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聚焦高考導數的“交匯點”
　　導數為許多數學問題的研究開辟了新途徑，也是中學數學的一個新的知識“交匯點”，導數與函數、數列、不等式的綜合題成為各類考試中考查的一個新熱點．本文將該部分高考試題作一歸納總結，供參考．
　　一、導數與集合的交匯
　　例1　設函數，集合，，若，則實數a的取值范圍是（　　）
　　（Ａ）　　　　　（Ｂ）
　　（Ｃ）　　　　（D）
　　解析：，化簡可得
　　當時，；
　　當時，；
　　當時，．
　　，，
　　當時，；
　　當時，；
　　當時，且．
　　∵，∴．故選（Ｃ）．
　　點評：本題以集合為載體，主要考查了不等式和導數的商的求導法則（），同時也考查了集合的運算．
　　二、導數與不等式的交匯
　　例2　對于上可導的任意函數，若滿足，則必有（　　）
　　（Ａ）　　 　 （Ｂ）
　　（Ｃ）　　　（Ｄ）
　　解析：若函數為常數函數，則（Ａ）、（Ｄ）不對，21世紀教育網
　　若不為常數函數，
　　則時，單調遞增；時，單調遞減．
　　∴時，為極小值，也為最小值，
　　∴．故選（Ｃ）．
　　點評：本題考查了利用導數討論函數的單調性，及求函數的極值和最值還有不等式．
　　三、導數與三角函數的交匯
　　例3　設函數．
若是奇函數，則_____．
　　解析：∵，
　　

．
　　要使為奇函數，須且僅須，即．
　　又，所以k只能取0，從而．
　　點評：本題是以導數為背景，結合三角函數化簡求值等有關知識進行考查．
　　四、導數與函數、不等式的交匯
　　例4　已知函數，的導函數是，對任意兩個不相等的正數，證明：（1）略；（2）當時，，
　　證明：（1）略；
　　（2）由，得，
　　∴
．
　　．
　　∵是兩個不相等的正數，
　　∴，
　　設，，
　　則，列表：
減函數
極小值
增函數
　　∴，即，
　　∴．21世紀教育網
　　即對任意兩個不相等的正數 ，恒有．
點評：本小題主要考查導數的基本性質和應用，函數的性質和平均值不等式等知識及綜合分析、推理論證的能力，以導數為工具，解答函數、不等式綜合問題已成為高考中一道亮麗的風景線．
運用導數巧定參
　　求參數的值或取值范圍問題，是高中數學的重要內容，也是歷年高考數學命題的熱點．將這類問題滲透到導數應用中，通過已知函數的單調性、極值或最值確定參數的值或取值范圍，是導數的逆向應用，是導數應用的一大亮點，也充分展現了導數應用的活力．下面舉例說明．
　　一、由函數的單調性確定參數
　　例１　已知函數，是否存在實數a，使在上單調遞減？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由．
　　分析：由在上單調遞減，知在上的導數，由此表示出x，利用x的取值范圍來確定a的取值范圍．
　　解：由在上單調遞減，可得在區間上的導數，即恒成立．
　　∵，∴，∴只需．
　　當時，，在上，
　　即在上為減函數，∴．
　　點評：在已知函數是增函數（或減函數）求參數的取值范圍時，應令（或）恒成立，解出參數的取值范圍（一般可用不等式恒成立理論求解），然后檢驗參數的取值能否使恒等于0，若恒等于０，則參數的這個值應舍去；若不恒為０，則由（或）恒成立解出的參數的取值范圍確定．
　　二、由函數的極值確定參數
　　例2　已知在時取得極值，且，試求常數a、b、c的值．
　　分析：通過極值點與導數的關系，函數的極值點為的根，建立起相關等式，運用待定系數法求得參數a、b、c的值．
　　解：．
　　由是函數的極值點，得是方程，即的兩根，
　　由根與系數的關系，得
　
　　又，所以．③
　　由①②③，解得，，．
　　點評：本題是極值的逆向思維問題，運用待定系數法實現轉化，從而解決了函數參數的確定問題．
　　三、由函數的最值確定參數
　　例3　設，函數的最大值為1，最小值為，求常數a、b．
　　分析：由函數的最值與導數的關系，建立a、b的方程組求解．
　　解：，得或．
　　，，，．
　　由，可得中是最小的，是最大的．
　　所以，解得．
　　點評：本題是函數最值的逆向題，求解的方法是利用導數知識，得到關于參數的方程組，利用待定系數法求解的．
導出新意
　　一、以向量為載體的導數求解21世紀教育網
　　例1　已知向量，，令，是否存在實數，使（其中是的導函數）？若存在，求出的值；若不存在，則證明之．
　　解析：
　　
　　．
　　令，即可得，所以存在實數，使．
　　點評：本題是以向量為載體，考查了導數、三角函數等知識，在知識的交匯處設計題目，題目小巧且富于思考．
　　二、高次函數的導數求解
　　例2　設函數，其中．
　　（1）若在處取得極值，求常數的值；
　　（2）若在上是增函數，求的取值范圍．
　　解析：（1），
　　因為在處取得極值，所以，
　　解得，經檢驗知當時，為的極值點．
　　（2）由于．
　　①若，函數在和上為增函數．
　　故當時，在上是增函數；21世紀教育網
　　②若時，函數在與上為增函數．
　　故此時在區間上一定為增函數．
　　綜上所知，當時，在區間上為增函數．
　　點評：此題借助于二次函數的零點，分別對的圖象特征進行分析，再結合函數在上的單調性與其子區間的單調性相同，得出結論．
　　三、分式函數的導數求解
　　例3　已知函數，．
　　（1）求的單調區間和值域；
　　（2）設，函數，，若對任意的總存在使得成立，求的取值范圍．
　　解析：（1）對函數求導，得，
　　令，解得或．21世紀教育網
　　當變化時，、的變化情況如下表：
　　所以，當時，是減函數；
　　當時，為增函數．
　　故當時，的值域為．
　　（2）對函數求導，得，
　　又因為，當時，，
　　因此當時，為減函數，
　　從而當時，有．
　　又，，
　　即當時，有．
　　任給，．
　　存在，使得，則，
即
　　解得或．
　　又，所以的取值范圍是．
點評：本題考查函數性質、導數、不等式等基礎知識，用導數求解，思路清晰、快捷，充分體現導數解題的優越性．其中在解（2）問時，注意數學語言間準確轉化，是解此問的關鍵．
繞過討論求切線
求過某點的曲線的切線方程時，除了要判斷該點是否在曲線上，還要分“該點是切點”和“該點不是切點”兩種情況進行討論，解法復雜．若設為曲線上一點，則以為切點的曲線的切線方程可設為，利用此切線方程可以簡化解題，避免疏漏．如：
例1 求過曲線上的點的切線方程．
解：設為切點，又∵，
∴，即切線的斜率為．
設此切線方程為，
又∵切線過，故．①
切點在曲線上，故．②
由①②，解得，或．
故所求切線方程為或，即或．
評析：由上述解法可知，兩直線都過曲線上的點，但直線以，為切點．該解法避免了對點是否為切點的討論，簡化了解題．
例2 若曲線在點處的切線平行于，求此切線的方程．
解：設切點，∵，
∴切線的斜率為．
解得或，即，或．
故所求切線方程為或，即或．
評析：利用曲線在一點處的導數等于在這一點的切線的斜率，確定出切點，代入切線方程中，解出所求切線的方程．
例3 求過點且與曲線相切的直線方程．
解：設切點為，
　　∵，∴切線的斜率為．
設此切線的方程為，過點，
　　所以．①
點在曲線上，故．②
由①②，解得．
故所求直線的方程為，
即．
評析：點在曲線外，用此法解避免了對點位置的判斷．

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