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從新課程高考試題看初高中數學的銜接
開原第二高級中學 李淑坤
《普通高中數學課程標準》全面地反映了高中階段，數學學習及教學的基本內容和要求，它既是教師進行數學教學的基本綱領，又是教科書編寫及高考命題的最重要依據。它體現了九年義務教育階段數學課程標準的延續和擴充。2008年是新課程高考的第二年，從高考試題上看較全面體現了課程改革精神和課程標準的基本要求，特別是四個省區數學試卷整體體現了初高中數學內容、要求的銜接。本文將通過2008年新課程高考數學試題，來談談在高考試題中是如何體現和處理初高中數學銜接問題的，不當之處，敬請專家和老師們指正。
一、以初中問題為試題起點，既降低了試題難度，又很好體現了初高中數學知識的連續性。
例1、（2008年廣東卷理21題）設、為實數，、是方程
-+ =0的兩個實根。數列{}滿足=，=﹣，
=﹣ （n=3、4……）
（1）證明+=，=；
（2）求數列{}的通項公式；
（3）若=1，= ，求數列{}的前n項和。
本題（1）小題實際上就是韋達定理，其證明過程在人教版義務教育九年數學（上）中就有。這是一元二次方程內容中最重要的一個定理。本題雖然是試卷中綜合性最強的試題（壓軸題），但通過第（1）小題的鋪墊，既降低了試題難度，又體現了初中數學知識在高中的作用，同時還給學生對問題的情景非常熟悉的感覺。為學生進一步解決下面兩個問題奠定了基礎。
例2、（2008年江蘇卷18題）在平面直角坐標系中，設二次函數的圖象與兩坐標軸有三個交點，經過這三個交點的圓記為C，求：（1）實數b的取值范圍； （2）圓C的方程；
（3）問圓C是否經過某定點（其坐標與b無關）？請證明你的結論。
二次函數既是初中數學重要內容又是高中數學的一個重要知識點。本題以二次函數為試題背景，通過（1）小題降低了問題的難度又通過設計（2）、（3）問，體現了問題的層次性。
二、以初中內容作為試題素材，即體現了試題的創意，又很好地體現了初中數學重要性及在高中數學中的作用。
例3、（2008年廣東卷理4題）若變量、滿足


則的最大值是
A、90 B、80 C、70 D、40
這是一道標準的線性規劃問題，素材、背景實際上就是初中較簡單的不等式知識。利用初中知識完全可解。
不妨設則
解得

∵，， ∴，
∴
故最大值為70，此時，。
例4、（2008年山東卷文18題）現有8名奧運會志愿者，其中志愿者、、通曉日語，、、 通曉俄語， 通曉韓語。從中選出通曉日語、俄語、韓語的志愿者各一名，組成一個小組。
（1）求被選中的概率；
（2）求和不全被選中的概率。
概率知識是初高中數學中非常重要內容，初中知識主要是通過概率問題，讓學生學習分類思想并培養思考問題要全面的思維品質。在九年義務教育人教版數學教科書中介紹利用畫樹狀圖來求概率問題。如本題可畫樹狀圖如下對



即選組合為，， ，，，，共有6組，但總共有18組，并且選每一組可能性相等。所以被選中的概率為。同樣可解決第（2）題。
三、考查初中數學方法為基礎，既突出了數學方法的重要性，又全面考查了學生的解題能力。
例5、（2008年江蘇卷11題）已知、、為正實數，，的最小值是
配方法是初中數學中非常重要的思想方法，在整個數學研究中也有十分重要作用。本題通過一個最值問題來考察配方法，當然本題還可有其它解法如利用均值不等式等。
由已知2=+3.＞0、＞0、＞0
∴====3+3， 故最小值為3，此時。
例6、（2008年廣東卷理14題）已知a為實數，若關于的方程有實根，則a的取值范圍是 。
配方法貫穿整個數學內容體系。本題就是十分典型的一例。由已知條件配方的變形為，=，當時方程有實根，即，當>時，>,當<0時，>。故的取值范圍是，當然初中數學方法還有很多，如數形結合、分類討論等等。這也都是高考命題的基本要求和主要內容。
四、以初中基礎知識的應用為載體，既體現高考試題基礎性，又體現出初高中數學知識體系的整體性和連續性。
例7、（2008年海南、寧夏卷理13題）如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍，那么它的頂角的余弦值為。
A、 B、 C、 D、
這是基本的三角形問題。利用余弦定理或勾股定理及銳角三角函數定義即可解。本題雖是一道基礎性試題，但卻考查了三角形及三角函數的多個知識點，體現了三角形知識脈絡。
例8、（2008年廣東卷理10題）設、為實數，若>0，則下列不等式中正確的是
A、 B、 C、 D、
不等式是中學數學的基礎性內容，它一直貫穿著初中、高中及大學數學整個體系，在數學的各個分支都有廣泛地應用。因此它一直是高考數學命題的重點和熱點。本題是一道不等式分析判斷題，可以完全利用初中不等式知識解決。但試題的求解過程和分析思路卻體現了高中數學思想與方法。
∵>0 ，∴，即，，∴，即。即A不正確。
∵。∴，∴ ，即，即B不正確。
由，得，即C不成立。∵時，，∴，即。
當時，，，∴，即，故D正確。
以上從四個方面分析了高考數學試題所體現出的初高中數學銜接問題。
在新課程實驗過程中，關于初高中數學內容的銜接問題一直是廣大數學教師所關注的重要問題。各地都進行了各種各樣的數學改革實驗模式。在各種版本的教科書編寫過程中也都充分考慮了這一點，在體系編排、模塊及系列專題設計都充分體現了知識的連續性和整體性。
建議初中教師在備課和教學中應關注相應內容的高中教科書，高中教師在教學中也更應關注初中內容。只有搞好初高中數學銜接教學，才能使教學有的放矢，也才能真正達到新課程標準所要求的目標。

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