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等腰三角形中的易漏解題
于等腰三角形的邊分腰和底邊；角分頂角和底角；因此在已知等腰三角形的邊或角在未指明腰和底邊或頂角和底角的情況下，求其余未知量時，均須分兩種情況進行討論。
一、已知等腰三角形的兩邊，在未指明底邊和腰時，求其周長須分兩種情況進行討論；最后務必檢驗每種情況是否滿足三角形的三邊關系。
例１、已知等腰三角形的兩邊長為３和4；求其周長。
　　解：（１）、當腰長為3，底長為4時；有3+3+4=10；其周長為10；
　　（２）、當腰長為4，底長為3時，有4+4+3=11；其周長為11。
　　∴該等腰三形的周長為10或11。
　　例２、已知等腰三角形的兩邊長為３和７；求其周長。（2005蕪湖市中考12題）
　　解：（１）、當腰長為３，底長為７時，有3+3<7；顯然不符合三角形的三邊關系，組不成三角形；
（２）、當腰長為７，底長為３時，有7+7+3=17；其周長為17。
　　∴該等腰三角形的周長為17。
　　二、已知等腰三角形的一內角,在未指明頂角和底角時，求其余兩角；須分兩種情況進行討論，最后務必檢驗是否滿足三角形的內角和定理。
　　例３、已知等腰三角形的一內角為70°；求其余兩個內角。
　　解：（１）、當頂角為70°時；其余兩底角為55°，55°；
（２）、當底角為70°時，其余兩角為70°，40°；
　　∴該等腰三角形其余兩角為55°，55°或70°，40°。
　　例４已知等腰三角形的一內角為95°；求其兩個內角。
　　解：（１）當頂角為95°時，其余兩角為42.5°,42.5°；
（２）當底角為95°時，兩角之和為95°+95°＞180°；不符合三角形的內角和定理。顯然不成立。
　　∴該三角形的其余兩角為42.5°，42.5°。
　　三、已知等腰三角形的一個外角（未指明頂角還是底角的情況下），應分兩種情況進行討論。
　　例５已知等腰三角形的一個外角為75°；求其內角。
解：（１）、當頂角的外角為75°時，等腰三角形的三個內角分別為105°，37.5°，37.5°。
(2)、當底角的外角為75°時，則底角為105°，此時有105°+105°＞180°，不符合三角形的內角和定理；因而組不成三角形。
　　∴該等腰三角形的三個內角為105°，37.5°，37.5°。
　　例６、已知等腰三角形的一個外角為110°；求其內角。
解：（１）、當頂角的外角為110°時，三角形的三個內角為70°，55°，55°。
（２）、當底角的外角為110°時，等腰三角形的三個內角分別為70°，70°，40°。
∴該等腰三角形的內角為70°，55°，55°或70°，70°，40°。
　　四、已知等腰三角形一腰上的高和另一腰的夾角，求其內角時；應分等腰三角形為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況進行討論。
例７、已知等腰ΔABC腰AB上的高CD與另一腰AC的夾角為
30°，則其頂角的度數為（　　）。A、60°　 B、120°
C、60°或150°D、60°或120°（2005臨沂市中考題）
解：（１）、如圖一：當等腰ΔABC為銳角三角形時，
底角為60°，60°，頂角為60°。
（２）、如圖二：當等腰ΔABC為鈍角三角形時，頂角為120°，
底角為30°，30°。
∴答案選D　　
說明：當等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為0°時；顯然為等腰直角三角形，只有一種情況。
例8、為了美化環境，計劃在某小區內用30平方米的草皮鋪設一塊邊長為10米的等腰三角形綠地，請你求出這個等腰三角形綠地的另兩邊長。（2003黑龍江中考題）
分析：此題只給了等腰三角形的一邊為10，此邊可為底，可為腰，且還須分銳角三角形和鈍角三角形加以討論，否則易漏解。
解：分三種情況，不妨設等腰ΔABC中，邊AB＝10米，過C點
作CD⊥AB，垂足為D，解得CD＝6（米），
（1）、如圖一，AB為底時，AD＝DB＝5（米），
AC＝CB＝（米）
（2）、當AB為腰且三角形為銳角三角形時，
AC＝AB＝10米，AD＝（米），
BD＝2米，BC＝米；
（3）當AB為腰且三角形為鈍角三角形時，
AC＝AB＝10米，AD＝（米），
BC＝＝米。
　　綜上所得：該等腰三角形綠地其它兩邊長為米，米或10米，2米或10米，6米。
五、已知等腰三角形一腰上垂直平分線與另一腰的夾角，求底角時，應分等腰三角形為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況進行討論。
例9、在ΔABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線與AC所在直線相交所得的銳角為40°，則底角∠B的大小。
解：（１）、如圖一：當等腰ΔABC為銳角三角形時，有∠AED＝40°，則∠A＝50°，∠B＝65°。
（2）、如圖二：當等腰ΔABC為鈍角三角形時，此時∠AED＝40°，則∠BAC＝130°，∠B＝25°。
綜上所述：底角∠B的大小為65°或25°。
六、以已知線段為腰作等腰三角形時，通常要分以該腰不同頂點為頂角頂點兩種情況進行討論。
例10、在平面直角坐標系中，已知點A（2,1），O為坐標原點，請你在坐標軸上確定點P，使得ΔAOP成為等腰三角形。在給出的坐標系中把所有這樣的點P都找出來，畫上實心點，并在旁邊標上P1，P2，…PK。（有k個就標到PK為止，不必寫出畫法）（2005杭州市中考題）
解：（1）、如圖一，以O為頂角頂點，以OA為腰時，只須以O為圓心，以OA為半徑作圓，與坐標軸分別交于P1（）P2（），P3（），P4（），分別連接P1A，P2A，P3A，P4A，可得到四個等腰三角形ΔOAP1，ΔOAP2，ΔOAP3，ΔOAP4
（2）、如圖二，以A為頂角頂點，以OA為腰時，只須以A為圓心，以AO為半徑作圓，與坐標軸分別交于P5（4,0），P6（0,2），分別連接P5A，P6A，可得到兩個等腰三角形ΔOAP5，ΔOAP6，
（3）、如圖三，當OA為底時，作OA的中垂線分別與坐標軸相交于P7（,0），P8（0,）。
　　顯然符合條件的P點位置有8個。
例11、在正方形ABCD中，滿足ΔPAB，ΔPBC，ΔPCD，ΔPAD均為等腰三角形的點P有（　　）個。
A、6個　　B、7個　C、8個　　D、9個
解：（1）、如圖一，當AB，BC，CD，DA分別
為等腰三角形ΔPAB，ΔPBC，ΔPCD，ΔPAD的底
邊時，P點為正方形ABCD對角線AC，BD的交點P1　。
（2）、如圖二，當AB，CD分別為ΔPAB和ΔPCD的
腰且A與D為等腰三角形的頂角頂點而BC和AD分
別為ΔPBC和ΔPAD的底邊時；P點的位置為以A為
圓心，以AB為半徑的圓弧與線段AD的中垂線交點
P2和P3　。
（3）、如圖三，當AB，CD分別為ΔPAB和ΔPCD的
腰且B與C為等腰三角形的頂角頂點而BC和AD分
別為ΔPBC和ΔPAD的底邊時；P點的位置為以B為
圓心，以BA為半徑的圓弧與線段AD的中垂線交點
P4和P5　。
與（2）和（3）同理如圖三、四、五
得到以當AD，BC分別為ΔPAD和ΔPBC的腰而AB和CD分別
為ΔPBC和ΔPAD的底邊時；P點的另外四個位置為P6，P7　，P8　和P9　。
　　答案選D。
七、在等腰三角形中，若三邊的長度中含有字母要分三種情況討論。
例12、在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm。設P，Q分別為BD，BC上的動點，在點P自點D沿DB方向作勻速運動的同時，點Q自點B沿BC方向向點C作勻速運動，移動速度均為1cm/s,設點P，Q移動的時間為t(0（1）、寫出ΔPBQ的面積S（cm2）與時間t(s)之間的函數表達式，
當t為何值時，S有最大值？最大值是多少？
（2）、當t為何值時，ΔPBQ為等腰三角形？
（3）、ΔPBQ能否成為等邊三角形？若能，求t的值，若不能，
說明理由？（2006年臨沂市中考第26題）
解：（1）、如圖一，自點P向BC引垂線，垂足為M，則PM∥DC，
當P，Q運動t秒后，DP＝BQ＝1.t＝t,BP=5-t.
(2)、若ΔBPQ為等腰三角形。
①如圖二，當PB＝PQ時，自點P向BC引垂線，垂足為M，
則有BM＝MQ，在RTΔBMP中，BP＝5-t，
　　
②當BQ＝BP時，有t=5-t,解得
③如圖三，當BQ＝PQ時，自點Q向BD引垂線，垂足為N.
由RtΔBNQ∽RtΔBCD，得
（3）不能。
若ΔPBQ為等邊三角形，則∠PBQ＝60°，此時tan∠PBQ=；
而這與由已知在矩形ABCD中，由AB＝3，BC＝4得到的結論tan∠PBQ=　相矛盾；
∴ΔPBQ不能為等邊三角形。　
例1、在ΔABC中，∠B＝25°，AD是BC邊上的高，并且AD2＝BD.DC，
則∠BCA的度數為＿＿＿＿，（2005年北京市）
析解：這類沒有給出圖形的問題，解決它一般要用分類討論的思想，
否則極易造成漏解。
∠BCA的大小有兩種情況：
（1）、當∠BCA是銳角時，如圖一，AD是BC邊上的高，
則∠ADB＝∠ADC＝90°，由AD2＝BD.DC得，
所以有ΔABD∽ΔCAD，則∠B＝∠CAD＝25°，
故∠BCA＝90°－∠CAD＝65°
（2）、當∠BCA是 鈍角時，如圖二，
同理可求得ΔABD∽ΔCAD，得∠BCA＝115°；
綜上，應填65°或115°。
二、在直角坐標系中，O為坐標原點，A（1,1）；在坐標軸上確定一點P，使ΔAOP為等腰三角形，則符合條件的點P共有（　　　） A、4個　B、6個　C、8個　D、1個
解：（1）、如圖一，以OA為腰，以O為頂角頂點時，只須以O為圓心，以OA為半徑作圓，與坐標軸分別交于P1（）P2（），P3（），P4（），分別連接P1A，P2A，P3A，P4A，可得到四個等腰三角形ΔOAP1，ΔOAP2，ΔOAP3，ΔOAP4
（2）、如圖二，以OA為腰，以A為頂角頂點時，只須以A為圓心，以AO為半徑作圓，與坐標軸分別交于P5（2,0）P6（0,2），分別連接P5A，P6A，可得到兩個等腰三角形ΔOAP5，ΔOAP6，
（3）、如圖三，當OA為底時，作OA的中垂線分別與坐標軸相交于P7（1,0），P8（0,1）。
答案：選C

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