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高考數學遞推數列求通項題型分類歸納解析
類型1
解法：把原遞推公式轉化為，利用累加法(逐差相加法)求解。
例1:已知數列滿足，，求。
解：由條件知：
分別令，代入上式得個等式累加之，即
所以
，
類型2
解法：把原遞推公式轉化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例2:已知數列滿足，，求。
解：由條件知，分別令，代入上式得個等式累乘之，即
又，
例3:已知， ，求。
解：
。
變式:（2004，全國I,理15．）已知數列{an}，滿足a1=1， (n≥2)，則{an}的通項
解：由已知，得，用此式減去已知式，得
當時，，即，又，
，將以上n個式子相乘，得
類型3 （其中p，q均為常數，）。
解法（待定系數法）：把原遞推公式轉化為：，其中，再利用換元法轉化為等比數列求解。
例4:已知數列中，，，求.
解：設遞推公式可以轉化為即.故遞推公式為,令，則,且.所以是以為首項，2為公比的等比數列，則,所以.
變式:（2006，重慶,文,14）
在數列中，若，則該數列的通項_______________
（key:）
類型4 （其中p，q均為常數，）。 （或,其中p，q, r均為常數） 。
解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數列（其中），得：再待定系數法解決。
例5:已知數列中，,，求。
解：在兩邊乘以得：
令，則,解之得：
所以
類型5 遞推公式為（其中p，q均為常數）。
解 (特征根法)：對于由遞推公式，給出的數列，方程，叫做數列的特征方程。若是特征方程的兩個根，當時，數列的通項為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關于A、B的方程組）；當時，數列的通項為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關于A、B的方程組）。
例6: 數列：， ,求
解（特征根法）：的特征方程是：。,
。又由，于是
故
練習:已知數列中，,,，求。
。
變式:（2006，福建,文,22）
已知數列滿足求數列的通項公式；
（I）解：
　　
類型6 遞推公式為與的關系式。(或)
解法：利用與消去 或與消去進行求解。
例7：數列前n項和.（1）求與的關系；（2）求通項公式.
解：（1）由得：
于是
所以.
（2）應用類型4（（其中p，q均為常數，））的方法，上式兩邊同乘以得：
由.于是數列是以2為首項，2為公差的等差數列，所以
類型7
解法：這種類型一般是等式兩邊取對數后轉化為，再利用待定系數法求解。
例8：已知數列｛｝中，，求數列
解：由兩邊取對數得，
令，則，再利用待定系數法解得：。
類型8
解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數后換元轉化為。
例9：已知數列｛an｝滿足：，求數列｛an｝的通項公式。
解：取倒數：
是等差數列，
變式:（2006，江西,理,22）
已知數列｛an｝滿足：a1＝，且an＝ 求數列｛an｝的通項公式；
解：（1）將條件變為：1－＝，因此｛1－｝為一個等比數列，其首項為1－＝，公比，從而1－＝，據此得an＝（n(1）
類型9周期型
解法：由遞推式計算出前幾項，尋找周期。
例10：若數列滿足，若，則的值為___________。
變式:（2005，湖南,文，5）
已知數列滿足，則= （ ）
A．0 B． C． D．
高考數學遞推數列求通項題型分類歸納解析
類型1
解法：把原遞推公式轉化為，利用累加法(逐差相加法)求解。
例1:已知數列滿足，，求。
解：由條件知：
分別令，代入上式得個等式累加之，即
所以
，
類型2
解法：把原遞推公式轉化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例2:已知數列滿足，，求。
解：由條件知，分別令，代入上式得個等式累乘之，即
又，
例3:已知， ，求。
解：
。
變式:（2004，全國I,理15．）已知數列{an}，滿足a1=1， (n≥2)，則{an}的通項
解：由已知，得，用此式減去已知式，得
當時，，即，又，
，將以上n個式子相乘，得
類型3 （其中p，q均為常數，）。
解法（待定系數法）：把原遞推公式轉化為：，其中，再利用換元法轉化為等比數列求解。
例4:已知數列中，，，求.
解：設遞推公式可以轉化為即.故遞推公式為,令，則,且.所以是以為首項，2為公比的等比數列，則,所以.
變式:（2006，重慶,文,14）
在數列中，若，則該數列的通項_______________
（key:）
類型4 （其中p，q均為常數，）。 （或,其中p，q, r均為常數） 。
解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數列（其中），得：再待定系數法解決。
例5:已知數列中，,，求。
解：在兩邊乘以得：
令，則,解之得：
所以
類型5 遞推公式為（其中p，q均為常數）。
解 (特征根法)：對于由遞推公式，給出的數列，方程，叫做數列的特征方程。若是特征方程的兩個根，當時，數列的通項為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關于A、B的方程組）；當時，數列的通項為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關于A、B的方程組）。
例6: 數列：， ,求
解（特征根法）：的特征方程是：。,
。又由，于是
故
練習:已知數列中，,,，求。
。
變式:（2006，福建,文,22）
已知數列滿足求數列的通項公式；
（I）解：
　　
類型6 遞推公式為與的關系式。(或)
解法：利用與消去 或與消去進行求解。
例7：數列前n項和.（1）求與的關系；（2）求通項公式.
解：（1）由得：
于是
所以.
（2）應用類型4（（其中p，q均為常數，））的方法，上式兩邊同乘以得：
由.于是數列是以2為首項，2為公差的等差數列，所以
類型7
解法：這種類型一般是等式兩邊取對數后轉化為，再利用待定系數法求解。
例8：已知數列｛｝中，，求數列
解：由兩邊取對數得，
令，則，再利用待定系數法解得：。
類型8
解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數后換元轉化為。
例9：已知數列｛an｝滿足：，求數列｛an｝的通項公式。
解：取倒數：
是等差數列，
變式:（2006，江西,理,22）
已知數列｛an｝滿足：a1＝，且an＝ 求數列｛an｝的通項公式；
解：（1）將條件變為：1－＝，因此｛1－｝為一個等比數列，其首項為1－＝，公比，從而1－＝，據此得an＝（n(1）
類型9周期型
解法：由遞推式計算出前幾項，尋找周期。
例10：若數列滿足，若，則的值為___________。
變式:（2005，湖南,文，5）
已知數列滿足，則= （ ）
A．0 B． C． D．

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