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巧用條件 妙求橢圓方程
已知曲線軌跡為橢圓求其方程時，常用待定系數法，在許多情況下，若恪守常規，常會導致過程繁瑣，運算量增大，但如果對題目條件合理使用，對標準方程進行“改造”，?？杀芊本秃?，事半功倍，現舉幾例，尋求橢圓方程的巧妙求法．
一．改造設法之一：巧設，避免討論．
例1．求經過兩點的橢圓標準方程．
分析：由條件，不能確定焦點在軸還是軸上，若直接設標準方程，需分兩種情況討論，則解答繁瑣；若設方程為，則包含了上述兩種情況，簡化了解題過程，有效地避免了討論．[來源:21世紀教育網]
解：設所求橢圓方程為，將A、B兩點坐標代入得，解得，，故所求橢圓方程為．[來源:21世紀教育網]21世紀教育網
點評：事實上，中，當時，橢圓焦點在軸上；當時，橢圓焦點在軸上．
二．改造設法之二：利用共焦點橢圓系，巧設橢圓方程．
例2．求經過點且與橢圓有相同焦點的橢圓標準方程．
分析：當一組橢圓具有某一相同性質時，我們稱之為橢圓系．本題可用共焦點橢圓系方程求解．
解：設所求橢圓方程為，將M點坐標代入得，解得或（舍去），故所求橢圓方程為．
點評：與橢圓有相同焦點的橢圓系方程為且．
三．改造設法之三：利用共離心率橢圓系，巧設橢圓方程．
例3．求經過點且與橢圓有相同離心率的橢圓標準方程．
分析：離心率，可由與的比值確定，故一組橢圓中，無論焦點在軸還是軸上，只要比值相等，它們的離心率就相同．本題可用共離心率橢圓系方程求解．
解：設所求橢圓方程為或，將M點坐標代入得或，解得或，故所求橢圓方程為或．
點評：與橢圓有相同離心率的橢圓系方程為(焦點在軸上)或（焦點在軸上）．
四．改造求解過程，體會知識靈活運用．
例4．求焦點為且過點的橢圓方程．21世紀教育網
常規解法：設所求橢圓方程為，則由題意得，消去得，整理得，解得或（舍去，因此時），于是，故所求橢圓方程為．
改造解法一：設所求橢圓方程為，由定義得，即，平方整理得，因，則，故所求橢圓方程為．
改造解法二：由題意，所求橢圓與共焦點，則由例題2知，可設方程為，將點坐標代入得，解之得，故所求橢圓方程為．
點評：常規解法中聯立方程組消元后，需要解一個4次方程，運算量較大，且容易出錯；而改造解法中，法一巧妙地運用定義，避免了繁瑣的運算，是一種可取的好方法；法二則運用共焦點橢圓系，簡化了求解過程，也很巧妙．21世紀教育網

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