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淺談中學數學的解題教學
南縣立達中學 劉 康
摘要：本文主要介紹了數學教學的培養方向和數學教學的最終目標，解題教學的重要性和解題需要掌握一般的思考方法和程序。以及解題的主要因素有數學基礎知識、解數學題的方法、數學的思維方法、解題的經驗、邏輯知識、解題的思維品質和對數學的興趣，以及語文水平，社會生活知識和其他學科知識等。
關鍵詞：數學教學 解題教學的重要性 解題方法和程序
Abstract: This article mainly introduced mathematics teaching raise direction and the mathematics teaching ultimate objective, the problem solving teaching importance and the problem solving need to grasp the general ponder method and the procedure.As well as the problem solving primary factor has mathematics elementary knowledge, the solution mathematics problems method, mathematics thought method, the problem solving experience, the logical knowledge, the problem solving thought quality and to mathematics interest, aswell as language proficiency, social life knowledge and other discipline knowledge and so on.
Key word: Mathematics teaching problem solving teaching important problem solving method and procedure
新課標中的數學教學，強調了數學教學的培養方向和數學教學的最終目標，數學教學不是單一的傳授知識，是在于要培養學生善于把數學知識應用于解答實際問題的能力，而許多數學問題都是實際問題的抽象模型。
根據我的教學情況，結合新課標中的數學教學的特點，學生的數學學習主要在于如何解題，學會運用數學知識去分析和解決實際問題。
所以，數學教學過程應培養學生要學會運用數學知識去分析和解決實際問題，就應先學會解數學題，波利亞說：“掌握數學意味著什么呢？這就是說善于解題，不僅善于解一些標準題，而且善于解一些要求獨立思考、思路合理、見解獨到和有發明創造的題?！蹦敲丛诮虒W中如何進行解題教學呢？
一、解題教學的重要性
首先，講一講解題教學的重要性。學習數學和應用數學可以通過解題教學進行聯系。因為解題教學是實現教學目的的有力杠桿，此外，測試學生的數學知識水平，評估學生的智力發展水平，以及了解學生的數學能力等，常常以解數學題作為其重要手段和依據。數學的解題教學不僅可以使學生適應各種必要的水平測試，而且可以實現解數學題的根本目的：使學生在學會解題的過程中學好數學的基本知識，發展數學能力，培養科學態度和辯證唯物主義觀點。
二、數學題的結構
中學課本上的數學題，它是“以數學教學原則為依據”，“以實現教學目的為方向”，“要求解答者按照一定的要求去完成某種特定的由未知信息向已知信息的轉化過程”等，因此，從靜態角度考慮，數學題一般由條件和結論兩部分組成；但是更合理地從動態角度考慮，數學題是由它的條件、結論、解題方法和解題根據四部分組成，在解題的情境中，如果已知條件，解題方法，解題根據是解題者已知的，而結論未知的，那么稱它是標準性題，此外是非標準性題。在標準性與非標準性題中，如果題中的已知條件、結論、解題方法、解題根據四個部分中只有一個是解題者未知的，那么稱它是訓練性題；如果有兩個要素是解題者未知的，則稱它是探索性題，如果有三個要素是解題者未知的，則稱它是問題性題。數學題的這種相對性還常常體現在具體的數學條件下，把同一題目用于不同的數學目的。
三、數學解題教學的要求
解題和解題教學是一項系統性的工程，解每個題都不是一個獨立事件。作用于解題的因素有數學基礎知識，解數學題的方法，數學的思維方法，解題的經驗，邏輯知識：解題的思維品質和對數學的興趣，以及語文水平，社會生活知識和其他學科知識等。這些相關因數的重要性的順序對于不同的人，或對于同一人的目的學習階段和不同的數學題，都是不同的。解題者由這些因素所引起的解題阻礙也是千差萬別的。因此，在解題數學中，要針對學生表現出來的某些因素的缺陷，加強其相應知識的數學和有關能力的培養。
四、解題概述及解題的程序
解題既需要具體情況作具體分析，又需要掌握一般的思考方法和程序。中學數學問題的解答過程，從形式上來說，大體經歷如下過程：原題——純數學問題——標準性題——解答；從思維活動來說，大致進行：觀察——聯想——轉化，這兩個過程可以通過解題方案的設計把它們聯系起來，根據目前教學模式，從宏觀上有如下解題的思考步驟和程序：即
第一步：觀察
①要求解（或證明）的問題是什么？它是哪種類型的問題
②已知條件（已知數據、圖形、事項與結論部分的聯系方式）是什么？
③要求的結論（未知事項）是什么？
④所給的圖形或式子有什么特點？能否用一個圖形幾何的、函數的或示意的或數學式子，對文字題將問題表示出來？能否在圖上加上適當的記號？
⑤從已知條件出發，能否挖掘出題中有哪些隱含條件？
第二步：聯想
①此題以前見過、做過嗎？或以前做過或見過與此類似的問題嗎？當時是怎樣想的？
②題中的條件、圖形是否熟悉？在什么問題中見過？題中所給出的式子、圖形與自己熟悉的式子圖形有相象的嗎？它們之間可能有什么樣的聯系？
③解這類問題通常有哪些方法？哪種方法可能較方便？試一試如何？
④由已知條件能推得哪些可知事項和條件？要求的未知結論，需要知道哪些條件？
⑤與這個問題有關的基本概念、定理、公理、公式或計算方法等有哪些？
第三步：轉化
①能否把題中復雜的式子化簡？轉換思維角度？數形結合、換元、待定系數等轉化思維？
②能否對條件進行劃分，把問題化成幾個小問題？
③能否把問題或被化為的小問題化歸為基本命題？或構造成特定的基本知識？
④能否進行變量替換、恒等變換或幾何變換，把問題的形式變得較為明顯些？
⑤能否數形互化？利用幾何方法去解代數問題：利用代數（解析）方法來解幾何問題？
⑥利用逆否命題、同一法則、分斷式命題或其他方法，可否把問題轉化為一個較為熟悉的等價問題？
⑦最終目標：利用成功的解題經驗，實現把未知轉化為已知的。
例：已知關于x的一元二次方程（m為實數）的兩實數根的倒數和為S，求S的取值范圍。
這是一道代數綜合題，已知條件有：方程是一元二次方程，方程有兩個實數根，兩個實數根的倒數和等于S，結論是S的取值范圍。從本題的已知條件與結論可聯想到所要的數學的知識點有：一元二次方程的定義，方程的判別式方程的根與系數的關系，分式的加減運算，不等式的解法等。
分析：①由方程是一元二次方程，則隱含條件，即二次項系數不為0；
②由方程有兩個實數根，則隱含條件，判別式大于或等于0，且兩根之和等于一次項系數除以二次項系數的相反數，兩根之積等于常數項除以二次項系數；
③由S等于兩根的倒數和，則隱含，所以本題包含有多個基本知識點，且強調了相互之間的聯系，這體現了解題教學幾個基本環節。
解：由已知條件得


∴ 且且
從上題的分析、解題過程來看，數學解題的教學的原則，根據解題所涉及的各種因素，解題教學首先要搞好數學基礎知識的教學幫助學生搞好解題的基礎；其次，要在解題教學中逐步教會學生解題所需的各種數學方法；第三明確解題的思想原則和策略；第四，要適當教給各類題的“解題定式”，以提高學生的解題效率。例如，解一元二次方程，一般可直接運用求根公式這個定義去解。
此外，解題教學中要教會學生掌握一般的思考步驟和程序；要在掌握宏觀的解題思考的基礎上，教會學生靈活多變地創造性地進行各種特殊的解題思考，特別是回顧一個題的解題過程后，會在反思中產生特殊的思考，得出新的發現；同時逐步教會學生設計解題方案；還要善于及時發現和幫助學生克服各種困難和錯誤，有時還要在解題教學中采取必要的預防措施。

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