資源簡介

高頻考點1 集合與簡易邏輯
命題動向
集合與簡易邏輯是高中數學的重要基礎，是中學數學四大符號表述系統之一．本知識板塊在近年高考命題中有以下特點：
（1）對集合運算、集合有關術語與符號、在集合問題中逆求參數值問題、集合的簡單應用、命題真假的判定、四種命題間的關系、充要條件的判定等基礎知識的考查，多以選擇題、填空題形式出現，一般難度不大，屬于基礎題；
（2）以函數與方程、三角函數、不等式、向量、圓錐曲線等知識為內核，以集合語言和符號語言為外在表現形式，結合簡易邏輯知識考查數學思想與方法，多以解答題形式出現，這類題往往具有“穩中求新”、“穩中求活”等特點．
押猜題1
對于集合、，定義，.設，，則（ ）
A. B. C. D.
解析 由題意，.故選D.
點評 本題是一道信息遷移題，弄懂及的本質含義并掌握集合的基本運算是正確求解的關鍵.
押猜題2
已知命題不等式的解集為；命題在三角形中，是成立的必要而非充分條件，則（ ）
A．真假 B．且為真
C．或為假 D．假真
解析 依題意，由得解得所以命題正確；在三角形中， 所以命題是假命題.故選A.
點評 本題以命題真假的判斷為載體，考查解不等式和三角形中的三角變換，值得考生細細品味.
高頻考點2 函數
命題動向
函數既是高中數學最重要的基礎知識又是高中數學的主干知識，還是高中數學的主要工具，在高考中占有舉足輕重的地位，其考查的內容是豐富多彩的，考查的方式是靈活多變的，既有以選擇題、填空題形式出現的中低檔試題，也有以解答題形式出現的中高檔試題，更有以綜合了函數、導數、不等式、數列而出現的壓軸題．在試卷中往往是以選擇題、填空題的形式考查函數的基礎知識和基本方法，以解答題的形式考查函數的綜合應用．
押猜題3
已知是定義在R上的偶函數，且對于任意的R都有若當時，則有（ ）
A． B．
C． D．
解析 的最小正周期為4.因為是定義在R上的偶函數，則則 因為當時，為增函數，故故選A.
點評 本題集函數的周期性、奇偶性、單調性等于一體考查，是高考命題者慣用的手法，充分體現了高考選擇題的“小、巧、精、活”的特點，是一道難得的好題.
押猜題4
（理）已知函數
（1）求函數的單調區間；
（2）若當時（其中），不等式恒成立，求實數的取值范圍；
（3）若關于的方程在區間上恰好有兩個相異的實根，求實數的取值范圍.
解析 因為所以
（1）令或，所以的單調增區間為和；
令或
所以的單調減區間為和
（2）令或函數在上是連續的，又所以，當時，的最大值為
故時，若使恒成立，則
（3）原問題可轉化為：方程在區間上恰好有兩個相異的實根.
令則令解得：
當時，在區間上單調遞減，
當時，在區間上單調遞增.
在和處連續，
又
且當時，的最大值是的最小值是
在區間上方程恰好有兩個相異的實根時，實數的取值范圍是：
點評 本題考查導數在研究函數性質，不等式恒成立，參數取值范圍等方面的應用，充分體現了導數的工具和傳接作用.作為一道代數推理題，往往處在“把關題”或“壓軸題”的位置，具有較好的區分和選拔功能.
（文）已知函數與函數互為反函數，且函數與函數也互為反函數，若，則=（ ）
A．0 B．1 C． D．
解析 求得函數的反函數為又函數與函數也互為反函數，所以 故選C.
點評 本題是以“年份”為背景的代數推理題，挖掘出是解題的關鍵，是推理的基礎，結合累加法和反函數的有關知識可使問題圓滿解決.此題對文科考生而言有相當的難度.
高頻考點3 數列
命題動向
數列是高中數學的重要內容，也是學習高等數學的基礎，它蘊含著高中數學的四大思想及累加（乘）法、錯位相減法、倒序相加法、裂項相消法等基本數學方法；本部分內容在高考中的分值約占全卷的10％~15％，其中對等差與等比數列的考查是重中之重．
近年來高考對數列知識的考查大致可分為以下三類：
（1）關于兩個特殊數列的考查，主要考查等差、等比數列的概念、性質、通項公式以及前項和公式等，多以選擇題、填空題形式出現，難度不大，屬于中低檔題；
（2）與其他知識綜合考查，偶爾結合遞推數列、數學歸納法、函數方程、不等式與導數等知識考查，以最值與參數問題、恒成立問題、不等式證明等題型出現，一般難度比較大，多為壓軸題，并強調分類討論與整合、轉化與化歸等數學思想的靈活運用；
（3）數列類創新問題，命題形式靈活，新定義型、類比型和探索型等創新題均有出現，既可能以選擇題、填空題形式出現，也可能以壓軸題形式出現．
押猜題5
已知為等差數列為等比數列，且則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
解析 依題意得解得所以由得故選B.
點評 本題考查等差數列和等比數列的概念和性質，將簡單對數不等式的解法融入其中考查體現了學科內知識的交匯性.
押猜題6
（理）已知數列的前項和為，且
（1）求數列的通項公式；
（2）設數列滿足：且求證：；
（3）求證：
解析 （1）當時，
兩式相減得：
可得，
（2）①當時，不等式成立.
②假設當時，不等式成立，即那么，當時，
所以當時，不等式也成立.
根據①、②可知，當時，
（3）設則
函數在上單調遞減，
當時，


點評 本題是數列、數學歸納法、函數、不等式等的大型綜合題，銜接自然，敘述流暢，毫無拼湊的痕跡，情景新穎，具有較好的區分度，入口較寬，要求學生具有一定的審題、讀題能力，一定的等價變形能力，同時還要求學生具有較高的數學素養和數學靈氣.該題已達到高考壓軸題的水準.
（文）已知函數對任意實數都滿足：且
（1）當N*時，求的表達式；
（2）設N*),是數列的前項的和，求證：；
（3）設N*),設數列的前項的和為，試比較與6的大小.
解析 （1）
N*),
是以為首項，以為公比的等比數列，
即N*).
（2）
①
②
①－②得：


N*,
（3）
N*,
點評 本題是函數與數列的交匯綜合題，體現了在知識交匯點處設計試題的高考命題思想.其中第（1）問所用的“賦值法”，第（2）問所用的“錯位相減法”，第（3）問所用的“裂項相消法”等是高考必考的重要方法和技巧.
高頻考點4 三角函數
命題動向
三角函數是描述周期現象的重要數學模型，在數學和其他領域中具有重要的作用．本章主要包括以下內容：
三角函數的概念、同角三角函數的基本關系、三角函數的誘導公式、兩角和與差的三角函數、三角函數的圖象和性質、解斜三角形．全國各地高考都很重視對三角函數的考查，主要考查三角函數的概念、恒等變換、圖象和性質、解斜三角形．
解斜三角形是平面幾何研究的主體內容，是教學大綱要求熟練掌握的重點知識，也是高考常考的題型之一，支撐這一知識板塊的核心是正弦定理和余弦定理．通過對近年高考題的分析，我們不難發現，高考一般以直接解斜三角形或者以平面向量、立體幾何、解析幾何、實際生活等問題為載體考查這一問題．高考對考生應用正弦、余弦定理的考查主要體現在以下兩個方面：
其一是考查考生是否能通過對正弦、余弦定理變形技巧的熟練掌握，實現邊角轉換；其二是在解斜三角形問題中，考查考生能否根據題目的條件，實現正弦、余弦定理的優化選擇，得到最佳解答.
押猜題7
關于函數有下列命題：
①其表達式可寫成；
②直線是函數圖象的一條對稱軸；
③函數的圖象可由函數的圖象向右平移個單位得到；
④存在，使得恒成立.
其中正確的命題序號是_________.（將你認為正確的命題序號都填上）
解析 對于有
而對于則有所以①錯誤；因為所以②正確； 的圖象是由的圖象向右平移個單位得到的，所以③錯誤；因為是函數的最小正周期，取所以④正確.故應填②④.
點評 本題給出多個命題，要求答題者對每個備選命題判斷其真偽性，填寫滿足要求的命題序號.這是近年出現的新題型，屬于選擇題中的多選題，排除了“唯一性”中“猜”的成份，多個結論的開放加大了問題的難度，必須對每個備選命題逐一研究其真偽性，才能探索出正確答案，這類題型考查容量大，多選或少選一個全題皆錯.
押猜題8
在中，、、分別為角、、的對邊，若，，且.
（1）求角的度數；
（2）當，時，求邊長和角的大小.
解析 (1)，
.
，
即，就是.又，.
（2），即.①
在中，由余弦定理，得
，即.②
由①、②解得，或.
當時，由正弦定理得；
當時，，.
綜上，或.
點評 本題是一道用平面向量“包裝”的三角題，考查三角形中的三角函數問題，其中正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等的參與，給本題增色添彩.本題難易適中，能有效穩定考生的考試情緒，吊起考生的解題胃口.
高頻考點5 平面向量
命題動向
平面向量主要包括：平面向量的概念、平面向量的加減運算、平面向量的基本定理及坐標運算、數量積及非零向量的平行與垂直等．平面向量的加減運算將平面向量與平面幾何聯系起來；平面向量的基本定理是平面向量坐標表示的基礎，它揭示了平面向量的基本結構；平面向量的坐標運算，將平面向量的運算代數化，實現了數與形的緊密結合．平面向量來源于實踐，又應用于實際，是高中數學中的知識工具，應該給予重視．
本部分內容在高考中的命題熱點是：向量加減法的坐標運算；向量加減法的幾何表示；實數與向量的數乘的基本運算；實數與向量積的坐標運算．
押猜題9
已知的外接圓的圓心為，且則 的大小關系是（ ）
A． B．
C． D．
解析 設的外接圓的半徑為R，
則
由已知得所以
所以
即所以故選D.
點評 涉及三角形中的向量的數量積問題，常常可以考慮利用向量的數量積的定義、正弦定理、余弦定理來解決.
押猜題10
已知向量滿足且若映射則在映射下，向量（其中的原象的模為________.
解析 設則由題意，得解得
故應填
點評 本題考查平面向量的坐標運算和三角變換的基本技能，其中映射的參與使本題顯得新穎別致，韻味十足.
高頻考點6 不等式
命題動向
不等式是解決初等數學問題的重要工具，它既可以解決函數、方程等方面的問題，又經常同函數、方程相結合來解決代數、幾何及各實際應用領域中的問題．在高考注重改革和創新的今天，對不等式應用的考查所占比重越來越大，在高考卷中，不等式應用越來越普遍地滲透到考題之中，既可以通過小題考查不等式基礎知識和基本公式的應用，也可以在大題、壓軸題中考查學生的邏輯思維和綜合解決問題的能力．
押猜題11
設以下不等式：①；②；③；④中恒成立的是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
解析 對于①，由得即
對于②，由得恒成立；
對于③，
因此；
對于④，由得
即恒成立.
因此，不等式②④恒成立.故選D.
點評 本題考查不等式的性質和不等式證明的基本方法，是一道中規中矩，注重通性通法的基礎題.
高頻考點7 直線和圓的方程
命題動向
直線在高考中的考查熱點之一是與直線有關的基本概念（如直線的傾斜角、斜率、截距、夾角、到角、兩直線平行與垂直的條件等）與基本公式（如過兩點的斜率公式、兩點間的距離公式等），二是求不同條件下的直線方程．
近幾年高考對圓的考查有以下幾種形式：
考查位置關系，重點是直線與圓的位置關系；考查求解圓的方程；利用圓的參數方程求最值或范圍問題．在以解析幾何問題為主的大題中圓與直線及圓錐曲線的綜合問題也占有一定的比重．
這類試題所考查的數學思想與方法有：分類討論思想、數形結合思想、轉化與化歸思想、函數與方程思想及換元法、待定系數法等．
線性規劃的考查特點：一是以選擇題、填空題形式將直線方程、不等式、最值等內容融為一體，考查線性規劃的基礎知識與基本應用；二是將線性規劃與實際生活或其他知識結合而命制試題，考查考生的綜合素質.
押猜題12
若直線與圓交于N兩點，且N關于直線對稱，動點在不等式組所表示的平面區域的內部及邊界上運動，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
解析 由題意可知直線與直線垂直，所以，由題意知圓心在直線上，可求得.則不等式組即為其所表示的平面區域如圖中陰影部分所示，的幾何意義是點與平面區域上的點的連線的斜率.而所以的取值范圍為：故選A.
點評 本題考查了直線與圓的位置關系，兩直線垂直時其斜率關系的應用，線性規劃的運用.運用“等價轉化”的數學思想，將位置關系轉化為求斜率范圍的問題.

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