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關于圓錐曲線的中點弦問題的探討
直線與圓錐曲線相交所得弦中點問題，是解析幾何中的重要內容之一，也是高考的一個熱點問題。這類問題一般有以下三種類型：（1）求中點弦所在直線方程問題；（2）求弦中點的軌跡方程問題；（3）求弦中點的坐標問題。其解法有代點相減法、設而不求法、參數法、待定系數法及中心對稱變換法等。
一、求中點弦所在直線方程問題
例1、過橢圓內一點M（2，1）引一條弦，使弦被點M平分，求這條弦所在的直線方程。
解法一：設所求直線方程為y-1=k(x-2)，代入橢圓方程并整理得：
又設直線與橢圓的交點為A()，B（），則是方程的兩個根，于是
，
又M為AB的中點，所以，
解得，
故所求直線方程為。
解法二：設直線與橢圓的交點為A()，B（），M（2，1）為AB的中點，
所以，，
又A、B兩點在橢圓上，則，，
兩式相減得，
所以，即，
故所求直線方程為。
解法三：設所求直線與橢圓的一個交點為A()，由于中點為M（2，1），
則另一個交點為B(4-)，
因為A、B兩點在橢圓上，所以有，
兩式相減得，
由于過A、B的直線只有一條，
故所求直線方程為。
二、求弦中點的軌跡方程問題
例2、過橢圓上一點P（-8，0）作直線交橢圓于Q點，求PQ中點的軌跡方程。
解法一：設弦PQ中點M（），弦端點P（），Q（），
則有，
兩式相減得，
又因為，，所以，
所以，
而，故。
化簡可得 （）。
解法二：設弦中點M（），Q（），
由，可得，，
又因為Q在橢圓上，所以，
即，
所以PQ中點M的軌跡方程為 （）。
三、弦中點的坐標問題
例3、求直線被拋物線截得線段的中點坐標。
解：解法一：設直線與拋物線交于， ，其中點，由題意得，
消去y得，即，
所以，，即中點坐標為。
解法二：設直線與拋物線交于， ，其中點，由題意得，兩式相減得，
所以，
所以，即，，即中點坐標為。
上面我們給出了解決直線與圓錐曲線相交所得弦中點問題的一些基本解法。下面我們看一個結論
引理 設A、B是二次曲線C：上的兩點，P為弦AB的中點，則
。
設A、B則……（1）
……（2）
得
∴
∴
∵∴ ∴即。（說明：當時，上面的結論就是過二次曲線C上的點P的切線斜率公式，即）
推論1 設圓的弦AB的中點為P（，則。（假設點P在圓上時，則過點P的切線斜率為）

推論2 設橢圓的弦AB的中點為P（，則。（注：對a≤b也成立。假設點P在橢圓上，則過點P的切線斜率為）
推論3 設雙曲線的弦AB的中點為P（則。（假設點P在雙曲線上，則過P點的切線斜率為）
推論4 設拋物線的弦AB的中點為P（則。（假設點P在拋物線上，則過點P的切線斜率為
我們可以直接應用上面這些結論解決有關問題，下面舉例說明。
例1、求橢圓斜率為3的弦的中點軌跡方程。
解：設P（x，y）是所求軌跡上的任一點，則有，故所示的軌跡方程為16x+75y=0
例2、已知橢圓A、B是橢圓上兩點，線段AB的垂直平分線l與x軸相交于P，求證：。
證明：設AB的中點為T，由題設可知AB與x軸不垂直，∴，
∴ ∵l⊥AB ∴
∴l的方程為： 令y=0 得
∴ ∵ ∴
∴
例3、已知拋物線C：，直線
要使拋物線C上存
在關于對稱的兩點，的取值范圍是什么？
解：設C上兩點A、B兩點關于對稱，AB的
中點為P（
∴ ∴∵P∈∴
∴ ∴ ∴
∵P在拋物線內 ，∴ ∴
∴ ∴

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