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橢圓與雙曲線的對偶性質
橢 圓
點P處的切線PT平分△PF1F2在點P處的外角.
PT平分△PF1F2在點P處的外角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.
以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應準線相離.
以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內切.
若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是.
若在橢圓外 ，則過Po作橢圓的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是.
橢圓 (a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F 2，點P為橢圓上任意一點，則橢圓的焦點角形的面積為.
橢圓（a＞b＞0）的焦半徑公式：
,( , ).
設過橢圓焦點F作直線與橢圓相交 P、Q兩點，A為橢圓長軸上一個頂點，連結AP 和AQ分別交相應于焦點F的橢圓準線于M、N兩點，則MF⊥NF.
過橢圓一個焦點F的直線與橢圓交于兩點P、Q, A1、A2為橢圓長軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MF⊥NF.
AB是橢圓的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則，
即。
若在橢圓內，則被Po所平分的中點弦的方程是.
若在橢圓內，則過Po的弦中點的軌跡方程是.
雙曲線
點P處的切線PT平分△PF1F2在點P處的內角.
PT平分△PF1F2在點P處的內角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.
以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應準線相交.
以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓相切.（內切：P在右支；外切：P在左支）
若在雙曲線（a＞0,b＞0）上，則過的雙曲線的切線方程是.
若在雙曲線（a＞0,b＞0）外 ，則過Po作雙曲線的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是.
雙曲線（a＞0,b＞o）的左右焦點分別為F1，F 2，點P為雙曲線上任意一點，則雙曲線的焦點角形的面積為.
雙曲線（a＞0,b＞o）的焦半徑公式：( ,
當在右支上時，,.
當在左支上時，,
設過雙曲線焦點F作直線與雙曲線相交 P、Q兩點，A為雙曲線長軸上一個頂點，連結AP 和AQ分別交相應于焦點F的雙曲線準線于M、N兩點，則MF⊥NF.
過雙曲線一個焦點F的直線與雙曲線交于兩點P、Q, A1、A2為雙曲線實軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MF⊥NF.
AB是雙曲線（a＞0,b＞0）的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則，即。
若在雙曲線（a＞0,b＞0）內，則被Po所平分的中點弦的方程是.
若在雙曲線（a＞0,b＞0）內，則過Po的弦中點的軌跡方程是.
橢圓與雙曲線的對偶性質--（會推導的經典結論）
橢 圓
橢圓（a＞b＞o）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交橢圓于P1、P2時A1P1與A2P2交點的軌跡方程是.
過橢圓 (a＞0, b＞0)上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于B,C兩點，則直線BC有定向且（常數）.
若P為橢圓（a＞b＞0）上異于長軸端點的任一點,F1, F 2是焦點, , ，則.
設橢圓（a＞b＞0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為橢圓上任意一點，在△PF1F2中，記, ,，則有.
若橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，左準線為L，則當0＜e≤時，可在橢圓上求一點P，使得PF1是P到對應準線距離d與PF2的比例中項.
P為橢圓（a＞b＞0）上任一點,F1,F2為二焦點，A為橢圓內一定點，則,當且僅當三點共線時，等號成立.
橢圓與直線有公共點的充要條件是.
已知橢圓（a＞b＞0），O為坐標原點，P、Q為橢圓上兩動點，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值為;（3）的最小值是.
過橢圓（a＞b＞0）的右焦點F作直線交該橢圓右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則.
已知橢圓（ a＞b＞0） ,A、B、是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點, 則.
設P點是橢圓（ a＞b＞0）上異于長軸端點的任一點,F1、F2為其焦點記，則(1).(2) .
設A、B是橢圓（ a＞b＞0）的長軸兩端點，P是橢圓上的一點，, ,，c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1).(2) .(3) .
已知橢圓（ a＞b＞0）的右準線與x軸相交于點，過橢圓右焦點的直線與橢圓相交于A、B兩點,點在右準線上，且軸，則直線AC經過線段EF 的中點.
過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應交點與相應焦點的連線必與切線垂直.
過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交相應準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.
橢圓焦三角形中,內點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數e(離心率).
（注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點的內、外角平分線與長軸交點分別稱為內、外點.）
橢圓焦三角形中,內心將內點與非焦頂點連線段分成定比e.
橢圓焦三角形中,半焦距必為內、外點到橢圓中心的比例中項.
橢圓與雙曲線的對偶性質--（會推導的經典結論）
雙曲線
雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交雙曲線于P1、P2時A1P1與A2P2交點的軌跡方程是.
過雙曲線（a＞0,b＞o）上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交雙曲線于B,C兩點，則直線BC有定向且（常數）.
若P為雙曲線（a＞0,b＞0）右（或左）支上除頂點外的任一點,F1, F 2是焦點, , ，則（或）.
設雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為雙曲線上任意一點，在△PF1F2中，記, ,，則有.
若雙曲線（a＞0,b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，左準線為L，則當1＜e≤時，可在雙曲線上求一點P，使得PF1是P到對應準線距離d與PF2的比例中項.
P為雙曲線（a＞0,b＞0）上任一點,F1,F2為二焦點，A為雙曲線內一定點，則,當且僅當三點共線且和在y軸同側時，等號成立.
雙曲線（a＞0,b＞0）與直線有公共點的充要條件是.
已知雙曲線（b＞a ＞0），O為坐標原點，P、Q為雙曲線上兩動點，且.
（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值為;（3）的最小值是.
過雙曲線（a＞0,b＞0）的右焦點F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則.
已知雙曲線（a＞0,b＞0）,A、B是雙曲線上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點, 則或.
設P點是雙曲線（a＞0,b＞0）上異于實軸端點的任一點,F1、F2為其焦點記，則(1).(2) .
設A、B是雙曲線（a＞0,b＞0）的長軸兩端點，P是雙曲線上的一點，, ,，c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(1).
(2) .(3) .
已知雙曲線（a＞0,b＞0）的右準線與x軸相交于點，過雙曲線右焦點的直線與雙曲線相交于A、B兩點,點在右準線上，且軸，則直線AC經過線段EF 的中點.
過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應交點與相應焦點的連線必與切線垂直.
過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線交相應準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.
雙曲線焦三角形中,外點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數e(離心率).
(注:在雙曲線焦三角形中,非焦頂點的內、外角平分線與長軸交點分別稱為內、外點).
雙曲線焦三角形中,其焦點所對的旁心將外點與非焦頂點連線段分成定比e.
雙曲線焦三角形中,半焦距必為內、外點到雙曲線中心的比例中項.
圓錐曲線問題解題方法
圓錐曲線中的知識綜合性較強，因而解題時就需要運用多種基礎知識、采用多種數學手段來處理問題。熟記各種定義、基本公式、法則固然重要，但要做到迅速、準確解題，還須掌握一些方法和技巧。
一. 緊扣定義，靈活解題
靈活運用定義，方法往往直接又明了。
例1. 已知點A（3，2），F（2，0），雙曲線，P為雙曲線上一點。
求的最小值。
解析：如圖所示，
雙曲線離心率為2，F為右焦點，由第二定律知即點P到準線距離。

二. 引入參數，簡捷明快
參數的引入，尤如化學中的催化劑，能簡化和加快問題的解決。
例2. 求共焦點F、共準線的橢圓短軸端點的軌跡方程。
解：取如圖所示的坐標系，設點F到準線的距離為p（定值），橢圓中心坐標為M（t，0）（t為參數）
，而

再設橢圓短軸端點坐標為P（x，y），則

消去t，得軌跡方程
三. 數形結合，直觀顯示
將“數”與“形”兩者結合起來，充分發揮“數”的嚴密性和“形”的直觀性，以數促形，用形助數，結合使用，能使復雜問題簡單化，抽象問題形象化。熟練的使用它，常能巧妙地解決許多貌似困難和麻煩的問題。
例3. 已知，且滿足方程，又，求m范圍。
解析：的幾何意義為，曲線上的點與點（－3，－3）連線的斜率，如圖所示


四. 應用平幾，一目了然
用代數研究幾何問題是解析幾何的本質特征，因此，很多“解幾”題中的一些圖形性質就和“平幾”知識相關聯，要抓住關鍵，適時引用，問題就會迎刃而解。
例4. 已知圓和直線的交點為P、Q，則的值為________。
解：

五. 應用平面向量，簡化解題
向量的坐標形式與解析幾何有機融為一體，因此，平面向量成為解決解析幾何知識的有力工具。
例5. 已知橢圓：，直線：，P是上一點，射線OP交橢圓于一點R，點Q在OP上且滿足，當點P在上移動時，求點Q的軌跡方程。
分析：考生見到此題基本上用的都是解析幾何法，給解題帶來了很大的難度，而如果用向量共線的條件便可簡便地解出。
解：如圖，共線，設，，，則，



點R在橢圓上，P點在直線上
，
即
化簡整理得點Q的軌跡方程為：
（直線上方部分）
六. 應用曲線系，事半功倍
利用曲線系解題，往往簡捷明快，收到事半功倍之效。所以靈活運用曲線系是解析幾何中重要的解題方法和技巧之一。
例6. 求經過兩圓和的交點，且圓心在直線上的圓的方程。
解：設所求圓的方程為：


則圓心為，在直線上
解得
故所求的方程為
七. 巧用點差，簡捷易行
在圓錐曲線中求線段中點軌跡方程，往往采用點差法，此法比其它方法更簡捷一些。
例7. 過點A（2，1）的直線與雙曲線相交于兩點P1、P2，求線段P1P2中點的軌跡方程。
解：設，，則

<2>－<1>得

即
設P1P2的中點為，則

又，而P1、A、M、P2共線
，即
中點M的軌跡方程是
解析幾何題怎么解
高考解析幾何試題一般共有4題(2個選擇題, 1個填空題, 1個解答題), 共計30分左右, 考查的知識點約為20個左右. 其命題一般緊扣課本, 突出重點, 全面考查. 選擇題和填空題考查直線, 圓, 圓錐曲線, 參數方程和極坐標系中的基礎知識. 解答題重點考查圓錐曲線中的重要知識點, 通過知識的重組與鏈接, 使知識形成網絡, 著重考查直線與圓錐曲線的位置關系, 求解有時還要用到平幾的基本知識,這點值得考生在復課時強化.
例1 已知點T是半圓O的直徑AB上一點，AB=2、OT=t (0(1)寫出直線的方程； （2）計算出點P、Q的坐標；
（3）證明：由點P發出的光線，經AB反射后，反射光線通過點Q.
講解: 通過讀圖, 看出點的坐標.
(1 ) 顯然, 于是 直線
的方程為；
（2）由方程組解出、；
（3）, .
由直線PT的斜率和直線QT的斜率互為相反數知，由點P發出的光線經點T反射，反射光線通過點Q.
需要注意的是, Q點的坐標本質上是三角中的萬能公式, 有趣嗎?
例2 已知直線l與橢圓有且僅有一個交點Q，且與x軸、y軸分別交于R、S，求以線段SR為對角線的矩形ORPS的一個頂點P的軌跡方程．
講解：從直線所處的位置, 設出直線的方程,
由已知，直線l不過橢圓的四個頂點，所以設直線l的方程為
代入橢圓方程 得
化簡后，得關于的一元二次方程
于是其判別式
由已知，得△=0．即 ①
在直線方程中，分別令y=0，x=0，求得
令頂點P的坐標為（x，y）， 由已知，得
代入①式并整理，得 , 即為所求頂點P的軌跡方程．
方程形似橢圓的標準方程, 你能畫出它的圖形嗎?
例3已知雙曲線的離心率，過的直線到原點的距離是
（1）求雙曲線的方程；
（2）已知直線交雙曲線于不同的點C，D且C，D都在以B為圓心的圓上，求k的值.
講解：∵（1）原點到直線AB：的距離.
故所求雙曲線方程為
（2）把中消去y，整理得 .
設的中點是，則

即
故所求k=±.　　　　　為了求出的值, 需要通過消元, 想法設法建構的方程.
例4 已知橢圓C的中心在原點，焦點F1、F2在x軸上，點P為橢圓上的一個動點，且∠F1PF2的最大值為90°，直線l過左焦點F1與橢圓交于A、B兩點，△ABF2的面積最大值為12．
（1）求橢圓C的離心率； （2）求橢圓C的方程．
講解：（1）設, 對 由余弦定理, 得
，
解出
（2）考慮直線的斜率的存在性，可分兩種情況：
i) 當k存在時，設l的方程為………………①
橢圓方程為 由 得 .
于是橢圓方程可轉化為 ………………②
將①代入②，消去得 ,
整理為的一元二次方程，得 .
則x1、x2是上述方程的兩根．且，，
AB邊上的高

ii) 當k不存在時，把直線代入橢圓方程得
由①②知S的最大值為 由題意得=12 所以
故當△ABF2面積最大時橢圓的方程為：
下面給出本題的另一解法,請讀者比較二者的優劣：
設過左焦點的直線方程為：…………①
（這樣設直線方程的好處是什么？還請讀者進一步反思反思.）
橢圓的方程為：
由得：于是橢圓方程可化為：……②
把①代入②并整理得：
于是是上述方程的兩根.
,
AB邊上的高,
從而
當且僅當m=0取等號，即
由題意知, 于是 .
故當△ABF2面積最大時橢圓的方程為：
例5 已知直線與橢圓相交于A、B兩點，且線段AB的中點在直線上.（１）求此橢圓的離心率；
（2 ）若橢圓的右焦點關于直線的對稱點的在圓上，求此橢圓的方程.
講解:（1）設A、B兩點的坐標分別為 得
,
根據韋達定理，得
∴線段AB的中點坐標為（）.
由已知得，故橢圓的離心率為 .
（2）由（1）知從而橢圓的右焦點坐標為 設關于直線的對稱點為解得
由已知得 ，故所求的橢圓方程為 .
例6 已知⊙M：軸上的動點，QA，QB分別切⊙M于A，B兩點，
（1）如果，求直線MQ的方程；（2）求動弦AB的中點P的軌跡方程.
講解:（1）由，可得
由射影定理，得 在Rt△MOQ中，
，故，
所以直線AB方程是
（2）連接MB，MQ，設由點M，P，Q在一直線上，得
由射影定理得即
把（*）及（**）消去a，并注意到，可得
適時應用平面幾何知識，這是快速解答本題的要害所在，還請讀者反思其中的奧妙.
例7 如圖，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，AB=2，AC=。DO⊥AB于O點，OA=OB，DO=2，曲線E過C點，動點P在E上運動，且保持| PA |+| PB |的值不變.
（1）建立適當的坐標系，求曲線E的方程；
（2）過D點的直線L與曲線E相交于不同的兩點M、N且M在D、N之間，設，試確定實數的取值范圍．
講解: （1）建立平面直角坐標系, 如圖所示∵| PA |+| PB |=| CA |+| CB | 　　y=∴動點P的軌跡是橢圓∵∴曲線E的方程是 .
（2）設直線L的方程為 , 代入曲線E的方程，得設M1（, 則

i) L與y軸重合時，
ii) L與y軸不重合時， 由①得 又∵,
∵ 或 ∴0＜＜1 ,
∴∵
而 ∴∴ ∴ ,
,∴的取值范圍是 .
值得讀者注意的是，直線L與y軸重合的情況易于遺漏，應當引起警惕.
例8 直線過拋物線的焦點，且與拋物線相交于A兩點.
（1）求證：;（2）求證：對于拋物線的任意給定的一條弦CD，直線l不是CD的垂直平分線.
講解: （1）易求得拋物線的焦點. 若l⊥x軸，則l的方程為.若l不垂直于x軸，可設,代入拋物線方程整理得. 綜上可知 .
（2）設，則CD的垂直平分線的方程為
假設過F，則整理得
，. 這時的方程為y=0，從而與拋物線只相交于原點. 而l與拋物線有兩個不同的交點，因此與l不重合，l不是CD的垂直平分線.
此題是課本題的深化，你能夠找到它的原形嗎？知識在記憶中積累，能力在聯想中提升. 課本是高考試題的生長點，復課切忌忘掉課本！
例9 某工程要將直線公路l一側的土石，通過公路上的兩個道口A和B，沿著道路AP、BP運往公路另一側的P處，PA=100m，PB=150m，∠APB=60°，試說明怎樣運土石最省工？
講解: 以直線l為x軸，線段AB的中點為原點對立直角坐標系，則在l一側必存在經A到P和經B到P路程相等的點，設這樣的點為M，則|MA|+|AP|=|MB|+|BP|,即|MA|－|MB|=|BP|－|AP|=50,
,∴M在雙曲線的右支上.
故曲線右側的土石層經道口B沿BP運往P處，曲線左側的土石層經道口A沿AP運往P處，按這種方法運土石最省工.

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