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數系的擴充與復數的引入復習指導
『教材重點』：１．復數的相等，復數與實數以及虛數的關系，復數的幾何意義；２．復數的加減、乘除運算法則，以及復數加法、減法的幾何意義；３．體會數學思想方法－類比法．
　　　　　『教材難點』：復數的幾何意義，復數加法以及復數減法的幾何意義，復數的除法．
　『復習過程指導』
在復習本章時，我們重點從數學思想方法上勾通知識的內在聯系：(1)復數與實數、有理數的聯系；（2）復數的代數形式的加法、減法運算與平面向量的加法、減法運算的聯系；（3）復數的代數形式的加法、減法、乘法運算與多項式的加法、減法、乘法運算的聯系．
在知識上，在學法上，在思想方法上要使知識形成網絡，以增強記憶，培養自己的數學邏輯思維能力．其數學思想方法（類比法、化一般為特殊法）網絡如下：
　　　　　
多項式運算
類比
復數
運算
　類比
向量
運算
實數
運算
類比
數軸上向量運算
有理數
運算
　　　一．數學思想方法總結
1數學思想方法之一：類比法[21世紀教育網]
　（1）復數的運算
復數代數形式的加法、減法運算法則
　　　　　　
復數代數形式的乘法運算運算法則：
　　　　　　
顯然在運算法則上類似于多項式的加減法（合并同類項），以及多項式的乘法，這就給我們對復數的運算以及記憶帶來了極大的方便．
（2）復數的幾何意義
我們知道，實數與數軸上的點一一對應的；有序實數對與直角坐標平面內的點一一對應；類似的我們有：
復數集C＝與坐標系中的點集一一對應．于是：
復數集＝復平面內的點
　　　　　　復數集＝平面向量
例1．在復平面內，復數＋(1＋i)2對應的點
位于　( )
(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限
解答：復數＋(1＋i)2＝
　　　＝
因為復數對應著直角坐標平面內的點，
　　　　　故在第二象限，答案為B．
　　　　此題一方面考查了復數的運算能力，另一方面考察了對復數的幾何意義的理解．
例2．非零復數分別對應復平面內向量，若=
則向量與的關系必有（ ）
A ．= B． C ． D．共線
解答： 由向量的加法及減法可知：
　　　　　＝
　　　　　　　＝ 　　　　
由復數加法以及減法的幾何意義可知：
　對應的模
　對應的模
　　　　　　又因為=，且非零復數分別對應復平面內向量　
　　　　　　所以四邊形OACB是正方形
　　　　　　因此，故答案選B．
　　注：此題主要考察了復數加法以及減法的幾何意義
（3）復數的化簡
虛數除法運算的分母“實數化”，類似的有實數運算的分母“有理化”．
例３若復數（∈R，i為虛數單位）是純虛數，則實數的值為
（A）-2 　 　 (B)4 　　(C) -6 　 (D)6
解答：由＝＝
＝　
　因為復數是純虛數
　　　　所以且
　　　　解得
　　　　故答案選C．
　　注：這里在復數的化簡中主要用了一對共軛復數的積是實數＝５，一般地（）（）＝
　　這也是一個復數與實數轉化的過程，即是純虛數可得：且，
2．數學思想方法之二　　轉化法
　　　　　我們知道在運算上，高次方程要轉化為低次方程，多元方程要轉化為一元方程進行運算；實數的運算要轉化為有理數的運算；類似地，有關虛數的運算要轉化為實數的運算．
　　　　　基礎知識：復數
例４若 , ，且為純虛數，則
實數a的值為 ．
　解答：＝＝
因為為純虛數
所以且．解得
　　　例５．設、、、，若為實數，則，
（A）（B）
（C）（D）
　解答：　由　　
　　　因為 為實數，
　　　所以其虛部，即
　　　故答案選C．
這里先把分母“實數化”，即分子以及分母同乘以分母的“實數化”因式．21世紀教育網
類似于以前所學的實數化簡時的把分母“有理化”．再把它轉化為實數的運算．
　　二．解題規律總結
　　　１有關虛數單位的運算及拓展
虛數的乘方及其規律：，＝－１，，，……（）
拓展（1）任何相鄰四個數的和為０；
　　（2）指數成等差的四個數的和為０；　
例如：＝０
　　　　　　　　（3）連續多個數相加的規律．　
　　　　　　　 例6．求…的值
　　　　　解答：共有2006－10＋１＝１997項
　　　　　　由于1997＝4499＋1
　　　　　　由于連續4個的和等于0
　　　　　　因此原式＝＝－121世紀教育網
　2．有關復數的幾個常用化簡式
，，
例7．　　　　（　　）
A．　　B．－　　C．　　D．－
　　　解答：
　　　　　故答案選A
　　　　　　3．有關復數的綜合運算
　　　　　例７、（本題滿分12分）在復數范圍內解方程（為虛數單位）
　　解法一．設，則
　　　由于
　　　＝＝
所以＝
　　　根據復數的相等得
　　　解得
　　　因此，即為所求．
　　　　　　　解題評注：（1）設復數的代數形式（）以代入法解題的一種基本而常用的方法；（2）復數的相等（＝　　）是實現復數運算轉化為實數運算的重要方法．這兩種方法必須切實掌握；
　　　　　三．高考命題趨勢
　從新教材的特點來看，高考題的難度不會大，主要以客觀題的形式考察基礎知識．以上結合高考題給出了復習的方法，以及重點難點，希望同學們結合數學思想方法，使知識形成網絡，系統全面的掌握所學知識．
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