點就是求這兩條曲線的方程組成的方程組的實數解．方程組有幾組實數解，這兩條曲線就有幾個交點．若方程組無實數解，那么這兩條曲線就沒有交點．因此兩條曲線有交點的充要條件是由這兩條曲線的方程所組成的方程組有實數解．

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