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拋物線知識導學
　　一、拋物線的定義
　　平面內與一個定點和一條定直線距離相等的點的軌跡叫做拋物線．定點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線．
　　注意：拋物線的定義中涉及到一個定點和一條定直線，要求這個定點不能在定直線上，否則軌跡就不再是一條拋物線，而是一條直線（過定點且與定直線垂直的直線）．
　　二、拋物線的標準方程
　　1．拋物線的標準方程是指當拋物線在標準位置時的方程．所謂標準位置，就是指拋物線的頂點在坐標原點，拋物線的對稱軸為坐標軸．拋物線的標準方程有四種形式（拋物線標準方程的具體推導過程見教材）：
　　（1）焦點在x軸的正半軸上的拋物線的標準方程為，焦點坐標為，準線方程為，其開口方向向右；
　　（2）焦點在x軸的負半軸上的拋物線的標準方程為，焦點坐標為，準線方程為，其開口方向向左；
　　（3）焦點在y軸的正半軸上的拋物線的標準方程為，焦點坐標為，準線方程為，其開口方向向上；
　　（4）焦點在y軸的負半軸上的拋物線的標準方程為，焦點坐標為，準線方程為，其開口方向向下．
　　其中拋物線的標準方程中參數的幾何意義是拋物線的焦點到準線的距離．
　　注意：不要受二次函數的影響把拋物線方程記作類似的形式，應按本部分要求記作：．如求拋物線的焦點坐標，應先將方程寫成標準形式：，然后得其焦點坐標為．
　　2．拋物線的標準方程的求法是“先定型，后計算”．所謂“定型”是指確定類型，也就是確定拋物線的焦點所在的坐標軸是x軸還是y軸，是正半軸還是負半軸，從而設出相應的標準方程的形式，“計算”就是指根據題目的條件求出方程中參數p的值，從而得到拋物線的標準方程．
　　三、拋物線的幾何性質
　　1．拋物線的幾何性質見下表：
標準方程
對稱軸
軸
軸
頂點
原點
離心率
準線方程
范圍
軸右側
軸左側
軸上方
軸下方
　　其中拋物線的對稱軸也叫做拋物線的軸．
　　如右圖，拋物線標準方程為，焦點坐標為，過點作垂直于對稱軸（x軸）的直線交拋物線于兩點，計算得兩點坐標為，可知線段的長為定值，只與焦參數有關．線段叫做拋物線的通徑．
　　2．與橢圓、雙曲線的幾何性質比較，拋物線的幾何性質有下列特點：
　　（1）拋物線可以無限延伸，但無漸近線．
　　（2）拋物線只有一個頂點、一條對稱軸，并且沒有對稱中心，它不是中心對稱圖形，離心率為1，是固定的．
　　（3）拋物線的開口大小與離心率無關，與的大小有關，越大則開口越大，反之則越小．
　　（4）拋物線的焦點與準線分別在頂點的兩側，且它們到頂點的距離相等，均為．
拋物線中的思維誤區
一、對拋物線的定義模糊導致錯誤
例1 若動點P與定點和直線的距離相等，則動點P的軌跡是（ ）
Ａ．橢圓 　　　 Ｂ．雙曲線
Ｃ．拋物線 　　　 D．直線
誤：由拋物線的定義，可知選（C）．
析：拋物線的定義中，定點一定不在定直線上，而本題中的定點在定直線上．
正：設動點P的坐標為，則
．
整理，得．
所以動點P的軌跡為直線，選（D）．
二、忽視標準方程的種類導致錯誤
例2 求以原點為頂點，坐標為對稱軸，并且經過點的拋物線的標準方程．
誤：設拋物線，
將代入，得．
故拋物線的標準方程為．
析：錯解只考慮了拋物線方程的一種情況，應還有位于三、四象限時的拋物線方程.
正：還有一種情形設，
求得標準方程為．
所以滿足條件的拋物線的標準方程為或．
三、對直線與拋物線一個交點認識不清
例3 求過點且和拋物線僅有一個公共點的直線方程．
誤：設所求直線方程是．
由消去，得，
拋物線與所求的直線只有一個公共點，
，解得．
故所求的直線方程為．
析：由于過點的直線l的斜率可能存在，也可能不存在，同時拋物線與其對稱軸平行的直線與拋物線恒有一個交點的特性，從而漏了兩個解．
　　正：（1）當直線的斜率不存在時，其方程為，顯然與拋物線C僅有一個公共點．
　　（2）當直線的斜率為零，其方程為，顯然與拋物線C僅有一個公共點．
（3）當直線的斜率為，設所求直線方程是．
由消去，得，
拋物線與所求的直線只有一個公共點，
，解得．
故所求的直線方程為．
綜上可知，所求的直線方程為．
四、對于多解認識不清
　　例4　求頂點在原點，焦點在x軸上且通徑長為8的拋物線方程．
　　誤：∵拋物線頂點在原點，焦點在x軸上，
　　∴設拋物線方程為，焦點坐標為．
　　∵通徑，21世紀教育網
　　∴所求的拋物線方程為．
　　析：錯因只考慮到焦點在x軸正半軸的情形，而忽略了焦點也可能在x軸負半軸的情形，故產生了漏解．
　　正：∵拋物線頂點在原點，焦點在x軸上，可設拋物線方程為．
　　又通徑為，
　　∴．
　　故所求的拋物線方程為．
拋物線定義的應用
定義揭示了事物的屬性，不僅是我們理解事物的基礎，也是解決問題的重要工具．本文將介紹如何利用拋物線的定義解題，望對同學們有所幫助．21世紀教育網21世紀教育網
　　1、求最值
　　例1 設是拋物線上的一個動點，是焦點．
（1）求點到點的距離與點到直線的距離之和的最小值；
（2）若點的坐標為（3，2），求的最小值．
解析：（1）如圖1，易知拋物線的焦點為，準線是．由拋物線的定義知：點到直線的距離等于點到焦點的距離．于是，問題轉化為：在曲線上求一點，使點到點的距離與點到的距離之和最小．顯然，連結交拋物線于點．故最小值為，即為；
（2）如圖2，自點作垂直于準線，交點為，交拋物線于點，此時，，那么，即最小值為4．
點評：此題利用拋物線的定義，使拋物線上的點到準線的距離與點到焦點的距離相互轉化，再利用平面幾何中的知識，使問題獲解．
　　2、求曲線的方程
例2 圓心在拋物線上且與x軸及拋物線的準線都相切，求該圓的方程．
解析：如圖3，設圓心為且為切點，由，結合拋物線的定義知為拋物線的焦點，即，因此或，且圓的半徑．
故所求方程為或．
點評：本題利用拋物線的定義，可知切點與焦點重合，從而確定了點的坐標，使問題的求解變的很順暢．
　　3、確定方程的曲線
例3 方程表示的曲線是（ ）
　　Ａ．圓　　　　　Ｂ．橢圓
　　Ｃ．雙曲線　　　Ｄ．拋物線
解析：方程變形為．
　　它表示“點與點的距離等于它到直線的距離”，根據拋物線的定義知，的軌跡是拋物線．故選（D）．
點評：本題若直接化簡方程，再判斷其軌跡較繁雜，根據方程兩邊所表示的幾何意義，利用拋物線的定義則簡單易行．
　　4、求三角形面積
例4 設為拋物線的頂點，為拋物線的焦點且為過焦點的弦，若，，求的面積．
解析：如圖4，不妨設拋物線方程為，，
由拋物線定義知
．
由，，
得．
又由于為過焦點的弦，因此．
故，
因此，．
點評：將焦點弦分成兩段，利用定義將過焦點的弦長用兩端點橫坐標表示，結合方程，利用根與系數的關系是解題的基本思路．本題中計算三角形面積的技巧，是拋物線中經常用到的，需掌握．
拋物線的焦半徑公式
　　一、拋物線的焦半徑公式
　　如圖，設拋物線方程為，焦點為，準線的方程為．
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　　設為拋物線上任意一點，，A為垂足．
　　由拋物線定義，得．
　　即為拋物線的焦半徑公式．
　　拋物線中的許多問題用其求解，則簡捷方便．
　　二、焦半徑公式應用舉例
　　例１　設拋物線的焦點弦的兩個端點分別為和，若，那么______．
　　解：設焦點為，由，利用焦半徑公式，
得．
　　例2　拋物線上有三點，是它的焦點，若成等差數列，則（　　）
　　A．成等差數列
　　B．成等差數列
　　C．成等差數列
　　D．成等差數列
　　解：由拋物線的焦半徑公式，得
　　，，，
　　∵成等差數列，
　　∴，
　　∴，即成等差數列．故選（Ａ）．
　　例3　過拋物線的焦點的直線交拋物線于A、Ｂ兩點，已知，為坐標原點，則的重心的橫坐標是______．
　　解：設，原點，．
　　∵，
　　∴．
　　∴的重心的橫坐標是．
　　例4　設拋物線的焦點弦被焦點分為長是m和n的兩部分，求m和n的關系．
　　解：設拋物線的焦點弦的端點為，則，，焦點為，當直線的斜率存在時，設所在直線方程為，與拋物線方程聯立
　　消去y，得．
　　∴．
　　∴，
　　即．
　　當k不存在時，，．
　　綜上，有．

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