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與拋物線有關的若干幾何最值問題
(2010-12-14 11:25:34)
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標簽：
拋物線
最小值
定理
對稱軸
直角三角形
教育
分類： 知識點總結歸納
定理1.拋物線的所有焦半徑中,以過頂點的焦半徑為最短.
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定理2.拋物線的過焦點的所有弦中,以拋物線的通徑為最短.?
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定理3.設A(a,0)是拋物線 y2=2px(p＞0)的對稱軸上的定點,M(x,y)是拋物線上的動點,則?│MA│m in =?證明:由│MA│2= (x-a)2+y2=(x-a)2+2px = x2-2(a-p)x+a2??= [x-(a-p)]2+p(2a-p),并且注意到 x∈[0,+∞),立知結論成立.證畢.
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定理4.設A(a,b)是拋物線 y2=2px(p＞0)內一定點,? F是焦點,M是拋物線上的動點,則??(│MA│+│MF│)min =a+p/2.?
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定理5.設線段AB是拋物線y2=2px(p＞0)的過焦點的弦,分別以A、B為切點的拋物線的兩條切線相交于點M,則三角形ABM的面積的最小值為p2.
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定理6.過拋物線y2=2px的頂點O引兩條互相垂直的動弦OA和OB,則三角形OAB的面積的最小值為4p2.????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
定理7.拋物線 y2=2px的內接等腰直角三角形的面積的最小值為4p2.?
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定理8.設AB是拋物線的焦點弦, 準線與拋物線對稱軸的交點為M, 則∠AMB的最大值為π/2.?
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定理9.設AB是拋物線 y＝a x2 (a＞0) 的長為定長m的動弦, 則?
?Ⅰ.當m≥1/a (通徑長)時, AB的中點M到x軸的距離的最小值為（2ma-1)/4a ;????????????
?Ⅱ.當m＜1/a (通徑長)時, AB的中點M到x軸的距離的最小值為 am2/4.?
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定理10. 設AB是拋物線 y2＝2px的焦點弦, O為坐標原點, 則三角形OAB的面積的最小值為 p2/2

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