資源簡介

2011年中考數學壓軸題命題趨勢探秘
邊城學校李光紅
中考數學壓軸題是對學生所學知識的靈活運用及分析問題、解決問題能力的全面考查，它具有很強的導向作用；由于壓軸題的知識覆蓋面廣，綜合性強，難度系數大，既考查基礎知識和基本技能，又考查數學思想方法和數學探索創新能力，特別是注重發展學生的創造能力方面，有較大的區分度，因此，它是中考選拔功能的集中體現。中考數學壓軸題歷來是師生共同關注的焦點，對于考生而言，它是一根標尺，可以比較準確地衡量學生的綜合解題能力以及數學素養，同時它的得失，可能直接影響到考生今后的發展；對于教師而言，它是一根指揮棒，在教學中起到良好的導向作用。本文試圖對近三年泰州市及2010年江蘇省各地區中考數學壓軸題進行分析，探尋壓軸題發展變化的規律，從而對中考前一個月的復習提出一些建議，以期與同行共同探討。
一、近三年我市中考及2010年江蘇省各地區中考數學壓軸題分析
在以前較長一段時期中，由拋物線、圓、相似三角形等組成的綜合題是中考的壓軸題，這是一類知識型問題。但后來隨著對圓作為重要考點的質疑，壓軸題對圓不再“青睞”，比如08年泰州市壓軸題中就沒有圓的相關知識。但是09年江蘇省統考中，最后一道壓軸題出現了圓，而且是動圓，不僅圓的位置發生變化，圓的大小也同時發生變化。10年的最后一道中考題仍然有圓，但對圓的考察主要是基本概念和基本性質，主要還是突出靈活轉化和運用知識的能力。我進一步分析了近三年泰州市及2010年江蘇省各地區中考數學壓軸題后，發現：動態問題、圖象信息題、開放探索性問題等一系列能力型問題成為中考數學壓軸題中的主導問題。
（一）動態問題
動態問題是指圖形的運動變化問題，平移、旋轉、翻折和質點運動是幾何變換中的四種基本變換。這類題目注重培養學生用動態的觀點去看待問題，考查學生的空間想象能力和動手操作能力；解題方法靈活多變，其中所含的數學思想和方法豐富，有數型結合思想，方程思想，函數思想，分類討論思想，數學建模等思想方法。解決這類問題的關鍵在于如何在“靜中取動”或在“動中求靜”。
例1．（2009年江蘇省）如圖，已知射線DE與軸和軸分別交于點和點．動點從點出發，以1個單位長度/秒的速度沿軸向左作勻速運動，與此同時，動點P從點D出發，也以1個單位長度/秒的速度沿射線DE的方向作勻速運動．設運動時間為秒．
（1）請用含的代數式分別表示出點C與點P的坐標；
（2）以點C為圓心、個單位長度為半徑的與軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），連接PA、PB．
①當與射線DE有公共點時，求的取值范圍；
②當為等腰三角形時，求的值．
評析：本題設計的問題考察較多的知識點和思想方法，對動圓的位置和大小的變化，要能通過圓心的坐標和半徑來刻畫。要能把“與射線DE有公共點時”轉化成寫之等價的t所滿足的不等式組，進而求出其解。針對“為等腰三角形”的三種情況，要能分類討論，建立相應的方程，求出t的值。本題表面上比較駭人，但實際上只要耐心畫圖、嘗試，是能找出解題的路徑的。所以本題對學生的心理、意志品質也是一種考驗。
再如2010年無錫市中考第27題。
（二）開放探索性問題
這類題型沒有固定的解題程序，也不能通過死記硬背數學結論來獲得答案，它要求學生從不同角度，不同方向進行多方面、多層次的思考；這些題目，一般是內容豐富、立意深刻、背景新穎、形式靈活。開放性問題的教學有助于提高學生的探索、推理、觀察能力，可以充分調動學生的主觀能動性，增強參與意識，激活學生的創新思維。開放性問題一般有條件開放、結論開放、解題策略開放等。
例2．（2010年泰州市）如圖，二次函數的圖象經過點D，與x軸交于A、B兩點．
⑴求的值；
⑵如圖①，設點C為該二次函數的圖象在x軸上方的一點，直線AC將四邊形ABCD的面積二等分，試證明線段BD被直線AC平分，并求此時直線AC的函數解析式；
⑶設點P、Q為該二次函數的圖象在x軸上方的兩個動點，試猜想：是否存在這樣的點P、Q，使△AQP≌△ABP？如果存在，請舉例驗證你的猜想；如果不存在，請說明理由．（圖②供選用）
下面進行較為詳細的分析：
1．思路分析：本題的分值共12分，是試卷的倒數第二大題。本題的入口較寬，第⑴題幾乎是送分題，只要把D點的坐標代入二次函數解析中就可以求出c的值，進而確定了二次函數的解析式，為第⑵、⑶題作準備；第⑵題是一道“數形結合”的小型綜合題，由于設計兩個小問題（第1問起到引導思路的作用），因此難度也不算大。其解法思路是：分別過D、B兩點作AC上的高，根據直線AC將四邊形ABCD的面積二等分，得到△ADC和△ABC在AC邊上的高相等，進而可以得到全等三角形，證得AC和BD的交點M是DB的中點。由于D點坐標已知，B點坐標可求，從而M點坐標容易求得。最后根據A點和E點坐標求出直線AC的函數解析式。第⑶題有好多學生覺得無從下手，甚至認為命題人出題“太偏”，導至本題失分率很高。但筆者認為本題“不偏不怪”，只不過解題思路與第⑵題沒有多大關系。必須要“另起爐灶”，用其它方法來解。要使△AQP≌△ABP，只要AQ=AB，AP=AP（即AP是兩個三角形的公共邊），∠QAP=∠BAP。所以只要在x軸上方的二次函數圖象上找到一點Q，使AQ=AB，然后作出∠QAB的角平分線即可使△AQP≌△ABP，因此，在x軸上方的二次函數圖象上，若能找到一點Q，使AQ=AB，則存在；若不能找到點Q，使AQ=AB，則不存在。一種方法是采用觀察法，注意特殊點的坐標，如拋物線的頂點坐標，利用該點和A點坐標可以求出它們之間的距離正好等于AB；另一種方法是采用方程思想，設Q點的坐標為（a，），用字母a表示出AQ之間的距離，然后令AQ=AB，就可以列出關于a的方程，求出一個符合要求的a值，即可說明存在性。
2．命題特色和思考
（1）本題以二次函數為背景，綜合考察了二次函數、一次函數、方程、圖形的全等、圖形的面積等有關知識。既注重數學基礎的考察，又體現了能力立意。特別是第⑶題，學生除了要讀懂題意，理解題目的要求，弄清問題的實質，還要具備不怕困難、勇于探索的精神，另外本題對觀察和分析能力也提出了較高的要求。
（2）本題第⑵、⑶題的解法思路幾乎沒有什么聯系，因此學生要克服思維定勢，注意思維的靈活性。
（3）第⑶題的關鍵是理解題意，既要能實現問題的轉化，又要注意問題的特殊性，從而靈活的求解。
再如，宿遷市2010年中考最后一題。
（三）圖象信息題
表格、圖象和圖形是一種直觀形象的數學語言，包含著很多豐富的信息， 如何觀察、提煉這些信息，并通過分析這些信息來解決問題，是考查學生能力的好方式，近來也有這方面的大膽嘗試。
例3.（2008年泰州市）2008年5月12日14時28分四川汶川發生里氏8.0級強力地震．某市接到上級通知，立即派出甲、乙兩個抗震救災小組乘車沿同一路線趕赴距出發點480千米的災區．乙組由于要攜帶一些救災物資，比甲組遲出發1.25小時（從甲組出發時開始計時）．圖中的折線、線段分別表示甲、乙兩組的所走路程y甲（千米）、y乙（千米）與時間x（小時）之間的函數關系對應的圖像．請根據圖像所提供的信息，解決下列問題：
（1）由于汽車發生故障，甲組在途中停留了　　 　小時；（2分）
（2）甲組的汽車排除故障后，立即提速趕往災區．請問甲組的汽車在排除故障時，距出發點的路程是多少千米？（6分）
（3）為了保證及時聯絡，甲、乙兩組在第一次相遇時約定此后兩車之間的路程不超過25千米，請通過計算說明，按圖像所表示的走法是否符合約定．（4分）
評析：本題少了咄咄逼人的態勢，改變了以往壓軸題中代數、幾何單調的整合。突破了傳統的行程問題的命題模式，而用函數圖象關系的信息背景來襯托，使代數中方程、不等式、函數，甚至幾何知識巧妙地融為一體，不失為一道耳目一新、別具一格的好題。由于解法較多，它考查了學生的閱讀理解分析、圖象信息捕捉、合情聯想建模、數形結合轉化等綜合解決實際問題的能力。
再如，2010年揚州市中考的第27題。
（四）與高中知識銜接的新型題
更高層次的知識，往往可以借助于已有知識經驗探索得到，一些高中內容，與初中內容有密切的聯系，因而也成為命題人員選擇的素材。出現的題型有定義新運算型、閱讀理解型、綜合探索型等。
例4．（2010年南通市）已知拋物線y＝ax2＋bx＋c經過A（－4，3）、B（2，0）兩點，當x=3和x=－3時，這條拋物線上對應點的縱坐標相等．經過點C（0，－2）的直線l與 x軸平行，O為坐標原點．
（1）求直線AB和這條拋物線的解析式；
（2）以A為圓心，AO為半徑的圓記為⊙A，判斷直線l與⊙A的位置關系，并說明理由；
（3）設直線AB上的點D的橫坐標為－1，P（m，n）是拋物線y＝ax2＋bx＋c上的動點，當△PDO的周長最小時，求四邊形CODP的面積．
評析：此題以拋物線的準線、焦點性質為背景進行命題，構思非常巧妙，對學生的數學能力進行了很好的考查。
再如，2010年泰州市的最后一題，也有與高中斜率知識銜接的傾向。
二．中考前一個月的復習策略
對于壓軸題的復習，我認為可以精選一些題目以專題的形式進行系統地歸類復習，強化訓練。具體做法：發揮備課組的力量，備課組的五位教師分工負責，利用剪、貼的方法收集歷年來的中考數學壓軸題，進行專題訓練。在復習中注意以下問題：
精心選題
①中考試題具有良好的教學導向功能，既引導學生學會學習，樂于科學探究，樂于在生活中用數學；又引導我們數學教師積極投身到數學課程改革中去，努力改進初中數學教學，研究如何按照中考試題的要求把握平時練習、復習。因此可以收集歷年來有代表性的中考數學壓軸題，并進行分類整理以專題的形式進行復習。②“試題源于課本”已成為歷年中考的命題原則，具有良好的導向作用。因此在最后的復習階段可以對課本的例、習題在認真研究的基礎上加以變式再創造，在復習教學中開展陳題新解，以一題多解、一題多變、多題一解等的形式將知識串聯，方法歸納，以少勝多，提高學生的解題能力。
加強解題策略指導
在每一次的考試中，我們教師都會發現有部分基礎較好的學生對于壓軸題的解答得分率也不高，認真分析、究其原因主要是會而不對，對而不全，全而不美的問題。因此我們可以讓學生向錯誤學習，放手讓學生自己去搞點講評，自己動手建立錯題檔案，對于錯的題目進行反復訓練。對于綜合性的壓軸題，讓學生總結題目考查了哪些知識點，每個知識點是從哪個角度考查的，題目考查了哪些數學思想方法，本題有哪幾種解題方法，最佳解法是什么？當自己出錯時，是知識上的錯誤還是方法上的錯誤，是解題過程的失誤還是心理上的缺陷導致的失誤。切實解決會而不對，對而不全，全而不美的問題。
要求書寫規范
每一次的批卷中總是發現：有部分學生在解最后一題的壓軸題時，解題步驟不規范，導致失分；甚至由于第1小題書寫不規范，導致自己在做后面的小題時，抄錯而不得分。因此我們在平時的教學中要講清楚每一題中每一步的評分標準，要舍得時間讓學生在課堂上把一道題解答完整，并相互批改，互相糾錯；而最重要的就是要嚴格要求每一次作業中的書寫過程，認為不過關的堅決要求重寫，慢慢養成習慣。杜絕平時因時間不夠而重答案輕過程。
處理好壓軸題與其他知識復習的關系
由于壓軸題的難度較高，因此在專題復習中針對的都是基礎較好的學生，而對于基礎較差的學生有可能對此失去興趣，成績下滑。所以在最后的一個月復習中，我校打算壓軸題的專題、基礎知識的進一步整理、綜合模擬三部分交叉進行，照顧到各層次的學生，讓他們都有所收獲。
以上只是我對壓軸題的一點淺薄的認識，講的不對的地方，望各位同行批評指正。謝謝！
2011-3-14

展開更多......

收起↑