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2011屆高考數學中導數問題的六大熱點評練
浙江 曾安雄
由于導數其應用的廣泛性，為解決函數問題提供了一般性的方法及簡捷地解決一些實際問題．因此在高考占有較為重要的地位，其考查重點是導數判斷或論證單調性、函數的極值和最值，利用導數解決實際問題等方面，下面例析導數的六大熱點問題，供參考．
一、運算問題
例1已知函數，求導函數．
分析：用商的導數及復合函數導數的運算律即可解決．
解：
．
評注：對于導數運算問題關鍵是記清運算法則．主要是導數的定義、常見函數的導數、函數和差積商的導數，及復合函數、隱函數的導數法則等．
二、切線問題
例2設曲線在點處的切線與直線垂直，則 ．
分析：由垂直關系可得切線的斜率為－，又k＝，即可求出a的值．
解：，∴切線的斜率，由垂直關系，有，解得．
評注：是指運用導數的幾何意義或物理意義，解決瞬時速度，加速度，光滑曲線切線的斜率等三類問題．特別是求切線的斜率、傾斜角及切線方程問題，其中：
⑴ 曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的斜率k，傾斜角為，則tan＝k＝．
⑵ 其切線l的方程為：y＝y0＋(x－x0)．若曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))的切線平行于y軸(即導數不存在)時，由切線定義知，切線方程為x＝x0．
三、單調性問題
例3已知函數，．
（Ⅰ）討論函數的單調區間；
（Ⅱ）設函數在區間內是減函數，求的取值范圍．
分析：對于第(1)小題，求導后利用f '(x)＞0或＜0，解不等式即得單調區間；而(2)轉化為＜0在上恒成立即可．
解：（1）求導：．
當時，，，在上遞增．
當，求得兩根為，
即在遞增，遞減，
遞增．
（2）若函數在區間內是減函數，則兩根在區間外，即，解得a≥2，故取值范圍是[2，＋∞)．
評注：一般地，設函數y＝f(x)在某個區間內可導．如果f '(x)＞0，則f(x)為增函數；如果f '(x)＜0，則f(x)為減函數．單調性是導數應用的重點內容，主要有四類問題：
①運用導數判斷單調區間；
②證明單調性；
③已知單調性求參數；
④先證明其單調性，再運用單調證明不等式等問題．
四、極值問題
例4已知函數其中n∈N*,a為常數．當n=2時，求函數f(x)的極值；
分析：運用導數先確定函數的單調性，再求其極值．
解：由已知得函數f(x)的定義域為{x|x＞1}，
當n=2時，
所以
(1)當a＞0時，由＝0，得＞1，＜1，
此時 f′（x）=.
當x∈（1，x1）時，f′（x）＜0,f(x)單調遞減；
當x∈（x1+∞）時，f′（x）＞0, f(x)單調遞增.
（2）當a≤0時，f′（x）＜0恒成立，所以f(x)無極值.
綜上所述，n=2時，
當a＞0時，f(x)在處取得極小值，極小值為當a≤0時，f(x)無極值．
評注：運用導數解決極值問題．一般地，當函數f(x)在x0處連續，判別f(x0)為極大(小)值的方法是：
⑴ 若＝0，且在x0附近的左側＞0，右側＜0，那么f(x0)是極大值，
⑵ 如果在x0附近的左側＜0，右側＞0，那么f(x0)是極小值．
五、最值問題
例5 求函數f(x)＝x4－2x2＋5在[－2，2]上的最大值與最小值．
分析：可先求出導數及極值點，再計算．

解： ＝4x3－4x，令＝0，解得x1＝－1，x2＝0，x3＝1，均在(－2，2)內．
計算f(－1)＝4，f(0)＝5，f(1)＝4，f(－2)＝13，f(2)＝13．
通過比較，可見f(x) 在[－2，2]上的最大值為13，最小值為4．
評注：運用導數求最大(小)值的一般步驟如下：
若f(x)在[a，b]上連續，在(a，b)內可導，則
⑴ 求，令＝0，求出在(a，b)內使導數為0的點及導數不存在的點．
⑵ 比較三類點：導數不存在的點，導數為0的點及區間端點的函數值，其中最大者便是f(x)在[a，b]上的最大值，最小者便是f(x)在[a，b]上的最小值．
六、應用問題
例6 用總長14.8m的鋼條制成一個長方體容器的框架，如果所制做容器的底面的一邊比另一邊長0.5m，那么高為多少時容器的容積最大？并求出它的最大容積.
分析：本小題主要考查應用所學導數的知識、思想和方法解決實際問題的能力，建立函數式、解方程、不等式、最大值等基礎知識．
解：設容器底面短邊長為m，則另一邊長為 m，高為
．
由和，得，
設容器的容積為，則有
．
即，
令，有，
即，解得，（不合題意，舍去）.
當x＝1時，y取得最大值，即，
這時，高為.
答：容器的高為1.2m時容積最大，最大容積為

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