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直接證明與間接證明精析
　　在數(shù)學(xué)中，證明是引用一些真實(shí)的命題來(lái)確定某命題真實(shí)性的思維形式．?dāng)?shù)學(xué)常用的證明方法有直接證明與間接證明．
　　1．直接證明
　　直接從原命題的條件逐步推得命題成立的，這種證明通常稱(chēng)為直接證明．常用的直接證明方法有綜合法與分析法．
　　（1）綜合法與分析法要點(diǎn)解析表
　　（2）對(duì)分析法證題的說(shuō)明
　　“若Ａ成立，則Ｂ成立”，此命題用分析法證明的步驟如下：要證明（或?yàn)榱俗C明）Ｂ成立，只需證明成立（是Ｂ成立的充分條件），要證成立，只需證明成立（是成立的充分條件），…，要證明成立，只需證明A成立（A是成立的充分條件），∵A成立，∴B成立．
注：①每一步都是尋求充分不必要條件或充要條件，但絕不能是必要不充分條件；
②在尋求充分條件時(shí)，起調(diào)控方向作用的是本題條件．即在一系列可以證明結(jié)論的條件中，與本題條件較為接近的條件，才是我們所需要的；
　　③“只需證明”、“為了證明”、“∵A成立，∴B成立”類(lèi)似這些語(yǔ)言必須有，而且要用它們把每一步連結(jié)起來(lái)．
　　（3）綜合法和分析法的優(yōu)缺點(diǎn)
　　分析法容易探路，且探路與表述合一，缺點(diǎn)是表述繁瑣，且容易出錯(cuò)．
綜合法條理清晰，宜于表述，缺點(diǎn)是探路艱難，易生枝節(jié)．
　　因此，在實(shí)際解題時(shí)，常把二者交互使用，互補(bǔ)優(yōu)缺，形成了分析綜合法．先以分析法為主尋求解題思路，再用綜合法有條理地表述過(guò)程．對(duì)于較復(fù)雜的問(wèn)題，可以采用兩頭湊的辦法，即通過(guò)分析法找出某個(gè)與結(jié)論等價(jià)（或充分）的中間結(jié)論，然后通過(guò)綜合法由條件證明這個(gè)中間結(jié)論，則原命題得證．
　　2．間接證明
　　不是從正面論證命題的真實(shí)性，而是考慮證明它的等價(jià)命題，間接地達(dá)到目的．常見(jiàn)的間接證明方法是反證法．
　　反證法是一種常用的間接證明方法．用反證法證明命題“若p則q”的過(guò)程可以用以下框圖表示：
　　應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)命題，一般有下面三個(gè)步驟：
　　（1）反設(shè)———假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假定原結(jié)論的反面為真；
　　（2）歸謬———從反設(shè)和已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結(jié)果；
　　（3）存真———由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不真，從而肯定原結(jié)論成立．
　　注：①反設(shè)要準(zhǔn)確，即取結(jié)論的否定形式時(shí)要準(zhǔn)確，有些否定形式需注意全稱(chēng)量詞與特稱(chēng)量詞的相互轉(zhuǎn)換．
　　②所說(shuō)的矛盾結(jié)果，通常是指推出的結(jié)果與公理、定義、定理、條件矛盾或與臨時(shí)假定矛盾，以及自相矛盾等各種情況．
反證法往往用于解決正面解決較為困難的問(wèn)題（正難則反）或需分多種情況討論的問(wèn)題（如至多、至少等問(wèn)題）等．
反證法中的“特殊化”
　　反證法是一種重要的證明方法．反證法的難點(diǎn)在于提出與結(jié)論相反的假設(shè)后，如何合理地展開(kāi)思路，以便盡快凸現(xiàn)矛盾．筆者認(rèn)為，“特殊化”有時(shí)是反證法得以成功的一個(gè)重要突破口．
　　一、特殊值
　　巧合的數(shù)目，特殊的數(shù)字，個(gè)性化的特征，看似純屬偶然，但往往蘊(yùn)含著正確解法的必然．
　　例1　設(shè)、是定義上的函數(shù)．證明：存在、，使得．
　　分析：要找出具體的、，難以下手，不妨考慮用反證法．21世紀(jì)教育網(wǎng)
　　證明：假設(shè)這樣的、不存在．取特殊值，，得．
　　同理，，，．21世紀(jì)教育網(wǎng)
　　故，
　　這是不可能的．
　　因此，原命題成立．
　　注：本題反復(fù)利用與這兩個(gè)特殊值，并進(jìn)行湊配，從而推得矛盾“”．
　　二、特殊運(yùn)算
　　某些相對(duì)獨(dú)立的對(duì)象各有各的特點(diǎn)，不足以發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，而當(dāng)通過(guò)特殊運(yùn)算使之形成一個(gè)整體時(shí)，矛盾便暴露無(wú)遺了．
　　1．求和
　　例2　今有有限個(gè)砝碼，它們的總重量是，將它們分別編號(hào)為．證明：從這有限個(gè)砝碼中必可找出一個(gè)編號(hào)為的砝碼，它的重量大于．
　　證明：假設(shè)不存在這樣一個(gè)編號(hào)，使得相應(yīng)的砝碼重量．
　　設(shè)共有個(gè)砝碼，．
　　從而，有，，，．21世紀(jì)教育網(wǎng)
　　累加求和，得，矛盾 ．
　　因此，原命題成立．21世紀(jì)教育網(wǎng)
　　2．求積
　　例3　證明：任何三個(gè)實(shí)數(shù)都不可能同時(shí)滿足下列三個(gè)不等式：，，．
　　分析：本題要證明所有的對(duì)象都具有同一性質(zhì)，無(wú)法從正面考慮，宜用反證法．
　　證明：假設(shè)存在三個(gè)實(shí)數(shù)同時(shí)滿足題設(shè)的三個(gè)不等式．將它們的兩端都同時(shí)平方，然后分別移項(xiàng)、分解因式得
，　　①
　　，　　②
　　． 　 ③
　　①②③得，這顯然是不可能的．
　　因此，原命題成立．
　　注：本題所得到的三個(gè)不等式，單獨(dú)看哪一個(gè)都看不出有什么毛病，而一旦把它們求積，矛盾便凸現(xiàn)在眼前了．21世紀(jì)教育網(wǎng)

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