資源簡介

拋物線
（1）拋物線——二次曲線的和諧線
橢圓與雙曲線都有兩種定義方法，可拋物線只有一種：到一個定點和一條定直線的距離相等的所有點的集合.其離心率e=1，這使它既與橢圓、雙曲線相依相伴，又鼎立在圓錐曲線之中.由于這個美好的1，既使它享盡和諧之美，又生出多少華麗的篇章.
【例1】P為拋物線上任一點，F為焦點，則以PF為直徑的圓與y軸（ ）
相交 相切 相離 位置由P確定
【解析】如圖，拋物線的焦點為，準線是
.作PH⊥于H，交y軸于Q，那么，
且.作MN⊥y軸于N則MN是梯形PQOF的
中位線，.故以
PF為直徑的圓與y軸相切，選B.
【評注】相似的問題對于橢圓和雙曲線來說，其結論則
分別是相離或相交的.
（2）焦點弦——常考常新的亮點弦
有關拋物線的試題，許多都與它的焦點弦有關.理解并掌握這個焦點弦的性質，對破解這些試題是大有幫助的.
【例2】 過拋物線的焦點F作直線交拋物線于兩點，求證：
（1） （2）
【證明】（1）如圖設拋物線的準線為，作
，
.兩式相加即得：
（2）當AB⊥x軸時，有
成立；
當AB與x軸不垂直時，設焦點弦AB的方程為：.代入拋物線方程：
.化簡得：
∵方程（1）之二根為x1，x2，∴.
.
故不論弦AB與x軸是否垂直，恒有成立.
（3）切線——拋物線與函數有緣
有關拋物線的許多試題，又與它的切線有關.理解并掌握拋物線的切線方程，是解題者不可或缺的基本功.
【例3】證明：過拋物線上一點M（x0，y0）的切線方程是：y0y=p（x+x0）
【證明】對方程兩邊取導數：
.由點斜式方程：
y0y=p（x+x0）
（4）定點與定值——拋物線埋在深處的寶藏
拋物線中存在許多不不易發現，卻容易為人疏忽的定點和定值.掌握它們，在解題中常會有意想不到的收獲.
例如：1.一動圓的圓心在拋物線上，且動圓恒與直線相切，則此動圓必過定點 （ ）
顯然.本題是例1的翻版，該圓必過拋物線的焦點，選B.
2.拋物線的通徑長為2p；
3.設拋物線過焦點的弦兩端分別為，那么：
以下再舉一例
【例4】設拋物線的焦點弦AB在其準線上的射影是A1B1，證明：以A1B1為直徑的圓必過一定點
【分析】假定這條焦點弦就是拋物線的通徑，那么A1B1=AB=2p，而A1B1與AB的距離為p，可知該圓必過拋物線的焦點.由此我們猜想：一切這樣的圓都過拋物線的焦點.以下我們對AB的一般情形給于證明.
【證明】如圖設焦點兩端分別為，
那么：
設拋物線的準線交x軸于C，那么
.
這就說明：以A1B1為直徑的圓必過該拋物線的焦點.
● 通法 特法 妙法
（1）解析法——為對稱問題解困排難
解析幾何是用代數的方法去研究幾何，所以它能解決純幾何方法不易解決的幾何問題（如對稱問題等）.
【例5】（07.四川文科卷.10題）已知拋物線
y=-x2+3上存在關于直線x+y=0對稱的相異兩點
A、B，則|AB|等于（ ）
A.3 B.4 C.3 D.4
【分析】直線AB必與直線x+y=0垂直，且線段
AB的中點必在直線x+y=0上，因得解法如下.
【解析】∵點A、B關于直線x+y=0對稱，∴設直線AB的方程為：. 由
設方程（1）之兩根為x1，x2，則.
設AB的中點為M（x0，y0），則.代入x+y=0：y0=.故有.
從而.直線AB的方程為：.方程（1）成為：.解得：
，從而，故得：A（-2，-1），B（1，2）.，選C.
（2）幾何法——為解析法添彩揚威
雖然解析法使幾何學得到長足的發展，但伴之而來的卻是難以避免的繁雜計算，這又使得許多考生對解析幾何習題望而生畏.針對這種現狀，人們研究出多種使計算量大幅度減少的優秀方法，其中最有成效的就是幾何法.
【例6】（07.全國1卷.11題）拋物線的焦點為，準線為，經過且斜率為的直線與拋物線在軸上方的部分相交于點，，垂足為，則的面積（ ）
A． B． C． D．
【解析】如圖直線AF的斜率為時∠AFX=60°.
△AFK為正三角形.設準線交x軸于M，則
且∠KFM=60°，∴.選C.
【評注】（1）平面幾何知識：邊長為a的正三角形的
面積用公式計算.
（2）本題如果用解析法，需先列方程組求點A的坐標，，再計算正三角形的邊長和面積.雖不是很難，但決沒有如上的幾何法簡單.
（3）定義法——追本求真的簡單一著
許多解析幾何習題咋看起來很難.但如果返樸歸真，用最原始的定義去做，反而特別簡單.
【例7】（07.湖北卷.7題）雙曲線
的左準線為，左焦點和右焦點分別為和；拋物線的線為，焦點為與的一個交點為，則等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】 這道題如果用解析法去做，計算會特別繁雜，而平面幾何知識又一時用不上，那么就從最原始的定義方面去尋找出路吧.
如圖，我們先做必要的準備工作：設雙曲線的半
焦距c，離心率為e，作 ，令
.∵點M在拋物線上，
，
這就是說：的實質是離心率e.
其次，與離心率e有什么關系？注意到：
.
這樣，最后的答案就自然浮出水面了：由于.∴選 A..
（4）三角法——本身也是一種解析
三角學蘊藏著豐富的解題資源.利用三角手段，可以比較容易地將異名異角的三角函數轉化為同名同角的三角函數，然后根據各種三角關系實施“九九歸一”——達到解題目的.
因此，在解析幾何解題中，恰當地引入三角資源，常可以擺脫困境，簡化計算.
【例8】（07.重慶文科.21題）如圖，傾斜角為a的直線經過拋物線的焦點F，且與拋物線交于A、B兩點。
（Ⅰ）求拋物線的焦點F的坐標及準線l的方程；
（Ⅱ）若a為銳角，作線段AB的垂直平分線m交
x軸于點P，證明|FP|-|FP|cos2a為定值，并求此定值。
【解析】（Ⅰ）焦點F（2，0），準線.
（Ⅱ）直線AB：
代入（1），整理得：
設方程（2）之二根為y1，y2，則.
設AB中點為
AB的垂直平分線方程是：.
令y=0，則
故
于是|FP|-|FP|cos2a=，故為定值.
（5）消去法——合理減負的常用方法.
避免解析幾何中的繁雜運算，是革新、創新的永恒課題.其中最值得推薦的優秀方法之一便是設而不求，它類似兵法上所說的“不戰而屈人之兵”.
【例9】 是否存在同時滿足下列兩條件的直線：（1）與拋物線有兩個不同的交點A和B；（2）線段AB被直線：x+5y-5=0垂直平分.若不存在，說明理由，若存在，求出直線的方程.
【解析】假定在拋物線上存在這樣的兩點
∵線段AB被直線：x+5y-5=0垂直平分，且
.
設線段AB的中點為.代入x+5y-5=0得x=1.于是：
AB中點為.故存在符合題設條件的直線，其方程為：

（6）探索法——奔向數學方法的高深層次
有一些解析幾何習題，初看起來好似“樹高蔭深，叫樵夫難以下手”.這時就得冷靜分析，探索規律，不斷地猜想——證明——再猜想——再證明.終于發現“無限風光在險峰”.
【例10】（07.安徽卷.14題）如圖，拋物線y=-x2+1與x軸的正半軸交于點A，將線段OA的n等分點從左至右依次記為P1,P2,…,Pn-1,過這些分點分別作x軸的垂線，與拋物線的交點依次為Q1，Q2，…，Qn-1，從而得到n-1個直角三角形△Q1OP1, △Q2P1P2,…, △Qn-1Pn-1Pn-1,當n→∞時，這些三角形的面積之和的極限為 .
【解析】∵
設OA上第k個分點為
第k個三角形的面積為：
.
故這些三角形的面積之和的極限
拋物線定義的妙用
對于拋物線有關問題的求解，若能巧妙地應用定義思考，常能化繁為簡，優化解題思路，提高思維能力。現舉例說明如下。
一、求軌跡（或方程）
例1. 已知動點M的坐標滿足方程，則動點M的軌跡是（ ）
A. 橢圓 B. 雙曲線 C. 拋物線 D. 以上都不對
解：由題意得：
即動點到直線的距離等于它到原點（0，0）的距離
由拋物線定義可知：動點M的軌跡是以原點（0，0）為焦點，以直線為準線的拋物線。
故選C。
二、求參數的值
例2. 已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸上，拋物線上一點到焦點距離為5，求m的值。
解：設拋物線方程為，準線方程：
∵點M到焦點距離與到準線距離相等
解得：
∴拋物線方程為
把代入得：
三、求角
例3. 過拋物線焦點F的直線與拋物線交于A、B兩點，若A、B在拋物線準線上的射影分別為，則__________。
A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°
圖1
解：如圖1，由拋物線的定義知：
則
由題意知：
即
故選C。
四、求三角形面積
例4. 設O為拋物線的頂點，F為拋物線的焦點且PQ為過焦點的弦，若，。求△OPQ的面積。
解析：如圖2，不妨設拋物線方程為，點、點
圖2
則由拋物線定義知：
又，則
由得：
即
又PQ為過焦點的弦，所以
則
所以，
點評：將焦點弦分成兩段，利用定義將焦點弦長用兩端點橫坐標表示，結合拋物線方程，利用韋達定理是常見的基本技能。
五、求最值
例5. 設P是拋物線上的一個動點。
（1）求點P到點A（-1，1）的距離與點P到直線的距離之和的最小值；
（2）若B（3，2），求的最小值。
解：（1）如圖3，易知拋物線的焦點為F（1，0），準線是
由拋物線的定義知：點P到直線的距離等于點P到焦點F的距離。
于是，問題轉化為：在曲線上求一點P，使點P到點A（-1，1）的距離與點P到F（1，0）的距離之和最小。
顯然，連結AF交曲線于P點，則所求最小值為，即為。
圖3
（2）如圖4，自點B作BQ垂直準線于Q交拋物線于點，則
，則有
即的最小值為4
圖4
點評：本題利用拋物線的定義，將拋物線上的點到準線的距離轉化為該點到焦點的距離，從而構造出“兩點間線段距離最短”，使問題獲解。
六、證明
例6. 求證：以拋物線過焦點的弦為直徑的圓，必與此拋物線的準線相切。
證明：如圖5，設拋物線的準線為，過A、B兩點分別作AC、BD垂直于，垂足分別為C、D。取線段AB中點M，作MH垂直于H。
圖5
由拋物線的定義有：
∵ABDC是直角梯形
即為圓的半徑，而準線過半徑MH的外端且與半徑垂直，故本題得證。
拋物線與面積問題
拋物線與面積相結合的題目是近年來中考數學中常見的問題。解答此類問題時，要充分利用拋物線和面積的有關知識，重點把握相交坐標點的位置及坐標點之間的距離，得出相應的線段長或高，從而求解。
例1. 如圖1，二次函數的圖像與x軸交于A、B兩點，其中A點坐標為（－1，0）。點C（0，5）、點D（1，8）在拋物線上，M為拋物線的頂點。
圖1
（1）求拋物線的解析式；
（2）求△MCB的面積。
解：（1）設拋物線的解析式為
，根據題意得
，解得
∴所求的拋物線的解析式為
（2）∵C點坐標為（0，5），∴OC＝5
令，則，
解得
∴B點坐標為（5，0），OB＝5
∵，
∴頂點M的坐標為（2，9）
過點M作MN⊥AB于點N，
則ON＝2，MN＝9
∴
例2. 如圖2，面積為18的等腰直角三角形OAB的一條直角邊OA在x軸上，二次函數的圖像過原點、A點和斜邊OB的中點M。
圖2
（1）求出這個二次函數的解析式和對稱軸。
（2）在坐標軸上是否存一點P，使△PMA中PA＝PM，如果存在，寫出P點的坐標，如果不存在，說明理由。
解：（1）∵等腰直角△OAB的面積為18，
∴OA＝OB＝6
∵M是斜邊OB的中點，
∴
∴點A的坐標為（6，0）
點M的坐標為（3，3）
∵拋物線
∴，解得
∴解析式為，
對稱軸為
（2）答：在x軸、y軸上都存在點P，使△PAM中PA＝PM。
①P點在x軸上，且滿足PA＝PM時，點P坐標為（3，0）。
②P點在y軸上，且滿足PA＝PM時，點P坐標為（0，－3）。
例3. 二次函數的圖像一部分如圖3，已知它的頂點M在第二象限，且經過點A（1，0）和點B（0，1）。
圖3
（1）請判斷實數a的取值范圍，并說明理由。
（2）設此二次函數的圖像與x軸的另一個交點為c，當△AMC的面積為△ABC面積的倍時，求a的值。
解：（1）由圖象可知：；圖象過點（0，1），所以c＝1；圖象過點（1，0），則；
當時，應有，則
當代入
得，即
所以，實數a的取值范圍為。
（2）此時函數，
要使
，
可求得。
例4. 如圖4，在同一直角坐標系內，如果x軸與一次函數的圖象以及分別過C（1，0）、D（4，0）兩點且平行于y軸的兩條直線所圍成的圖形ABDC的面積為7。
圖4
（1）求K的值；
（2）求過F、C、D三點的拋物線的解析式；
（3）線段CD上的一個動點P從點D出發，以1單位/秒的速度沿DC的方向移動（點P不重合于點C），過P點作直線PQ⊥CD交EF于Q。當P從點D出發t秒后，求四邊形PQFC的面積S與t之間的函數關系式，并確定t的取值范圍。
解：（1）∵點A、B在一次函數的圖象上，
∴
且
∵四邊形ABDC的面積為7
∴
∴。
（2）由F（0，4），C（1，0），D（4，0）得
（3）∵PD＝1×t＝t
∴OP＝4－t
∴
即。
拋物線
1已知拋物線D：y2=4x的焦點與橢圓Q：的右焦點F1重合，且點在橢圓Q上。（Ⅰ）求橢圓Q的方程及其離心率；（Ⅱ）若傾斜角為45°的直線l過橢圓Q的左焦點F2，且與橢圓相交于A，B兩點，求△ABF1的面積。
解：（Ⅰ）由題意知，拋物線的焦點為（1，0）
∴橢圓Q的右焦點F1的坐標為（1，0）。∴ ①
又點在橢圓Q上， ∴即 ②
由①②，解得 ∴橢圓Q的方程為 ∴離心離
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F2（－1，0）∴直線l的方程為 設由方程組 消y整理，得 ∴
又點F1到直線l的距離 ∴
2如圖所示，拋物線y2=4x的頂點為O，點A的坐標為(5，0)，傾斜角為的直線l與線段OA相交(不經過點O或點A)且交拋物線于M、N兩點，求△AMN面積最大時直線l的方程，并求△AMN的最大面積
解法一 由題意，可設l的方程為y=x+m,其中－5＜m＜0 由方程組,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0 ①∵直線l與拋物線有兩個不同交點M、N，∴方程①的判別式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范圍為(－5，0)
設M(x1,y1),N(x2,y2)則x1+x2=4－2m，x1·x2=m2,∴|MN|=4 點A到直線l的距離為d=
∴S△=2(5+m),從而S△2=4(1－m)(5+m)2=2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤2()3=128
∴S△≤8,當且僅當2－2m=5+m,即m=－1時取等號 故直線l的方程為y=x－1，△AMN的最大面積為8
解法二 由題意，可設l與x軸相交于B（m,0）, l的方程為x = y +m,其中0＜m＜5
由方程組,消去x,得y 2－4 y －4m=0 ①∵直線l與拋物線有兩個不同交點M、N，
∴方程①的判別式Δ=(－4)2+16m=16(1+m)＞0必成立,設M(x1,y1),N(x2,y2)則y 1+ y 2=4，y 1·y 2=－4m,
∴S△=＝4=4
∴S△≤8,當且僅當即m=1時取等號
故直線l的方程為y=x－1，△AMN的最大面積為8
3已知O為坐標原點，P()()為軸上一動點，過P作直線交拋物線于A、B兩點，設S△AOB=，試問：為何值時，t取得最小值，并求出最小值。
、解：交AB與軸不重疊時，設AB的方程為
合 消y可得：
設A B 則， 交AB與x軸重疊時，上述結論仍然成立∴又∴≥當時 取“=”， 綜上 當

展開更多......

收起↑