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《推理與證明》中的數(shù)學(xué)思想
有關(guān)《推理與證明》中的問題蘊含著許多數(shù)學(xué)思想，若根據(jù)題設(shè)特點，靈活地運用相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想，往往能迅速找到解題思路，從而使問題簡捷、準(zhǔn)確地獲解．
一、類比思想
所謂類比思想就是根據(jù)兩個對象之間一部分屬性相同或相似，從而推斷出這兩個對象之間的另外一些屬性也可能相同或相似的一種思維形式．“由特殊到一般”是解決這類問題的思維主線．
例1　已知，且．
求證：．
分析：我們可先把它類比為一簡單題目：“已知，，且，求證：．”該題的證明思路為：∵，∴，則，即，∴．這一證明過程中用到了基本不等式和配方法，這正是要尋找的證明原命題的思路和方法．
證明：由基本不等式有，
則，
∴，21世紀(jì)教育網(wǎng)
即．
∴．
二、轉(zhuǎn)化思想
轉(zhuǎn)化思想就是在解決數(shù)學(xué)問題時，將有待解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化，歸結(jié)為一個已經(jīng)解決或比較容易解決的問題，并通過對這一問題的解答返回去求得原問題的解答．例如分析法是證明命題的一種方法，當(dāng)問題直接證明思路不明顯時，常常考慮運用分析法．而運用分析法解題的關(guān)鍵是將結(jié)論適當(dāng)轉(zhuǎn)化．
例2　設(shè)實數(shù)滿足，若，求證：．
分析：直接證明思路不明顯，因此可以先結(jié)合條件將結(jié)論適當(dāng)轉(zhuǎn)化．由，只需轉(zhuǎn)化為證．又，因此只需轉(zhuǎn)化為證明．再由轉(zhuǎn)化為證明．因此運用分析法即可簡捷得證．
證明：要證，
因為，所以只需證，
又，因此只需證，
只需證，即證．　①
①式顯然成立． 故原不等式成立．
點評：本題在尋找使結(jié)論成立的條件①時，是先根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，將對數(shù)不等式、指數(shù)不等式逐步轉(zhuǎn)化為①，從而把問題化難為易．
三、正難則反思想
有些問題當(dāng)從正面求解繁瑣或無法求解時，可從其反面進(jìn)行思考，通過否定結(jié)論的反面來肯定結(jié)論正確，這就是正難則反的思想．運用這一數(shù)學(xué)思想解決問題，往往能收到化難為易、化繁為簡的奇效．反證法就是“正難則反”的一種證明方法，它不是直接證明命題結(jié)論正確，而是通過證明結(jié)論反面不正確來說明結(jié)論的正確性．因而對于那些“結(jié)論的反面”比結(jié)論本身更具體、更明確、更簡單的命題，則適宜用反證法來證．
例3　設(shè)函數(shù)的定義域是區(qū)間，，且對、，，均有，求證：對、，，均有．
分析：因直接證明較為困難，于是考慮使用反證法．21世紀(jì)教育網(wǎng)
證明：假設(shè)、，，使得．21世紀(jì)教育網(wǎng)
不妨設(shè)，21世紀(jì)教育網(wǎng)
則21世紀(jì)教育網(wǎng)
．
所以．
又由條件可得．
這與假設(shè)矛盾，故原命題成立．
點評：運用反證法證題時，須注意三點：
　　（1）必須周密考察原結(jié)論，防止否定有所遺漏；
　　（2）推理過程必須完全正確，否則不能判定非命題是錯誤的；
　　（3）在推理過程中，可以使用已知條件，推出的矛盾必須很明確、毫不含糊．
四、歸納遞推思想
歸納遞推思想就是在解決問題時，從特殊情況入手，通過觀察、分析、概括，猜想出一般性結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法予以證明．這一數(shù)學(xué)思想方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數(shù)有關(guān)的命題時有著廣泛的應(yīng)用．其思維模式是“觀察———歸納———猜想———證明”，解題的關(guān)鍵在于正確的歸納猜想．
例4　已知點的序列，，其中，，是線段的中點，是線段的中點，，是線段的中點，．
（1）寫出與、之間的關(guān)系式；
（2）設(shè)，計算，，，由此推測數(shù)列的通項公式．
分析：利用遞推公式及歸納猜想是解題的關(guān)鍵．
解：（1）當(dāng)時，；
（2）；；
；
由此推測：（可用數(shù)學(xué)歸納法證明）．

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