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最值問題的常用解題方法
珠海市第四中學（519015）　邱金龍
在高考試題中，經常會出現求最值的問題，此類問題解法很多，有時解起來會很復雜、困難，但掌握一些解題方法，將這些方法靈活應用在求最值問題中，會有意想不到的效果，下面舉例說明。
一、配方法
例1、（2002上海文，19）已知函數f（x）=x2+2ax+2，x∈［－5，5］，當a=－1時，求函數f（x）的最大值和最小值；
分析：本題給出的函數是二次函數，二次函數求最值一般采用配方法，其頂點的縱坐標就是最值，對于給定區間求最值，則可根據其單調性來求解。
解：當a=－1時，f（x）=x2－2x+2=（x－1）2+1，x∈［－5，5］
∴x=1時，f（x）的最小值為1
x=－5時，f（x）的最大值為37
例2、（2003北京春，理4）函數f（x）=的最大值是（ ）
A. B. C. D.
分析：函數的分母是關于x 的二次代數式，通過配方，可以求出其最值。
解：首先討論分母1－x（1－x）的取值范圍：1－x（1－x）=x2－x+1=（x－）2+≥.因此，有0<≤.所以，f（x）的最大值為.
故選（D）。
二、參數法
　　例3、(2005福建卷)設的最小值是（ ）
A、 B、 C、－3 D、
　　分析：如果設a＋b＝t，求得a，代入已知方程，則方程可化為關于b的一元二次方程，又因為b為實數，通過根的判別式可求參數t的取值范圍。
　　解：設a＋b＝t，則a＝t－b，將a＝t－b代入已知方程，得：
（t－b）2＋2b2＝6，化簡，得：3b2－2tb＋t2－6＝0，
因為b為實數，所以上述關于b的方程有實數根，即
△＝（－2t）2－4×3×（t2－6）＝－8t2＋72≥0
解不等式，得：－3≤t≤3，
所以，t的最小值為－3，即a＋b的最小值為－3，故選（C）。
三、換元法
例4、若x、y為正實數，且x+y=1，求　的最小值。
分析：題目給出的條件是x、y為正實數，且x+y=1，容易聯想到三角函數中的公式：
sin2α＋cos2α＝1，所以本題可以引入三角函數換元。
解：∵若x、y為正實數，且x+y=1，∴可設x=sin2α,y=cos2α,
則
=·
= (2+cot2α)(2+tan2α)=4+2(cot2α+tan2α)+ cot2αtan2α
=5+2(cot2α+tan2α)≥5＋2×2 cotαtanα＝9
故　的最小值為9。
例5、求函數y＝x＋的最小值。
分析：設u＝換元，兩邊平方后能去掉根號，將無理式變為有理式，再結合配方法來解答。
解：設u＝，則u≥0，且x＝，
∴　y＝＋u＝（u＋1）2，又∵u≥0
所以，函數y＝x＋有最小值是。
四、判別式法
　例6、求函數y＝的最大值。
　分析：對形如y＝（a2＋d2≠0）的函數，求其最值，可采用判別式法，即將原函數轉化為關于x的一元二次方程，利用根的判別式求出y的最值。
　　解：將原函數化為：（y－2）x2－（y－2）x＋（y－3）＝0
當y＝2時，此方程無解。
當y≠2時，上述關于x的一元二次方程有實數根。即有
△＝［－（y－2）］2－4（y－2）（y－3）≥0，　解得：2＜y≤，
所以，函數有最大值為。
五、數形結合法
例7、(2005福建卷)非負實數滿足，則x＋3y的最大值為 。
　　分析：對于二元一次不等式組，通常是在平面直角坐標系中畫出不等式組的解的區域，數形結合，便于分析。
解：依題意，在平面直角坐標系中畫出不等式組所表示的區域如圖，
解方程組：，得兩直線的交點P（1,2），
設t＝x＋3y，通過平移直線x＋3y＝0可以看出，當直線x＋3y經過點（0,3）時，t值最大為9。
所以，x＋3y的最大值為9。
　　例8、求函數y＝∣x＋3∣＋∣x－5∣的最小值。
分析：函數的解析式中有兩個絕對值式子，要根據絕對值的性質分類討論去掉絕對值，這其實是一個分段函數，可畫出其圖象，數形結合來解決。
解：y＝∣x＋3∣＋∣x－5∣＝
畫出其圖象如右圖所示。
由圖象可知，函數y＝∣x＋3∣＋∣x－5∣的最小值為8。
六、基本不等式法
　　例9、(2005重慶卷)若x、y是正數，則的最小值是 ( )
(A) 3； (B) ； (C) 4； (D) 。
分析：基本不等式是：若，本題中先由a2＋b2≥2ab，再根據x、y是正數，可以基本不等式求解。
解：≥2
＝2（xy＋＋1）≥2（2＋1）＝4
“＝”成立的條件是不矛盾，故“＝”成立。答案（C）。
　例10、（2005全國卷I）當時，函數的最小值（ ）
A．2 B． C．4 D．
　　解：＝cotx＋4tanx
∵，　∴　cotx＞0，tanx＞0，
∴cotx＋4tanx≥2＝4，所以，選（C）。
七、利用函數的單調性
例11、（2000上海，19）已知函數f（x）＝，x∈［1，＋∞．當a＝時，求函數f（x）的最小值；
分析：如果能證明一個函數在給定的區間上是增函數或減函數，則在給定的區間上能求得最大值或最小值，本題中給定的區間是x∈［1，＋∞。
解：當a＝時，f（x）＝x＋＋2，設，∈［1，＋∞，且＜
f（）－f（）＝＋＋2－（＋＋2）＝（－）＋（－）
　　　　　　　　＝（－）（1－）
∵≥1，≥1，∴≥1，∴≤，∴1－＞0
又－＜0，∴f（）＜f（）
所以，f（x）在區間［1，＋∞）上為增函數，
∴f（x）在區間［1，＋∞）上的最小值為f（1）＝．
八、分離分式法
例12、求函數y＝的最小值。
分析：注意分式的結構，分子與分母都有（x2－x），分子適當變形后，將分式分離，分子不含字母，只考慮分母，問題將容易解答。
解：將函數變形為：y＝＝1－
∵x2－x＋1＝（x－）2＋≥，　　　∴0＜≤
∴－≤1－＜1，即－≤＜1
所以，函數的最小值為－。

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