資源簡介

為培養學生的思維方式而教學
——對《等腰三角形中的線段》的教學反思
一、教學說明：
本節課選自北京師范大學出版社出版的義務教育課程標準實驗教科書《數學》九年級上冊第一章《證明（二）》．
這個教學片段是在學生認識了等腰三角形的性質定理及其推論，并對運用綜合法進行演繹推理有了一定訓練的基礎上展開的．課堂上通過對一個普通數學命題的發現與證明，旨在展現一個由合情推理與演繹推理組成的有序的探究過程．
二、教學目的：
⑴ 經歷“探索—猜想—證明—拓廣”的過程，初步體驗合情推理與演繹推理在數學學習中辯證統一的關系；
⑵ 通過對具體命題的研究過程，使學生進一步體會證明的必要性，不斷提高推理意識與推理能力；
⑶ 通過小組合作與組間交流，培養學生動手實踐、合作交流和語言表達的能力，豐富他們與人交往的經歷和體驗．
三、教學過程：
教學環節
教學內容
設計意圖
操 作 與 猜 想
請同學們拿出課前準備好的一張矩形紙片．
師：你能利用一張矩形的紙片，借助折紙的方法得到一個等腰三角形嗎？
學生以小組為單位合作完成，其折紙過程大致如下圖：
通過具體的操作活動引入課題，既培養了學生的動手實踐的能力，提高了學習興趣，又為下面的探究活動做好了鋪墊．
事實上，對學生對操作方法本身的探究過程就是對圖形性質的一個具體運用過程．
師：你能想辦法折出這個等腰三角形兩個底角的角平分線嗎？
學生繼續操作，折紙過程大致如下圖：
師：我們給圖中的一些點標上字母（如右圖）．根據你的觀察，說一說圖中有哪些線段應該是相等的？
學生回答分別有：AB＝AC，AE＝AD，BE＝CD，BD＝CE，BO＝CO，DO＝EO．
這是一個合情推理的環節，希望學生通過直觀感覺，對結論提出自己的猜想．
但需要指出的是，合情推理作為一種推理方式，不但應“合情”，更應“合理”．所以，合情推理也需要對獲得的猜想進行驗證，只不過這種驗證是基于實驗的驗證，與演繹推理的證明有著本質的不同．
師：你能通過測量或借助剛才折紙的過程，驗證你的猜想嗎？
學生有的利用刻度尺進行測量、有的則繼續使用折紙的方法使相關的線段重合，來驗證自己的觀察．
探 索 與 證 明
師：請選擇一組你認為最感興趣或最有挑戰性的結論，編寫一道數學證明題，并進行證明．
學生可以根據自己的喜好和能力來選擇證明對象，即使選擇相同結論的同學，證明的方法也可能是多樣的．
這個步驟是演繹推理的環節，有了上面的鋪墊，證明也就很順利地成為了操作與猜想的自然延續和必要發展．
同時，這里的設計也滿足了多樣化的學習需要．雖然學生選擇的結論不同，證明方法不同，書寫方式也會不同．但相同的是，他們都會從活動中獲得對證明的感悟和成功的喜悅．
師：你能把你的這道證明題，用自己的話敘述成一個數學命題的形式嗎？
學生以小組為單位編寫命題，最后每個小組宣讀命題的文字表述，互相交流．
將一道證明題表述成文字命題的形式，目的在于實現數學語言與文字語言的“互譯”．這個過程實際上是學生對所研究的問題進行歸納、概括、反思和再認識的過程．
延 伸 與 拓 展
師：我們通過前面的研究已經發現，等腰三角形兩底角的平分線是相等的．由此聯想到，等腰三角形其他一些重要的線段是否也會具有類似的性質呢？請每個小組繼續展開探索：先結合圖形大膽猜想，寫出一個你認為正確的命題，再設法證明它．
學生聯想到腰上的中線、腰上的高這些線段的相等關系，并進行證明，小組討論活動后，進行集中發言，共享結論．
延伸與拓展是問題研究過程的一個重要的組成部分，也是使學生獲得發展的一個重要環節．
對這個教學環節的處理，不在于學生探究的數學結論的多與少、正與誤，重要的是引導學生逐步培養對現有問題能夠自覺地、有意識地進行必要拓展的思維方式與思維習慣．
師：事實上，三角形的角平分線、中線等線段，都是一些特殊性很強的線段（如：角平分線需將一個角平分，而中線需將一條邊平分）．那么，我們是否可以對這些條件在一定基礎上加以“改造”呢？想一想，這樣做前面的結論還成立嗎？你能寫出證明過程嗎？
學生思考方向之一是對條件進行關聯替換，例如將角平分線替換成角的三等分線，將中點替換成三等分點，等等；思考方向之二是對條件進行一般化，即原命題事實上只需有∠DBC＝∠ECB（∠ADB＝∠ACE）或DC＝EB（AD＝AE）等條件即可成立．
反 思 與 提 高
師：通過今天這節課的學習，你有什么體會和感受，試著說一說．
學生可自由發言，談一談自己的感受．隨后，教師可引導學生體驗下圖的探究過程：
問題→猜想→證明→拓展
同樣的課程給不同的學生會帶來不同的感受．教師不必拘泥于學生總結的全面與否、深度如何，只要他們通過學習積累了屬于自己的數學活動的經驗就夠了．
四、教學反思：
⒈ 關注學生學習數學的過程
在《數學課程標準》中，不僅使用了“了解（認識）、理解、掌握、靈活運用”等刻畫知識技能的目標動詞，而且使用了“經歷（感受）、體驗（體會）、探索”等刻畫數學活動水平的過程性目標動詞．這就說明，數學的教學不但要以使學生掌握具體的知識和技能為目的，更要以促進學生的數學思考、鍛煉學生解決實際問題、培養學生的情感與態度為目的．
在新課程下，我們關注學生數學學習的結果，但更要關注學生數學學習的過程．事實上，讓學生認識本節課中所涉及的數學結論，并不是最重要的，學生能否記住這個結論對其后續學習的影響也不大；但在這節課中所體現出的“發現—證明—拓廣”的數學思維方式，對學生學習數學、學習其他知識乃至認識問題都會產生重要的、深遠的影響．所以，從這個意義上講，本節課的“過程”重于“結果”．
“讓學生經歷探索數學問題的過程”就是這節課的教學目的，至于學生能否在經歷了這個過程之后正確地得出所謂的數學結論卻在其次．《標準》中提出，數學課程應實現“不同的人在數學上得到不同的發展”．有些學生在一系列的數學活動之后能夠獲得預想的數學結論，有些學生需要在教師的幫助下才能獲得預想的數學結論，而有些學生卻始終不能很好地獲得這些結論，但這并不表示他們在數學學習中一無所獲，恰恰相反的是，他們可能在這些活動中獲得的數學經驗遠比那些結論更重要．
⒉ 改變學生學習數學的方式
“有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿和記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式”．在本節課中，設計了讓學生剪紙、折疊、觀察、測量等一系列的數學活動，我想這正是對動手實踐、自主探索與合作交流的學習方式的最好詮釋．
首先，剪切與折疊圖形都是由學生自己動手實踐來完成的．由于學生所處的文化背景、家庭環境和自身思維方式的不同，使得這個過程不但是一個生動活潑的、主動的學習過程，更是一個富有鮮明個性的過程．從學生那里看到的結果是教師根本沒有想到的，他們的想象力和空間觀念得到了充分的發展．
其次，從學生觀察并猜想的數學結論可以看出，他們獲得的結論和尋找到的證明方法，無論簡單也好復雜也好，都是學生通過自己的思考與探索得到的．這樣的過程真實地反映了學生的思維水平和對問題的理解程度，他們在自主探索的過程中獲得的收獲，也遠遠要比機械地模仿教師的示范性活動大得多．
再次，不管是探索發現的過程，推理論證的過程，還是總結歸納的過程，合作與交流貫穿著學習活動的始終．合作學習作為一種有效的學習方式，其體現出來的優越性是傳統的學習方式所無法比擬的．學生們不僅在與同伴的合作與交流中積累了數學經驗，也體驗了與人相處并共同完成一件事情的樂趣．他們在各自的小組中，既合作又有分工，既配合也有競爭，既需要聽取他人的意見也需要發表自己的看法，最終達到共同獲益、共同提高的目的．
⒊ 正確認識學生思維方式的形成
《標準》中指出，學生通過“經歷觀察、實驗、猜想、證明等數學活動，發展合情推理能力和初步的演繹推理能力”．我們應該看到，數學需要演繹推理，更需要合情推理，科學結論的發現往往發端于對事物的觀察、比較、歸納、類比……，即通過合情推理提出猜想，然后再通過演繹推理證明猜想的正確和錯誤．所以，演繹推理和合情推理是相輔相成的兩種重要推理方式，合情推理的實質是“發現”，而演繹推理的實質是“形式化”．
《標準》中提到“能通過觀察、實驗、歸納、類比等獲得數學猜想，并進一步尋求證據、給出證明或舉出反例．”這就是說，學生獲得數學結論應該經歷合情推理—演繹推理的過程．
本節課的設計思路正是努力要給學生展示一個數學結論從最初發現到尋求理論支撐，再到聯系于拓廣的全過程．為了體現這個設計理念，教學中我還在每個環節加注了一個醒目的標題，如“回憶與再現——明確我們的基礎”、“操作與實踐——研究從這里開始”、“觀察與猜想——問題源于猜想”、“探索與證明——尋找理論的支撐”、“延伸與拓展——展開聯想的翅膀”、“回顧與反思——讓我們的認識升華”，旨在通過這樣有序的、層層深入的環節，使學生感受到研究問題的過程．在本節課的小結部分，我沒有簡單的讓學生回憶和重復相關的數學結論，而是提出了以下的思考問題：
這節課我們研究了哪些問題？
我們在研究這些問題時，經歷了怎樣的過程？
通過這個研究過程，你有什么感受和體會？
從而使知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀的三維目標有機的融為一體，使學生體會到這節課的真正目的在于培養大家良好的數學思維方式．
當然，思維方式的形成并非一朝一夕，思維水平的發展不同于知識技能，它不是學生“聽懂了”或“記住了”，而是學生“悟”出了其中的思想內涵和規律，并自覺地內化成自己的一種習慣的過程．這個過程只有在長期經歷數學活動的過程中才能實現，所以教學活動就必須要給學生提供探索交流、操作思考的空間和時間．我想，任何試圖將思維方式“講授”給學生，把思維能力的培養“畢其功于一役”的做法，都不可能真正取得理想的效果．

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