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抽象函數的奇偶性
【例1】設函數的定義域為，給出下列四個命題：
①　若為偶函數，則的圖像關于軸對稱；
②　若為偶函數，則的圖像關于直線對稱；
③　若，則的圖像關于直線對稱；
④　和的圖像關于直線對稱．
其中，正確命題的序號是 ② ④ ．
〖解析〗對于③，令，由得，則函數是偶函數；
對于④，因為函數與的圖像關于軸對稱，且函數的圖像向右平移2個單位得函數的圖像，函數的圖像向右平移2個單位得函數的圖像，所以函數與的圖像關于直線對稱（對稱軸也右平移2個單位）。
【例2】〖2007鄭州一模〗對于定義域在上的函數，有下述四個命題：
①　若是奇函數，則的圖像關于點對稱；
②　若對任意，有，則函數的圖像關于直線對稱；
③　若函數的圖像關于直線對稱，則為偶函數；
④　函數與函數的圖像關于直線對稱．
其中正確命題的序號為 ① ③ （把你認為正確命題的序號都填上）．
〖解析〗對于④，因為函數與的圖像關于軸對稱，且函數的圖像向左平移1個單位得函數的圖像，函數的圖像向右平移1個單位得函數的圖像，所以函數與的圖像關于軸對稱（對稱軸不變）。
〖練習〗（ⅰ）義域在上的函數滿足，且函數為奇函數，給出下列命題：
①函數的最小正周期是；
②函數的圖像關于點對稱；
③函數的圖像關于軸對稱；
其中正確命題的序號為 （把你認為正確命題的序號都填上）．
（ⅱ）已知函數在上同時滿足條件：①對任意都有；②當時，．則函數在上（　　）．
Ａ．是奇函數且是減函數　　　　　　　　　　　Ｂ．是奇函數且是增函數
Ｃ．是奇函數且不具有單調性　　　　　　　　　Ｄ．是偶函數且不具有單調性
〖解析一〗　不妨取．
〖解析二〗 因為對任意都有，從而可令，得；再令，得，所以函數在上是奇函數；

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