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北師大版九年級(jí)(上) 第二章：一元二次方程
認(rèn)識(shí)一元二次方程：
概念：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且可以化為 (為常數(shù)，)的整式方程叫一元二次方程。
構(gòu)成一元二次方程的三個(gè)重要條件：
①、方程必須是整式方程(分母不含未知數(shù)的方程)。
如：是分式方程，所以不是一元二次方程。
②、只含有一個(gè)未知數(shù)。
③、未知數(shù)的最高次數(shù)是2次。
一元二次方程的一般形式：
一般形式： ()，系數(shù)中，一定不能為0，、則可以為0，所以以下幾種情形都是一元二次方程：
①、如果，則得，例如：；
②、如果，則得，例如：；
③、如果，則得，例如：；
④、如果，則得，例如：。
其中，叫做二次項(xiàng)，叫做二次項(xiàng)系數(shù)；叫做一次項(xiàng)，叫做一次項(xiàng)系數(shù)；叫做常數(shù)項(xiàng)。任何一個(gè)一元二次方程經(jīng)過整理(去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)…)都可以化為一般形式。
例題：將方程化成一元二次方程的一般形式.
解：
去括號(hào)，得：
移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得： (一般形式的等號(hào)右邊一定等于0)
一元二次方程的解法：
(1)、直接開方法：（利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解） 形式：
舉例：解方程：
解：方程兩邊除以9，得：
(2)、配方法：（理論依據(jù)：根據(jù)完全平方公式：，將原方程配成的形式，再用直接開方法求解.）
舉例：解方程： 配方法解一元二次方程 ()的步驟：
解： ①、二次項(xiàng)系數(shù)化為1. (兩邊都除以二次項(xiàng)系數(shù).)
②、移項(xiàng).(把常數(shù)項(xiàng)移到=號(hào)右邊.)
③、配方.(兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值一半的
平方，把原方程化成的形式)
④、求解.(用直接開方法求出方程的解.)
(3)、公式法：（求根公式：）
舉例：解方程： 公式法解一元二次方程的步驟：
解： ①、把一元二次方程化為一般形式：()
②、確定的值.
③、求出的值.
④、若，則把及的值代入求
根公式，求出和，若，則方程無解。
(4)、分解因式法：（理論依據(jù)：，則或；利用提公因式、運(yùn)用公式、十字相乘等分解因式方法將原方程化成兩個(gè)因式相乘等于0的形式。）
【1】提公因式分解因式法：
舉例：①、解方程： ②、解方程：
解：原方程可變形為： 解：原方程可變形為：

或 或

【2】運(yùn)用公式分解因式法：
舉例：①、解方程： ②、解方程：
解：原方程可變形為： 解：原方程可變形為：


或
或

【3】十字相乘分解因式法(簡單、常用、重要的一元二次方程解法)：
舉例：解方程：
解：原方程可變形為：
或
【4】其它常見類型舉例：
①、解方程： ②、解方程： （換元法）
解：原方程可變形為： 解：令，原方程可化為：，即：
或

或 ，即
，
或，即

方程無解。
原方程的解為：
一元二次方程的應(yīng)用：
①、數(shù)字問題.
②、面積問題.(牢記有關(guān)面積的公式，熟練計(jì)算組合圖形的面積、面積的轉(zhuǎn)化.)
③、平均增長率(或降低率)問題.其基本關(guān)系式：，其中是增長(或降低)的基礎(chǔ)量，是平均增長(或降低)率，是增長(或降低)的次數(shù)（常考的是兩年期，即，），是增長(或降低)后的數(shù)量(總量)，增長為“+”，降低為“-”.
④、商品利潤問題(重點(diǎn)).基本公式： 1、單件利潤=單件進(jìn)價(jià)
2、總利潤=單件利潤銷售量
⑤、運(yùn)動(dòng)問題、動(dòng)點(diǎn)問題。
例題：將進(jìn)貨單價(jià)為40元的商品按50元售出時(shí)，能賣出500個(gè)，已知這種商品每個(gè)漲價(jià)1元，其銷售量就減少10個(gè)。問：為了賺得8000元的利潤，售價(jià)應(yīng)定為多少？這時(shí)應(yīng)進(jìn)貨多少個(gè)？
解法一：設(shè)售價(jià)定為元，依題意可得：
整理得：
解得：
售價(jià)應(yīng)定為60元或80元.
當(dāng)定為60元時(shí)，應(yīng)進(jìn)貨個(gè)；
當(dāng)定為80元時(shí)，應(yīng)進(jìn)貨個(gè)；
解法二：設(shè)上漲元，依題意可得：
整理得：
解得：
售價(jià)應(yīng)定為10+50=60元或30+50=80元.
當(dāng)定為60元時(shí)，應(yīng)進(jìn)貨個(gè)；
當(dāng)定為80元時(shí)，應(yīng)進(jìn)貨個(gè)；
常考題型及其相應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)：
(1)、利用一元二次方程的一個(gè)已知根求系數(shù)及求另一個(gè)根問題：
例1：關(guān)于的一元二次方程有一根為0，則的值為______.
思路分析：有一根為0，說明有，可代入原方程求出.
注意：一元二次方程時(shí)刻不要忘記對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)的討論：
解：將代入原方程得：
即：
又因?yàn)? 即
的值為.
例2：一元二次方程 的一個(gè)根為，則另一個(gè)根為_______.
思路分析：先將已知的一個(gè)根代入原方程，解出未知系數(shù)，再解出此時(shí)一元二次方程的兩根.
解：將代入原方程得：

原方程即為：

(2)、判別式：，方程根的情況：
判別式與一元二次方程根的情況：
方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(或說方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根).
方程沒有實(shí)數(shù)根.
例1：關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是______.
思路分析：方程有實(shí)數(shù)根，但具體不知道有多少個(gè)根，所以有.
解：

因?yàn)榉匠逃袑?shí)數(shù)根，
即：
例2：方程的根的情況是( ).
A、只有一個(gè)實(shí)數(shù)根. B、有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根. C、有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根. D、沒有實(shí)數(shù)根
思路分析：判別方程根的情況，之需要計(jì)算判別式的值與0比較.
解：

方程沒有實(shí)數(shù)根，選擇D.

(2)、一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，韋達(dá)定理：
如果是一元二次方程 ()的兩根，根據(jù)韋達(dá)定理，則有：

例1：已知一元二次方程的兩根，則____，____.
解：根據(jù)韋達(dá)定理得：

另外：利用韋達(dá)定理求一些重要代數(shù)式(、、)的值：
①、
②、
③、


例2：若方程的兩根為，則的值為_____.
解：根據(jù)韋達(dá)定理得：

例3：已知關(guān)于的一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根是，且 ，則的值是____.
解：根據(jù)韋達(dá)定理得：

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