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復數中的幾個結論及共應用
數系由實數系擴充到復數系之后，實數系中哪些公式和法則仍然成立，哪些不成立，又有哪些新的公式和法則，是同學們不易弄清的問題，以下給出幾則在復數系中仍然成立的公式和法則及幾個新的公式和法則，并簡單舉例說明其應用.
　　一、中點公式：A點對應的復數為，點對應的復數為，點為兩點的中點，則點對應的復數為，即．21世紀教育網
　　例1　四邊形是復平面內的平行四邊形，三點對應的復數分別為，求點對應的復數．
　　解：由已知應用中點公式可得的中點對應的復數為，所以點對應的復數為．
　　二、根與系數的關系：若實系數方程的兩復根為，，則有，．
　　推論：若實系數方程有兩虛數根，則這兩個虛數根共軛．
　　例2　方程的一個根為，求實數，的值．
　　解：已知實系數方程的一個根為，由推論知方程的另一根為，由根與系數的關系可知，．
　　三、相關運算性質：①為實數，為純虛數；②對任意復數有；③；④，特別地有；⑤；⑥．
　　例3　設，且，求證為實數．
　　證明：由條件可知，則，
　　所以，，
　　所以為實數．
　　四、兩則幾何意義：①的幾何意義為點到點的距離；②中所對應的點為以復數所對應的點為圓心，半徑為的圓上的點．
　　例4　若，且，則的最小值為　　　　　．
解： 即，對應的點為到點的距離為定值1的所有的點，即以為圓心，1為半徑的圓上的點．即，為圓上的點與點之間的距離減去圓的半徑，可得結果為3．
復數與平行四邊形家族
菱形、矩形、正方形等特殊的平面幾何圖形與某些復數式之間存在某種聯系及相互轉化的途徑．在求解復數問題時，要善于考察條件中給定的或者是通過推理所得的復數形式的結構特征，往往能獲得簡捷明快、生動活潑的解決方法．下面略舉幾例，以供參考．
　　一、復數式與長方形的轉化
　　例1　復數，滿足，，證明：．
　　解析：設復數，在復平面上對應的點為，，由知，以，為鄰邊的平行四邊形為矩形，，故可設，所以．21世紀教育網
已知復數，滿足，，且，求與的值．
　　解析：設復數，在復平面上對應的點為，，由于，故，
　　故以，為鄰邊的平行四邊形是矩形，從而，則；．
　　21世紀教育網
二、復數式與正方形的轉化
　　例3　已知復數滿足，且，求證：．
　　證明：設復數在復平面上對應的點為，，由條件知，以，為鄰邊的平行四邊形為正方形，而在復平面上對應的向量為正方形的一條對角線，所以．
　　點評：復數與向量的對應關系賦予了復數的幾何意義，復數加法幾何意義的運用是本題考查的重點．
　　三、復數式與菱形的轉化
　　例4　已知，，，求．
　　解析：設復數，在復平面上對應的點為，由知，以，為鄰邊的平行四邊形是菱形，，，考慮到時，；時，無意義，故使為純虛數的充要條件是，且，．
　　復數的加減法符合平行四邊形法則，是復數與平行四邊形家族聯姻的前提．通過本文我們發現深入抓住復數加減法的幾何意義的本質，可使我們求解復數問題的思路更加廣闊，方法也更加靈活．
[來源:21世紀教育網]
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