資源簡介

《直線和平面所成的角》說課材料
常州市第三職業高級中學 張志勇
教材分析
異面直線夾角、線面夾角及后面將學習的面面夾角是立體幾何的重要概念，它們均需化歸為相交直線來求，復習異面直線夾角有利于學生進行對比聯系，掌握線面夾角同時也為后繼學習作好鋪墊。平面外的直線和其在平面內的射影的夾角是直線與平面內任意直線夾角中的最小值、平面外的直線和其在平面內的射影的夾角的大小僅取決于直線和平面的位置說明了直線和平面夾角概念的合理性，教學中需讓學生理解，才能真正認同和掌握概念。
應用概念求解直線和平面夾角中關鍵是找出直線在平面中的射影，在教學中需量化，強調解題步驟。
教學目標
認知目標：理解并掌握斜線在平面內的射影、直線和平面所成角的概念，根據概念先找直線射影后確定線面夾角從而熟練求解直線和平面所成角。
能力目標：培養化歸能力、分析能力、觀察思考能力和空間想象能力等。
情感目標：培養立體感、數學美感，提高學生學習數學特別是立體幾何的興趣。
教學重點：線面夾角的概念及利用概念分步求夾角
教學難點：線面夾角的概念
教學方法、手段的選用和課件設計思路
知識是學生自主建構的，在教學活動中必須充分重視學生學習的主體作用，因此采用“實驗法”，利用幾何畫板制作課件為學生做數學實驗創設情境，在平面、直線旋轉的動態變化中借助于度量值發現直線和其射影夾角的最小性，是本節課的重要教學方法。另外，講練結合、啟發式、演示法相結合也是學生完全掌握知識的重要途徑。
課件包括教師用和學生用兩種，前者用于教師授課時演示用，后者主要作為實驗平臺供學生實驗之用，兩者相輔相成，互為補充。
課件制作說明
1．演示課件包括課題、復習、概念、例1、練習、例2、總結、作業等8個頁面
2．課件中主要圖形均可旋轉變動，并提供手動、按紐兩種方式操作，便于學生動態觀察，從變化中發現規律；同時便于在不同的視圖狀態下觀察圖形，有利于題多解，培養學生的空間想象能力。
3．課件中所作幾何圖形均為空間圖形的投影即為直觀圖，有利于加深學生對立體圖形的感性認識，培養學生的立體感。
4．課件界面友好整潔，操作方便，主要頁面均提供了糾錯按紐，從而能彌補幾何畫板課件的一些不足之處。
5．大量使用函數功能，如度量兩條直線夾角時，使用了函數，確保度量結果介于與之間（因為幾何畫板只能度量三點構成的角的角度）；又如度量平面外的直線與平面內的直線的夾角時用了的函數。
6．利用幾何畫板4.03所提供的工具功能，減少重復性勞動，大量節省制作時間。如在課件制作中自創虛線工具，彌補了幾何畫板所提供的虛線過細的缺陷。
技術手段永遠是為教學服務的，幾何畫板軟件為中學數學教學課程改革提供了非常好的工具，希望在電教館的領導下盡快普及幾何畫板，為常州數學的課程改革貢獻一分自己的力量。
直線和平面所成的角
（江蘇省中等職業學校試用教材《數學》第四冊§9.3）
一．教學目標設計
認知目標：理解并掌握斜線在平面內的射影、直線和平面所成角的概念，根據概念先找直線射影后確定線面夾角從而熟練求解直線和平面所成角。
能力目標：培養化歸能力、分析能力、觀察思考能力和空間想象能力等。
情感目標：培養立體感、數學美感，提高學生學習數學特別是立體幾何的興趣。
二．教材內容及重點、難點分析（特點及相應對策）
首先，平面外的直線和平面所成角（即線面夾角）是通過直線和平面內的直線的夾角（即線線夾角）來定義的，難點在于線線夾角的結果不確定，而斜線與其射影所成角是它與平面內任意直線所成角中最小的角，也就是說斜線與其射影所成角結果是確定的，因此直線和平面所成角是通過直線和它在平面內的射影的夾角來定義的。其次，求線面夾角關鍵在于找出它在平面內的射影，而找射影還須從斜線上一點引平面的垂線，從而求線面夾角時先找垂線后定射影最后求夾角。
教學重點：線面夾角的概念及利用概念分步求夾角
教學難點：線面夾角的概念
三．教學對象分析（學生特點及相應對策，學法研究）
職業中學學生數學基礎普遍較差，他們的分析推理能力、空間想象能力等尤為欠缺，表現在立體幾何的學習上，就是入門難特別是概念含糊以及與平面幾何知識的混淆。針對學生中存在的問題，教師在教學中應多聯系生活實際，多利用直觀教具、多媒體課件，使抽象概念具體化，數學知識生活化，從而培養學生對立體幾何知識的感性認識，尤其是利用多媒體課件，為學生提供動態的立體幾何情境，讓學生在“做”數學中學習和接受知識、鍛煉能力。
本課時概念講解中，借助于度量，讓學生在動態中觀察斜線與平面內直線的夾角的大小情況，從而發現其中最小夾角的存在性，為概念講解創設情境，這樣的數學實驗既發揮學生的主體作用，又符合學生的認知特點。另外例題講解、練習鞏固中都可以變換圖形的視角，從而提高學生解題能力，也發展了學生的空間想象能力。
四．教學策略及教法設計（什么策略或方法，如何運用，達到什么目的）
本課時主要采用概念形成策略。一方面，利用幾何畫板軟件制作課件，為學生“實驗”創設情境，通過學生的自主探索，從而在掌握線面夾角概念的同時也發展了觀察思考能力和空間想象能力等。另一方面，結合講授法、練習法、演示法等會求線面夾角。
五．網絡教學環境設計（什么環境，如何運用）
在網絡計算機教室中進行課堂教學，學生通過校園網下載課件（所用課件為學生用），在課件創設的情境中，將學生自主動手實驗與教師演示（所用課件為教師用）引導相結合，充分發揮學生的主體作用，從而有助于學生認知結構的自主建構。此外，學生課余可通過訪問學校主頁調出課件（教師用、學生用均可）復習或尋求作業幫助，從而有助于學生的自主學習。
六．教學過程設計與分析
教學環節
教學過程
教師活動
學生活動
設計思路
復
習
引
入
異面直線夾角的概念
復習提問
演示課件
回憶、口答
異面直線夾角是化歸為相交直線夾角來求解的，而線面夾角及后面所學的面面夾角都是化歸為線線夾角來求的，通過復習，使學生能產生對比聯系，為后繼學習作好鋪墊。
異面直線夾角為銳角或直角
轉動平面
啟發思考
引入課題
觀察度量值的變化
思考
概
念
講
解
線面夾角是利用線線夾角來定義的
講解
理解識記
只有對概念的合理性有所認同，學生才會對概念真正理解。在直線轉動的過程中，借助于對夾角大小的比較，使學生在實驗中認識到線與其射影夾角的最小性，從而理解并接受線面夾角的概念。
斜線與平面內夾角的結果是不確定的，其中有最小值
提出問題
啟發思考
實驗，觀察結果，思考答案
斜線與其射影的夾角是斜線與平面內直線所成夾角中的最小角
引導思考
講解
比較結果
得出結論
線面夾角的概念
概念講授
強調要點
認真聽講
理解識記
例題講授1
求與平面ABCD的夾角
分析講解
演示課件
歸納解法
認真聽講
觀察思考
總結經驗
在具體求線面夾角時必須讓學生明確解題的步驟，即先找垂線后找射影最后確定夾角，而且在不同的視圖狀態下進行變式訓練才能真正熟練求解
在不同的視圖中理解與平面ABCD的夾角
旋轉變換
觀察
積累經驗
練習鞏固
求正方體中不同的線面夾角
啟發思考
講評要點
自主探究
變換思考
學生在具體解題時往往找不出夾角，關鍵是不能求斜線在平面內的射影，通過練習，使學生在不同的視圖中能較熟練地找出射影。
例題講授2
求PC與面ABCD內的夾角
分析講授
完成解題過程
在找射影時須把握不同的面，課件中將面用不同的面表現出來，有利于學生突破難點；同時結合線面垂直的判定，提高知識的深度和學生的知識遷移能力。
求PC與面PAB內的夾角
分析講解
聽講筆記
歸納小結
線面夾角的概念及解題步驟
提問
強調要點
歸納小結
及時歸納知識要點有利于學生提高認識
作業布置
簡要提示
聽講識記
七．教學過程流程圖
選修2-1《3.2.4 二面角及其度量》說課稿
北京市房山區教師進修學校 盧寒芳
各位專家、各位老師：大家好！
我是北京市房山區教師進修學校的盧寒芳．很珍惜這次機會，希望得到各位專家和老師對我的幫助.我交流的內容是《向量法求二面角的大小》，下面我將分別從教學背景的分析、教學目標的確定、教學方法的選擇、教學過程的設計及教學效果的評價與反思這五個方面來匯報我對這節課的教學認識．
一、教學背景的分析
1、教材分析
本節課的教學內容是人教高中數學B版選修2-1第三章第2.4節“二面角及其度量”的第2課時．第1課時學習了二面角及其平面角的概念，本節課主要探究如何用向量工具解決二面角的問題．
二面角是學生在學習異面直線所成角、直線與平面所成角的基礎上對空間兩個平面所成角進行的研究，是對學生知識結構的完善，也是研究空間兩個平面位置關系的基礎．課標對本節課的要求是能用向量方法解決面面的夾角的計算問題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用．利用向量方法求解立體幾何問題是將邏輯推理轉化為向量的代數運算，具有突出的簡化作用．本節課的學習用到了數形結合、類比轉化等數學思想和方法，有助于提高學生的思維能力．
2、學情分析
我所授課的班級是房山區一所普通中學的宏志班，學生思維活躍，有一定的探索和分析問題、解決問題的能力．在本節課之前，學生已學習了利用平面角求二面角的大小．已會建立空間直角坐標系、進行向量的坐標運算以及求平面法向量，掌握了利用向量方法解決線線、線面角的問題，這都為學習本節課的內容奠定了基礎．
二、教學目標的確定
根據課標的要求，結合本節課教材的特點、以及學生的認知水平，我從三個方面確定了以下教學目標：
1、教學目標
（1）通過類比異面直線所成的角、直線與平面所成角的解決方法，得到用向量求二面角大小的方法，并能用之解決有關問題，體會向量方法在研究立體幾何問題中的作用．
（2）在探究用向量法求二面角大小的過程中，體會數形結合、類比轉化的數學思想，進一步提高空間想象能力、分析和解決問題的能力．
（3）通過經歷向量法求二面角大小的推導過程，培養大膽探索的精神，提高學習立體幾何的興趣．
2、教學重點與難點
我確定的教學重點和難點如下：
重點：用法向量的夾角求二面角方法的探究及應用
難點：二面角與兩個半平面的法向量夾角的關系
三、教學方法的分析
為實現上述教學目標，本節課采用教師啟發點撥與學生自主探究相結合的教法突出方法的形成過程，采用“精講精練”的教法落實雙基要求．教學中還使用了多媒體來輔助教學，為學生提供直觀的感性材料，加深對問題的理解．
下面我就對具體的教學過程做出闡述：
四、教學過程的設計
為達到本節課的教學目標，突出重點，突破難點，本節課的教學過程按照“溫故知新－探究方法－實踐操作－歸納總結”的順序設定為4個主要階段．
1、溫故知新
為了引入向量工具，我以“如何度量二面角的大小”入手，復習二面角的平面角的概念，然后復習求異面直線所成的角、求直線和平面所成的角的向量方法；
提出問題：如果不作出二面角的平面角，能否用向量法求二面角的大小？引入課題。
【設置意圖】通過復習二面角平面角的知識，類比線線角、線面角的解決方法，自然引出可以用向量探究二面角的大小.
2、探究方法
在此環節，我引導學生思考下面兩個問題：
問題1、二面角的平面角能否轉化成向量的夾角？
目的是引導學生從平面角出發，找到二面角的平面角與向量的關系，得到用向量求二面角的第一種方法——利用兩個半平面內分別垂直于棱的向量的夾角：
，轉化為數量積求角
【設置意圖】通過教師引導，由學生發現該二面角的求解可由向量的夾角來確定，調動學生探究這一問題的主動性和積極性.
然后提出問題2：求直線和平面所成的角可轉化成直線的方向向量與平面的法向量的夾角，那么二面角的大小與兩個半平面的法向量有沒有關系？
我借助實物教具展示一個二面角，作出法向量后，?引導學生觀察教具，思考法向量夾角與二面角的平面角的關系.
課上學生交流的很活躍，能判斷出法向量夾角與二面角的平面角相等或互補，我將學生的討論結果在黑板上畫圖演示，然后利用幾何畫板演示不同的情況，驗證學生的結論并且說明理由（如下圖）.
?
?
???????????????????? 圖1?????????????????????????????????? 圖2
結論1：，?
?????????????????? 圖3????????????????????????????????? 圖4
結論2：，
【設置意圖】通過教師引導和學生的交流討論，培養學生的空間想象能力、邏輯思維能力和樂于探索的精神；通過實物教具、板書畫圖、課件演示，幫助學生理解法向量夾角與二面角大小的關系．這一探究過程體現了學生的主體地位和教師的主導作用。
在得到法向量夾角與二面角大小的關系之后，我會引導學生繼續探討問題3：法向量的夾角與二面角的大小什么時候相等，什么時候互補？
通過再次演示課件，由學生發現下面的規律：?
當法向量，一個指向二面角內，另一個指向二面角外時，二面角的大小；
當法向量，同時指向二面角內或二面角外時，二面角的大小．
【設置意圖】進一步探究法向量的夾角與二面角大小的關系，結合規律加深學生對這一難點內容的理解．
在得到用向量求二面角的大小的兩種方法后，我設計了應用方法解決問題，進入第三個環節．
3、實踐操作
給出例題：已知ABCD 是直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，?，求平面SAB與平面SCD 的所成二面角的余弦值．?
在讀題的過程中我先引導學生分析已知和垂直關系，確定解決方法：利用兩個半平面法向量的夾角解決。然后請學生思考如何建系，因為學生對建立坐標系掌握得較好，學生很快就能說出由已知SA⊥平面ABCD，AB⊥AD，SA，AB，AD兩兩互相垂直．選擇以A 為坐標原點建立空間直角坐標系A-xyz，對于x軸的選取有說以AB 所在的直線為x軸，有說以AD 所在的直線為x軸，我補充說明建系基于計算方便，建系不同不影響最后的結果．
【設置意圖】建立坐標系是本題的關鍵，通過分析垂直關系培養學生的空間想象能力和建立適當的坐標系的能力．
確定坐標系后師生共同完成解答，教師板書示范解題步驟：
解：由SA⊥平面ABCD，AB⊥AD，SA，AB，AD兩兩互相垂直．以A 為坐標原點，AD 所在的直線為x軸，AB 所在的直線為y軸建立空間直角坐標系A-xyz，則
，，，，，
設平面SCD的法向量為，則，，轉化為坐標運算，得
取z=1，則，
．
對法向量z的選取，學生有取，得到，，我通過課件演示法向量坐標的兩種情況，引導學生利用法向量的方向來判斷平面SAB與平面SCD 的所成二面角與法向量夾角的關系，統一學生的認識，得出最后結論，．
圖一：
?
圖二：
【設置意圖】本題是一個典型的無棱二面角的問題，通過本例題，使學生經歷從建立坐標系到探究法向量的坐標及角的取值的過程，較好地掌握如何利用法向量的夾角求二面角大小的方法．
這個題目利用二面角的平面角也可以解決，我給同學提示后請他們課下思考．
通過解題步驟，我引導學生總結出利用法向量求二面角大小的一般步驟：
1）建立坐標系，寫出點與向量的坐標；
2）求出平面的法向量，進行向量運算求出法向量的夾角；
3）通過圖形特征或已知要求，確定二面角是銳角或鈍角，得出問題的結果．
【設置意圖】明確向量法的解題步驟，培養學生概括、總結的能力和意識．
為了檢驗學生對向量法求解二面角的大小的掌握程度，我設計了1個鞏固練習，由學生自主完成，通過投影儀展示學生的做法．
如圖所示，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為2，點Q是BC的中點，求二面角A—DQ—A1的余弦值．
【設置意圖】從練習中及時發現學生對本節課的掌握情況。
4、歸納總結
由學生總結本節課的內容，我作適當的補充，概括為：
兩種方法：利用向量求二面角大小的方法：
（1）轉化為兩個半平面內分別垂直于棱的向量的夾角；（2）轉化為兩個平面的法向量求解
一個步驟：利用法向量求二面角大小的一般步驟；
兩個思想：數形結合的思想方法、類比轉化的思想方法．
【設置意圖】引導學生對所學的數學知識、思想方法進行小結，有利于學生對已有的知識結構加深理解。
最后布置作業：
1、如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為1，試用多種方法求二面角A1－BD－C1的余弦值．
2、P111練習A第3題，練習B第2題
【設置意圖】作業1鼓勵學生選擇不同的解題方法，鞏固求二面角大小的幾種方法。作業2鞏固本節所學知識和思想方法，深化學生的認識．
五、教學效果的評價與反思
設計學習效果評價表，由師生共同完成，對于教學效果進行評價.
學習效果評價設計
項目
A（優秀）
B（良好）
C（合格）
個人
評價
同學
評價
教師
評價
舊知識掌握
情況
牢固
比較牢固
一般
?
?
?
課前預習情況
自己主動
完成
依照同學才
完成
不能
完成
?
?
?
獨立思考積極程度
積極
較積極
一般
?
?
?
交流討論情況
有交流討論
有交流
沒有
交流
?
?
?
參與學習的積極性
很高
比較高
一般
?
?
?
本節課的掌握情況
好
較好
不好
?
?
?
課后作業完成情況
獨立完成
與同學合作
完成
不能
完成
?
?
?
教學反思：
本節課的教學設計和實踐有以下結果特點：
1、以課標為中心，加強知識形成過程的教學。在設計上注重與學生已有知識聯系，使學生體驗了方法的形成過程。
2、幾何畫板演示、實物教具和傳統板書教學有效結合，較好地輔助了教學。?
3、在教師的引導下，學生的主體性得到了充分體現。在教學過程中，學生的思維活躍，積極討論問題，自主解決例題。?
4、注重提高學生的思維能力和數學思想方法的滲透，滲透數形結合和類比轉化的思想。
不足之處：1、例題只講解了用向量法求角的大小，用綜合法作平面角的方法由于時間關系沒有讓學生探究。如果兩種方法都講授并進行對比，使學生體會從不同的角度解決立體幾何問題，體現出用向量法解決立體幾何問題的優越性會更好。2、在課堂上，對例題法向量z的坐標取-1只是用課件演示說明，如果改由學生發現、分析，根據圖形或法向量方向分析判斷二面角的取值，更有助于他們更好地掌握方法。
以上是我對《向量法求二面角大小》的教學設計的匯報。不足之處，懇請各位專家和老師批評、指正．謝謝!

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