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向量在拋物線中的應(yīng)用
　　由于平面向量融數(shù)、形于一體，具有幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”，使它成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識的一個交匯點和聯(lián)系多項內(nèi)容的媒介．因此，向量的引入大大拓寬了我們解題的思路與方法，使它在研究許多問題時獲得廣泛的應(yīng)用．利用平面向量這個工具，可以簡捷、規(guī)范地處理數(shù)學(xué)中的許多問題．下面來介紹向量在拋物線中的應(yīng)用．
　　1．解決共線問題
　　例1　如圖1，設(shè)拋物線的焦點為F，經(jīng)過點F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線的準線上，且軸，證明：直線AC經(jīng)過原點．
　　證明：由拋物線方程，可得焦點21世紀教育網(wǎng)
，，準線為．
令
，A、F、B共線，
　　則可設(shè)，
　　所以有，
　　由軸，可得．
　　又由點A在拋物線上，得，
　　∵點在拋物線上，
　　，
　　從而，
　　即．
　　而，
　　所以，
　　即共線，也就是直線經(jīng)過原點．
　　評注：向量，，共線的充要條件為或．
　　2．探求動點的軌跡方程
　　例2　如圖2，設(shè)點A和點B為拋物線上原點以外的兩個動點，已知，．求點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線．
　　解：設(shè)．
　　所以有，，
，．
　　∵，∴，即，21世紀教育網(wǎng)
　　化簡，得．①
　　又，∴，即，
　　化簡，得．②
　　又A、M、B三點共線，所以，
　　即有，
　　即．③
　　將①、②代入③式，化簡整理，得
　?。?br/>　　因為A、B是異于原點的點，所以．[來源:21世紀教育網(wǎng)]
　　故點M的軌跡方程為，它表示以為圓心，以為半徑的圓（去原點）．21世紀教育網(wǎng)
　　評注：在動點的形成過程中，若包含了比較復(fù)雜的變化方式，用正常的解析幾何手段來解決往往顯得較為繁瑣，而靈活借助向量知識可達到化繁為簡的目的．
　　3．在證明中的應(yīng)用
　　例3　過拋物線的焦點F的直線與拋物線相交于A、B兩點，自A、B向準線作垂線，垂足分別為，求證：．
　　證明：顯然，設(shè)A、B兩點的縱坐標(biāo)分別為．
　　由教材第9題的結(jié)論，得，
　　則，
　　于是，．
　　故，
　　所以，即，即．
　　練習(xí)：（2005年全國高考天津卷理科試題）拋物線C的方程為，過拋物線C上一點作斜率為的兩條直線分別交拋物線C于、兩點（P、A、B三點互不相同），且滿足．
（1）求拋物線C的焦點坐標(biāo)和準線方程；21世紀教育網(wǎng)
（2）設(shè)直線AB上一點M，滿足，證明線段PM的中點在y軸上；
（3）當(dāng)時，若點P的坐標(biāo)為，求為鈍角時，點A的縱坐標(biāo)的取值范圍．
答案：（1）焦點坐標(biāo)為，準線方程為；
（2）證明略；（3）．

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