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數學歸納法證明的幾種常用方法
　　用數學歸納法證明一個與自然數n有關的命題時，第二步是十分關鍵的步驟．怎樣才能從順利地過渡到呢？下面介紹幾種常用方法．
　　一、恰當放縮
　　例１　已知n是大于1的自然數，，求證：．
　　分析：由已知可看到的形式很繁鎖，并且要證結論為不等式，則可聯想不等式的性質對其適當放縮，從而證得原命題．
　　證明：（1）當時，，所以不等式成立．
　?。?）假設當（，且）時，成立，則當時，有21世紀教育網
。
　　所以當時原不等式也成立．
　　由（1）和（2），可知原不等式對任何大于1的自然數n都成立．
　　二、起點后移
　　例2　已知，求證：．
　　分析：可結合不等式關系：來證明，但注意要將奠基的起點后移，即在第一步證明中，不僅要證明時原不等式成立，還要證明當時，原不等式也成立．
　　證明：（1）當時，原不等式顯然成立，21世紀教育網
　　當時，不等式左邊，
　　右邊，則左邊＞右邊，
　　∴當時，原不等式成立．
　?。?）假設當時，成立，
則時，
　　
．
　　所以當時原不等式也成立．
　　由（1）和（2），可知原不等式對任何都成立．
　　三、增加跨度
　　例3　試證：任何一個正方形都可以分割成5個以上的任意多個正方形．21世紀教育網
　　分析：一個正方形分割成4個正方形是很容易的．由此猜想：若能把一個正方形分割成k個正方形，則必能分割成個正方形．故第一步應對的情形加以驗證．第二步，則只需從k遞推到k+3．
　　證明：（1）當時，由以下各圖所示的分割方法知，命題成立．
　?。?）假設當時命題成立，即一個正方形必能分割成k個正方形．那么，只要把其中任意一個正方形兩組對邊的中點分別連結起來，即把該正方形再分割成4個小正方形，則正方形的個數就增加了3個．因而原正方形就分割成了個正方形，即當時命題也成立．
　　因為任何一個大于5的自然數n都可以表示成中的一種形式，所以根據（1）和（2），可知命題對任何大于5的自然數n都成立．
　　四、強化命題
　　例4　已知，定義，且．試證明：對一切，都有．
　　分析：顯然有，但若假設，則很難由遞推公式推得．為此，必須知道小于什么數值才行．
　　其實，要使，即，只須．所以本題可轉化為證明如下更強的不等式：[來源:21世紀教育網]
　　．①
　　證明：（1）當時，顯然有．
　　又因為，
　　所以．
　?。?）假設當時，成立，則有
　　，21世紀教育網
　　，
　　所以，即當時不等式①也成立．
　　由（1）和（2），可知對任何，不等式①都成立，從而原命題獲證．
注意：除了上述四種常用方法外，還有拆項添項、作差（作商）等方法．同學們在證明過程中，要結合題目特點，靈活運用．
蘇教選修（2-2）2.3數學歸納法導學
　　一、數學歸納法的原理及其概念
　　如果（1）當n取第一個值（例如等）時結論正確；
　?。?）假設當（，且）時結論正確，證明當時結論也正確；
　　那么，命題對于從開始的所有正整數n都成立．
　　這就是數學歸納法公理，它是證明與自然數有關的命題的依據．
　　補充說明：（1）數學歸納法適用于與正整數有關的問題，常用來證明用不完全歸納得到的結論．要有強烈的數學歸納法與正整數之間的對應意識，做到看到有關正整數的證明問題，馬上想到是否可以用數學歸納法來證明．
　?。?）“數學歸納法”與“歸納法”不同，“歸納法”是由一系列有限的特殊事例得出一般結論的推理方法，而“數學歸納法”是一種有關正整數問題的證明方法．“歸納法”通常可分為完全歸納法和不完全歸納法，其中完全歸納法的結論是正確的，而不完全歸納法得出的結論則不一定正確．而用“數學歸納法”證明的結論必是正確的．
　　二、用數學歸納法證題的兩個步驟及其作用
　　數學歸納法的定義即是證題的步驟，在證明過程中必須按步驟進行．其中，第一步是奠基步驟，是論證命題成立的基礎保證，也稱為歸納基礎（又稱特殊性）；第二步是遞推步驟，是解決命題具有后繼傳遞性的保證（又稱延續性），即只要命題對于某個正整數成立，就能保證該命題對于后續正整數都成立．這兩個步驟相輔相成，缺一不可．
　　三、證明中應注意的幾個問題
　　1．數學歸納法第一步中的“第一個數”不一定就是“1”，也可能是“2”或其它數，要根據題意準確選擇．
　　2．注意n與k的不同，理解和書寫時不要弄混．
　　3．第二步中要準確把握由到時，要證明的結論中到底需要添加（或舍去）哪些項，如用數學歸納法證明某數列問題時，當時有，則n＝k＋1時有Ｓk+1=+++…＋+++…＋，不要弄錯．
　　4．在證明第二步命題成立時，必須使用歸納假設，否則就不是數學歸納法．在初學數學歸納法時常易犯不用歸納假設，而直接運用相關公式（如數列的有關公式）的錯誤，需特別注意．應通過例題和習題體會和練習怎樣使用歸納假設，通過錯例分析體會怎樣避免不用歸納假設的情況．
　　5．數學歸納法的關鍵在第二步，要能真正地證明結論正確才行，切忌證不出而直接說結論成立．證明過程可以用綜合法，也可以用分析法或其它方法．為證n=k+1時結論成立，對條件和結論進行各種各樣的恒等變形是必要的和必須的，常見變形技巧有提公因式、配方（可參閱課本）、恰當放縮、起點后移、增加跨度、強化命題、添項拆項等（可參閱第四版文章《幫你順利“過渡”》）．另外，不妨先把時的結論寫出來，為證明提供方向．
　　6．數學歸納法中的兩步缺一不可，否則結論不能成立．只有第一步，只能證明特殊情況，無法延續；只有第二步，沒有奠基，可能會推出錯誤的結論．

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