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2011高考必備之_精選數(shù)學(xué)壓軸題
1.（海淀區(qū)高三年級(jí)第一學(xué)期期末練習(xí)）
給定項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列，其中.
若存在一個(gè)正整數(shù)，若數(shù)列中存在連續(xù)的k項(xiàng)和該數(shù)列中另一個(gè)連續(xù)的k項(xiàng)恰好按次序?qū)?yīng)相等，則稱數(shù)列是“k階可重復(fù)數(shù)列”，
例如數(shù)列
因?yàn)榕c按次序?qū)?yīng)相等，所以數(shù)列是“4階可重復(fù)數(shù)列”.
（Ⅰ）分別判斷下列數(shù)列
① ②
是否是“5階可重復(fù)數(shù)列”？如果是，請(qǐng)寫出重復(fù)的這5項(xiàng)；
（Ⅱ）若數(shù)為的數(shù)列一定是 “3階可重復(fù)數(shù)列”，則的最小值是多少？說明理由；
（III）假設(shè)數(shù)列不是“5階可重復(fù)數(shù)列”，若在其最后一項(xiàng)后再添加一項(xiàng)0或1，均可使新數(shù)列是“5階可重復(fù)數(shù)列”，且，求數(shù)列的最后一項(xiàng)的值.
解：（Ⅰ）記數(shù)列①為，因?yàn)榕c按次序?qū)?yīng)相等，所以數(shù)列①是“5階可重復(fù)數(shù)列”，重復(fù)的這五項(xiàng)為0,0,1,1,0;
記數(shù)列②為，因?yàn)椤ⅰⅰⅰ?、沒有完全相同的，所以不是“5階可重復(fù)數(shù)列”. ……………….3分
（Ⅱ）因?yàn)閿?shù)列的每一項(xiàng)只可以是0或1，所以連續(xù)3項(xiàng)共有種不同的情形.若m＝11，則數(shù)列中有9組連續(xù)3項(xiàng)，則這其中至少有兩組按次序?qū)?yīng)相等，即項(xiàng)數(shù)為11的數(shù)列一定是“3階可重復(fù)數(shù)列”；若m＝10，數(shù)列0,0,1,0,1,1,1,0,0,0不是“3階可重復(fù)數(shù)列”；則時(shí)，均存在不是“3階可重復(fù)數(shù)列”的數(shù)列.所以，要使數(shù)列一定
是“3階可重復(fù)數(shù)列”，則m的最小值是11. ……………….8分
（III）由于數(shù)列在其最后一項(xiàng)后再添加一項(xiàng)0或1，均可使新數(shù)列是“5階可重復(fù)數(shù)列”，即在數(shù)列的末項(xiàng)后再添加一項(xiàng)，則存在，
使得與按次序?qū)?yīng)相等，或與按次序?qū)?yīng)相等，
如果與不能按次序?qū)?yīng)相等，那么必有，，使得、與按次序?qū)?yīng)相等.
此時(shí)考慮和，其中必有兩個(gè)相同，這就導(dǎo)致數(shù)列中有兩個(gè)連續(xù)的五項(xiàng)恰按次序?qū)?yīng)相等，從而數(shù)列是“5階可重復(fù)數(shù)列”，這和題設(shè)中數(shù)列不是“5階可重復(fù)數(shù)列”矛盾！所以與按次序?qū)?yīng)相等，從而
……………….14分

2. (湖北省武漢地區(qū)重點(diǎn)大學(xué)附中六校第一次聯(lián)考)設(shè)函數(shù)，其中為正整數(shù).（Ⅰ）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并就的情形證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）證明：；
（Ⅲ）對(duì)于任意給定的正整數(shù)，求函數(shù)的最大值和最小值.
2.解：（1）在上均為單調(diào)遞增的函數(shù). …… 1分
對(duì)于函數(shù)，設(shè) ，則
，
，
函數(shù)在上單調(diào)遞增. …… 3分
（2） 原式左邊


. …… 5分
又原式右邊.
. …… 6分
（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
的最大值為，最小值為.
當(dāng)時(shí)，， 函數(shù)的最大、最小值均為1.
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為單調(diào)遞增.
的最大值為，最小值為.
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
的最大值為，最小值為. …… 9分
下面討論正整數(shù)的情形：
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，對(duì)任意且
，
以及 ，
，從而 .
在上為單調(diào)遞增，則
的最大值為，最小值為. …… 11分
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，一方面有 .
另一方面，由于對(duì)任意正整數(shù)，有
，
.
函數(shù)的最大值為，最小值為.
綜上所述，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，函數(shù)的最大值為，最小值為.
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)的最大值為，最小值為. …… 13分
3.（綿陽市高中2010級(jí)第二次診斷性考試）設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，它的前n項(xiàng)和為Sn（n∈N*），已知點(diǎn)(an，4Sn)在函數(shù)f?(x)=x2+2x+1的圖象上．
（1）證明{an}是等差數(shù)列，并求an；
（2）設(shè)m、k、p∈N*，m+p=2k，求證：＋≥；
（3）對(duì)于（2）中的命題，對(duì)一般的各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列還成立嗎？如果成立，請(qǐng)證明你的結(jié)論，如果不成立，請(qǐng)說明理由
3.解：（1）∵ ，
∴ (n≥2)．
兩式相減得．
整理得 ，
∵ ，
∴ （常數(shù)）．
∴ {an}是以2為公差的等差數(shù)列． 又，即，解得，
∴ an=1+(n-1)×2=2n-1．………………………………………………………4分
（2）由（1）知，∴ Sm=m2，Sp=p2，Sk=k2．
由
≥≥=0，
即≥．………………………………………………………………7分
（3）結(jié)論成立，證明如下：
設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，則， ∵
，
把代入上式化簡得
=≥0，
∴ Sm+Sp≥2Sk． 又=
≤
，
∴ ≥．
故原不等式得證．………………………………………………………………14分
4.(湖北省黃岡中學(xué)2010屆高三10月份月考)
已知數(shù)列中，，且。
(Ⅰ) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(Ⅱ) 令，數(shù)列的前項(xiàng)和為，試比較與的大小；
(Ⅲ) 令，數(shù)列的前項(xiàng)和為．求證：對(duì)任意，
都有 ．
解：(Ⅰ)由題知， ，
由累加法，當(dāng)時(shí)，
代入，得時(shí)，
又，故． ．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（II）時(shí)，．
方法1：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，．
猜想當(dāng)時(shí)，． ．．．．．．．．．．．．．．．．6分
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)時(shí)，由上可知成立；
②假設(shè)時(shí)，上式成立，即.
當(dāng)時(shí)，左邊
，所以當(dāng)時(shí)成立．
由①②可知當(dāng)時(shí),．
綜上所述：當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí), ；
當(dāng)時(shí),． ．．．．．．．．．．．．．．．10分
方法2：
記函數(shù)
所以 ．．．．．．．．．6分
則
所以．
由于，此時(shí)；
，此時(shí)；
，此時(shí)；
由于，，故時(shí)，，此時(shí)．
綜上所述：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí),． ．．．．．．．．．．．10分
（III）
當(dāng)時(shí)，
所以當(dāng)時(shí)
＋．
且
故對(duì)，得證． ．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
…………………………14分

5.(湖南省師大附中2010屆高三第二次月考數(shù)學(xué)理試題）（本小題滿分13分)
已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，且滿足，其中.
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若數(shù)列與數(shù)列有公共項(xiàng)，將所有公共項(xiàng)按原順序排列后構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）記（Ⅱ）中數(shù)列的前項(xiàng)之和為，求證：
.
【解】（Ⅰ）由題設(shè). （1分）
由已知，所以.又b＞0，所以a＜3. （2分）
因?yàn)椋瑒t.又a＞0，所以b＞2，從而有. （3分）
因?yàn)椋? （4分）
（Ⅱ）設(shè)，即. （5分）
因?yàn)椋瑒t，所以. （6分）
因?yàn)椋襜∈N*，所以，即，且b＝3. （7分）
故. （8分）
（Ⅲ）由題設(shè)，. （9分）
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以 （11分）
于是. （12分）
因?yàn)镾1＝3，S2＝9，S3＝21，則
. (13分)
）

6.(湖南省長沙市一中2010屆高三第四次月考試卷)對(duì)于函數(shù)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，則稱x0為f(x)的不動(dòng)點(diǎn)．如果函數(shù)f(x)＝有且僅有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)0和2．
(Ⅰ)試求b、c滿足的關(guān)系式；
(Ⅱ)若c＝2時(shí)，各項(xiàng)不為零的數(shù)列{an}滿足4Sn·f()＝1，求證：＜＜；
(Ⅲ)設(shè)bn＝－，Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求證：T2009－1＜ln2009＜T2008．
(Ⅰ)設(shè)
∴ ………………………………2分
(Ⅱ)∵c＝2 ∴b＝2 ∴，
由已知可得2Sn＝an－an2……①，且an≠1．
當(dāng)n≥2時(shí)，2 Sn -1＝an－1－an－12 ……②，
①－②得(an＋an－1)( an－an－1＋1)＝0，∴an＝－an－1 或 an＝－an－1 ＝－1，
當(dāng)n＝1時(shí)，2a1＝a1－a12 a1＝－1，
若an＝－an－1，則a2＝1與an≠1矛盾．∴an－an－1＝－1， ∴an＝－n．………………4分
∴要證待證不等式，只要證 ，
即證 ，
只要證 ，即證 ．
考慮證不等式(x＞0) **．…………………………………………………6分
令g(x)＝x－ln(1＋x)， h(x)＝ln(x＋1)－ (x＞0) ．
∴g '(x)＝， h '(x)＝，
∵x＞0， ∴g '(x)＞0， h '(x)＞0，∴g(x)、h(x)在(0, ＋∞)上都是增函數(shù)，
∴g(x)＞g(0)＝0， h(x)＞h(0)＝0，∴x＞0時(shí)，．
令則**式成立，∴＜＜，……………………………………9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知bn＝，則Tn＝．
在中，令n＝1，2，3，……，2008，并將各式相加，
得，
即T2009－1＜ln2009＜T2008．…………………………………………………………………12分
7.(南開中學(xué)高2010級(jí)高三10月月考試題)設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，且，數(shù)列與滿
足如下關(guān)系：
(1)求的解析式；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(3)記為數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：對(duì)任意的有
解：(1)由是奇函數(shù)，得，由，得故
(2)Q
∴
∴，而，∴
證明：(3)由(2)
要證明的問題即為
Q 當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)， ∴
則
故
則
得證
8. (江西師大附中高三數(shù)學(xué)（理科）期中考試試卷)
已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列滿足：，且
求證：；
（3）求證：.
8．解：（1）當(dāng)時(shí)，，
，可得：，
．
可得，
（2）當(dāng)時(shí)，，不等式成立．
假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即那么，當(dāng)時(shí)，
所以當(dāng)時(shí)，不等式也成立.
根據(jù)（），（）可知，當(dāng)時(shí)，
（3）設(shè)
在上單調(diào)遞減，
∵當(dāng)時(shí)，
，
9(東北育才高中部高三數(shù)學(xué)月考試題（理科）
已知函數(shù)相切，
（1）求的值
（2）若方程上有且僅有兩個(gè)解求的取值范圍，并比較的大小。
（3）設(shè)，求證：
（1）設(shè)切點(diǎn)，則，，
， ……………………3分
（2）由，得
令，
在（0，1）上，，故在（0，1）單調(diào)減
在（1，）上，，故在（1，）單調(diào)增
若使圖像內(nèi)與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則需
，此時(shí)
所求的范圍是。 …………………………… 8分
由上知，方程上有且僅有兩個(gè)解，滿足，
（3）求導(dǎo)數(shù)可證f(x)≤x，即ln(x+1) ≤x …………………………… 10分
…………………………… 12分
10.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，恒有，且過圖象上任意兩點(diǎn)的直線的斜率都大于1，求證：
（1）為增函數(shù)；
（2）；
（3）.
證明：（1）設(shè)
為增函數(shù)
（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，恒有
若，則不符合要求
若，則得不符合題意要求
（3）過圖象上任意兩點(diǎn)的直線的斜率都大于1

；
過圖象上任意兩點(diǎn)的直線的斜率都大于1
綜上，.
11.設(shè), 求證：

，所以結(jié)論成立
12.在平面直角坐標(biāo)系，已知平面區(qū)域 A={ (x,y)| x + ty < 2,且tR,，若平面區(qū)域B={ (x, y ) | (x+y, x-y )A }的面積不小于1，則t的取值范圍為t 1 .
13是否存在a，b，使得對(duì)任意的x∈[0，1]成立？若存在，求出a，b的值，若不存在，說明理由。
假設(shè)存在這樣的a，b，使得對(duì)任意的x∈[0，1]成立，則
①，兩式相加可得0＜＜3，[來源:21世紀(jì)教育網(wǎng)
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[]遞減，在區(qū)間[]遞增,
所以②，
由不等式組中的第二式加第三式可得，
由不等式組中的第一式加第三式可得。 …………10分
記，，a=3，
又，在為減函數(shù)，
又，所以，所以，
所以a=1，代入②式可得，所以存在a=1，，
使得對(duì)任意的x∈[0，1]成立。 …………16分
14.函數(shù)＝＋＋，x∈(0，＋∞)．
（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）對(duì)任意正數(shù)，證明：．
解 （1）略
（2）對(duì)任意給定的，，因?yàn)?br/>，若令，則 ①
②
（一）先證：因?yàn)椋?br/>又由≥，∴≥6
所以
（2）.再證：由①、②中關(guān)于x，a，b的對(duì)稱性，不妨設(shè)x≥a≥b，則0（Ⅰ）.當(dāng)a+b≥7，則a≥5，∴x≥a≥5
，
∴
（Ⅱ）若a+b<7，由①得，∴ ③
因?yàn)?br/>∴ ④
同理得 ⑤，于是
⑥
今證明 ⑦
因?yàn)椋瑒t只要
只要，即證，即a+b<7，而這顯然成立。
綜上，對(duì)任意正數(shù)，．

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