資源簡介

妙用雙曲線的焦半徑
　　雙曲線上任意一點到其焦點的距離稱為該點的焦半徑．已知點在雙曲線上，分別為雙曲線的左、右焦點，，．同理，焦點在y軸上的雙曲線的焦半徑為，，其中雙曲線的焦點自下至上為．
　　例1　已知是雙曲線（）的兩焦點，以線段為邊作正三角形，若邊的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解：如圖，的中點為，則P點的橫坐標，，又由焦半徑公式，
得，得，有，
　　解得（舍去），故選（D）．
　　點評：利用焦半徑建立關系式，得出關于e的方程，從而獲解．
　　例2　經過雙曲線的右焦點作傾斜角為的直線，與雙曲線交于A、Ｂ兩點，為左焦點，求的周長．
　　解：由雙曲線方程，得，，，．
　　設，則的方程為．[來源:21世紀教育網]
　　于是，消去y，得．
　　由根與系數的關系可求得．
　　∴．
　　∵，，
　　∴．
　　∴的周長為．
　　點評：的長度的求法是利用了弦長公式．
　　例3　在雙曲線的上支上有三點與的距離成等差數列．求證：的垂直平分線經過某一定點．
　　證明：，（是Ｂ點的縱坐標），．由已知，得，21世紀教育網
　　整理，得．
　　設的中點，其中．
　　又兩點在雙曲線上，于是
　　兩式相減整理，得．∴．
　　∴的垂直平分線方程為，
　　即，經過點．證得原命題成立．
　　點評：利用焦半徑，借助點差法，將垂直平分線方程化為點斜式從而獲解．
學習“雙曲線”的四點誤區
　　誤區一：缺乏對雙曲線定義的深刻理解，應用定義時考慮不深刻，不全面，導致錯誤
　　例1　動點P到兩定點的距離之差的絕對值為6，則動點P的軌跡為（　　）
　　A．橢圓　　　　　　B．雙曲線
　　C．雙曲線的一支　　D．無軌跡
　　示錯：選（B）．21世紀教育網
　　辨錯：上述解答是忽視雙曲線定義中的條件而導致錯誤的，因為6大于，所以無軌跡．
　　糾錯：選（D）．
　　例2 若一個動點到兩個定點的距離的差的絕對值為定值，試討論點P的軌跡方程．
　　示錯：由雙曲線定義可知：軌跡是以為焦點的雙曲線，其中，
　　∴方程為．
　　辨錯：利用雙曲線定義求軌跡方程時，一定要注意這個條件，若和、大小不定，必須討論．
　　糾錯：由已知得，
?。?）當時，軌跡是線段的垂直平分線，方程為．
?。?）當時，軌跡是以為焦點的雙曲線，其中，，
　　∴方程為．21世紀教育網
（3）當時，軌跡為兩條射線（）或（）．
　　誤區二：求雙曲線方程時，若焦點位置不能夠確定，則要寫出焦點在x軸、y軸兩種情況下的雙曲線的標準方程，不能遺漏
　　例3　求焦距為14，兩頂點間距離為12的雙曲線的標準方程．
　　示錯：∵，，∴，，．
　　∴雙曲線方程為．
　　辨錯：因為題中條件確定不了焦點位置，焦點在x軸和焦點在y軸的雙曲線的標準方程都適合題意，故所求的標準方程應有兩個．
　　糾錯：所求雙曲線方程為或．
　　誤區三：求雙曲線方程時要考慮適合條件的各種可能性，不要遺漏
　　例4　求漸近線方程為，焦點為橢圓的一對頂點的雙曲線方程．
　　示錯：設所求的雙曲線方程為．
　　∵雙曲線的焦點為橢圓的頂點．
　　∴，∴．
　　∴雙曲線方程為．
　　辨錯：因為雙曲線的焦點是橢圓的長軸頂點或短軸頂點不確定，所以雙曲線的焦點，還有可能是短軸的頂點．
　　糾錯：設所求雙曲線方程為，
　?、佼旊p曲線的焦點是橢圓長軸頂點時，可求雙曲線方程為-=1；
　　②當雙曲線的焦點是橢圓短軸頂點時，，
∴．
　　∴雙曲線方程為．
　　誤區四：忽視雙曲線的特殊性，缺乏全面考慮的解題習慣，誤用一些充要條件，是出現錯解的重要原因
　　例5　已知方程表示雙曲線，求的取值范圍．
　　示錯：原方程表示雙曲線的充要條件是，
即的取值范圍為．
　　辨錯：注意表示雙曲線的條件是，上面的解法是考慮問題不全面漏掉了且的情況．
　　糾錯：原方程表示雙曲線的充要條件是或或．
　　故的取值范圍為．21世紀教育網

展開更多......

收起↑