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與反比例函數中考題面對面
反比例函數是初中階段函數的一種重要類型，對反比例函數的考查是各地中考命題熱點之一，本文以2010年部分省市中考試題中的反比例函數試題為例，加以歸類分析，供讀者參考。
一、反比例函數的圖象和性質
【例1】(臺州市)反比例函數圖象上有三個點，，，其中，則，，的大小關系是( )
A． B．　　 C．　　 D．
【解析】該題有三種解法：解法①，畫出的圖象，然后在圖象上按要求描出三個已知點，便可得到的大小關系;解法②,特殊值法，將三個已知點（自變量x選特殊值）代入解析式，計算后可得到的大小關系；解法③，根據反比例函數的性質，可知y1，y2都小于0，而y3＞0，且在每個象限內，y值隨x值的增大而減小，而x1＜x2，∴y2＜y1＜0。故，故選B。
【思路感悟】解決此類問題，一方面應當熟悉反比例函數的性質，同時必須能夠熟練的畫出雙曲線，利用數形結合的思想解決問題。
【遷移訓練】（哈爾濱市）反比例函數y＝的圖象，當x＞0時，y隨x的增大而增大，則k的取值范圍是（ ）．
（A）k＜3 （B）k≤3 （C）k＞3 （D）k≥3
二、用待定系數法確定反比例函數的解析式
【例2】（蘭州市）如圖1，P1是反比例函數在第一象限圖象上的一點，A1 的坐標為(2，0)．
（1）當點P1的橫坐標逐漸增大時，△P1O A1的面積將如何變化？
（2）若△P1O A1與△P2 A1 A2均為等邊三角形，求此反比例函數的
解析式及A2點的坐標．
【解析】（1）當點P1的橫坐標逐漸增大時，△P1OA1的高逐漸降低，
但它的底不變，∴△P1OA1的面積將逐漸減?。?
（2）求反比例函數的解析式，需先求出P1點的坐標，作P1C⊥OA1，
易得P1．再用待定系數法確定反比例函數的解析式為．
由于A2點的橫、縱坐標都不知道，可作P2D⊥A1 A2，設A1D=a，則OD=2+a，P2D=a，
所以P2． 代入中得a=-1±，∵a＞0 ∴ 所以點A2的坐標為﹙，0﹚
【思路感悟】利用待定系數法求反比例函數解析式，只需要確定圖象上一個點的坐標，將其橫、縱坐標，代入中，即可相應的求出k的值，從而確定反比例函數的解析式。
【遷移訓練】（郴州市）已知：如圖2，雙曲線y=的圖象經
過A（1，2）、 B（2，b）兩點.
（1）求雙曲線的解析式；（2）試比較b與2的大小.
三、反比例函數中的面積問題
【例3】（眉山市）如圖3，已知雙曲線經過直角
三角形OAB斜邊OA的中點D，且與直角邊AB相交于點C．若點A的坐標為（，4），則△AOC的面積為（ ）
A．12 B．9 C．6 D．4
【解析】由A（-6,4），可得△ABO的面積為，同
時由于D為OA的中點，所以D（-3,2），可得反比例
函數解析式為，設C（a，b），則，
∴ab=-6，則BO×BC=6，∴ △CBO的面積為3，所以△AOC的面積為12-3=9
【思路感悟】過雙曲線上任意一點分別作x軸、y軸的垂線，所得矩形的面積均為，相應對角線所分成的兩個三角形的面積均為。
【遷移訓練】（泉州南安市）如圖4 ，已知點A在雙曲線y=上，且
OA=4，過A作AC⊥x軸于C，OA的垂直平分線交OC于B．
（1）則△AOC的面積=　 　，（2）△ABC的周長為　
四、反比例函數的綜合應用與探究
【例4】（成都市）如圖5，已知反比例函數與一次函數
的圖象在第一象限相交于點．
（1）試確定這兩個函數的表達式；
（2）求出這兩個函數圖象的另一個交點的坐標，并根據圖象寫出使反比例函數的值大于一次函數的值的的取值范圍．
解：（1）將點代入反比例函數，得
，∴A(1，2)，再將A(1，2)代入一次函數
得，易得兩解析式y=x+1和。
（2）將y=x+1和組成方程組，可求點B的坐
標為。觀察圖象可得或。
【思路感悟】比較兩個函數的大小，也就是看函數圖象的高低，找好關鍵點（即交點）。
【例5】（濟寧市)如圖6，正比例函數的圖象與反比例函數在第一象限的圖象交于點，過點作軸的垂線，垂足為，已知的面積為1.
（1）求反比例函數的解析式；
（2）如果為反比例函數在第一象限圖象上的點（點與點不重合），且點的橫坐標為1，在軸上求一點，使最小.
【解析】：（1）由于的面積為1，易得.∴解析式為.
(2) 先將、組成方程組，求出（，）. 再
求出B（1,2）。使最小，則需要作點關于軸的對
稱點，則點的坐標為（，）.利用待定系數法可求
的解析式為。點P在x軸上，當時，
.∴點為（，）.
【思路感悟】在解決函數與幾何綜合題目時，不僅需要清楚函數知識，而且還需要掌握好幾何知識，畫出圖形，利用數形結合的思想解題。
【遷移訓練】（河北?。┤鐖D7，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點O與坐標原點重合，頂點A，C分別在坐標軸上，頂點B的坐標為（4，2）．過點D（0，3）和E（6，0）的直線分別與AB，BC交于點M，N．
（1）求直線DE的解析式和點M的坐標；
（2）若反比例函數（x＞0）的圖象經過點M，求該反比例函數的解析式，并通過計算判斷點N是否在該函數的圖象上；
（3）若反比例函數（x＞0）的圖象與△MNB有公共點，請直接寫出m的取值范圍．
【遷移訓練答案】
1.A； 2. （1）雙曲線的解析式為（2）b<2； 3. （1）3（2）；4.（1）DE的解析式為 、M（2,2）（2）反比例函數的解析式為、點N在該函數的圖象上（3）4≤?m?≤8．

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