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數(shù) 學(xué)
高一數(shù)學(xué)必修1知識(shí)網(wǎng)絡(luò)
集合
函數(shù)
附：
一、函數(shù)的定義域的常用求法：
1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被開(kāi)方數(shù)大于等于零；3、對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零；4、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1；5、三角函數(shù)正切函數(shù)中；余切函數(shù)中；6、如果函數(shù)是由實(shí)際意義確定的解析式，應(yīng)依據(jù)自變量的實(shí)際意義確定其取值范圍。
二、函數(shù)的解析式的常用求法：
1、定義法；2、換元法；3、待定系數(shù)法；4、函數(shù)方程法；5、參數(shù)法；6、配方法
三、函數(shù)的值域的常用求法：
1、換元法；2、配方法；3、判別式法；4、幾何法；5、不等式法；6、單調(diào)性法；7、直接法
四、函數(shù)的最值的常用求法：
1、配方法；2、換元法；3、不等式法；4、幾何法；5、單調(diào)性法
五、函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論：
1、若均為某區(qū)間上的增（減）函數(shù)，則在這個(gè)區(qū)間上也為增（減）函數(shù)
2、若為增（減）函數(shù)，則為減（增）函數(shù)
3、若與的單調(diào)性相同，則是增函數(shù)；若與的單調(diào)性不同，則是減函數(shù)。
4、奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。
5、常用函數(shù)的單調(diào)性解答：比較大小、求值域、求最值、解不等式、證不等式、作函數(shù)圖象。
六、函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論：
1、如果一個(gè)奇函數(shù)在處有定義，則，如果一個(gè)函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則（反之不成立）
2、兩個(gè)奇（偶）函數(shù)之和（差）為奇（偶）函數(shù)；之積（商）為偶函數(shù)。
3、一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積（商）為奇函數(shù)。
4、兩個(gè)函數(shù)和復(fù)合而成的函數(shù)，只要其中有一個(gè)是偶函數(shù)，那么該復(fù)合函數(shù)就是偶函數(shù)；當(dāng)兩個(gè)函數(shù)都是奇函數(shù)時(shí)，該復(fù)合函數(shù)是奇函數(shù)。
5、若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則可以表示為，該式的特點(diǎn)是：右端為一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)的和。
表1
指數(shù)函數(shù)
對(duì)數(shù)數(shù)函數(shù)
定義域
值域
圖象
性質(zhì)
過(guò)定點(diǎn)
過(guò)定點(diǎn)
減函數(shù)
增函數(shù)
減函數(shù)
增函數(shù)
表2
冪函數(shù)
奇函數(shù)
偶函數(shù)
第一象限性質(zhì)
減函數(shù)
增函數(shù)
過(guò)定點(diǎn)

高中數(shù)學(xué)必修2知識(shí)點(diǎn)
一、直線與方程
（1）直線的傾斜角
定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°
（2）直線的斜率
①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即。斜率反映直線與軸的傾斜程度。
當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，不存在。
②過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式：
注意下面四點(diǎn)：(1)當(dāng)時(shí)，公式右邊無(wú)意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；
(2)k與P1、P2的順序無(wú)關(guān)；(3)以后求斜率可不通過(guò)傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得；
(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。
（3）直線方程
①點(diǎn)斜式：直線斜率k，且過(guò)點(diǎn)
注意：當(dāng)直線的斜率為0°時(shí)，k=0，直線的方程是y=y1。
當(dāng)直線的斜率為90°時(shí)，直線的斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示．但因l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x1，所以它的方程是x=x1。
②斜截式：，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b
③兩點(diǎn)式：（）直線兩點(diǎn)，
④截矩式：
其中直線與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),即與軸、軸的截距分別為。
⑤一般式：（A，B不全為0）
注意：各式的適用范圍 特殊的方程如：
平行于x軸的直線：（b為常數(shù)）； 平行于y軸的直線：（a為常數(shù)）；
（5）直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線
（一）平行直線系
平行于已知直線（是不全為0的常數(shù)）的直線系：（C為常數(shù)）
（二）過(guò)定點(diǎn)的直線系
（ⅰ）斜率為k的直線系：，直線過(guò)定點(diǎn)；
（ⅱ）過(guò)兩條直線，的交點(diǎn)的直線系方程為
（為參數(shù)），其中直線不在直線系中。
（6）兩直線平行與垂直
當(dāng)，時(shí)，
；
注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時(shí)，要注意斜率的存在與否。
（7）兩條直線的交點(diǎn)
相交
交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組的一組解。
方程組無(wú)解 ； 方程組有無(wú)數(shù)解與重合
（8）兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)，
則
（9）點(diǎn)到直線距離公式：一點(diǎn)到直線的距離
（10）兩平行直線距離公式
在任一直線上任取一點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離進(jìn)行求解。
二、圓的方程
1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫圓，定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為圓的半徑。
2、圓的方程
（1）標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心，半徑為r；
（2）一般方程
當(dāng)時(shí)，方程表示圓，此時(shí)圓心為，半徑為
當(dāng)時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，方程不表示任何圖形。
（3）求圓方程的方法：
一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，
需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F(xiàn)；
另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，以此來(lái)確定圓心的位置。
3、直線與圓的位置關(guān)系：
直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方法判斷：
（1）設(shè)直線，圓，圓心到l的距離為，則有；；
（2）設(shè)直線，圓，先將方程聯(lián)立消元，得到一個(gè)一元二次方程之后，令其中的判別式為，則有
；；
注：如果圓心的位置在原點(diǎn)，可使用公式去解直線與圓相切的問(wèn)題，其中表示切點(diǎn)坐標(biāo)，r表示半徑。
(3)過(guò)圓上一點(diǎn)的切線方程：
①圓x2+y2=r2，圓上一點(diǎn)為(x0，y0)，則過(guò)此點(diǎn)的切線方程為 (課本命題)．
②圓(x-a)2+(y-b)2=r2，圓上一點(diǎn)為(x0，y0)，則過(guò)此點(diǎn)的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (課本命題的推廣)．
4、圓與圓的位置關(guān)系：通過(guò)兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來(lái)確定。
設(shè)圓，
兩圓的位置關(guān)系常通過(guò)兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來(lái)確定。
當(dāng)時(shí)兩圓外離，此時(shí)有公切線四條；
當(dāng)時(shí)兩圓外切，連心線過(guò)切點(diǎn)，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條；
當(dāng)時(shí)兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；
當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)，只有一條公切線；
當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)含； 當(dāng)時(shí)，為同心圓。
三、立體幾何初步
1、柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征
（1）棱柱：定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。
分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱或用對(duì)角線的端點(diǎn)字母，如五棱柱
幾何特征：兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。
（2）棱錐
定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體
分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等
表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐
幾何特征：側(cè)面、對(duì)角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方。
（3）棱臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分
分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等
表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺(tái)
幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形 ②側(cè)面是梯形 ③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)
（4）圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體
幾何特征：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形。
（5）圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體
幾何特征：①底面是一個(gè)圓；②母線交于圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形。
（6）圓臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分
幾何特征：①上下底面是兩個(gè)圓；②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)弓形。
（7）球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體
幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。
2、空間幾何體的三視圖
定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；側(cè)視圖（從左向右）、
俯視圖（從上向下）
注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長(zhǎng)度；
　　俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長(zhǎng)度和寬度；
側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。
3、空間幾何體的直觀圖——斜二測(cè)畫法
斜二測(cè)畫法特點(diǎn)：①原來(lái)與x軸平行的線段仍然與x平行且長(zhǎng)度不變；
②原來(lái)與y軸平行的線段仍然與y平行，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半。
4、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積
（1）幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積的和。
（2）特殊幾何體表面積公式（c為底面周長(zhǎng)，h為高，為斜高，l為母線）



（3）柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式


（4）球體的表面積和體積公式：V= ； S=
4、空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系
（1）平面
① 平面的概念： A.描述性說(shuō)明； B.平面是無(wú)限伸展的；
② 平面的表示：通常用希臘字母α、β、γ表示，如平面α（通常寫在一個(gè)銳角內(nèi)）；
也可以用兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母來(lái)表示，如平面BC。
③ 點(diǎn)與平面的關(guān)系：點(diǎn)A在平面內(nèi)，記作；點(diǎn)不在平面內(nèi)，記作
點(diǎn)與直線的關(guān)系：點(diǎn)A的直線l上，記作：A∈l； 點(diǎn)A在直線l外，記作Al；
直線與平面的關(guān)系：直線l在平面α內(nèi)，記作lα；直線l不在平面α內(nèi)，記作lα。
（2）公理1：如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線是所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。
（即直線在平面內(nèi)，或者平面經(jīng)過(guò)直線）
應(yīng)用：檢驗(yàn)桌面是否平； 判斷直線是否在平面內(nèi)
用符號(hào)語(yǔ)言表示公理1：
（3）公理2：經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。
推論：一直線和直線外一點(diǎn)確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一平面。
公理2及其推論作用：①它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù) ②它是證明平面重合的依據(jù)
（4）公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線
符號(hào)：平面α和β相交，交線是a，記作α∩β＝a。
符號(hào)語(yǔ)言：
公理3的作用：
①它是判定兩個(gè)平面相交的方法。
②它說(shuō)明兩個(gè)平面的交線與兩個(gè)平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系：交線必過(guò)公共點(diǎn)。
③它可以判斷點(diǎn)在直線上，即證若干個(gè)點(diǎn)共線的重要依據(jù)。
（5）公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行
（6）空間直線與直線之間的位置關(guān)系
① 異面直線定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線
② 異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交。
③ 異面直線判定：過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過(guò)該店的直線是異面直線
④ 異面直線所成角：直線a、b是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O，分別引直線a’∥a，b’∥b，則把直線a’和b’所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是（0°，90°]，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直。
說(shuō)明：（1）判定空間直線是異面直線方法：①根據(jù)異面直線的定義；②異面直線的判定定理
（2）在異面直線所成角定義中，空間一點(diǎn)O是任取的，而和點(diǎn)O的位置無(wú)關(guān)。
②求異面直線所成角步驟：
A、利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選在特殊的位置上。 B、證明作出的角即為所求角 C、利用三角形來(lái)求角
（7）等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補(bǔ)。
（8）空間直線與平面之間的位置關(guān)系
直線在平面內(nèi)——有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)．
三種位置關(guān)系的符號(hào)表示：aα a∩α＝A a∥α
（9）平面與平面之間的位置關(guān)系：平行——沒(méi)有公共點(diǎn)；α∥β
相交——有一條公共直線。α∩β＝b
5、空間中的平行問(wèn)題
（1）直線與平面平行的判定及其性質(zhì)
線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,則該直線與此平面平行。
線線平行線面平行
線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，
那么這條直線和交線平行。線面平行線線平行
（2）平面與平面平行的判定及其性質(zhì)
兩個(gè)平面平行的判定定理
（1）如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行
（線面平行→面面平行），
（2）如果在兩個(gè)平面內(nèi)，各有兩組相交直線對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)平面平行。
（線線平行→面面平行），
（3）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，
兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理
（1）如果兩個(gè)平面平行，那么某一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行。（面面平行→線面平行）
（2）如果兩個(gè)平行平面都和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行→線線平行）
7、空間中的垂直問(wèn)題
（1）線線、面面、線面垂直的定義
①兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直。
②線面垂直：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂直，就說(shuō)這條直線和這個(gè)平面垂直。
③平面和平面垂直：如果兩個(gè)平面相交，所成的二面角（從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形）是直二面角（平面角是直角），就說(shuō)這兩個(gè)平面垂直。
（2）垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理
①線面垂直判定定理和性質(zhì)定理
判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個(gè)平面。
性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。
②面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理
判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。
性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個(gè)平面。
9、空間角問(wèn)題
（1）直線與直線所成的角
①兩平行直線所成的角：規(guī)定為。
②兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。
③兩條異面直線所成的角：過(guò)空間任意一點(diǎn)O，分別作與兩條異面直線a，b平行的直線，形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。
（2）直線和平面所成的角
①平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為。 ②平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為。
③平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角。
求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：“一作，二證，三計(jì)算”。
在“作角”時(shí)依定義關(guān)鍵作射影，由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點(diǎn)到面的垂線，
在解題時(shí)，注意挖掘題設(shè)中兩個(gè)主要信息：（1）斜線上一點(diǎn)到面的垂線；（2）過(guò)斜線上的一點(diǎn)或過(guò)斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線。
（3）二面角和二面角的平面角
①二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。
②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角。
③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。
兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面垂直；反過(guò)來(lái)，如果兩個(gè)平面垂直，那么所成的二面角為直二面角
④求二面角的方法
定義法：在棱上選擇有關(guān)點(diǎn)，過(guò)這個(gè)點(diǎn)分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線得到平面角
垂面法：已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí)，過(guò)兩垂線作平面與兩個(gè)面的交線所成的角為二面角的平面角
7、空間直角坐標(biāo)系
（1）定義：如圖，是單位正方體.以A為原點(diǎn)，
分別以O(shè)D,O,OB的方向?yàn)檎较颍⑷龡l數(shù)軸。
這時(shí)建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz.
1）O叫做坐標(biāo)原點(diǎn) 2）x 軸，y軸，z軸叫做坐標(biāo)軸. 3）過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)面。
（2）右手表示法： 令右手大拇指、食指和中指相互垂直時(shí)，可能形成的位置。大拇指指向?yàn)閤軸正方向，食指指向?yàn)閥軸正向，中指指向則為z軸正向，這樣也可以決定三軸間的相位置。
（3）任意點(diǎn)坐標(biāo)表示：空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組來(lái)表示，有序?qū)崝?shù)組 叫做點(diǎn)M在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作（x叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)M的豎坐標(biāo)）
（4）空間兩點(diǎn)距離坐標(biāo)公式：
高一數(shù)學(xué)必修3公式總結(jié)以及例題
§1 算法初步
( 秦九韶算法：通過(guò)一次式的反復(fù)計(jì)算逐步得出高次多項(xiàng)式的值，對(duì)于一個(gè)n次多項(xiàng)式，只要作n次乘法和n次加法即可。表達(dá)式如下：
例題：秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式
答案： 6 ， 6

( 理解算法的含義：一般而言，對(duì)于一類問(wèn)題的機(jī)械的、統(tǒng)一的求解方法稱為算法，其意義具有廣泛的含義，如：廣播操圖解是廣播操的算法，歌譜是一首歌的算法，空調(diào)說(shuō)明書是空調(diào)使用的算法… (algorithm)
1. 描述算法有三種方式：自然語(yǔ)言，流程圖，程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言（本書指?jìng)未a）.
2. 算法的特征：
①有限性：算法執(zhí)行的步驟總是有限的，不能無(wú)休止的進(jìn)行下去
②確定性：算法的每一步操作內(nèi)容和順序必須含義確切，而且必須有輸出，輸出可以是一個(gè)或多個(gè)。沒(méi)有輸出的算法是無(wú)意義的。
③可行性：算法的每一步都必須是可執(zhí)行的，即每一步都可以通過(guò)手工或者機(jī)器在一定時(shí)間內(nèi)可以完成，在時(shí)間上有一個(gè)合理的限度
3. 算法含有兩大要素：①操作：算術(shù)運(yùn)算，邏輯運(yùn)算，函數(shù)運(yùn)算，關(guān)系運(yùn)算等②控制結(jié)構(gòu):順序結(jié)構(gòu)，選擇結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)
( 流程圖：（flow chart）: 是用一些規(guī)定的圖形、連線及簡(jiǎn)單的文字說(shuō)明表示算法及程序結(jié)構(gòu)的一種圖形程序，它直觀、清晰、易懂，便于檢查及修改。
注意：1. 畫流程圖的時(shí)候一定要清晰，用鉛筆和直尺畫，要養(yǎng)成有開(kāi)始和結(jié)束的好習(xí)慣
2. 拿不準(zhǔn)的時(shí)候可以先根據(jù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)畫出大致的流程，反過(guò)來(lái)再檢查，比如：遇到判斷框時(shí)，往往臨界的范圍或者條件不好確定，就先給出一個(gè)臨界條件，畫好大致流程，然后檢查這個(gè)條件是否正確，再考慮是否取等號(hào)的問(wèn)題，這時(shí)候也就可以有幾種書寫方法了。
3. 在輸出結(jié)果時(shí)，如果有多個(gè)輸出，一定要用流程線把所有的輸出總結(jié)到一起，一起終結(jié)到結(jié)束框。
( 算法結(jié)構(gòu)： 順序結(jié)構(gòu)，選擇結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)



直到型循環(huán) 當(dāng)型循環(huán)
Ⅰ.順序結(jié)構(gòu)（sequence structure ）：是一種最簡(jiǎn)單最基本的結(jié)構(gòu)它不存在條件判斷、控制轉(zhuǎn)移和重復(fù)執(zhí)行的操作，一個(gè)順序結(jié)構(gòu)的各部分是按照語(yǔ)句出現(xiàn)的先后順序執(zhí)行的。
Ⅱ.選擇結(jié)構(gòu)（selection structure ）：或者稱為分支結(jié)構(gòu)。其中的判斷框，書寫時(shí)主要是注意臨界條件的確定。它有一個(gè)入口，兩個(gè)出口，執(zhí)行時(shí)只能執(zhí)行一個(gè)語(yǔ)句，不能同時(shí)執(zhí)行，其中的A,B兩語(yǔ)句可以有一個(gè)為空，既不執(zhí)行任何操作，只是表明在某條件成立時(shí)，執(zhí)行某語(yǔ)句，至于不成立時(shí)，不執(zhí)行該語(yǔ)句，也不執(zhí)行其它語(yǔ)句。
Ⅲ.循環(huán)結(jié)構(gòu)（cycle structure）：它用來(lái)解決現(xiàn)實(shí)生活中的重復(fù)操作問(wèn)題，分直到型（until）和當(dāng)型(while)兩種結(jié)構(gòu)(見(jiàn)上圖)。當(dāng)事先不知道是否至少執(zhí)行一次循環(huán)體時(shí)（即不知道循環(huán)次數(shù)時(shí)）用當(dāng)型循環(huán)。
( 基本算法語(yǔ)句：本書中指的是偽代碼（pseudo code），且是使用 BASIC語(yǔ)言編寫的,是介于自然語(yǔ)言和機(jī)器語(yǔ)言之間的文字和符號(hào)，是表達(dá)算法的簡(jiǎn)單而實(shí)用的好方法。偽代碼沒(méi)有統(tǒng)一的格式，只要書寫清楚，易于理解即可，但也要注意符號(hào)要相對(duì)統(tǒng)一，避免引起混淆。如：賦值語(yǔ)句中可以用 ，也可以用 ; 表示兩變量相乘時(shí)可以用“*”，也可以用“”
Ⅰ. 賦值語(yǔ)句（assignment statement）：用 表示， 如： ，表示將y的值賦給x，其中x是一個(gè)變量，y是一個(gè)與x同類型的變量或者表達(dá)式.
一般格式：“” ，有時(shí)在偽代碼的書寫時(shí)也可以用 “”，但此時(shí)的 “ = ”不是數(shù)學(xué)運(yùn)算中的等號(hào)，而應(yīng)理解為一個(gè)賦值號(hào)。
注： 1. 賦值號(hào)左邊只能是變量，不能是常數(shù)或者表達(dá)式，右邊可以是常數(shù)或者表達(dá)式。“ = ”具有計(jì)算功能。如： 3 = a ,b + 6 = a ,都是錯(cuò)誤的，而a = 3*5 – 1 , a = 2a + 3
都是正確的。2.一個(gè)賦值語(yǔ)句一次只能給一個(gè)變量賦值。 如：a = b = c = 2 , a , b ,
c =2 都是錯(cuò)誤的，而 a = 3 是正確的.
例題：將x和y的值交換
, 同樣的如果交換三個(gè)變量x,y,z的值 :
Ⅱ. 輸入語(yǔ)句（input statement）: Read a ,b 表示輸入的數(shù)一次送給 a ,b
輸出語(yǔ)句（out statement） ：Print x ,y 表示一次輸出 運(yùn)算結(jié)果x ,y
注：1.支持多個(gè)輸入和輸出，但是中間要用逗號(hào)隔開(kāi)！2. Read 語(yǔ)句輸入的只能是變量而不是表達(dá)式 3. Print 語(yǔ)句不能起賦值語(yǔ)句，意旨不能在Print 語(yǔ)句中用 “ = ”4. Print語(yǔ)句可以輸出常量和表達(dá)式的值.5.有多個(gè)語(yǔ)句在一行書寫時(shí)用 “ ； ”隔開(kāi).
例題：當(dāng)x等于5時(shí)，Print “x = ”; x 在屏幕上輸出的結(jié)果是 x = 5
Ⅲ.條件語(yǔ)句（conditional statement）：
1. 行If語(yǔ)句: If A Then B 注：沒(méi)有 End If
2. 塊If語(yǔ)句： 注：①不要忘記結(jié)束語(yǔ)句End If ，當(dāng)有If語(yǔ)句嵌套使用時(shí)，有幾個(gè)If ，就必須要有幾個(gè)End If ②. Else If 是對(duì)上一個(gè)條件的否定，即已經(jīng)不屬于上面的條件，另外Else If 后面也要有End If ③ 注意每個(gè)條件的臨界性，即某個(gè)值是屬于上一個(gè)條件里，還是屬于下一個(gè)條件。④ 為了使得書寫清晰易懂，應(yīng)縮進(jìn)書寫。格式如下：
例題: 用條件語(yǔ)句寫出求三個(gè)數(shù)種最大數(shù)的一個(gè)算法.

或者
注：1. 同樣的你可以寫出求三個(gè)數(shù)中最小的數(shù)。
2. 也可以類似的求出四個(gè)數(shù)中最小、大的數(shù)

Ⅳ.循環(huán)語(yǔ)句（ cycle statement）： ( 當(dāng)事先知道循環(huán)次數(shù)時(shí)用 For 循環(huán) ，即使是 N次也是已知次數(shù)的循環(huán) ( 當(dāng)循環(huán)次數(shù)不確定時(shí)用While循環(huán) ( Do 循環(huán)有兩種表達(dá)形式，與循環(huán)結(jié)構(gòu)的兩種循環(huán)相對(duì)應(yīng).
說(shuō)明：1. While循環(huán)是前測(cè)試型的，即滿足什么條件才進(jìn)入循環(huán)，其實(shí)質(zhì)是當(dāng)型循環(huán)，一般在解決有關(guān)問(wèn)題時(shí)，可以寫成While循環(huán)，較為簡(jiǎn)單，因?yàn)樗臈l件相對(duì)好判斷. 2. 凡是能用While循環(huán)書寫的循環(huán)都能用For 循環(huán)書寫 3. While循環(huán)和Do循環(huán)可以相互轉(zhuǎn)化 4. Do循環(huán)的兩種形式也可以相互轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化時(shí)條件要相應(yīng)變化 5. 注意臨界條件的判定.
例題： （見(jiàn)課本）

( ( (

( (

(
顏老師友情提醒：1. 一定要看清題意，看題目讓你干什么，有的只要寫出算法，有的只要求寫出偽代碼，而有的題目則是既寫出算法畫出流程還要寫出偽代碼。
2. 在具體做題時(shí)，可能好多的同學(xué)感覺(jué)先畫流程圖較為簡(jiǎn)單，但也有的算法偽代碼比較好寫，你也可以在草稿紙上按照你自己的思路先做出來(lái)，然后根據(jù)題目要求作答。一般是先寫算法，后畫流程圖，最后寫偽代碼。
3. 書寫程序時(shí)一定要規(guī)范化，使用統(tǒng)一的符號(hào)，最好與教材一致，由于是新教材的原因，再加上各種版本，可能同學(xué)會(huì)看到各種參考書上的書寫格式不一樣，而且有時(shí)還會(huì)碰到我們沒(méi)有見(jiàn)過(guò)的語(yǔ)言，希望大家能以課本為依據(jù)，不要被鋪天蓋地的資料所淹沒(méi)！
高中數(shù)學(xué)必修4知識(shí)點(diǎn)
2、角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角．
第一象限角的集合為
第二象限角的集合為
第三象限角的集合為
第四象限角的集合為
終邊在軸上的角的集合為
終邊在軸上的角的集合為
終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為
3、與角終邊相同的角的集合為
4、已知是第幾象限角，確定所在象限的方法：先把各象限均分等份，再?gòu)妮S的正半軸的上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四，則原來(lái)是第幾象限對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)即為終邊所落在的區(qū)域．
5、長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做弧度．
6、半徑為的圓的圓心角所對(duì)弧的長(zhǎng)為，則角的弧度數(shù)的絕對(duì)值是．
7、弧度制與角度制的換算公式：，，．
8、若扇形的圓心角為，半徑為，弧長(zhǎng)為，周長(zhǎng)為，面積為，則，，．
9、設(shè)是一個(gè)任意大小的角，的終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)是，它與原點(diǎn)的距離是，則，，．
10、三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正．
11、三角函數(shù)線：，，．
12、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：
；
．
13、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式：
，，．
，，．
，，．
，，．
口訣：函數(shù)名稱不變，符號(hào)看象限．
，．
，．
口訣：正弦與余弦互換，符號(hào)看象限．
14、函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象．
函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)
的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象．
函數(shù)的性質(zhì)：
①振幅：；②周期：；③頻率：；④相位：；⑤初相：．
函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值為 ；當(dāng)時(shí)，取得最大值為，則，，．
15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：

圖象
定義域
值域
最值
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)
時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，
；當(dāng)
時(shí)，．
既無(wú)最大值也無(wú)最小值
周期性
奇偶性
奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
單調(diào)性
在
上是增函數(shù)；在
上是減函數(shù)．
在上是增函數(shù)；在
上是減函數(shù)．
在
上是增函數(shù)．
對(duì)稱性
對(duì)稱中心
對(duì)稱軸
對(duì)稱中心
對(duì)稱軸
對(duì)稱中心
無(wú)對(duì)稱軸
16、向量：既有大小，又有方向的量．
數(shù)量：只有大小，沒(méi)有方向的量．
有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度．
零向量：長(zhǎng)度為的向量．
單位向量：長(zhǎng)度等于個(gè)單位的向量．
平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量與任一向量平行．
相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量．
17、向量加法運(yùn)算：
⑴三角形法則的特點(diǎn)：首尾相連．
⑵平行四邊形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn)．
⑶三角形不等式：．
⑷運(yùn)算性質(zhì)：①交換律：；②結(jié)合律：；③．
⑸坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，，則．
18、向量減法運(yùn)算：
⑴三角形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減向量．
⑵坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，，則．
設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，則．
19、向量數(shù)乘運(yùn)算：
⑴實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量的運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作．
①；
②當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，．
⑵運(yùn)算律：①；②；③．
⑶坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，則．
20、向量共線定理：向量與共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使．
設(shè)，，其中，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，向量、共線．
21、平面向量基本定理：如果、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使．（不共線的向量、作為這一平面內(nèi)所有向量的一組基底）
22、分點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，、的坐標(biāo)分別是，，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是．
23、平面向量的數(shù)量積：
⑴．零向量與任一向量的數(shù)量積為．
⑵性質(zhì)：設(shè)和都是非零向量，則①．②當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，；或．③．
⑶運(yùn)算律：①；②；③．
⑷坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)兩個(gè)非零向量，，則．
若，則，或．
設(shè)，，則．
設(shè)、都是非零向量，，，是與的夾角，則．
24、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：
⑴；
⑵；
⑶；
⑷；
⑸（）；
⑹（）．
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴．
⑵（，）．
⑶．
26、，其中．
高中數(shù)學(xué)必修5知識(shí)點(diǎn)
1、正弦定理：在中，、、分別為角、、的對(duì)邊，為的外接圓的半徑，則有．
2、正弦定理的變形公式：①，，；
②，，；
③；
④．
3、三角形面積公式：．
4、余弦定理：在中，有，，
．
5、余弦定理的推論：，，．
6、設(shè)、、是的角、、的對(duì)邊，則：①若，則；
②若，則；③若，則．
7、數(shù)列：按照一定順序排列著的一列數(shù)．
8、數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)．
9、有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列．
10、無(wú)窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列．
11、遞增數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列．
12、遞減數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列．
13、常數(shù)列：各項(xiàng)相等的數(shù)列．
14、擺動(dòng)數(shù)列：從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列．
15、數(shù)列的通項(xiàng)公式：表示數(shù)列的第項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系的公式．
16、數(shù)列的遞推公式：表示任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系的公式．
17、如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列稱為等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差．
18、由三個(gè)數(shù)，，組成的等差數(shù)列可以看成最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列，則稱為與的等差中項(xiàng)．若，則稱為與的等差中項(xiàng)．
19、若等差數(shù)列的首項(xiàng)是，公差是，則．
20、通項(xiàng)公式的變形：①；②；③；
④；⑤．
21、若是等差數(shù)列，且（、、、），則；若是等差數(shù)列，且（、、），則．
22、等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式：①；②．
23、等差數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)：①若項(xiàng)數(shù)為，則，且，．
②若項(xiàng)數(shù)為，則，且，（其中，）．
24、如果一個(gè)數(shù)列從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列稱為等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比．
25、在與中間插入一個(gè)數(shù)，使，，成等比數(shù)列，則稱為與的等比中項(xiàng)．若，則稱為與的等比中項(xiàng)．
26、若等比數(shù)列的首項(xiàng)是，公比是，則．
27、通項(xiàng)公式的變形：①；②；③；④．
28、若是等比數(shù)列，且（、、、），則；若是等比數(shù)列，且（、、），則．
29、等比數(shù)列的前項(xiàng)和的公式：．
30、等比數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)：①若項(xiàng)數(shù)為，則．
②．
③，，成等比數(shù)列．
31、；；．
32、不等式的性質(zhì)： ①；②；③；
④，；⑤；
⑥；⑦；
⑧．
33、一元二次不等式：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是的不等式．
34、二次函數(shù)的圖象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集間的關(guān)系：
判別式
二次函數(shù)
的圖象
一元二次方程
的根
有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根
有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根
沒(méi)有實(shí)數(shù)根
一元二次不等式的解集
35、二元一次不等式：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是的不等式．
36、二元一次不等式組：由幾個(gè)二元一次不等式組成的不等式組．
37、二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式組的和的取值構(gòu)成有序數(shù)對(duì)，所有這樣的有序數(shù)對(duì)構(gòu)成的集合．
38、在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線，坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)．
①若，，則點(diǎn)在直線的上方．
②若，，則點(diǎn)在直線的下方．
39、在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線．
①若，則表示直線上方的區(qū)域；表示直線下方的區(qū)域．
②若，則表示直線下方的區(qū)域；表示直線上方的區(qū)域．
40、線性約束條件：由，的不等式（或方程）組成的不等式組，是，的線性約束條件．
目標(biāo)函數(shù)：欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量，的解析式．
線性目標(biāo)函數(shù)：目標(biāo)函數(shù)為，的一次解析式．
線性規(guī)劃問(wèn)題：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問(wèn)題．
可行解：滿足線性約束條件的解．
可行域：所有可行解組成的集合．
最優(yōu)解：使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解．
41、設(shè)、是兩個(gè)正數(shù)，則稱為正數(shù)、的算術(shù)平均數(shù)，稱為正數(shù)、的幾何平均數(shù)．
42、均值不等式定理： 若，，則，即．
43、常用的基本不等式：①；②；
③；④．
44、極值定理：設(shè)、都為正數(shù)，則有
⑴若（和為定值），則當(dāng)時(shí)，積取得最大值．
⑵若（積為定值），則當(dāng)時(shí)，和取得最小值．
高中數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論
1. 元素與集合的關(guān)系
,.
2.德摩根公式
.
3.包含關(guān)系
4.容斥原理
.
5．集合的子集個(gè)數(shù)共有 個(gè)；真子集有–1個(gè)；非空子集有 –1個(gè)；非空的真子集有–2個(gè).
6.二次函數(shù)的解析式的三種形式
(1)一般式;
(2)頂點(diǎn)式;
(3)零點(diǎn)式.
7.解連不等式常有以下轉(zhuǎn)化形式
.
8.方程在上有且只有一個(gè)實(shí)根,與不等價(jià),前者是后者的一個(gè)必要而不是充分條件.特別地, 方程有且只有一個(gè)實(shí)根在內(nèi),等價(jià)于,或且,或且.
9.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值
二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值只能在處及區(qū)間的兩端點(diǎn)處取得，具體如下：
(1)當(dāng)a>0時(shí)，若，則；
，，.
(2)當(dāng)a<0時(shí)，若，則，若，則，.
10.一元二次方程的實(shí)根分布
依據(jù)：若，則方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根 .
設(shè)，則
（1）方程在區(qū)間內(nèi)有根的充要條件為或；
（2）方程在區(qū)間內(nèi)有根的充要條件為或或或；
（3）方程在區(qū)間內(nèi)有根的充要條件為或 .
11.定區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式恒成立的條件依據(jù)
(1)在給定區(qū)間的子區(qū)間（形如，，不同）上含參數(shù)的二次不等式(為參數(shù))恒成立的充要條件是.
(2)在給定區(qū)間的子區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式(為參數(shù))恒成立的充要條件是.
(3)恒成立的充要條件是或.
12.真值表
ｐ
ｑ
非ｐ
ｐ或ｑ
ｐ且ｑ
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
13.常見(jiàn)結(jié)論的否定形式
原結(jié)論
反設(shè)詞
原結(jié)論
反設(shè)詞
是
不是
至少有一個(gè)
一個(gè)也沒(méi)有
都是
不都是
至多有一個(gè)
至少有兩個(gè)
大于
不大于
至少有個(gè)
至多有（）個(gè)
小于
不小于
至多有個(gè)
至少有（）個(gè)
對(duì)所有，
成立
存在某，
不成立
或
且
對(duì)任何，
不成立
存在某，
成立
且
或
14.四種命題的相互關(guān)系
原命題　　　　　　　互逆　　　　　　　逆命題
若ｐ則ｑ　　　　　　　　　　　　　　　若ｑ則ｐ
　　　　　　　互　　　　　　　互
　　互　　　　　　　　為　　　為　　　　　　　　互
　　否　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　否
　　　　　　　　　　　逆　　　逆　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　否　　　　　　 否
否命題　　　　　　　　　　　　　　　逆否命題　　　
若非ｐ則非ｑ　　　　互逆　　　　　　若非ｑ則非ｐ
15.充要條件
（1）充分條件：若，則是充分條件.
（2）必要條件：若，則是必要條件.
（3）充要條件：若，且，則是充要條件.
注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.
16.函數(shù)的單調(diào)性
(1)設(shè)那么
上是增函數(shù)；
上是減函數(shù).
(2)設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù).
17.如果函數(shù)和都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi),和函數(shù)也是減函數(shù); 如果函數(shù)和在其對(duì)應(yīng)的定義域上都是減函數(shù),則復(fù)合函數(shù)是增函數(shù).
18．奇偶函數(shù)的圖象特征
奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)．
19.若函數(shù)是偶函數(shù)，則；若函數(shù)是偶函數(shù)，則.
20.對(duì)于函數(shù)(),恒成立,則函數(shù)的對(duì)稱軸是函數(shù);兩個(gè)函數(shù)與 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.
21.若,則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱; 若,則函數(shù)為周期為的周期函數(shù).
22．多項(xiàng)式函數(shù)的奇偶性
多項(xiàng)式函數(shù)是奇函數(shù)的偶次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.
多項(xiàng)式函數(shù)是偶函數(shù)的奇次項(xiàng)(即偶數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.
23.函數(shù)的圖象的對(duì)稱性
(1)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
.
(2)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
.
24.兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱性
(1)函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線(即軸)對(duì)稱.
(2)函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.
(3)函數(shù)和的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.
25.若將函數(shù)的圖象右移、上移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象；若將曲線的圖象右移、上移個(gè)單位，得到曲線的圖象.
26．互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系
.
27.若函數(shù)存在反函數(shù),則其反函數(shù)為,并不是,而函數(shù)是的反函數(shù).
28.幾個(gè)常見(jiàn)的函數(shù)方程
(1)正比例函數(shù),.
(2)指數(shù)函數(shù),.
(3)對(duì)數(shù)函數(shù),.
(4)冪函數(shù),.
(5)余弦函數(shù),正弦函數(shù)，，
.
29.幾個(gè)函數(shù)方程的周期(約定a>0)
（1），則的周期T=a；
（2），
或，
或,
或,則的周期T=2a；
(3)，則的周期T=3a；
(4)且，則的周期T=4a；
(5)
,則的周期T=5a；
(6)，則的周期T=6a.
30.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
(1)（，且）.
(2)（，且）.
31．根式的性質(zhì)
（1）.
（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.
32．有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)
(1) .
(2) .
(3).
注： 若a＞0，p是一個(gè)無(wú)理數(shù)，則ap表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．上述有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪都適用.
33.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式
.
34.對(duì)數(shù)的換底公式
(,且,,且, ).
推論 (,且,,且,, ).
35．對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則
(1);
(2) ;
(3).
36.設(shè)函數(shù),記.若的定義域?yàn)?則，且;若的值域?yàn)?則，且.對(duì)于的情形,需要單獨(dú)檢驗(yàn).
37. 對(duì)數(shù)換底不等式及其推廣
若,,,,則函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí),在和上為增函數(shù).
， (2)當(dāng)時(shí),在和上為減函數(shù).
推論:設(shè)，，，且，則
（1）.
（2）.
38. 平均增長(zhǎng)率的問(wèn)題
如果原來(lái)產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長(zhǎng)率為，則對(duì)于時(shí)間的總產(chǎn)值，有.
39.數(shù)列的同項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系
( 數(shù)列的前n項(xiàng)的和為).
40.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式
；
其前n項(xiàng)和公式為
.
41.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式
；
其前n項(xiàng)的和公式為
或.
42.等比差數(shù)列:的通項(xiàng)公式為
；
其前n項(xiàng)和公式為
.
43.分期付款(按揭貸款)
每次還款元(貸款元,次還清,每期利率為).
44．常見(jiàn)三角不等式
（1）若，則.
(2) 若，則.
(3) .
45.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式
，=，.
46.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式

47.和角與差角公式
;
;
.
(平方正弦公式);
.
=(輔助角所在象限由點(diǎn)的象限決定, ).
48.二倍角公式
.
.
.
49. 三倍角公式
.
..
50.三角函數(shù)的周期公式
函數(shù)，x∈R及函數(shù)，x∈R(A,ω,為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期；函數(shù)，(A,ω,為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期.
51.正弦定理?
.
52.余弦定理
;
;
.
53.面積定理
（1）（分別表示a、b、c邊上的高）.
（2）.
(3).
54.三角形內(nèi)角和定理
在△ABC中，有
.
55. 簡(jiǎn)單的三角方程的通解
.
.
.
特別地,有
.
.
.
56.最簡(jiǎn)單的三角不等式及其解集
.
.
.
.
.
.
57.實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律
設(shè)λ、μ為實(shí)數(shù)，那么
(1) 結(jié)合律：λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
58.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：
(1) a·b= b·a （交換律）;
(2)（a）·b= （a·b）=a·b= a·（b）;
(3)（a+b）·c= a ·c +b·c.
59.平面向量基本定理?
如果e1、e 2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．
不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．
60．向量平行的坐標(biāo)表示??
設(shè)a=,b=，且b0，則ab(b0).
53. a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)
a·b=|a||b|cosθ．
61. a·b的幾何意義
數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．
62.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
(1)設(shè)a=,b=，則a+b=.
(2)設(shè)a=,b=，則a-b=.
(3)設(shè)A，B,則.
(4)設(shè)a=，則a=.
(5)設(shè)a=,b=，則a·b=.
63.兩向量的夾角公式
(a=,b=).
64.平面兩點(diǎn)間的距離公式
=
(A，B).
65.向量的平行與垂直
設(shè)a=,b=，且b0，則
A||bb=λa .
ab(a0)a·b=0.
66.線段的定比分公式 ?
設(shè)，，是線段的分點(diǎn),是實(shí)數(shù)，且，則
（）.
67.三角形的重心坐標(biāo)公式
△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、,則△ABC的重心的坐標(biāo)是.
68.點(diǎn)的平移公式
.
注:圖形F上的任意一點(diǎn)P(x，y)在平移后圖形上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，且的坐標(biāo)為.
69.“按向量平移”的幾個(gè)結(jié)論
（1）點(diǎn)按向量a=平移后得到點(diǎn).
(2) 函數(shù)的圖象按向量a=平移后得到圖象,則的函數(shù)解析式為.
(3) 圖象按向量a=平移后得到圖象,若的解析式,則的函數(shù)解析式為.
(4)曲線:按向量a=平移后得到圖象,則的方程為.
(5) 向量m=按向量a=平移后得到的向量仍然為m=.
70. 三角形五“心”向量形式的充要條件
設(shè)為所在平面上一點(diǎn)，角所對(duì)邊長(zhǎng)分別為，則
（1）為的外心.
（2）為的重心.
（3）為的垂心.
（4）為的內(nèi)心.
（5）為的的旁心.
71.常用不等式：
（1）(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號(hào))．
（2）(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號(hào))．
（3）
（4）柯西不等式
（5）.
72.極值定理
已知都是正數(shù)，則有
（1）若積是定值，則當(dāng)時(shí)和有最小值；
（2）若和是定值，則當(dāng)時(shí)積有最大值.
推廣 已知，則有
（1）若積是定值,則當(dāng)最大時(shí),最大；
當(dāng)最小時(shí),最小.
（2）若和是定值,則當(dāng)最大時(shí), 最小；
當(dāng)最小時(shí), 最大.
73.一元二次不等式，如果與同號(hào)，則其解集在兩根之外；如果與異號(hào)，則其解集在兩根之間.簡(jiǎn)言之：同號(hào)兩根之外，異號(hào)兩根之間.
；
.
74.含有絕對(duì)值的不等式
當(dāng)a> 0時(shí)，有
.
或.
75.無(wú)理不等式
（1） .
（2）.
（3）.
76.指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式
(1)當(dāng)時(shí),
;
.
(2)當(dāng)時(shí),
;
77.斜率公式
（、）.
78.直線的五種方程
（1）點(diǎn)斜式 (直線過(guò)點(diǎn)，且斜率為)．
（2）斜截式 (b為直線在y軸上的截距).
（3）兩點(diǎn)式 ()(、 ()).
(4)截距式 (分別為直線的橫、縱截距，)
（5）一般式 (其中A、B不同時(shí)為0).
79.兩條直線的平行和垂直
(1)若，
①;
②.
(2)若,,且A1、A2、B1、B2都不為零,
①；
②；
80.夾角公式
(1).
(，,)
(2).
(,,).
直線時(shí)，直線l1與l2的夾角是.
81. 到的角公式
(1).
(，,)
(2).
(,,).
直線時(shí)，直線l1到l2的角是.
82．四種常用直線系方程
(1)定點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線系方程為(除直線),其中是待定的系數(shù); 經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線系方程為,其中是待定的系數(shù)．
(2)共點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過(guò)兩直線,的交點(diǎn)的直線系方程為(除)，其中λ是待定的系數(shù)．
(3)平行直線系方程：直線中當(dāng)斜率k一定而b變動(dòng)時(shí)，表示平行直線系方程．與直線平行的直線系方程是()，λ是參變量．
(4)垂直直線系方程：與直線 (A≠0，B≠0)垂直的直線系方程是,λ是參變量．
83.點(diǎn)到直線的距離
(點(diǎn),直線：).
84. 或所表示的平面區(qū)域
設(shè)直線，則或所表示的平面區(qū)域是：
若，當(dāng)與同號(hào)時(shí)，表示直線的上方的區(qū)域；當(dāng)與異號(hào)時(shí)，表示直線的下方的區(qū)域.簡(jiǎn)言之,同號(hào)在上,異號(hào)在下.
若，當(dāng)與同號(hào)時(shí)，表示直線的右方的區(qū)域；當(dāng)與異號(hào)時(shí)，表示直線的左方的區(qū)域. 簡(jiǎn)言之,同號(hào)在右,異號(hào)在左.
85. 或所表示的平面區(qū)域
設(shè)曲線（），則
或所表示的平面區(qū)域是：
所表示的平面區(qū)域上下兩部分；
所表示的平面區(qū)域上下兩部分.
86. 圓的四種方程
（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 .
（2）圓的一般方程 (＞0).
（3）圓的參數(shù)方程 .
（4）圓的直徑式方程 (圓的直徑的端點(diǎn)是、).
87. 圓系方程
(1)過(guò)點(diǎn),的圓系方程是
,其中是直線的方程,λ是待定的系數(shù)．
(2)過(guò)直線:與圓:的交點(diǎn)的圓系方程是,λ是待定的系數(shù)．
(3) 過(guò)圓:與圓:的交點(diǎn)的圓系方程是,λ是待定的系數(shù)．
88.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種
若，則
點(diǎn)在圓外;點(diǎn)在圓上;點(diǎn)在圓內(nèi).
89.直線與圓的位置關(guān)系
直線與圓的位置關(guān)系有三種:
;
;
.
其中.
90.兩圓位置關(guān)系的判定方法
設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，
;
;
;
;
.
91.圓的切線方程
(1)已知圓．
①若已知切點(diǎn)在圓上，則切線只有一條，其方程是
.
當(dāng)圓外時(shí), 表示過(guò)兩個(gè)切點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程．
②過(guò)圓外一點(diǎn)的切線方程可設(shè)為，再利用相切條件求k，這時(shí)必有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線．
③斜率為k的切線方程可設(shè)為，再利用相切條件求b，必有兩條切線．
(2)已知圓．
①過(guò)圓上的點(diǎn)的切線方程為;
②斜率為的圓的切線方程為.
92.橢圓的參數(shù)方程是.
93.橢圓焦半徑公式
，.
94．橢圓的的內(nèi)外部
（1）點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部.
（2）點(diǎn)在橢圓的外部.
95. 橢圓的切線方程
(1)橢圓上一點(diǎn)處的切線方程是.
（2）過(guò)橢圓外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是
.
（3）橢圓與直線相切的條件是.
96.雙曲線的焦半徑公式
，.
97.雙曲線的內(nèi)外部
(1)點(diǎn)在雙曲線的內(nèi)部.
(2)點(diǎn)在雙曲線的外部.
98.雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系
(1）若雙曲線方程為漸近線方程：.
(2)若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為.
(3)若雙曲線與有公共漸近線，可設(shè)為（，焦點(diǎn)在x軸上，，焦點(diǎn)在y軸上）.
99. 雙曲線的切線方程
(1)雙曲線上一點(diǎn)處的切線方程是.
（2）過(guò)雙曲線外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是
.
（3）雙曲線與直線相切的條件是.
100. 拋物線的焦半徑公式
拋物線焦半徑.
過(guò)焦點(diǎn)弦長(zhǎng).
101.拋物線上的動(dòng)點(diǎn)可設(shè)為P或 P，其中 .
102.二次函數(shù)的圖象是拋物線：（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）焦點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）準(zhǔn)線方程是.
103.拋物線的內(nèi)外部
(1)點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部.
點(diǎn)在拋物線的外部.
(2)點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部.
點(diǎn)在拋物線的外部.
(3)點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部.
點(diǎn)在拋物線的外部.
(4) 點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部.
點(diǎn)在拋物線的外部.
104. 拋物線的切線方程
(1)拋物線上一點(diǎn)處的切線方程是.
（2）過(guò)拋物線外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是.
（3）拋物線與直線相切的條件是.
105.兩個(gè)常見(jiàn)的曲線系方程
(1)過(guò)曲線,的交點(diǎn)的曲線系方程是
(為參數(shù)).
(2)共焦點(diǎn)的有心圓錐曲線系方程,其中.當(dāng)時(shí),表示橢圓; 當(dāng)時(shí),表示雙曲線.
106.直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)公式 或
（弦端點(diǎn)A，由方程 消去y得到，,為直線的傾斜角，為直線的斜率）.
107.圓錐曲線的兩類對(duì)稱問(wèn)題
（1）曲線關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱的曲線是.
（2）曲線關(guān)于直線成軸對(duì)稱的曲線是
.
108.“四線”一方程
對(duì)于一般的二次曲線，用代，用代，用代，用代，用代即得方程
，曲線的切線，切點(diǎn)弦，中點(diǎn)弦，弦中點(diǎn)方程均是此方程得到.
109．證明直線與直線的平行的思考途徑
（1）轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無(wú)交點(diǎn)；
（2）轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；
（3）轉(zhuǎn)化為線面平行；
（4）轉(zhuǎn)化為線面垂直；
（5）轉(zhuǎn)化為面面平行.
110．證明直線與平面的平行的思考途徑
（1）轉(zhuǎn)化為直線與平面無(wú)公共點(diǎn)；
（2）轉(zhuǎn)化為線線平行；
（3）轉(zhuǎn)化為面面平行.
111．證明平面與平面平行的思考途徑
（1）轉(zhuǎn)化為判定二平面無(wú)公共點(diǎn)；
（2）轉(zhuǎn)化為線面平行；
（3）轉(zhuǎn)化為線面垂直.
112．證明直線與直線的垂直的思考途徑
（1）轉(zhuǎn)化為相交垂直；
（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直；
（3）轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；
（4）轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.
113．證明直線與平面垂直的思考途徑
（1）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；
（2）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；
（3）轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；
（4）轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面；
（5）轉(zhuǎn)化為該直線與兩個(gè)垂直平面的交線垂直.
114．證明平面與平面的垂直的思考途徑
（1）轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；
（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直.
115.空間向量的加法與數(shù)乘向量運(yùn)算的運(yùn)算律
(1)加法交換律：a＋b=b＋a．
(2)加法結(jié)合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．
(3)數(shù)乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．
116.平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣
始點(diǎn)相同且不在同一個(gè)平面內(nèi)的三個(gè)向量之和，等于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對(duì)角線所表示的向量.
117.共線向量定理
對(duì)空間任意兩個(gè)向量a、b(b≠0 )，a∥b存在實(shí)數(shù)λ使a=λb．
三點(diǎn)共線.
、共線且不共線且不共線.
118.共面向量定理
向量p與兩個(gè)不共線的向量a、b共面的存在實(shí)數(shù)對(duì),使．
推論 空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的存在有序?qū)崝?shù)對(duì),使，
或?qū)臻g任一定點(diǎn)O，有序?qū)崝?shù)對(duì)，使.
119.對(duì)空間任一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)A、B、C，滿足（），則當(dāng)時(shí)，對(duì)于空間任一點(diǎn)，總有P、A、B、C四點(diǎn)共面；當(dāng)時(shí)，若平面ABC，則P、A、B、C四點(diǎn)共面；若平面ABC，則P、A、B、C四點(diǎn)不共面．
四點(diǎn)共面與、共面
（平面ABC）.
120.空間向量基本定理
如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．
推論 設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x，y，z，使.
121.射影公式
已知向量=a和軸，e是上與同方向的單位向量.作A點(diǎn)在上的射影，作B點(diǎn)在上的射影，則
〈a，e〉=a·e
122.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算
設(shè)a＝，b＝則
(1)a＋b＝；
(2)a－b＝；
(3)λa＝ (λ∈R)；
(4)a·b＝；
123.設(shè)A，B，則
= .
124．空間的線線平行或垂直
設(shè)，，則
；
.
125.夾角公式
設(shè)a＝，b＝，則
cos〈a，b〉=.
推論 ，此即三維柯西不等式.
126. 四面體的對(duì)棱所成的角
四面體中, 與所成的角為,則
.
127．異面直線所成角
=
（其中（）為異面直線所成角，分別表示異面直線的方向向量）
128.直線與平面所成角
(為平面的法向量).
129.若所在平面若與過(guò)若的平面成的角,另兩邊,與平面成的角分別是、,為的兩個(gè)內(nèi)角，則
.
特別地,當(dāng)時(shí),有
.
130.若所在平面若與過(guò)若的平面成的角,另兩邊,與平面成的角分別是、,為的兩個(gè)內(nèi)角，則
.
特別地,當(dāng)時(shí),有
.
131.二面角的平面角
或（，為平面，的法向量）.
132.三余弦定理
設(shè)AC是α內(nèi)的任一條直線，且BC⊥AC，垂足為C，又設(shè)AO與AB所成的角為，AB與AC所成的角為，AO與AC所成的角為．則.
133. 三射線定理
若夾在平面角為的二面角間的線段與二面角的兩個(gè)半平面所成的角是,,與二面角的棱所成的角是θ，則有 ;
(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立).
134.空間兩點(diǎn)間的距離公式
若A，B，則
=.
135.點(diǎn)到直線距離
(點(diǎn)在直線上，直線的方向向量a=，向量b=).
136.異面直線間的距離
(是兩異面直線，其公垂向量為，分別是上任一點(diǎn)，為間的距離).
137.點(diǎn)到平面的距離
（為平面的法向量，是經(jīng)過(guò)面的一條斜線，）.
138.異面直線上兩點(diǎn)距離公式
.
.
（）.
(兩條異面直線a、b所成的角為θ，其公垂線段的長(zhǎng)度為h.在直線a、b上分別取兩點(diǎn)E、F，,,).
139.三個(gè)向量和的平方公式

140. 長(zhǎng)度為的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長(zhǎng)分別為，夾角分別為,則有
.
（立體幾何中長(zhǎng)方體對(duì)角線長(zhǎng)的公式是其特例）.
141. 面積射影定理
.
(平面多邊形及其射影的面積分別是、，它們所在平面所成銳二面角的為).
142. 斜棱柱的直截面
已知斜棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)是,側(cè)面積和體積分別是和,它的直截面的周長(zhǎng)和面積分別是和,則
①.
②.
143．作截面的依據(jù)
三個(gè)平面兩兩相交，有三條交線，則這三條交線交于一點(diǎn)或互相平行.
144．棱錐的平行截面的性質(zhì)
如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比（對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例的多邊形是相似多邊形，相似多邊形面積的比等于對(duì)應(yīng)邊的比的平方）；相應(yīng)小棱錐與小棱錐的側(cè)面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比．
145.歐拉定理(歐拉公式)
(簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F).
（1）=各面多邊形邊數(shù)和的一半.特別地,若每個(gè)面的邊數(shù)為的多邊形，則面數(shù)F與棱數(shù)E的關(guān)系：；
（2）若每個(gè)頂點(diǎn)引出的棱數(shù)為，則頂點(diǎn)數(shù)V與棱數(shù)E的關(guān)系：.
146.球的半徑是R，則
其體積,
其表面積．
147.球的組合體
(1)球與長(zhǎng)方體的組合體:
長(zhǎng)方體的外接球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng).
(2)球與正方體的組合體:
正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長(zhǎng), 正方體的棱切球的直徑是正方體的面對(duì)角線長(zhǎng), 正方體的外接球的直徑是正方體的體對(duì)角線長(zhǎng).
(3) 球與正四面體的組合體:
棱長(zhǎng)為的正四面體的內(nèi)切球的半徑為,外接球的半徑為.
148．柱體、錐體的體積
（是柱體的底面積、是柱體的高）.
（是錐體的底面積、是錐體的高）.
149.分類計(jì)數(shù)原理（加法原理）
.
150.分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）
.
151.排列數(shù)公式
==.(，∈N*，且)．
注:規(guī)定.
152.排列恒等式
(1）;
（2）;
（3）;
（4）;
（5）.
(6) .
153.組合數(shù)公式
===(∈N*，，且).
154.組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)
(1)= ;
(2) +=.
注:規(guī)定.
155.組合恒等式
（1）;
（2）;
（3）;
（4）=;
（5）.
(6).
(7).
(8).
(9).
(10).
156.排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系
.
157．單條件排列
以下各條的大前提是從個(gè)元素中取個(gè)元素的排列.
（1）“在位”與“不在位”
①某（特）元必在某位有種；②某（特）元不在某位有（補(bǔ)集思想）（著眼位置）（著眼元素）種.
（2）緊貼與插空（即相鄰與不相鄰）
①定位緊貼：個(gè)元在固定位的排列有種.
②浮動(dòng)緊貼：個(gè)元素的全排列把k個(gè)元排在一起的排法有種.注：此類問(wèn)題常用捆綁法；
③插空：兩組元素分別有k、h個(gè)（），把它們合在一起來(lái)作全排列，k個(gè)的一組互不能挨近的所有排列數(shù)有種.
（3）兩組元素各相同的插空
個(gè)大球個(gè)小球排成一列，小球必分開(kāi)，問(wèn)有多少種排法？
當(dāng)時(shí)，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，有種排法.
（4）兩組相同元素的排列：兩組元素有m個(gè)和n個(gè)，各組元素分別相同的排列數(shù)為.
158．分配問(wèn)題
（1）(平均分組有歸屬問(wèn)題)將相異的、個(gè)物件等分給個(gè)人，各得件，其分配方法數(shù)共有.
（2）(平均分組無(wú)歸屬問(wèn)題)將相異的·個(gè)物體等分為無(wú)記號(hào)或無(wú)順序的堆，其分配方法數(shù)共有
.
（3）(非平均分組有歸屬問(wèn)題)將相異的個(gè)物體分給個(gè)人，物件必須被分完，分別得到，，…，件，且，，…，這個(gè)數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)共有.
（4）(非完全平均分組有歸屬問(wèn)題)將相異的個(gè)物體分給個(gè)人，物件必須被分完，分別得到，，…，件，且，，…，這個(gè)數(shù)中分別有a、b、c、…個(gè)相等，則其分配方法數(shù)有 .
（5）(非平均分組無(wú)歸屬問(wèn)題)將相異的個(gè)物體分為任意的，，…，件無(wú)記號(hào)的堆，且，，…，這個(gè)數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)有.
（6）(非完全平均分組無(wú)歸屬問(wèn)題)將相異的個(gè)物體分為任意的，，…，件無(wú)記號(hào)的堆，且，，…，這個(gè)數(shù)中分別有a、b、c、…個(gè)相等，則其分配方法數(shù)有.
（7）(限定分組有歸屬問(wèn)題)將相異的（）個(gè)物體分給甲、乙、丙，……等個(gè)人，物體必須被分完，如果指定甲得件，乙得件，丙得件，…時(shí)，則無(wú)論，，…，等個(gè)數(shù)是否全相異或不全相異其分配方法數(shù)恒有
.
159．“錯(cuò)位問(wèn)題”及其推廣
貝努利裝錯(cuò)箋問(wèn)題:信封信與個(gè)信封全部錯(cuò)位的組合數(shù)為
.
推廣: 個(gè)元素與個(gè)位置,其中至少有個(gè)元素錯(cuò)位的不同組合總數(shù)為
.
160．不定方程的解的個(gè)數(shù)
(1)方程（）的正整數(shù)解有個(gè).
(2) 方程（）的非負(fù)整數(shù)解有 個(gè).
(3) 方程（）滿足條件(,)的非負(fù)整數(shù)解有個(gè).
(4) 方程（）滿足條件(,)的正整數(shù)解有個(gè).
161.二項(xiàng)式定理 ;
二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式
.
162.等可能性事件的概率
.
163.互斥事件A，B分別發(fā)生的概率的和
P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
164.個(gè)互斥事件分別發(fā)生的概率的和
P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
165.獨(dú)立事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率
P(A·B)= P(A)·P(B).
166.n個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率
P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An)．
167.n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件恰好發(fā)生k次的概率
168.離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個(gè)性質(zhì)
（1）;
（2）.
169.數(shù)學(xué)期望
170.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)
（1）.
（2）若～,則.
(3) 若服從幾何分布,且，則.
171.方差
172.標(biāo)準(zhǔn)差
=.
173.方差的性質(zhì)
(1)；
(2）若～，則.
(3) 若服從幾何分布,且，則.
174.方差與期望的關(guān)系
.
175.正態(tài)分布密度函數(shù)
，式中的實(shí)數(shù)μ，（>0）是參數(shù)，分別表示個(gè)體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差.
176.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)
.
177.對(duì)于，取值小于x的概率
.
.
178.回歸直線方程
，其中.
179.相關(guān)系數(shù)
.
|r|≤1，且|r|越接近于1，相關(guān)程度越大；|r|越接近于0，相關(guān)程度越小.
180.特殊數(shù)列的極限
（1）.
（2）.
（3）（無(wú)窮等比數(shù)列 ()的和）.
181. 函數(shù)的極限定理
.
182.函數(shù)的夾逼性定理
如果函數(shù)f(x)，g(x)，h(x)在點(diǎn)x0的附近滿足：
（1）;
（2）（常數(shù)）,
則.
本定理對(duì)于單側(cè)極限和的情況仍然成立.
183.幾個(gè)常用極限
（1），（）；
（2），.
184.兩個(gè)重要的極限
（1）；
（2）(e=2.718281845…).
185.函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則
若，，則
(1)；
(2);
(3).
186.數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則
若，則
(1)；
(2)；
(3)
(4)( c是常數(shù)).
187.在處的導(dǎo)數(shù)（或變化率或微商）
.
188.瞬時(shí)速度
.
189.瞬時(shí)加速度
.
190.在的導(dǎo)數(shù)
.
191. 函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義
函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是曲線在處的切線的斜率，相應(yīng)的切線方程是.
192.幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
(1) （C為常數(shù)）.
(2) .
(3) .
(4) .
(5) ；.
(6) ; .
193.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
（1）.
（2）.
（3）.
194.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則
設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù)，函數(shù)在點(diǎn)處的對(duì)應(yīng)點(diǎn)U處有導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù)，且，或?qū)懽?
195.常用的近似計(jì)算公式（當(dāng)充小時(shí)）
(1);；
(2)； ；
(3)；
(4)；
(5)（為弧度）；
(6)（為弧度）；
(7)（為弧度）
196.判別是極大（小）值的方法
當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)時(shí)，
（1）如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，則是極大值；
（2）如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，則是極小值.
197.復(fù)數(shù)的相等
.（）
198.復(fù)數(shù)的模（或絕對(duì)值）
==.
199.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則
(1);
(2);
(3);
(4).
200.復(fù)數(shù)的乘法的運(yùn)算律
對(duì)于任何，有
交換律:.
結(jié)合律:.
分配律: .
201.復(fù)平面上的兩點(diǎn)間的距離公式
（，）.
202.向量的垂直
非零復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的向量分別是，，則
的實(shí)部為零為純虛數(shù)
(λ為非零實(shí)數(shù)).
203.實(shí)系數(shù)一元二次方程的解
實(shí)系數(shù)一元二次方程，
①若,則;
②若,則;
③若，它在實(shí)數(shù)集內(nèi)沒(méi)有實(shí)數(shù)根；在復(fù)數(shù)集內(nèi)有且僅有兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)根.
高中數(shù)學(xué)高考知識(shí)練習(xí)
1. 對(duì)于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“確定性、互異性、無(wú)序性”。
中元素各表示什么？

注重借助于數(shù)軸和文氏圖解集合問(wèn)題。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。



3. 注意下列性質(zhì)：


（3）德摩根定律：

4. 你會(huì)用補(bǔ)集思想解決問(wèn)題嗎？（排除法、間接法）

的取值范圍。





6. 命題的四種形式及其相互關(guān)系是什么？
（互為逆否關(guān)系的命題是等價(jià)命題。）
原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。
7. 對(duì)映射的概念了解嗎？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中與之對(duì)應(yīng)元素的唯一性，哪幾種對(duì)應(yīng)能構(gòu)成映射？
（一對(duì)一，多對(duì)一，允許B中有元素?zé)o原象。）
8. 函數(shù)的三要素是什么？如何比較兩個(gè)函數(shù)是否相同？
（定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域）
9. 求函數(shù)的定義域有哪些常見(jiàn)類型？


10. 如何求復(fù)合函數(shù)的定義域？
義域是_。

11. 求一個(gè)函數(shù)的解析式或一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，注明函數(shù)的定義域了嗎？





12. 反函數(shù)存在的條件是什么？
（一一對(duì)應(yīng)函數(shù)）
求反函數(shù)的步驟掌握了嗎？
（①反解x；②互換x、y；③注明定義域）


13. 反函數(shù)的性質(zhì)有哪些？
①互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱；
②保存了原來(lái)函數(shù)的單調(diào)性、奇函數(shù)性；


14. 如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？
（取值、作差、判正負(fù)）
如何判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性？







∴……）
15. 如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性？


值是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3



∴a的最大值為3）
16. 函數(shù)f(x)具有奇偶性的必要（非充分）條件是什么？
（f(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）


注意如下結(jié)論：
（1）在公共定義域內(nèi)：兩個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；一個(gè)偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。








17. 你熟悉周期函數(shù)的定義嗎？

函數(shù)，T是一個(gè)周期。）





如：
18. 你掌握常用的圖象變換了嗎？








注意如下“翻折”變換：



19. 你熟練掌握常用函數(shù)的圖象和性質(zhì)了嗎？

的雙曲線。




應(yīng)用：①“三個(gè)二次”（二次函數(shù)、二次方程、二次不等式）的關(guān)系——二次方程
②求閉區(qū)間［m，n］上的最值。
③求區(qū)間定（動(dòng)），對(duì)稱軸動(dòng)（定）的最值問(wèn)題。
④一元二次方程根的分布問(wèn)題。




由圖象記性質(zhì)！ （注意底數(shù)的限定！）

利用它的單調(diào)性求最值與利用均值不等式求最值的區(qū)別是什么？
20. 你在基本運(yùn)算上常出現(xiàn)錯(cuò)誤嗎？






21. 如何解抽象函數(shù)問(wèn)題？
（賦值法、結(jié)構(gòu)變換法）







22. 掌握求函數(shù)值域的常用方法了嗎？
（二次函數(shù)法（配方法），反函數(shù)法，換元法，均值定理法，判別式法，利用函數(shù)單調(diào)性法，導(dǎo)數(shù)法等。）
如求下列函數(shù)的最值：





23. 你記得弧度的定義嗎？能寫出圓心角為α，半徑為R的弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式嗎？

24. 熟記三角函數(shù)的定義，單位圓中三角函數(shù)線的定義






25. 你能迅速畫出正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象嗎？并由圖象寫出單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱點(diǎn)、對(duì)稱軸嗎？















（x，y）作圖象。




27. 在三角函數(shù)中求一個(gè)角時(shí)要注意兩個(gè)方面——先求出某一個(gè)三角函數(shù)值，再判定角的范圍。


28. 在解含有正、余弦函數(shù)的問(wèn)題時(shí)，你注意（到）運(yùn)用函數(shù)的有界性了嗎？


29. 熟練掌握三角函數(shù)圖象變換了嗎？
（平移變換、伸縮變換）
平移公式：


圖象？

30. 熟練掌握同角三角函數(shù)關(guān)系和誘導(dǎo)公式了嗎？

“奇”、“偶”指k取奇、偶數(shù)。


A. 正值或負(fù)值 B. 負(fù)值 C. 非負(fù)值 D. 正值

31. 熟練掌握兩角和、差、倍、降冪公式及其逆向應(yīng)用了嗎？
理解公式之間的聯(lián)系：





應(yīng)用以上公式對(duì)三角函數(shù)式化簡(jiǎn)。（化簡(jiǎn)要求：項(xiàng)數(shù)最少、函數(shù)種類最少，分母中不含三角函數(shù)，能求值，盡可能求值。）
具體方法：

（2）名的變換：化弦或化切
（3）次數(shù)的變換：升、降冪公式
（4）形的變換：統(tǒng)一函數(shù)形式，注意運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算。




32. 正、余弦定理的各種表達(dá)形式你還記得嗎？如何實(shí)現(xiàn)邊、角轉(zhuǎn)化，而解斜三角形？

（應(yīng)用：已知兩邊一夾角求第三邊；已知三邊求角。）















33. 用反三角函數(shù)表示角時(shí)要注意角的范圍。



34. 不等式的性質(zhì)有哪些？









答案：C
35. 利用均值不等式：

值？（一正、二定、三相等）
注意如下結(jié)論：











36. 不等式證明的基本方法都掌握了嗎？
（比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法等）
并注意簡(jiǎn)單放縮法的應(yīng)用。




（移項(xiàng)通分，分子分母因式分解，x的系數(shù)變?yōu)?，穿軸法解得結(jié)果。）
38. 用“穿軸法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，從最大根的右上方開(kāi)始

39. 解含有參數(shù)的不等式要注意對(duì)字母參數(shù)的討論

40. 對(duì)含有兩個(gè)絕對(duì)值的不等式如何去解？
（找零點(diǎn)，分段討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，最后取各段的并集。）





證明：



（按不等號(hào)方向放縮）
42. 不等式恒成立問(wèn)題，常用的處理方式是什么？（可轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，或“△”問(wèn)題）







43. 等差數(shù)列的定義與性質(zhì)









0的二次函數(shù)）
項(xiàng)，即：







44. 等比數(shù)列的定義與性質(zhì)








46. 你熟悉求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法嗎？
例如：（1）求差（商）法

解：




［練習(xí)］




（2）疊乘法

解：

（3）等差型遞推公式




［練習(xí)］


（4）等比型遞推公式







［練習(xí)］


（5）倒數(shù)法






47. 你熟悉求數(shù)列前n項(xiàng)和的常用方法嗎？
例如：（1）裂項(xiàng)法：把數(shù)列各項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)之和，使之出現(xiàn)成對(duì)互為相反數(shù)的項(xiàng)。

解：


［練習(xí)］


（2）錯(cuò)位相減法：






（3）倒序相加法：把數(shù)列的各項(xiàng)順序倒寫，再與原來(lái)順序的數(shù)列相加。


［練習(xí)］




48. 你知道儲(chǔ)蓄、貸款問(wèn)題嗎？
△零存整取儲(chǔ)蓄（單利）本利和計(jì)算模型：
若每期存入本金p元，每期利率為r，n期后，本利和為：

△若按復(fù)利，如貸款問(wèn)題——按揭貸款的每期還款計(jì)算模型（按揭貸款——分期等額歸還本息的借款種類）
若貸款（向銀行借款）p元，采用分期等額還款方式，從借款日算起，一期（如一年）后為第一次還款日，如此下去，第n次還清。如果每期利率為r（按復(fù)利），那么每期應(yīng)還x元，滿足



p——貸款數(shù)，r——利率，n——還款期數(shù)
49. 解排列、組合問(wèn)題的依據(jù)是：分類相加，分步相乘，有序排列，無(wú)序組合。




（2）排列：從n個(gè)不同元素中，任取m（m≤n）個(gè)元素，按照一定的順序排成一


（3）組合：從n個(gè)不同元素中任取m（m≤n）個(gè)元素并組成一組，叫做從n個(gè)不




50. 解排列與組合問(wèn)題的規(guī)律是：
相鄰問(wèn)題捆綁法；相間隔問(wèn)題插空法；定位問(wèn)題優(yōu)先法；多元問(wèn)題分類法；至多至少問(wèn)題間接法；相同元素分組可采用隔板法，數(shù)量不大時(shí)可以逐一排出結(jié)果。
如：學(xué)號(hào)為1，2，3，4的四名學(xué)生的考試成績(jī)
則這四位同學(xué)考試成績(jī)的所有可能情況是（ ）
A. 24 B. 15 C. 12 D. 10
解析：可分成兩類：



（2）中間兩個(gè)分?jǐn)?shù)相等

相同兩數(shù)分別取90，91，92，對(duì)應(yīng)的排列可以數(shù)出來(lái)，分別有3，4，3種，∴有10種。
∴共有5＋10＝15（種）情況
51. 二項(xiàng)式定理


性質(zhì)：



（3）最值：n為偶數(shù)時(shí)，n＋1為奇數(shù)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大且為第
表示）








52. 你對(duì)隨機(jī)事件之間的關(guān)系熟悉嗎？


的和（并）。

（5）互斥事件（互不相容事件）：“A與B不能同時(shí)發(fā)生”叫做A、B互斥。

（6）對(duì)立事件（互逆事件）：

（7）獨(dú)立事件：A發(fā)生與否對(duì)B發(fā)生的概率沒(méi)有影響，這樣的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件。

53. 對(duì)某一事件概率的求法：
分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列組合的方法，即




（5）如果在一次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率是p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中A恰好發(fā)生
如：設(shè)10件產(chǎn)品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。
（1）從中任取2件都是次品；

（2）從中任取5件恰有2件次品；

（3）從中有放回地任取3件至少有2件次品；
解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝103
而至少有2件次品為“恰有2次品”和“三件都是次品”


（4）從中依次取5件恰有2件次品。
解析：∵一件一件抽取（有順序）


分清（1）、（2）是組合問(wèn)題，（3）是可重復(fù)排列問(wèn)題，（4）是無(wú)重復(fù)排列問(wèn)題。
54. 抽樣方法主要有：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（抽簽法、隨機(jī)數(shù)表法）常常用于總體個(gè)數(shù)較少時(shí)，它的特征是從總體中逐個(gè)抽取；系統(tǒng)抽樣，常用于總體個(gè)數(shù)較多時(shí)，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一個(gè)；分層抽樣，主要特征是分層按比例抽樣，主要用于總體中有明顯差異，它們的共同特征是每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，體現(xiàn)了抽樣的客觀性和平等性。
55. 對(duì)總體分布的估計(jì)——用樣本的頻率作為總體的概率，用樣本的期望（平均值）和方差去估計(jì)總體的期望和方差。
要熟悉樣本頻率直方圖的作法：

（2）決定組距和組數(shù)；
（3）決定分點(diǎn)；
（4）列頻率分布表；
（5）畫頻率直方圖。



如：從10名女生與5名男生中選6名學(xué)生參加比賽，如果按性別分層隨機(jī)抽樣，則組成此參賽隊(duì)的概率為_(kāi)___________。

56. 你對(duì)向量的有關(guān)概念清楚嗎？
（1）向量——既有大小又有方向的量。




在此規(guī)定下向量可以在平面（或空間）平行移動(dòng)而不改變。
（6）并線向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。
規(guī)定零向量與任意向量平行。

（7）向量的加、減法如圖：


（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）

的一組基底。
（9）向量的坐標(biāo)表示

表示。






57. 平面向量的數(shù)量積


數(shù)量積的幾何意義：

（2）數(shù)量積的運(yùn)算法則











［練習(xí)］

答案：

答案：2

答案：
58. 線段的定比分點(diǎn)




※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、內(nèi)心及其性質(zhì)嗎？
59. 立體幾何中平行、垂直關(guān)系證明的思路清楚嗎？
平行垂直的證明主要利用線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化：

線面平行的判定：

線面平行的性質(zhì)：

三垂線定理（及逆定理）：


線面垂直：

面面垂直：




60. 三類角的定義及求法
（1）異面直線所成的角θ，0°＜θ≤90°
（2）直線與平面所成的角θ，0°≤θ≤90°


（三垂線定理法：A∈α作或證AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，連AO，則AO⊥棱l，∴∠AOB為所求。）
三類角的求法：
①找出或作出有關(guān)的角。
②證明其符合定義，并指出所求作的角。
③計(jì)算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。
［練習(xí)］
（1）如圖，OA為α的斜線OB為其在α內(nèi)射影，OC為α內(nèi)過(guò)O點(diǎn)任一直線。


（2）如圖，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中對(duì)角線BD1＝8，BD1與側(cè)面B1BCC1所成的為30°。
①求BD1和底面ABCD所成的角；
②求異面直線BD1和AD所成的角；
③求二面角C1—BD1—B1的大小。

（3）如圖ABCD為菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，求面PAB與面PCD所成的銳二面角的大小。
（∵AB∥DC，P為面PAB與面PCD的公共點(diǎn)，作PF∥AB，則PF為面PCD與面PAB的交線……）
61. 空間有幾種距離？如何求距離？
點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)與線，點(diǎn)與面，線與線，線與面，面與面間距離。
將空間距離轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)的距離，構(gòu)造三角形，解三角形求線段的長(zhǎng)（如：三垂線定理法，或者用等積轉(zhuǎn)化法）。
如：正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為a，則：
（1）點(diǎn)C到面AB1C1的距離為_(kāi)__________；
（2）點(diǎn)B到面ACB1的距離為_(kāi)___________；
（3）直線A1D1到面AB1C1的距離為_(kāi)___________；
（4）面AB1C與面A1DC1的距離為_(kāi)___________；
（5）點(diǎn)B到直線A1C1的距離為_(kāi)____________。
62. 你是否準(zhǔn)確理解正棱柱、正棱錐的定義并掌握它們的性質(zhì)？
正棱柱——底面為正多邊形的直棱柱
正棱錐——底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心。
正棱錐的計(jì)算集中在四個(gè)直角三角形中：

它們各包含哪些元素？


63. 球有哪些性質(zhì)？

（2）球面上兩點(diǎn)的距離是經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的大圓的劣弧長(zhǎng)。為此，要找球心角！
（3）如圖，θ為緯度角，它是線面成角；α為經(jīng)度角，它是面面成角。

（5）球內(nèi)接長(zhǎng)方體的對(duì)角線是球的直徑。正四面體的外接球半徑R與內(nèi)切球半徑r之比為R：r＝3：1。
積為（ ）

答案：A
64. 熟記下列公式了嗎？


（2）直線方程：







65. 如何判斷兩直線平行、垂直？




66. 怎樣判斷直線l與圓C的位置關(guān)系？
圓心到直線的距離與圓的半徑比較。
直線與圓相交時(shí)，注意利用圓的“垂徑定理”。
67. 怎樣判斷直線與圓錐曲線的位置？

68. 分清圓錐曲線的定義









70. 在圓錐曲線與直線聯(lián)立求解時(shí)，消元后得到的方程，要注意其二次項(xiàng)系數(shù)是否為零？△≥0的限制。（求交點(diǎn)，弦長(zhǎng)，中點(diǎn)，斜率，對(duì)稱存在性問(wèn)題都在△≥0下進(jìn)行。）


71. 會(huì)用定義求圓錐曲線的焦半徑嗎？
如：




通徑是拋物線的所有焦點(diǎn)弦中最短者；以焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切。
72. 有關(guān)中點(diǎn)弦問(wèn)題可考慮用“代點(diǎn)法”。

答案：
73. 如何求解“對(duì)稱”問(wèn)題？
（1）證明曲線C：F（x，y）＝0關(guān)于點(diǎn)M（a，b）成中心對(duì)稱，設(shè)A（x，y）為曲線C上任意一點(diǎn)，設(shè)A'（x'，y'）為A關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)。





75. 求軌跡方程的常用方法有哪些？注意討論范圍。
（直接法、定義法、轉(zhuǎn)移法、參數(shù)法）
76. 對(duì)線性規(guī)劃問(wèn)題：作出可行域，作出以目標(biāo)函數(shù)為截距的直線，在可行域內(nèi)平移直線，求出目標(biāo)函數(shù)的最值。Dove

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