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數學歸納法的應用
　　數學歸納法是高中數學中一種重要的數學方法，常常以觀察、試驗、類比、聯想、歸納提出合理的科學猜想，通過數學歸納法的證明可以保證猜想的合理性與正確性．廣泛的用來證明等式、不等式、整除性問題等與自然數有關的命題．下面舉例說明數學歸納法的幾種應用．
　　一、等式問題
　　例1　已知，求證：．
　　證明：（1）當時，等式左邊，右邊，等式成立．
　　（2）假設當時，命題成立．即
　　．
　　則當時，
　　


。
　　∴當時，等式成立．
　　綜上，由（1）和（2）可知，對于任何，等式成立．
　　評注：本題在證明過程中突出了一個湊字，即“湊”結論，關鍵是明確時證明的目標，充分考慮由到時，命題形式之間的區別和聯系．
　　二、不等式問題
　　例2　求證：．
　　證明：（1）當n=2時，左邊，不等式成立．
　　（2）假設當時命題成立，即．
　　則當時，
　　
，
　　所以當時不等式也成立．
　　由（1）和（2）可知，原不等式對一切，均成立．
　　評注：本題在由到時的推證過程中應用了“放縮”的技巧，使問題簡單化，這是利用數學歸納法證明不等式時常用的方法之一．
　　三、整除性問題
　　例3　利用數學歸納法證明能被9整除．
　　證明：（1）當n=1時，（3×1＋1）×７1－1＝2７，能被9整除，所以命題成立．
　　（2）假設當時命題成立，即能被9整除．
　　那么當時，
　　
．
　　由歸納假設知，能被9整除，而也能被9整除，故能被9整除．
　　這就是說，當時，命題也成立．21世紀教育網
　　由（1）和（2）可知，對一切，都能被9整除．
評注：涉及整除問題，常利用提取公因式湊成假設、湊出整除式等方法，其中等價變換的技巧性較強．
歸納 猜想 證明
　　“歸納——猜想——證明”是一種重要的思維模式，也是數學歸納法應用的重點題型．解這類問題，需從特殊情況入手，通過觀察、分析、歸納、概括、猜想出一般規律，然后用數學歸納法證明．其中解題的關鍵在于正確的歸納猜想，下面舉例說明．
　　例1　是否存在常數a、b、c，使得等式對一切成立？并證明你的結論．21世紀教育網
　　分析：可先進行計算，找到a、b、c的值，再歸納猜想，最后證明．
　　解：假設存在常數a、b、c使上式對均成立，
　　則當時上式顯然也成立，此時可得
　　，
　　解此方程組，可得．
　　下面用數學歸納法證明等式對一切均成立．
　　當時，命題顯然成立．
　　假設時，命題成立．
　　即，
　　那么當時，
　　
[來源:21世紀教育網]
．
　　即當時，命題成立．
　　綜上所述，存在常數，
使得等式對一切均成立．
　　例2　數列滿足，前n項和，求數列的通項公式．
　　分析：該題未給出猜想信息，可先創造條件得出結論，再證明．
　　解：∵，∴．
　　由變形整理，得，
　　取正根，得，
　　由及，得
　　，變形整理，得，
　　取正根，得．
　　同理，求得．
　　由此猜想．
　　下面用數學歸納法證明：
　　（1）當時，上面已求出，結論成立．
　　（2）假設當，時，結論成立，即．
　　那么當時，
，
　　整理，得，取正根，得，
　　故時，結論成立．
　　由（1）和（2），可知對任何，成立．
　　例3　已知是定義在上的不恒為零的函數，且對任意的都滿足：，若，，求證：．
　　分析：用歸納的思想方法，通過賦值、計算、猜想、證明四步完成．
　　證明：∵對任意都成立，
　　∴對于
　　當時，；
　　當時，；
　　當時，；
　　…，
　　猜想．（※）
　　下面用數學歸納法證明：
　　（1）當時，，（※）式成立．
　　（2）假設時，（※）式成立，即，
　　當時，
，
　　∴時，（※）式成立．
　　由（1）和（2），可知對任何，成立．
　　所以．
　　要證明結論成立，只需證明．
　　∵，
　　∴成立．
斐波那契級數
　　1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，在這些數中，從第3項開始，每一個數都是它前面的兩個數的和，例如，，等等，這就是著名的斐波那契級數．
　　斐波那契級數出現在意大利數學家斐波那契（Fibonacci，1174～1250）在1202年所著的《算盤書》中．書中是這樣提出問題的：
　　如果每對兔子每月能繁殖一對子兔，而子兔在出生后第二個月就有生殖能力，第三個月就生產一對兔子，以后每個月生產一對，假定每對兔子都是一雌一雄．試問一對兔子一年能繁殖多少對兔子？
　　由這個問題得出的序列就是上面列出的序列．出人意料的是，這個序列在許多場合都出現．因此，我們需要對它作些探討．序列中的每一個數叫做斐波那契數．若第n個斐波那契數記為，則我們有，，，，，…．21世紀教育網
　　這個序列有下面的遞推關系
　　．
　　斐波那契數的通項公式是21世紀教育網
　　．①
　　這個公式是法國數學家比內（Binet）求出的．我們用數學歸納法證明它．
　　斐波那契級數的構造法告訴我們，從第3項開始，它的每一項都是前兩項之和，并且只有在給定了開頭的兩項之后，整個級數才能確定．所以在使用數學歸納法證明公式①時，需要對數學歸納法的基本程序作變動：
　　（1）公式①對，這兩種情況都正確；
　　（2）假定公式①對一切都成立，證明它對也正確．
　　證明：（1）為了下面的證明，我們需要算出
　　．②
　　類似地，，③
　　從而，．
　　（2）當時，
．
　　（3）當時，
．
　　這就證明了當和時公式①是正確的．
　　（4）設n是任意自然數，并假定公式①對一切都成立，證明它對正確．根據斐波那契數的定義，我們有



　　由②③，得
　　
，
　　原命題得證．
　　斐波那契數是大自然的一個基本模式，它出現在許多場合．在花的花瓣中存在斐波那契模式．幾乎所有的花，其花瓣都是斐波那契數．例如百合花的花瓣有3瓣；梅花有5瓣；許多翠雀屬植物有8瓣；萬壽菊的花有13瓣；紫菀屬的植物有21瓣；大多數雛菊有34、55、89瓣．在向日葵的花盤內葵花子的螺旋模式中也可以發現斐波那契級數．

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