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【小學數學解題思路大全】式題的巧解妙算 （一）
1.特殊數題(1)21－12
　　當被減數和減數個位和十位上的數字(零除外)交叉相等時，其差為被減數與減數十位數字的差乘以9。
　　因為這樣的兩位數減法，最低起點是21－12，差為9，即(2－1)×9。減數增加1，其差也就相應地增加了一個9，故31－13＝(3－1)×9＝18。減數從12—89，都可類推。
　　被減數和減數同時擴大(或縮小)十倍、百倍、千倍……，常數9也相應地擴大(或縮小)相同的倍數，其差不變。如
　　210－120＝(2－1)×90＝90，
　　0.65－0.56＝(6－5)×0.09＝0.09。
(2)31×51
　　個位數字都是1，十位數字的和小于10的兩位數相乘，其積的前兩位是十位數字的積，后兩位是十位數字的和同1連在一起的數。
　　
　　若十位數字的和滿10，進1。如
　　
　　證明：(10a＋1)(10b＋1)
　　＝100ab＋10a＋10b＋1
　　＝100ab＋10(a＋b)＋1
　　(3)26×86 42×62
　　
　　個位數字相同，十位數字和是10的兩位數相乘，十位數字的積與個位數字的和為積的前兩位數，后兩位是個位數的積。若個位數的積是一位數，前面補0。
證明：(10a＋c)(10b＋c)
　　＝100ab＋10c(a＋b)＋cc
　　＝100(ab＋c)＋cc (a＋b＝10)。
(4)17×19
　　十幾乘以十幾，任意一乘數與另一乘數的個位數之和乘以10，加個位數的積。
　　原式＝(17＋9)×10＋7×9＝323
證明：(10＋a)(10＋b)
　　＝100＋10a＋10b＋ab
　　＝[(10＋a)＋b]×10＋ab。
(5)63×69
　　十位數字相同，個位數字不同的兩位數相乘，用一個乘數與另個乘數的個位數之和乘以十位數字，再乘以10，加個位數的積。
　　原式＝(63＋9)×6×10＋3×9
　　＝72×60＋27＝4347。
證明：(10a＋c)(10a＋d)
　　＝100aa＋10ac＋10ad＋cd
　　＝10a[(10a＋c)＋d]＋cd。
(6)83×87
　　十位數字相同，個位數字的和為10，用十位數字加1的和乘以十位數字的積為前兩位數，后兩位是個位數的積。如

證明：(10a＋c)(10a＋d)
　　=100aa＋10a(c＋d)＋cd
　　＝100a(a＋1)＋cd(c＋d＝10)。

(7)38×22
　　十位數字的差是1，個位數字的和是10且乘數的個位數字與十位數字相同的兩位數相乘，積為被乘數的十位數與個位數的平方差。
　　原式＝(30＋8)×(30－8)
　　＝302－82＝836。
　　(8)88×37
　　被乘數首尾相同，乘數首尾的和是10的兩位數相乘，乘數十位數字與1的和乘以被乘數的相同數字，是積的前兩位數，后兩位是個位數的積。
　　
(9)36×15
　　乘數是15的兩位數相乘。
　　被乘數是偶數時，積為被乘數與其一半的和乘以10；是奇數時，積為被乘數加上它本身減去1后的一半，和的后面添個5。

　　＝54×10＝540。
　　55×15
　　
(10)125×101
　　三位數乘以101，積為被乘數與它的百位數字的和，接寫它的后兩位數。125＋1＝126。
　　原式＝12625。
　　再如348×101，因為348＋3＝351，
　　原式＝35148。
(11)84×49
　　一個數乘以49，把這個數乘以100，除以2，再減去這個數。
　　原式＝8400÷2－84
　　＝4200－84＝4116。
(12)85×99
　　兩位數乘以9、99、999、…。在被乘數的后面添上和乘數中9的個數一樣多的0、再減去被乘數。
　　原式＝8500－85＝8415
　　　　　
　　不難看出這類題的積：
　　最高位上的兩位數(或一位數)，是被乘數與1的差；
　　最低位上的兩位數，是100與被乘數的差；
　　中間數字是9，其個數是乘數中9的個數與2的差。
證明：設任意兩位數的個位數字為b、十位數字為a(a≠0)，則
　　　
　　如果被乘數的個位數是1，例如
　　31×999
　　在999前面添30為30999，再減去30，結果為30969。
　　71×9999＝709999－70＝709929。
　　這是因為任何一個末位為1的兩位自然數都可表示為(10a＋1)的形式，由9組成的自然數可表示為(10n－1)的形式，其積為
　　(10a＋1)(10n－1)＝10n＋1a＋(10n－1)－10a。
(13)1÷19
　　這是一道頗為繁復的計算題。
　　原式＝0.052631578947368421。
　　根據“如果被除數不變，除數擴大(或縮小)若干倍，商反而縮小(或擴大)相同倍”和“商不變”性質，可很方便算出結果。
　　原式轉化為0.1÷1.9，把1.9看作2，計算程序：
　　(1)先用0.1÷2＝0.05。
　　(2)把商向右移動一位，寫到被除數里，繼續除

　　如此除到循環為止。

　
　
　
　
　
　　仔細分析這個算式：
　　加號前面的0.05是0.1÷2的商，后面的0.05×0.1÷1.9中0.05×0.1＝0.005，就是把商向右移動一位寫到被除數里，除以1.9。這樣我們又可把除數看作2繼續除，依此類推。
　　除數末位是9，都可用此法計算。
　　例如1÷29，用0.1÷3計算。
　　1÷399，用0.1÷40計算。
2.估算
　　數學素養與能力(含估算能力)的強弱，直接影響到人們的生活節奏和工作、學習、科研效率。已經引起世界有關專家、學者的重視，是個亟待研究的課題。
　　美國數學督導委員會，提出的12種面向全體學生的基本數學能力中，第6種能力即估算：“學生應會通過心算或使用各種估算技巧快速進行近似計算。當解題或購物中需要計算時，估算可以用于考查合理性。檢驗預測或作出決定……”
(1)最高位估算
　　只計算式中幾個運算數字的最高位的結果，估算整個算式的值大概在什么范圍。
　　例1 1137＋5044－3169
　　最高位之和1＋5－3＝3，結果在3000左右。
　　
　　如果因為忽視小數點而算成560，依據“一個不等于零的數乘以真分數，積必小于被乘數”估算，錯誤立即暴露。
　　例3 51.9×1.51
　　整體思考。
　　因為 51.9≈50，
　　而50×1.51≈50×1.5＝75，
　　又51.9＞50，1.51＞1.5，
　　所以51.9×1.51＞75。
　　另外9×1＝9，
　　所以原式結果大致是75多一點，三位小數的末位數字是9。
　　例4 3279÷79
　　把3279和79，看作3200和80。準確商接近40，若相差較大，則是錯的。
(2)最低位估算
　　例如，6403＋232＋1578
　　3＋2＋8＝13，原式和的末位必是3。
(3)規律估算
　　和大于每一個加數；
　　兩個真分數(或純小數)的和小于2；
　　一個真分數與一個帶分數(或一個純小數與一個帶小數)的和大于這個帶分數(或帶小數)，且小于這個帶分數(或帶小數)的整數部分與2的和；
　　
　　兩個帶分數(或帶小數)的和總是大于兩個帶分數(或帶小數)整數部分的和，且小于這兩個整數部分的和加上2；
　　
　　奇數±奇數＝偶數，偶數±偶數＝偶數，奇數±偶數＝奇數；
　　差總是小于被減數；
　　整數與帶分數(或帶小數)的差小于整數與帶分數(或帶小數)的整數部分的差；帶分數(或帶小數)，與整數的差大于帶分數(或帶小數)的整數部分與整數的差。
　　
　　帶分數(或帶小數)與真分數(或純小數)的差小于這個帶分數(或帶小數)，且大于帶分數(或帶小數)減去1的差；
　　
　　帶分數與帶分數(或帶小數與帶小數)的差小于被減數與減數的整數部分的差，且大于這個差減去1；
　　
　　如果兩個因數都小于1，則積小于任意一個因數；
　　若兩個因數都大于1，則積大于任意一個因數；
　　帶分數與帶分數(或帶小數與帶小數)的積大于兩個因數的整數部分的積，且小于這兩個整數部分分別加1后相乘的積； 例如，
　　
　　
　　A＜AB＜B。
　　奇數×偶數＝偶數，偶數×偶數＝偶數；
　　若除數＜1，則商＞被除數；
　　若除數＞1，則商＜被除數；
　　若被除數＞除數，則商＞1；
　　若被除數＜除數，則商＜1。
(4)位數估算
　　整數減去小數，差的小數位數等于減數的小數位數；例如，320－0.68，差為兩位小數。
　　最高位的乘積滿十的兩個整數相乘的積的位數，等于這兩個數的位數和；
　　例如，451×7103
　　最高位的積4×7＝28，滿10，結果是3＋4＝7(位數)。在整除的情況下，被除數的前幾位不夠除，商的位數等于被除數的位數減去除數的位數；
　　例如，147342÷27
　　14不夠27除，商是4－2＝2(位數)。
　　被除數的前幾位夠除，商的位數等于被除數的位數與除數位數的差加上1。
　　例如，30226÷238
　　302夠238除，商是5－3＋1＝3(位數)。
(5)取整估算
　　把接近整數或整十、整百、……的數，看作整數，或整十、整百…的數估算。
　　如1.98＋0.97≈2＋1，和定小于3。
　　12×8.5≈10×10，積接近100。
3.并項式
　　應用交換律、結合律，把能湊整的數先并起來或去括號。
　　例1 3.34＋12.96＋6.66
　　　　＝12.96＋(3.34＋6.66)
　　
　　＝12.96＋10＝22.96
　　＝3－3＝0
　　例3 15.74－(8.52＋3.74)
　　＝15.74－3.74－8.52
　　＝12－8.52＝3.48
　　例4 1600÷(400÷7)
　　＝1600÷400×7
　　＝4×7
　　 ＝28
4.提取式
　　根據乘法分配律，可逆聯想。
　　
　　＝(3.25＋6.75)×0.4＝10×0.4
　　＝4
　　
5.合乘式
　　
　　　　 ＝87.5×10×1＝875
　　　　 ＝8－7＝1
　　
6.擴 縮 式
　　例1 1.6×16＋0.4×36
　　　　
　　　　＝0.4×(64＋36)
　　　　＝0.4×100＝40
　　例2 16×45
　　　　
　　
7.分 解 式
　　例如，14×72＋42×76
　　＝14×3×24＋42×76
　　＝42×(24＋76)
　　＝42×100＝4200
8.約 分 式
　　 　
　　　　＝3×7×2＝42
　　例2 169÷4÷7×28÷13
　　　　
　　 　
　　　　
　　 　
　　　　
　　 　
　　　　
　 　　　
　　
　　
　 　=1988
　　例7 1988 198819881988÷1989198919891989被除數與除數，分別除
9.拆 分 式
　　

10.拆 積 式
　　例如，32×1.25×25
　　＝ 8×1.25×(4×25)
　　＝10×100＝1000
11.換 和 式
　　例1 0.1257×8
　　　　＝(0.125＋0.0007)×8
　　　　＝1＋0.0056＝1.0056
　　
　　
　　例4 8.37－5.68
　　　　＝(8.37＋0.32)－(5.68＋0.32)
　　　　＝8.69－6＝2.69

12.換 差 式
　　
　　
　　
　　　
13.換 乘 式
　　例1 123＋234＋345＋456＋567＋678
　　　　＝(123＋678)×3
　　　　＝801×3＝2403
　　例2(6.72＋6.72＋6.72＋6.72)×25
　　　　＝6.72×(4×25)＝672
　　例3 45000÷8÷125
　　　　＝45000÷(8×125)
　　　　＝45000÷1000＝45
　　例4 9.728÷3.2÷25
　　　　＝9.728÷(0.8×4×25)
　　　　＝9.728÷80
　　　　＝0.9728÷8＝0.1216
　　例5 33333×33333
　　　　＝11111×99999
　　　　＝11111×(100000－1)
　　　　＝1111100000－11111
　　　　＝1111088889
　　綜合應用，例如
　　
　　＝1000＋7＝1007
　　
　　＝(11.75＋1.25－4.15－0.85)×125.25(轉)
　　＝[(11.75＋1.25)－(4.15＋0.85)]×125.25(合)
　　＝8×125.25
　　＝8×(125＋0.25)(拆)
　　＝8×125＋8×0.25＝1002
14.換 除 式
　　例如，5600÷(25×7)
　　＝5600÷7÷25
　　＝800÷25＝32
15.直 接 除
　　
17.以乘代加
　　例1 7＋4＋5＋2＋3＋6
　　　　＝9×3＝27
　　
　　如果兩個分數的分子相同，且等于分母之和(或差)，那么這兩個分數的和(或差)等于它們的積。
　　
18.以乘代減
　　
　　知，兩個分數的分子都是1，分母是連續自然數，其差等于其積。
　　
　　
　　
　　可見，各分數的分子都是1。第一個減數的分母等于被減數的分母加1。第二個減數的分母等于被減數的分母與第一個減數的分母的積加1，第n個減數的分母等于被減數的分母與第一、二、……第n-1個減數的分母的連乘積加上1。(n為不小于2的自然數)其差等于其積
19.以加代乘
　　
　　一個整數與一個整數部分和分子都是1，分母比整數(另個乘數)小1
20.以除代乘
　　例如，25×123678448
　　＝123678448×(100÷4)
　　＝12367844800÷4
　　＝3091961200
21.以減代除
　　
　　＝1986－662＝1324
　　3510÷15
　　
　　＝(3510－1170)÷10＝234
22.以乘代除
　　例如，2.7÷4÷6×24÷27
　　　　
23.以除代除
　　
　　觀察其特點，
　　
24.并數湊整
　　例如，372＋499
　　＝372＋500－1＝871
　　56.7－12.8
　　＝56.7－13＋0.2＝43.9
25.拆數湊整
　　例如，476＋302
　　＝476＋300＋2＝778
　　9.42－3.1
　　＝9.42－3－0.1＝6.32
26.加分數湊整
　　應用“被減數、減數同時增加或減少相同的數，其差不變”的性質，使原來減去一個帶分數或帶小數，變成減去整數。
　　
　　
　　例3 8.37-5.68
　　　=(8.37+0.32)-(5.68+0.32)
　　　=8.69-6=2.69
30.湊公因數
　　例如，1992×27.5＋1982×72.5
　　＝1992×27.5＋(1992-10)×72.5
　　＝1992×27.5＋1992×72.5-10×72.5
　　＝1992×(27.5＋72.5)-725
　　=199200-725=198475
　　或原式=(1982＋10)×27.5＋1982×72.5
　　……
31.和差積法
　　
　　
32.直接寫得數
　　
　　觀察整數和分數部分，顯然原式=3。
　　
33.變數為式
　　
　　
　　
　　
　　
　　……
　　
　　
34.分解再組合
　　例如，(1＋2＋3＋…＋99)＋(4＋8＋12＋…＋396)
　　＝(1＋2＋3＋…＋99)＋4(1+2+3＋…＋99)
　　＝5(1＋2+3＋…＋99)
35.先分解再通分
　　
　　有的學生通分時用短除法，找了許多數試除都不行，而斷定57和76為互質數。
　　
　　判斷兩個數是否互質，不必用2、3、5、……逐個試除。把其中一個分解質因數，看另一個數能否被這里的某個質因數整除即可。
　　57＝3×19，如果57和76有公有的質因數，只可能是3或19。用3、19試除，
　　[57，76]＝19×3×4＝228。
　　
　　
　　26＝2×13，65和91是13的倍數。
　　最小公分母為
　　13×2×5×7＝910。
37.巧用分解質因數
　　教材中講分解質因數，主要是為了求幾個數的最大公約數和最小公倍數，給通分和約分打基礎。其實，分解質因數在解題中很有用處。提供新解法，啟迪創造思維。
例1 184×75
　　原式＝2×2×46×3×5×5
　　=46×3×(2×5)2
　　=138×100=13800。
38.“1、1”法
　　一個整數減去一個帶分數，可用這個整數減去比減數的整數部分多1的數，再從1中減去分數部分。
　　為便于記憶，稱“1、1”法。
39.“1，9，9…10”法
　　一個整數減去一個小數(末位不為0)，可先減去比小數高位多1的數，再從9中減去其它位數，最后從10中減去末位數。
　　
40.改變運算順序
　　例1 650×74÷65
　　　　＝(650÷65)×74
　　　　＝10×74＝740
　　例2 176×98÷49
　　　　＝176×(98÷49)
　　　　＝176×2＝352
　　例3 7÷13×52÷4
　　　　
　　例4 102×99－0.125×99×8
　　　　＝102×99－1×99
　　　　＝99×(l00＋１)
　　　　＝9900＋99＝9999
　　
41.用 數 據
　　熟記一些特殊數據，可使計算簡捷、迅速。
　　例1 由37×3＝111
　　知 37×6＝111×2＝222
　　37×15＝37×3×5＝555
　　
　　 　

　
　　例3 1000以內(不包括整十、整百)只含因數2或5的2、4、8、16、32、64、128、256、512；
　　5、25、125、625。
　　這些數作分母的分數才能化成有限小數，不需試除。
　　例4 特殊分數化小數
　　分母是5、20、25、50的最簡分數，在化為小數時，把分子相應地擴大2、5、4、2倍，再縮小10、100倍。
　　
　　分母是8的最簡分數，分子是1、3，小數的第一位也是1、3。
　　
　　
　　分母是9的最簡分數，循環節的數字和分子的數字相同。
　　
　　例5 1～9π
　　1×3.14＝3.14 6×3.14＝18.84
　　2×3.14＝6.28 7×3.14＝21.98
　　3×3.14＝9.42 8×3.14＝25.12
　　4×3.14＝12.56 9×3.14＝28.26
　　5×3.14＝15.7
　　熟記這些數值，可口算。
　　
　　3.14×13=10π+3π=40.82
　　3.14×89=90π-π
　　=282.6-3.14=279.46
　　π×1.58
　　變為整數，三位數前面補0改為四位數，

　　這樣不會把數位搞錯，將結果左端的0去掉，點上小數點得4.9612。也可從高位算起。
42.想特殊性
　　
　　仔細審題，知第二個括號里的結果為0，此題得0。
　　
　　 所以可直接得0。
　　例3(1.9-1.9×0.9)÷(3.8－2.8)
　　除數為1，則商就是被除數。
43.想 變 式
　
　
　
44.用 規 律
　　例1 682＋702
　　兩個連續奇(偶)數的平方和，等于這兩個數之積的2倍加4的和。
　　原式＝68×70×2＋4
　　＝9520＋4＝9524。
　　例2 522－512＝52＋51＝103
　　兩個連續自然數的平方差，等于這兩個數的和。
　　例3 18×19＋20
　　任意三個連續自然數，最小數與中間數的乘積加上最大數的和，等于最大數與中間數的乘積減去最小數。
　　原式＝20×19－18＝362。
　　例4 16×17－15×18
　　四個連續自然數，中間兩個的積比首尾兩個的積多2。
　　原式＝2。
　　證明：設任意四個連續自然數分別為a－1、a、a＋1、a＋2，
　　則a(a＋1)－(a－1)(a＋2)
　　＝a2+a-a2-a＋2＝2。
　　例5 一個從第一位開始有規律循環的多位數(包括整數部分是0的純循環小數)，乘以一個與其循環節位數相同的數，其規律適用于一些題的簡算。
　　ABAB×CD＝(AB×100＋AB)×CD
　　＝AB×100×CD＋AB×CD
　　＝(CD×100＋CD)×AB
　　＝CDCD×AB
　　如：125×5×1616×78
　　＝125×5×7878×16
　　＝(125×8)×(5×2)×7878
　　＝78780000
　　
　　
45.基礎題法
　　在基礎題上深化。例如，
　　
　　觀察(1)的解題過程，
　　
　　逆用各步的結構特點，
　　
　　
　　
　　
46.巧 歸 納
　　例如，1＋2＋…＋100＋99＋…＋1
　　1～100的和為5050，再加一倍為10100，減去多加的100為10000。但速度太慢。
　　有相同的行數和列數，用點或圈列成正方形的數，叫作正方形數。

　　由圖知
　　1＋2＋3＋2+1＝32，
　　1＋2＋3＋4+5＋4+3＋2＋1＝52。
　　不難發現，和為最大加數的平方。顯然，
　　5＋6＋…＋29＋30＋29＋…＋6＋5
　　＝302－42-4
＝900－16－4＝880。
【小學數學解題思路大全】巧想妙算文字題（一）
1.想 數 碼
　　例如，1989年“從小愛數學”邀請賽試題6：兩個四位數相加，第一個四位數的每一個數碼都不小于5，第二個四位數僅僅是第一個四位數的數碼調換了位置。某同學的答數是16246。試問該同學的答數正確嗎？(如果正確，請你寫出這個四位數；如果不正確，請說明理由)。
　　思路一：易知兩個四位數的四個數碼之和相等，奇數＋奇數＝偶數，偶數＋偶數＝偶數，這兩個四位數相加的和必為偶數。
　　相應位數兩數碼之和，個、十、百、千位分別是17、13、11、15。所以該同學的加法做錯了。正確答案是

　　思路二：每個數碼都不小于5，百位上兩數碼之和的11只有一種拆法5＋6，另一個5只可能與8組成13，6只可能與9組成15。這樣個位上的兩個數碼，8＋9＝16是不可能的。
　　不要把“數碼調換了位置”誤解為“數碼順序顛倒了位置。”
2.尾數法
　　例1 比較 1222×1222和 1221×1223的大小。
　　由兩式的尾數2×2＝4，1×3＝3，且4＞3。
　　知 1222×1222＞1221×1223
　　例2 二數和是382，甲數的末位數是8，若將8去掉，兩數相同。求這兩個數。
　　由題意知兩數的尾數和是12，乙數的末位和甲數的十位數字都是4。
　　由兩數十位數字之和是8－1＝7，知乙數的十位和甲數的百位數字都是3。
　　甲數是348，乙數是34。
　　例3 請將下式中的字母換成適當的數字，使算式成立。

　　由3和a5乘積的尾數是1，知a5只能是7；
　　由3和a4乘積的尾數是7－2＝5，知a4是5；……不難推出原式為
　　142857×3＝428571。
3.從較大數想起
　　例如，從1～10的十個數中，每次取兩個數，要使其和大于10，有多少種取法？
　　思路一：較大數不可能取5或比5小的數。
　　取6有6＋5；
　　取7有7＋4，7＋5，7＋6；
　　…………………………………………
　　取10有九種 10＋1，10＋2，……10＋9。
　　共為 1＋3＋5＋7＋9＝25(種)。
　　思路二：兩數不能相同。較小數為1的只有一種取法1＋10；為2的有2＋9，2＋10；……較小數為9的有9＋10。
　　共有取法1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝25(種)
　　這是從較小數想起，當然也可從9或8、7、……開始。
　　思路三：兩數和最大的是19。兩數和大于10的是11、12、…、19。
　　和是11的有五種1＋10，2＋9，3＋8，4＋7，5＋6；和是11～19的取法
　　5＋4＋4＋3＋3＋2＋2＋1＋1＝25(種)。
4.想大小數之積
　　
　　用最大與最小數之積作內項(或外項)的積，剩的相乘為外項(或內項)的積，由比例基本性質知
　　
　　交換所得比例式各項的位置，可很快列出全部的八個比例式。
　　
　　
5.由得數想
　　例如，思考題：在五個0.5中間加上怎樣的運算符號和括號，等式就成立？其結果是
　　0，0.5，1，1.5，2。
　　從得數出發，想：
　　兩個相同數的差，等于0；
　　一個數加上或減去0，仍等于這個數；
　　一個因數是0，積就等于0；
　　0除以一個數(不是0)，商等于0；
　　兩個相同數的商為1；
　　1除以0.5，商等于2；……
　　解法很多，只舉幾種：
　　(0.5－0.5)×0.5×0.5×0.5＝0
　　0.5－0.5－(0.5－0.5)×0.5＝0
　　(0.5＋0.5＋0.5)×(0.5－0.5)＝0
　　(0.5＋0.5－0.5－0.5)×0.5＝0
　　(0.5－0.5)×0.5×0.5＋0.5＝0.5
　　0.5＋0.5＋0.5－0.5－0.5＝0.5
　　(0.5＋0.5)×(0.5＋0.5—0.5)＝0.5
　　(0.5＋0.5)×0.5＋0.5－0.5＝0.5
　　(0.5－0.5)×0.5＋0.5＋0.5＝1
　　0.5÷0.5＋(0.5－0.5)×0.5＝1
　　(0.5－0.5)÷0.5＋0.5＋0.5＝1
　　(0.5＋0.5)÷0.5－(0.5＋0.5)＝1
　　0.5－0.5＋0.5＋0.5÷0.5＝1.5
　　(0.5＋0.5)×0.5＋0.5＋0.5＝1.5
　　0.5＋0.5＋0.5＋0.5－0.5＝1.5
　　0.5÷0.5＋0.5÷0.5－0.5＝1.5
　　0.5÷0.5÷0.5＋0.5－0.5＝2
　　(0.5＋0.5)÷0.5＋0.5－0.5＝2
　　(0.5＋0.5＋0.5－0.5)÷0.5＝2
　　[(0.5＋0.5)×0.5＋0.5]÷0.5＝2
6.想平均數
　　
　　思路一：由“任意三個連續自然數的平均數是中間的數”。設第一個數為“1”，則中間數占
　　
　　知這三個數是14、15、16。
　　
　　二、一個數分別為
　　
　　16－1＝15，
　　15－1＝14 或 16－2＝14。
　　若先求第一個數，則
　　
　　思路三：設第三個數為“1”，則第二、三個數，
　　
　　知是15、16。
　　思路四：第一、三個數的比是7∶8，第一個數是2÷(8－7)×7＝14。
　　若先求第三個數，則
　　2÷(8－7)×8＝16。　
7.想奇偶數
例1 思考題：在1、2、3、4、5、6、7、8、9九個數字中，不改變它們的順序、在它們中間添上加、減兩種符號，使所得的結果都等于100。
例如

1＋23－4＋5＋6＋78－9＝100123＋45－67＋8－9＝100
　　你還能想出不同的添法嗎？
　　1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45。若去掉7和8間的“＋”，式左為1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9，比原式和增大了78－(7＋8)＝63，即
　　1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9
　　＝45＋63＝108。
　為使其和等于100，式左必須減去8。加4改為減4，即可1＋2＋3－4＋5＋6＋78＋9＝100。
　“減去4”可變為“減1、減3”，即－1＋2－3＋4＋5＋6＋78＋9＝100二年級小學生沒學過負“－1”，不能介紹。如果式左變為
　12＋3＋4＋5＋6＋7＋89。
　［12－(1＋2)］＋［89－(8＋9)］＝81。即 12＋3＋4＋5＋6＋7＋89＝45＋81＝100＋26。
　要將“＋”變為“－”的數和為13，在3、4、5、6、7中有6＋7，3＋4＋6，因而有
　12＋3＋4＋5－6－7＋89＝100，
　12－3－4＋5－6＋7＋89＝100，
　　同理得
　　12＋3－4＋5＋67＋8＋9＝100，
　　1＋23－4＋56＋7＋8＋9＝100，
　　1＋2＋34－5＋67－8＋9＝100，
　　123－4－5－6－7＋8－9＝100，
　　123＋4－5＋67－89＝100，
　　123－45－67＋89＝100。
　　為了減少計算。應注意：
　　(1)能否在1、23、4、5、6、7、89中間添上加、減(不再去掉某兩數間的加號)，結果為100呢？
　　1、23、5、7、89的和或差是奇數，4、6的和或差是偶數，奇數±偶數＝奇數，結果不會是100。
　　(2)有一個是四位數，結果也不可能為100。因為1234減去余下數字組成(按順序)的最大數789，再減去余下的56，差大于100。
　　例2 求59～199的奇數和。
　　由從1開始的連續n個奇數和、等于奇數個數n的平方
　　1＋3＋5＋7＋……＋(2n－1)＝n2
　　奇數比它對應的序數2倍少1。用n表示任意一個自然數，它對應的奇數為2n－1。
　　例如，32對應奇數2×32－1＝63。奇數199，從1起的連續奇數中排列在100(2n－1＝199，n＝100)的位置上。
　　知1～199的奇數和是1002＝10000。此和包括59，2n－1＝57、n＝29、1～57的奇數和為292＝841。
　　所求為 10000－841＝9159。
　　或者 59＝30×2－1，302＝900，
　　10000－900＋59＝9159。
例1 思考題：在1、2、3、4、5、6、7、8、9九個數字中，不改變它們的順序、在它們中間添上加、減兩種符號，使所得的結果都等于100。
例如
1＋23－4＋5＋6＋78－9＝100123＋45－67＋8－9＝100
你還能想出不同的添法嗎？
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45。若去掉7和8間的“＋”，式左為1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9，比原式和增大了78－(7＋8)＝63，即
1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9
　　＝45＋63＝108。
為使其和等于100，式左必須減去8。加4改為減4，即可1＋2＋3－4＋5＋6＋78＋9＝100。
“減去4”可變為“減1、減3”，即－1＋2－3＋4＋5＋6＋78＋9＝100二年級小學生沒學過負數“－1”，不能介紹。如果式左變為
12＋3＋4＋5＋6＋7＋89。
［12－(1＋2)］＋［89－(8＋9)］＝81。即 12＋3＋4＋5＋6＋7＋89＝45＋81＝100＋26。
要將“＋”變為“－”的數和為13，在3、4、5、6、7中有6＋7，3＋4＋6，因而有
12＋3＋4＋5－6－7＋89＝100，
12－3－4＋5－6＋7＋89＝100，
同理得
12＋3－4＋5＋67＋8＋9＝100，
1＋23－4＋56＋7＋8＋9＝100，
1＋2＋34－5＋67－8＋9＝100，
　　123－4－5－6－7＋8－9＝100，
　　123＋4－5＋67－89＝100，
　　123－45－67＋89＝100。
　　為了減少計算。應注意：
　　(1)能否在1、23、4、5、6、7、89中間添上加、減(不再去掉某兩數間的加號)，結果為100呢？
　　1、23、5、7、89的和或差是奇數，4、6的和或差是偶數，奇數±偶數＝奇數，結果不會是100。
　　(2)有一個是四位數，結果也不可能為100。因為1234減去余下數字組成(按順序)的最大數789，再減去余下的56，差大于100。
例2 求59～199的奇數和。
　　由從1開始的連續n個奇數和、等于奇數個數n的平方
1＋3＋5＋7＋……＋(2n－1)＝n2
奇數比它對應的序數2倍少1。用n表示任意一個自然數，它對應的奇數為2n－1。
例如，32對應奇數2×32－1＝63。奇數199，從1起的連續奇數中排列在100(2n－1＝199，n＝100)的位置上。
知1～199的奇數和是1002＝10000。此和包括59，2n－1＝57、n＝29、1～57的奇數和為292＝841。
所求為 10000－841＝9159。
或者 59＝30×2－1，302＝900，
10000－900＋59＝9159。
8.約倍數積法
任意兩個自然數的最大公約數與最小公倍數的積，等于這兩個自然數的積。
證明：設M、N(都是自然數)的最大公約數為P，最小公倍數為Q、且M、N不公有的因數各為a、b。
那么 M×N＝P×a×P×b。
而 Q＝P×a×b，
所以 M×N＝P×Q。
例1 甲乙兩數的最大公約數是7，最小公倍數是105。甲數是21，乙數是多少？
　
例2 已知兩個互質數的最小公倍數是155，求這兩個數。
這兩個互質數的積為1×155＝155，還可分解為5×31。
所求是1和155，5和31。
例3 兩數的最大公約數是4，最小公倍數是40，大數是數的2.5倍，求各數。
由上述定理和題意知兩數的積，是小數平方的2.5倍。
小數的平方為4×40÷2.5＝64。
小數是8。
大數是8×2.5＝20。
算理：4×40＝8×20＝8×(8×2.5)＝82×2.5。
9.想 份 數









　　


10.巧用分解質因數
　　例1 四個比1大的整數的積是144，寫出由這四個數組成的比例式。
　　144＝24×32
　　＝(22×3)×[(2×3)×2]
　　＝(4×3)×(6×2)
　　可組成4∶6＝2∶3等八個比例式。
　　例2 三個連續自然數的積是4896，求這三個數。
　　4896＝25×32×17
　　＝24×17×(2×32)
　　＝16×17×18
　　
　　1728＝26×33＝(22×3)3＝123
　　385＝5×7×11
　　
　　例4 1992年小學數學奧林匹克試題初賽(C)卷題3：找出1992的所有不同的質因數，它們的和是多少？
　　1992＝2×2×2×3×83
　　2＋3＋83＝88
　　例5 甲數比乙數大9，兩數的積是1620，求這兩個數。
　　1620＝22×34×5
　　＝(32×22)×(32×5)
　　甲數是45，乙數是36。
　　例6 把14、30、33、75、143、169、4445、4953分成兩組，每組四個數且積相等，求這兩組數。
　　八個數的積等于2×7×2×3×5×3×11×3×5×5×11×13×13×13×5×7×127×3×13×127。
　　每組數的積為2×32×52×7×11×132×127。兩組為
　　
例7 600有多少個約數？
　　600＝6×100＝2×3×2×2×5×5
　　＝23×3×52
　　只含因數2、3、5、2×3、2×5、3×5、2×3×5的約數分別為：
　　2、22、23；
　　3；
　　5、52；
　　2×3、22×3、23×3；
　　2×5、22×5、23×5、2×52、22×52、23×52；
　　3×5、3×52；
　　2×3×5、22×3×5、23×3×5、2×3×52、22×3×52、23×3×52。
　　不含2×3×5的因數的數只有1。
　　這八種情況約數的個數為；
　　3＋1＋2＋3＋6＋2＋6＋1＝24。
　　不難發現解題規律：把給定數分解質因數，寫成冪指數形式，各指數分別加1后相乘，其積就是所求約數的個數。(3＋1)×(1＋1)×(2＋1)＝24。
17.想 法 則
　　用來說明運算規律(或方法)的文字，叫做法則。
　　 子比分母少16。求這個分數？
　　由“一個分數乘以5，是分子乘以5分母不變”，結果是分子的5倍比 3倍比分母少16。知
　　分子的5－3＝2(倍)是2＋16＝18，分子為18÷2＝9，分母為9×5－2＝43或9×3＋16＝43。
　　
18.想 公 式
　　
　　
　　
　　證明方法：
　　
　　以分母a，要加(或減)的數為
　　
　　(2)設分子加上(或減去)的數為x，分母應加上(或減去)的數為y。
　　
　　
　　
19.想 性 質
　　例1 1992年小學數學奧林匹克試題初賽(C)卷題6：有甲、乙兩個 多少倍？
　　
　　
　　
　　200÷16＝12.5(倍)。
　　例2 思考題：三個最簡真分數，它們的分子是連續自然數，分母大于10，且它們最小公分母是60；其中一個分數的值，等于另兩個分數的和。寫出這三個分數。
　　由“分母都大于10，且最小公分母是60”，知其分母只能是12、15、20；12、15、30；12、15、60。
　　由“分子是連續自然數”，知分子只能是小于12的自然數。
　　滿足題意的三個分數是
　　
　　
　　 　
　　(二)第400個分數是幾分之幾？
　　此題特點：
　
　　(2)每組分子的排列：
　　
　　假設某一組分數的分母是自然數n，則分子從1遞增到n，再遞減到1。分數的個數為n＋n－1＝2n－1，即任何一組分數的個數總是奇數。
　　(3)分母數與分數個數的對應關系，正是自然數與奇數的對應關系
　　分母：1、2、3、4、5、……
　　分數個數：1、3、5、7、9、……
　　(4)每組分數之前(包括這組本身)所有分數個數的和，等于這組的組號(這一組的分母)的平方。
　　例如，第3組分數前(包括第3組)所有分數個數的和是32=9。
　　 10×2－1－6=13(個)位置上。
　　
　　 分別排在81＋7＝88(個)，81＋13=94(個)的位置上。
　　或者102=100， 100－12=88。
　　100－6＝94， 88＋6＝94。
　　問題(二)：由上述一串分數個數的和與組號的關系，將400分成某數的平方，這個數就是第400個分數所在的組數400＝202，分母也是它。
　　第400個分數在第20組分數中，400是這20組分數的和且正好是20的平方無剩余，故可斷定是最后一個，即
　　若分解為某數的平方有剩余，例如，第415個和385個分數各是多少。
　　
　　逆向思考，上述的一串分數中，分母是35的排在第幾到第幾個？
　　352－(35×2－1)＋1
　　＝1225－69＋1＝1157。
　　排在1157－1225個的位置上。
20.由規則想
　　例如，1989年從小愛數學邀請賽試題：接著1989后面寫一串數字，寫下的每一個數字都是它前面兩個數字的乘積的個位數字。
　　例如，8×9＝72，在9后面寫2，9×2＝18，在2后面寫8，……得到一串數：1989286……
　　這串數字從1開始往右數，第1989個數字是什么？
　　先按規則多計算幾個數字，得1989286884286884……顯然，1989后面的數總是不斷重復出現286884，每6個一組。
　　(1989－4)÷6＝330……5
　　最后一組數接著的五個數字是28688，即第1989個數字是8。
21.用 規 律
　　例1 第六冊P62第14題：選擇“＋、－、×、÷”中的符號，把下面各題連成算式，使它們的得數分別等于0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。
　　(1)2 2 2 2 2＝0
　　(2)2 2 2 2 2＝1
　　……
　　(10)2 2 2 2 2＝9
　　解這類題的規律是：
　　先想用兩、三個2列出，結果為0、1、2的基本算式：
　　2－2＝0，2÷2＝1；
　　再聯想2－2÷2＝1，2×2÷2＝2，2÷2＋2＝3，……
　　每題都有幾種選填方法，這里各介紹一種：
　　2÷2＋2÷2－2＝0
　　2÷2×2－2÷2＝1
　　2－2＋2÷2×2＝2
　　2×2＋2÷2－2＝3
　　2×2×2－2－2＝4
　　2－2÷2＋2×2＝5
　　2＋2－2＋2×2＝6
　　2×2×2－2÷2＝7
　　2÷2×2×2×2＝8
　　2÷2＋2×2×2＝9
　　例2 第六冊P63題4：寫出奇妙的得數
　　2＋1×9＝
　　3＋12×9＝
　　4＋123×9＝
　　5＋1234×9＝
　　6＋12345×9＝
　　得數依次為11、111、1111、11111、111111。此組算式的特點：
　　第一個加數由2開始，每式依次增加1。第二個加數由乘式組成，被乘數的位數依次為1、12、123、……繼續寫下去
　　7＋123456×9=1111111
　　8＋1234567×9=11111111
　　9＋12345678×9＝111111111
　　10＋123456789×9＝1111111111
　　11＋1234567900×9=11111111111
　　12＋12345679011×9=111111111111
　　……
　　很自然地想到，可推廣為
　　
　　(1)當n=1、2時，等式顯然成立。
　　(2)設n=k時，上式正確。當n=k＋1時
　　k＋1＋123…k×9
　　=k＋1＋[123…(k－1)×10＋k］×9
　　=k＋1＋123…(k－1)×9×10＋9k
　　=[k＋123…(k－1)×9]×10＋1
　　
　　根據數學歸納法原理，由(1)、(2)可斷定對于任意的自然數n，此等式都成立。
　　例3 牢記下面兩個規律，可隨口說出任意一個自然數作分母的，所有真分數的和。
　　(1)奇數(除1外)作分母的所有真分數的和、是(分母－1)÷2。
　　　
　　　=(21－1)÷2=10。
22.巧想條件
　　 比5小，分母是13的最簡分數有多少個。
　　 7～64為64－(7－1)＝58(個)，去掉13的倍數13、26、39、52，余下的作分子得54個最簡分數。
　　例2 一個整數與1、2、3，通過加減乘除(可添加括號)組成算式，若結果為24這個整數就是可用的。4、5、6、7、8、9、10中，有幾個是可用的。
　　看結果，想條件，知都是可用的。
　　4×(1＋2＋3)＝24
　　(5＋1＋2)×3＝24
　　6×(3＋2－1)＝24
　　7×3＋1＋2＝24
　　8×3÷(2－1)＝24
　　9×3－1－2＝24
　　10×2＋1＋3＝24
23.想和不變
　　
　　無論某數是多少，原分數的分子與分母的和7＋11=18是不變的。
　　而新分數的分子與分母的和為1＋2=3，要保持原和不變，必同時擴大18÷3＝6(倍)。

　　
　　某數為7－6＝1或12－11＝1。
24.想和與差

　　

　
　　算理，原式相當于

　　 求這個分數。
　
25.想差不變

　　
　　分子與分母的差41－35＝6是不變的。新分數的此差是8－7＝1，要保持原差不變，新分數的分子和分母需同時擴大6÷1＝6(倍)。
　
　

　　
　　某數為42－35＝7，或48－41＝7。
　　與上例同理。23－11＝12，3－1＝2，12÷2＝6，
　　
　　某數為11－6＝5或23－18＝5。
　　
　　分子加上3變成1，說明原分數的分子比分母小3。當分母加上2后，分子比分母應小3＋2=5。
　　

　
26.想差的1/2
　　對于任意分母大于2的同分母最簡真分數來說，其元素的個數一定是偶數，和為這個偶數的一半。分母減去所有非最簡真分數(包括分子和分母相同的這個假分數)的個數，差就是這個偶數。
　　例1 求分母是12的所有最簡真分數的和。
　　由12中2的倍數有6個，3的倍數有4個，(2×3)的倍數2個，知所求數是
　　
　　例2 分母是105的，最簡真分數的和是多少？
　　 倍數15個，(3×5)、(5×7)、(3×7)的倍數分別是7、3、5個，(3×5×7)的倍數1個。知
　　105－［(35＋21＋15)－(3＋5＋7)＋1］＝48，
　　48÷2＝24。
27.借助加減恒等式
　　 個數。
　
　

　　
　　若從中找出和為1的9個分數，將上式兩邊同乘以2，得
　
　
　　這九個分數是
　　

28.計算比較
　　例如，九冊思考題：1÷11、2÷11、3÷11……10÷11。想一想，得數有什么規律？
　　
　　 　
　　……
　　可見，除數是11，被除數是1的幾倍(倍數不得大于或等于11)，商
　　17÷11＝(11＋6)÷11＝11÷11＋6÷11
　　　　　
　　凡商是純循環小數的除式，都有此規律；不是純循環小數的，得數不存在這一規律。
　　
　　不難發現，它們循環節的位數比除數少1，循環數字和順序相同，只是起點不同。

　　只要記住1÷7的循環節數字“142857”和順序，計算時以最大商的數字為起點，順序寫出全部循環節數字，即可。
29.由驗算想
　　例如，思考題：計算1212÷101，……，3939÷303，你能從計算中得到啟發，很快說出下面各題的得數？
　　4848÷202，7575÷505，……
　　3939÷303
　　＝(3030＋909)÷303
　　＝3030÷303＋909÷303
　　＝10＋3＝13
　　備課用書這種由“除法的分配律”解，要使三年級學生接受，比較困難。
　　若從“除法的驗算”推導
　　由3939÷303＝( )，
　　
　　商百位上的3和13相乘才可得39，商個位上的3也必須與13相乘得39，除數是13確定無疑。顯然，在被除數上面寫上除數，使位數對齊，口算很快會得出結果。
　　 所以商是12。
30.想 倍 比
　　
　　
　　
　　
　　 　
31.擴 縮 法
　　例如，兩數和是42，如果其中一個數擴大5倍，另一個數擴大4倍，則和是181。求這兩個數。
　　若把和，即這兩個數都擴大4倍，則得數比181小，因為原來擴大5倍的那個數少擴大了1倍。差就是那個數。
　　181－42×4＝13
　　42－13＝29
　　若把兩數都擴大5倍，結果比181多了原來擴大4倍的那個數。
　　42×5－181＝29，42—29＝13。

　　若把181縮小4倍，則得數比42大。因為其中的一個數先擴大5倍，又
　　
　　若把181縮小5倍，得數比42小。因為先擴大4倍的那個數，又縮小5
　　
　　最佳想法：
　　兩數擴大的倍數不同，181不會是42的整倍數。相除就把多擴大1倍的那個數以余數形式分離出來。
　　181÷42＝4余13。
　　另個數可這樣求
　　
32.分別假設
　　例如，1992年中學數學奧林匹克試題初賽(C)卷題5：把一個正方形的一邊減少20％，另一邊增加2米，得到一個長方形，它與原來的正方形面積相等。那么，正方形的面積是多少平方米。
　　設正方形的邊長為1，另一邊增加的百分數為x，則
　　(1－1×20％)×(1＋x)＝1，
　　
　　正方形邊長 2÷25％＝8(米)，
　　面積 8×8＝64(平方米)。
33.變數為式　
　　
　　
　　
　　
　　……
　　
　　
34.分解再組合
　　例如，(1＋2＋3＋…＋99)＋(4＋8＋12＋…＋396)
　　＝(1＋2＋3＋…＋99)＋4(1+2+3＋…＋99)
　　＝5(1＋2+3＋…＋99)
35.先分解再通分
　　
　　有的學生通分時用短除法，找了許多數試除都不行，而斷定57和76為互質數。
　　
　　判斷兩個數是否互質，不必用2、3、5、……逐個試除。把其中一個分解質因數，看另一個數能否被這里的某個質因數整除即可。
　　57＝3×19，如果57和76有公有的質因數，只可能是3或19。用3、19試除，
　　[57，76]＝19×3×4＝228。
　　
　　
　　26＝2×13，65和91是13的倍數。
　　最小公分母為
　　13×2×5×7＝910。
36.巧用分解質因數
　　教材中講分解質因數，主要是為了求幾個數的最大公約數和最小公倍數，給通分和約分打基礎。其實，分解質因數在解題中很有用處。提供新解法，啟迪創造思維。

例2 184×75
　　原式＝2×2×46×3×5×5
　　=46×3×(2×5)2
　　=138×100=13800。
37.變 式 法
　　
38.推理調整
　　例如，1992年小學數學奧林匹克試題初賽(C)卷題8：一個小于200的自然數，它的每位數字都是奇數，并且它是兩個兩位數的乘積，那么，這個自然數是多少？
　　由奇數×奇數＝奇數，知這個自然數是兩個奇數的乘積。
　　如果其中一個是11，乘積的十位數字將是百位與個位數字之和、必為偶數。因此，兩奇數都至少是13。
　　所求數只能是13×15＝195。
39.想 順 推
　　例如，用1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數字，能組成多少個九位數？
　　由“1”，組成1個數；
　　由“1、2”，可組成12、21，2個數；
　　由“1、2、3”，可組成123、132、231、213、312、321，6個數。
　　可見：
　　由兩個一位數組成的兩位數的個數＝2×1：由三個一位數組成的三位數的個數＝3×2。依此類推

40.想 倒 推
　　倒推是常用的數學思維方法，思考途徑是從題目的問題出發，倒著推理，逐步靠攏已知條件，直到解決問題。有些題用此法解，能化難為易。
　　例1 一個數擴大3倍后再增加100，然后縮小2倍后再減去36得50，求這個數。
　　從最后的差50倒推。減前是50＋36＝86，縮小2倍前是86×2=172，增加前是172-100=72。擴大3倍前是72÷3=24。即這個數是：
　　［(50＋36)× 2－100］÷3＝24。
　　例2 某種細菌每小時可增長1倍，現有一批這樣的細菌，10小時可增長100萬個。問增長到25萬個時，需要幾小時？
　　由“細菌每小時增長1倍”，知增長到25萬個后經過1小時增長到25×2=50(萬個)，再過1小時就可增長到50×2=100(萬個)。從25萬個增長到100萬個要用1＋1=2(小時)，所以增長到25萬個需
　　10-2=8(小時)
41.推想與推斷
　　例如，武漢市武昌區數學競賽題：3/17的分子和分母同時加上什么數，
　　
　　因為一個分數的分子與分母同時加上一個數的前后、分母與分子的差17
　　分母同時擴大14÷2=7(倍)，就是
　　
　　加上的數是35－17＝18或21－3＝18。
42.巧 歸 結
　　例如，選擇“＋、-、 ×、 ÷、( )”中的符號，把七個5連成算式，得數為 0、1、2、3、…10。
　　5的個數是7以上的都可歸結為7個討論。
　　此題解法很多，這里只介紹一種。
　　由5÷5＝1，
　　5÷5＋5÷5＝2，
　　5＝5，
　　知問題可變為，怎樣用運算符號把1、2、5連成結果分別等于0、1、2、…10的算式。
　　1、2、5三個數不能通過四則運算得0和1，但5÷5＝1、5－5＝0、0乘任何數都得0，易得到
　　0＝(5－5＋5－5＋5－5)×5
　　1＝5÷5＋5×(5－5＋5－5)
　　2＝5－(5÷5＋5÷5)－5÷5＝5－2－1
　　3＝5×(5÷5)－(5÷5＋5÷5)＝5×1－2
　　4＝5＋5÷5－(5÷5＋5÷5)＝5＋1－2
　　5＝5×(5÷5＋5÷5)－5÷5＝5×(2－1)
　　6＝5＋(5÷5＋5÷5)－5÷5＝5＋2－1
　　7＝5×(5÷5)＋(5÷5＋5÷5)＝5×1＋2
　　8＝5＋(5÷5－5÷5)＋5÷5＝5＋2＋1
　　9＝5×(5÷5＋5÷5)－5÷5＝5×2－1
　　10＝5×(5÷5＋5÷5)×(5÷5)＝5×2×1
　　若5的個數是8，則
　　0＝5－5＋5－5＋5－5＋5－5
　　1＝5÷5＋5－5＋5－5＋5－5
　　10＝5×2×1
　　＝5×(1＋1)×1
　　＝5×5÷5＋5×5÷5×5÷5
　　9＝5×2－1
　　＝5×(1＋1)－1
　　＝5×5÷5＋5×5÷5－5÷5
　　5＝5×(2－1)
　　＝5×2－5×1
　　＝5×(5÷5＋5÷5)－5×5÷5
　　由5÷5＝1
　　5－(5＋5＋5)÷5＝2
　　5=5
　　知其余各式的討論，和5的個數為7時相同。即
　　8=5＋2＋1
　　=5＋5-(5＋5＋5)÷5＋5÷5
　　7＝5×1＋2
　　＝5×5÷5＋5－(5＋5＋5)÷5
　　6＝5＋2－1
　　＝5＋5－(5＋5＋5)÷5－5÷5
　　4＝5＋1－2
　　＝5＋5÷5－5＋(5＋5＋5)÷5
　　3＝5×1－2
　　＝5×5÷5－5＋(5＋5＋5)÷5
　　2＝5－2－1
　　＝5－5＋(5＋5＋5)÷5－5÷5
　　顯然，若5的個數是9，只要在5的個數是7的各式后面加上(5－5)。如
　　10＝5×(5÷5－5÷5)×(5÷5)＋(5－5)若5的個數是7＋2n(n為自然數)，只要在5的個數是7的各式，后面加上n個(5－5)。
　　若5的個數是10，只要在5的個數是8的各式，后面加上一個(5－5)。
　　若5的個數是8＋2n，則只要在5的個數是8的各式，后面加上n個(5－5)。
43.巧 歸 類
　　例如，用1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13這十二個數，編加、減、乘、除四個算式，每個數只許用一次。
　　根據逆運算關系，把“加法和減法”、“乘法和除法”歸為一類。
　　編加減法算式，比編乘除法算式多得多，宜從量少的入手。想到這十二個數中，能做被除數的只有12、10、8、6，先編除法算式更為適宜。
　　(1)12÷3＝4 (2)12÷2＝6
　　12÷4＝3 12÷6＝2
　　(3)10÷2＝5 (4)8÷2＝4 (5)6÷2＝3
　　10÷5＝2 8÷4＝2 6÷3＝2
　　確定(1)組為除法算式，其余四組都可變為乘法算式。由于每個數只許用一次，此組已出現3、4、12。乘法算式的(2)、(4)、(5)組重復、舍去。唯有第(3)組符合題意。
　　若(1)組為除法算式，(3)組為乘法算式。或反過來，各得四式
　　12÷3＝4 10÷2＝5
　　12÷4=3 10÷5=2
　　4×3=12 5×2=10
　　3×4=12 2×5=10
　　剩的六個數，可組成
　　6＋7=13 8＋1=9
　　7＋6=13 1＋8=9
　　13－6＝7 9－1＝8
　　13－7＝6 9-8=1
　　整理：
　　組合：
　　(1)組可組合算式
　
　　(2)、(3)、(4)均可組成16種答案，共64種。
44.想 聯 系
　　 求這二數。
　　由整數除法、分數、比的內在聯系想：
　　被除數÷除數＝商(整數)……余數；
　　
45.想 關 系
例1 一個減法式子中，被減數、減數與差的和是76。求被減數。76÷2＝38
例2 被減數是7，被減數、減數與差的和是多少？
　　7×2＝14
例3 被除數、除數和商的積是196。求被除數。
　　196＝2×2×7×7
　　＝14×14
　　被除數是14。
　　例1與此例的算理
　　設A－B＝C，那么A＝B＋C。
　　若A＋B＋C＝n，則A＋A＝n，2A＝n，A＝n/2。
　　設A÷B＝C，那么A＝B×C。
　　如果A×B×C＝n，則有A×A＝n。
　　A可用分解質因數法求。
46.想 對 調
　　例如，第八冊P94思考題：用1、2、3、4、5、6、7、8、9九個數字，寫出三個大小相等的分數，每個數字只許用一次。參考書中給出：　
　　這三種和下面的四種答案的分子和分母對調，為14種。　　
　　還能求出12種
47.邏輯思考
　　例如，一個硬幣重10克，每10個硬幣為一摞，一共有10摞。從表面上看，這10摞硬幣都一樣，其實里面有一摞是假的。現在只知道假幣比真幣輕2克，你能只稱一次，就把這摞假幣找出來嗎？
　　從第一摞里取一個硬幣，從第二摞里取兩個，……從第十摞中取十個。55個放在一起稱，如果都是真的，應重10×55＝550(克)。
　　假如稱的結果是538克，那就少了12克，每個假幣比真幣少2克，因而有12÷2＝6(個)，說明6個硬幣的第六摞是假的。
　　若稱的結果是542克，少了8克，說明第四摞是假的。
48.由特征想
　　例如，哪些自然數的和能被2、4、5、7整除？
　　任何個偶數的和，能被2整除；
　　偶數個奇數的和，能被2整除；
　　任意四個連續自然數，如果首尾兩數的和能被5整除，那么這四個數的和也能被5整除；
　　任意四個連續偶數的和，能被4整除；
　　任意五個(或5的倍數)個連續自然數的和，能被5整除；
　　任意七個連續自然數的和，能被7整除；
　　…………
49.以零求整
　　把題分成有聯系而又相對獨立的小問題，進而解決所求問題。
　　例如，第五冊P20思考題：用0、1、2…9十個數字組成三個數(每個數字只能用一次，且必須用一次)，其中兩個數的和等于第三個數。
　　這是三位數加三位數等于四位數，百位上兩數相加和為10，其它兩位數相加不進位的題。
　　分成小問題：一位數分別相加，其中一組的和為10，再分別找出兩個數相加得第三個數。
　　這樣分別開來，易找出
　　3＋7＝10，
　　2＋6＝8，
　　4＋5＝9，
　　合起來為324＋765＝1089。
　　或者4＋6＝10，
　　2＋7＝9，
　　3＋5＝8，
　　423＋675＝1098。
　　再分別交換個位、十位上的數字，又可得到多組答案
50.探 索 法
　　就是多方尋求答案，解決疑難。
51.觀 察 法
　　數學知識是通過數、式、形三方面的內容，體現客觀事物和空間形式相互間數量關系的。這常常需要觀察。
例1 計算下組算式的(1)、(2)、(3)，類推出(4)的結果。
　　(1)1＋1×8
　　(2)2＋12×8
　　(3)3＋123×8
　　(4)4＋1234×8
　　仔細觀察算式間的聯系，
　　第一個加數，逐次增加1；第二個加數逐次增加11，111， 1111，……而乘數都是8，即第二個加數中兩個數的乘積，逐次多11個8，111個8，……；(1)式，(2)式，(3)式，……的結果逐次增加 89，889，8889，……
　　由式(3)的結果9＋89＋889＝987，知
　　式(4)為 987＋8889＝9876。
例2 觀察
　　不難發現：自然數從1開始，累加到任何一個自然數，其和除以下一個
是偶數，商是小數，是奇數時，商是整數。
　　如：(1＋2＋3＋…＋1000＋1001)
例3 由11＋1.1＝11×1.1，
　　知其積等于其和。
　　特點：第一個加數是整數。第二個加數是帶分數，整數部分是1，分數部分的分子是1，分母比第一個加數少1。
例4 觀察分析
　　
　　…………
　　會產生一個直覺：如果a與b是互質數(且a＞b)，那么a±b與ab是互質數。
　　此結論成立的話，兩個分子是1，分母是互質數的分數相加減，所得結果豈不是不必考慮約分了嗎？
　　用反證法證明：
　　若a±b與ab不互質，而有因子d的話，設a±b＝cd，ab＝ed。
　　則由ab＝ed，d為素數可知，或d｜a，或d｜b。
　　若d｜a，則由a±b＝cd，可知必有d｜b，這與ab是互質數矛盾。
　　同理，若d｜b，也有矛盾，所以a±b與ab互質。
52.猜測與證明
　　美國數學家G?玻利亞在《數學與似真推理》一書中寫道：“人們對數學事實總是首先猜測，然后才加以證明。”
例1 3×4＝12
　　它的積是由1和2依順序排列的數。
　　由33×34＝1122
　　333×334＝111222
　　n個 n個 n個 n個
　　為方便起見，在后面的n位數乘以n位數等于2n位數的乘法中，用省略號連在一起的n個數字不再標n個了，它們的個數同上式一樣。
　　證明：
　　令S＝11…1，
　　則S＝10n－1＋10n－2＋…＋10＋1，
　　10S＝10n＋10n－1＋…＋102＋10，
　　9S＝10S－S＝10n－1，
　　
　　由此得
　　　　　　　　
　　故33…3×33…4＝11…122…2，
　　進而可得33…3×33…5
　　＝33…3×(33…34＋1)
　　＝11…122…2＋33…3
　　＝11…155…5。
例2 abcd各不相同，表示一個四位數。問各是什么數時，能同時被2、3、5整除？
　　智力好的學生，總是經過一番嘗試和猜測后，就力圖尋求一般規律，不遺漏地寫出符合要求的全部四位數。符合題意的數是，各位上的數字和一定能被3整除，且個位數字是0。
　　如果a、b、c分別取1、2、3作為一組的話，有1230、1320、2130、 2310、3120、3210。
　　這樣的數組有：
　　1、2、3 1、2、6 1、2、9
　　1、3、5 1、3、8 1、4、7
　　1、5、6 1、5、9 1、6、8
　　1、8、9 2、3、4 2、3、7
　　2、4、6 2、4、9 2、5、8
　　2、6、7 2、7、9 3、4、5
　　3、8、4 3、5、7 3、6、9
　　4、5、9 4、6、8 5、6、7
　　5、7、9 6、7、8 7、8、9
　　符合題意的全部四位數是，
　　6×27＝162(個)
例3 證明：任意10個連續的自然數一定能找出4個a、b、c、d，使(a－b)×(c－d)能被56整除。若使(a－b)×(c－d)能被56整除，只要a－b能被8(或7)整除，c－d能被7(或8)整除。
　　在10個連續自然數中，必有兩數的差為8，其余8個數中必有兩數的差為7。
　　設10個連續自然數為：
　　n、n＋1、n＋2、…、n＋9，
　　則(n＋8)－n＝8，
　　(n＋9)－(n＋2)＝7。
　　這里 a＝n＋8，
　　b＝n，
　　c＝n＋9，
　　d＝n＋2，
　　或 a＝n＋9，
　　b＝n＋2，
　　c＝n＋8，
　　d＝n。
　　或者(n＋9)－(n＋1)＝8，
　　(n＋7)－n＝7。
　　這里a＝n＋9，
　　b＝n＋1，
　　c=n＋7，d=n，
　　或 a=n＋7， b=n，
　　c=n＋9，d=n＋1。
例4 任意連續4n個自然數的和除以2的商是第一個數與最后一個數和的n倍。
　　證明：設任意的連續自然數m，m＋1，m＋2，……
　　當n＝1時，因為m＋(m＋1)＋(m＋2)＋(m＋3)＝4m＋6，所以
　　
　　＝2m＋3＝［m＋(m＋3)］×1。
　　當n＝2時，因為m＋(m＋1)＋(m＋2)＋…＋(m＋4×2－1)＝8m＋(1＋2＋…＋7)＝8m＋28。所以
　　
　　＝4m＋14＝［m＋(m＋7)］×2。
　　當m＝3時，因為m＋(m＋1)＋(m＋2)＋…＋(m＋4×3－1)＝12m＋(1＋2＋…＋11)＝12m＋66。所以
　　
　　＝6m＋33＝［m＋(m＋11)］×3。

　　
　　＝［m1＋(m＋k－1)k］×n。
　　
　　這里m1＝9，(m＋k－1)k＝40，
　　
　　原式＝(9＋40)×8＝392。
53.相似運算
　　例1 在0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中，任選一個數字，把它與9相乘，得到一個積，把這個積再乘上12345679，答案所有數位上的數字總是和選擇的那個數字一樣。
　　比如說，選擇5，5×9＝45。
　　
　　兩邊都除以5，
　　12345679×9=11 11 11 11 1。
　　對于任何其它數字，可進行同樣的推理。用數字a乘等式兩邊，
　　12345679×(a×9)＝(11 11 11 11 1)a
　　＝aaaaaaaaa 。
　　例2 任意選出小于10的三個不同的自然數，如1、6、8。
　　從中任取兩個，組成二位數16、18、61、68、81、86。其和為330。
　　1＋6＋8＝15。
　　兩位數的和除以一位數的和，
　　設a、b、c表示任意三個不同的小于10的自然數，組成兩位數，
　　10a＋b 10a＋c 10b＋a
　　10b＋c 10c＋a 10c＋b
　　其和為 22a＋22b＋22c
　　　＝22(a＋b＋c)
　　遇到類似的運算，可不假思索地寫出22。

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