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北師大版九年級(上) 第一章：證明(二)
等腰三角形：
①、等腰三角形的兩個底角相等。（等邊對等角）
②、有兩個角相等的三角形是等腰三角形。（等角對等邊）
③、三線合一：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。
如圖，在中，,則有：
AD是BC邊上的高.
(三線合一) AD是BC邊的中線.
A D AD是頂角()的平分線.
④、有一個角等于的等腰三角形是等邊三角形。
直角三角形：
①、銳角互余：.
②、勾股定理：.
直角三角形證明方法：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。
③、面積：兩條直角邊相乘再除以2，即：.
④、等面積法求斜邊上的高：
如圖，在中，,則有：
，

⑤、直角三角形全等判定定理：斜邊和一邊直角邊對應相等的兩個直角三角形全等。
這個定理簡稱“HL”，H指斜邊，L指直角邊，也就是說，在直角三角形中，如果兩條斜邊對應相等，其中一條直角邊也對應相等，那么這兩個直角三角形全等。
⑥、角定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于，
那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。
如圖，在中，,則
⑦、斜邊中線定理：在直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半。
如圖，在中，，D為斜邊AC的中點，
則CD為斜邊AB的中線，
則有 ，即：
則和都是等腰三角形.
⑧、擴展知識：
如圖，在中，，，則有：
(1)、
(2)、
(3)、
對 (1)、證明：在和中，有
(公共角)


同理可證 (2)、、(3)、成立。

線段垂直平分線： ①、
MN是線段AB的垂直平分線
②、 (垂直、平分兩重要條件缺一不可)
重要定理：線段垂直平分線上的點
到線段的兩個端點的距離相等。
PA=PB
逆定理：到一條線段兩個端點距離相等的點
在這條線段的垂直平分線上。

角平分線：重要定理：角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等。
如圖，,則有：
另外，還有：
這個定理的作用：用來證明線段相等。
逆定理：在一個角的內部，且到角的兩邊距離相等的話，在這角的平分線上。
[證明角平分線有兩種方法：①、證明角相等，②、根據逆定理證明(常用)]
三角形三邊垂直平分線、三角平分線交點：
①、三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等。
②、三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等。

如圖，P是三條邊的垂直平分線的交點， 如圖，P是三個角平分線的交點，
則有：(點到點距離相等). 則有：(點到邊距離相等).
角度公式： 角度公式：
P點叫的“外心”. P點叫的“內心”.

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