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向量法在立體幾何中的應(yīng)用舉例
1.（2010遼寧理數(shù)）（本小題滿分12分）
已知三棱錐P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=?AB，N為AB上一點(diǎn)，AB=4AN,M,S分別為PB,BC的中點(diǎn).
（Ⅰ）證明：CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN與平面CMN所成角的大小.
證明：
設(shè)PA=1，以A為原點(diǎn)，射線AB，AC，AP分別為x，y，z軸正向建立空間直角坐標(biāo)系如圖。
則P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,），N（,0,0），S（1,,0）.……4分
（Ⅰ）,
因?yàn)椋?br/>所以CM⊥SN ……6分
（Ⅱ）,
設(shè)a=（x，y，z）為平面CMN的一個(gè)法向量，
則 ……9分
因?yàn)?br/>所以SN與片面CMN所成角為45°。 ……12分
2.（2010重慶文數(shù)）（20）（本小題滿分12分，（Ⅰ）小問(wèn)5分，（Ⅱ）小問(wèn)7分. ）
如題（20）圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn).
（Ⅰ）證明：平面；
（Ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值.
3.（2010四川理數(shù)）（18）（本小題滿分12分）w_w w. k#s5_u.c o*m
已知正方體ABCD－A'B'C'D'的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M是棱AA'的中點(diǎn)，點(diǎn)O是對(duì)角線BD'的中點(diǎn).
（Ⅰ）求證：OM為異面直線AA'和BD'的公垂線；
（Ⅱ）求二面角M－BC'－B'的大小；
（Ⅲ）求三棱錐M－OBC的體積. w_w w. k#s5_u.c o*m解法二：
以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系D-xyz
則A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A’(1,0,1),C’(0,1,1),D’(0,0,1)
(1)因?yàn)辄c(diǎn)M是棱AA’的中點(diǎn),點(diǎn)O是BD’的中點(diǎn)
所以M(1,0, ),O(,,)
,=(0,0,1),=(-1,-1,1)
=0, +0=0w_w w. k#s5_u.c o*m
所以O(shè)M⊥AA’,OM⊥BD’
又因?yàn)镺M與異面直線AA’和BD’都相交
故OM為異面直線AA'和BD'的公垂線.………………………………4分
(2)設(shè)平面BMC'的一個(gè)法向量為=(x,y,z)
=(0,-1,), ＝(－1,0,1)
即
取z＝2,則x＝2,y＝1，從而=(2,1,2) w_w w. k#s5_u.c o*m
取平面BC'B'的一個(gè)法向量為＝(0,1,0)
cos
由圖可知，二面角M-BC'-B'的平面角為銳角
故二面角M-BC'-B'的大小為arccos………………………………………………9分
(3)易知，S△OBC＝S△BCD'A'＝
設(shè)平面OBC的一個(gè)法向量為＝(x1,y1,z1) w_w w. k#s5_u.c o*m
＝(－1,－1,1), ＝(－1,0,0)
即
取z1＝1,得y1＝1，從而＝(0,1,1)
點(diǎn)M到平面OBC的距離d＝w_w w. k#s5_u.c o*m
VM－OBC＝…………………………………………12分

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