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類比推理分類例析
　　類比推理是各種邏輯思維方法中最富于創造性的一種方法．這是因為類比推理不象歸納推理那樣局限于同類事物，也不象演繹推理那樣受到一般原理的嚴格制約．它可以跨越各類事物的界限，進行不同事物的類比，既可以比較事物的非本質屬性（如形式和研究方法），又可以比較事物的本質屬性．現例析如下：
　　一、外在形式和表面現象的類比
　　例1　在中，兩直角邊，，斜邊上的高為，則．
該結論的證明很簡單．類比它，在立體幾何中有何發現？
解：我們猜想，在立體幾何中，也有類似的一個公式：
在三棱錐中，若三條側棱、、兩兩垂直，且長度分別為，頂點到底面的距離，則．
證明如下：如圖1，連結并延長交于點，連結，
∵，，
∴平面，
∴，．
∵平面，∴，
∴平面，∴．
∵，
∴在中，，
在中，．
∴，
即．
結論中的三條側棱兩兩垂直，可等價變為三個側面兩兩垂直．
　　評注：本題是從二維平面到三維空間的一個升維類比，僅從形式上就可得出類比的結論，正確與否必須證明．
例2　已知橢圓具有性質：若是橢圓上關于原點對稱的兩個點，點是橢圓上除點外的任一點，當直線的斜率都存在，并記為、時，那么與之積是與點位置無關的定值．試對雙曲線寫出類似的性質，并加以證明．
　　解：類似性質為：若是雙曲線上關于原點對稱的兩個點，是雙曲線上除點外的任一點，當直線的斜率都存在，并記為、時，那么與之積是與點位置無關的定值．
　　證明如下：設點，，則． 21世紀教育網
　　∵點在雙曲線上，∴，．
　　故（定值）．
　　評注：本題是由橢圓到雙曲線的同級類比，僅從表面形式上便可得出類比的結論，敘述時要與原結論保持形式上的一致．21世紀教育網
　　二、研究方法上的類比
　　例3　已知命題：“若數列為等差數列，且，，則．”現已知數列為等比數列，且，，若類比上述結論，則可得到_ ____．
　　解：設公差為，則，
　　∴．
　　類比此推導方法易知：設公比為，
　　由知，，
　　∴，∴．
　　故應填．
　　評注：本題從形式上難以類比出結論，但從已知結論的推導方法上不難類比得到等比數列的推導方法，從而推導出結論．所以本題更加注重研究方法和思路上的類比．
　　三、本質上的類比
　　例4　如圖2所示，圓心在原點，半徑為的圓交軸正半軸于點、是圓上兩個動點，它們同時從點出發沿圓周作勻速運動，點逆時針方向每秒轉，點順時針方向每秒轉，試求它們第5次相遇時各自轉過的弧度數．
　　解：由點的角速度分別為弧度/秒，弧度/秒，易知第5次相遇點共轉過了5周，即弧度，設時間為秒，由知，（秒），所以轉過的弧度數分別為（弧度），（弧度）．
評注：本題是圓周上的相向運動．類比直線上相向運動的本質規律：距離之和＝速度之和×時間，易得圓周上相向運動的本質規律：角的弧度數之和＝角速度之和×時間，貌似復雜的問題抓住本質就可迎刃而解．
演繹推理“防疫站”
　　防疫一：偷換論題
　　例1　求證：四邊形的內角和等于360°．
　　證明：設四邊形是矩形，則它的四個角都是直角，21世紀教育網
有，
　　所以，四邊形的內角和等于．
　　剖析：上述推理過程是錯誤的，犯了偷換論題的錯誤．在證明過程中，把論題中的四邊形改為了矩形．21世紀教育網
　　防疫二：虛假論據
　　例2　已知和是無理數，試證：＋也是無理數．
　　證明：依題設和是無理數，
　　而無理數與無理數的和是無理數，
　　所以＋也是無理數．21世紀教育網
　　剖析：上述推理過程是錯誤的，犯了虛假論據的錯誤．使用的論據是“無理數與無理數的和是無理數”，這個論據是假的，因為兩個無理數的和不一定是無理數．
　　防疫三：循環論證
　　例3　在中，，求證：．
　　證明：因為，，
　　所以．
　　剖析：上述推理過程是錯誤的，犯了循環論證的錯誤．本題的論證就是人們熟知的勾股定理．上述證明中用了“”這個公式，按照現行中學教材系統，這個公式是由勾股定理推出來的，這就間接地用待證命題的真實性作為證明的論據，犯了循環論證的錯誤．
　　防疫四：推理錯誤
設，且，，．
求證：．
　　證明：因為
　　
，
　　所以．
　　剖析：上述推理過程是錯誤的，犯了不能推出的錯誤．因為只能推出（）．至于關系式是否惟一地成立，卻無法斷定．因此，只有進一步推出，即，原題才能得證．

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