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課件31張PPT。2017年中考數學命題研究（貴陽專版）2017年中考數學命題研究（貴陽專版）2017年中考數學命題研究（貴陽專版）2017年中考數學命題研究（貴陽專版）2017年中考數學命題研究（貴陽專版）2017年中考數學命題研究（貴陽專版）2017年中考數學命題研究（貴陽專版）2017年中考數學命題研究（貴陽專版）2017年中考數學命題研究（貴陽專版）2017年中考數學命題研究（貴陽專版）2017年中考數學命題研究（貴陽專版）2017年中考數學命題研究（貴陽專版）2017年中考數學命題研究（貴陽專版）2017年中考數學命題研究（貴陽專版）2017年中考數學命題研究（貴陽專版）2017年中考數學命題研究（貴陽專版）2017年中考數學命題研究（貴陽專版）2017年中考數學命題研究（貴陽專版）2017年中考數學命題研究（貴陽專版）2017年中考數學命題研究（貴陽專版）2017年中考數學命題研究（貴陽專版）2017年中考數學命題研究（貴陽專版）2017年中考數學命題研究（貴陽專版）2017年中考數學命題研究（貴陽專版）2017年中考數學命題研究（貴陽專版）2017年中考數學命題研究（貴陽專版）2017年中考數學命題研究（貴陽專版）2017年中考數學命題研究（貴陽專版）2017年中考數學命題研究（貴陽專版）2017年中考數學命題研究（貴陽專版）2017年中考數學命題研究（貴陽專版）專題五 猜想、探究與證明
猜想、探究與證明題型是全國各地中考的熱門題型，由于探究型試題的知識覆蓋面較大，綜合性較強，靈活選擇方法的要求較高，再加上題意新穎，構思精巧，具有相當的深度和難度，所以往往作為中考試卷中的壓軸題出現，主要用于考查學生分析問題和解決問題的能力和創新意識．縱觀貴陽5年中考，只有2013年考查了猜想、探究問題，設置在第24題，以解答題的形式出現，分值為12分．
預計2017年貴陽中考，猜想、探究與證明題型將是重點考查內容，復習時要加大訓練力度．
,中考重難點突破)
與三角形有關的猜想與探究
【經典導例】
【例】(2013貴陽中考)在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，設c為最長邊．當a2＋b2＝c2時，△ABC是直角三角形；當a2＋b2≠c2時，利用代數式a2＋b2和c2的大小關系，探究△ABC的形狀．(按角分類)
(1)當△ABC三邊長分別為6、8、9時，△ABC為________三角形；當△ABC三邊長分別為6、8、11時，△ABC為________三角形；
(2)猜想：當a2＋b2________c2時，△ABC為銳角三角形；當a2＋b2________c2時，△ABC為鈍角三角形；
(3)判斷當a＝2，b＝4時，△ABC的形狀，并求出對應的c的取值范圍．
【解析】(1)由勾股定理的逆定理可知，6，8，10是一組勾股數，最長邊10所對的角是直角，而9<10，11>10，所以當△ABC的三邊長分別為6，8，9時，最長邊9所對的角應小于直角；當△ABC的三邊長分別為6，8，11時，最長邊11所對的角大于90°；(2)由勾股定理的逆定理可知，當c2＝a2＋b2時，△ABC是直角三角形．此時，∠C＝90°，則當c2a2＋b2時，c邊所對的角大于90°；(3)根據題意先求出c邊長的取值范圍，然后分三種情況討論：①銳角三角形；②直角三角形；③鈍角三角形，再具體求出c的取值范圍．
【學生解答】解：(1)銳角；鈍角；(2)>；<；(3)∵b－a1．(2016內江中考)問題引入：
(1)如圖①，在△ABC中，點O是∠ABC和∠ACB平分線的交點，若∠A＝α，則∠BOC＝__90°＋__(用α表示)；如圖②，∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝ ∠ACB，∠A＝α，則∠BOC＝__120°＋__(用α表示)；
(2)如圖③，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，請猜想∠BOC＝________(用 α表示)，并說明理由．
類比研究：
(3)BO，CO分別是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分線，它們交于點O，∠CBO＝ ∠DBC，∠BCO＝ ∠ECB，∠A＝α，請猜想∠BOC＝________．

解：(2)120°－.理由如下：∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－(∠DBC＋∠ECB)＝180°－(180°＋α)＝120°－；(3)·180°－.

2．(2016泰安中考)
(1)已知：△ABC是等腰三角形，其底邊是BC，點D在線段AB上，E是直線BC上一點，且∠DEC＝∠DCE，若∠A＝60°(如圖①)．求證：EB＝AD；
(2)若將(1)中的“點D在線段AB上”改為“點D在線段AB的延長線上”，其他條件不變(如圖②)，(1)的結論是否成立，并說明理由；
(3)若將(1)中的“若∠A＝60°”改為“若∠A＝90°”，其他條件不變，則的值是多少？(直接寫出結論， 不要求寫解答過程)

證明：(1)過D點作DF∥BC交AC于點F，則AD＝DF，∴∠FDC＝∠ECD.又∵∠DEC＝∠ECD，∴∠FDC＝∠DEC，ED＝CD，又∠DBE＝∠DFC＝120°，∴△DBE≌△CFD，∴EB＝DF，∴EB＝AD；(2)EB＝AD成立．理由如下：過D點作DF∥BC交AC的延長線于點F，則AD＝DF，∠FDC＝∠ECD.又∵∠DEC＝∠ECD，∴∠FDC＝∠DEC，ED＝CD，又∠DBE＝∠DFC＝60°，∴△DBE≌△CFD，∴EB＝DF，∴EB＝AD；(3)＝.
3．【問題探究】
(1)如圖①，在銳角△ABC中，分別以AB，AC為邊向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD，連接BD，CE，試猜想BD與CE的大小關系，并說明理由；
【深入探究】
(2)如圖②，在四邊形ABCD中，AB＝7 cm，BC＝3 cm，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD的長；
(3)如圖③，在(2)的條件下，當△ACD在線段AC的左側時，求BD的長．

解：(1)BD＝CE. 理由如下：∵∠BAE＝∠CAD, ∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAD, 又∵AE＝AB，AC＝AD，∴△EAC≌△BAD, ∴BD＝CE;

(2)如圖①，在△ABC的外部，以點A為直角頂點作等腰直角△BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，連接EA，EB，EC. ∵∠ACD＝∠ADC＝45°， ∴AC＝AD，∠CAD＝90°， ∴∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAD, ∴△EAC≌△BAD(SAS)，∴BD＝CE. ∵AE＝AB＝7, ∴BE＝＝7，∠AEB＝∠ABE＝45°， 又∵∠ABC＝45°， ∴∠ABC＋∠ABE＝45°＋45°＝90°， ∴EC＝＝＝， ∴BD＝CE＝ cm，∴BD的長是 cm；

(3)如圖②，在線段AC的右側過點A作AE⊥AB于點A，交BC的延長線于點E，∴∠BAE＝90°， 又∵∠ABC＝45°， ∴∠E＝∠ABC＝45°， ∴AE＝AB＝7，BE＝＝7， 又∵∠ACD＝∠ADC＝45°， ∴∠BAE＝∠DAC＝90°， ∴∠BAE－∠BAC＝∠DAC－∠BAC，即∠EAC＝∠BAD, ∴△EAC≌△BAD, ∴BD＝CE, ∵BC＝3, ∴BD＝CE＝7－3(cm)，∴BD長是(7－3)cm.
4．(2016河南中考)
(1)發現
如圖1，點A為線段BC外一動點，且BC＝a，AB＝b.
填空：當點A位于__CB延長線上__時，線段AC的長取得最大值，且最大值為__a＋b__. (用含a，b的式子表示)
(2)應用
點A為線段BC外一動點，且BC＝3，AB＝1.如圖2所示，分別以AB，AC為邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接CD，BE.
①請找出圖中與BE相等的線段，并說明理由；
②直接寫出線段BE長的最大值．
(3)拓展
如圖3，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(2，0)，點B的坐標為(5，0)，點P為線段AB外一動點，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°.請直接寫出線段AM長的最大值及此時點P的坐標．


解：① DC＝BE.理由如下： ∵△ABD和△ACE為等邊三角形， ∴AD＝AB，AC＝AE, ∠BAD＝∠CAE＝60°， ∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，∴△CAD≌△EAB. ∴DC＝BE；② BE長的最大值是4；(3)AM的最大值為3＋2，點P的坐標為(2－，)．

5．(2016丹東中考)如圖①，△ABC與△CDE是等腰直角三角形，直角邊AC，CD在同一條直線上，點M，N分別是斜邊AB，DE的中點，點P為AD的中點，連接AE，BD.
(1)猜想PM與PN的數量關系及位置關系，請直接寫出結論；
(2)現將圖①中的△CDE繞著點C順時針旋轉α(0°<α<90°)，得到圖②，AE與 MP，BD分別交于點G，H.請判斷(1)中的結論是否成立？若成立，請證明； 若不成立，請說明理由；
(3)若圖②中的等腰直角三角形變成直角三角形，使BC＝kAC，CD＝kCE，如圖③，寫出PM與PN的數量關系，并加以證明．

解：(1)PM＝PN，PM⊥PN；(2)(1)中的結論成立．理由如下：設BC與AE交于點O.∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，∴AC＝BC，EC＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ACB＋∠BCE＝∠ECD＋∠BCE，∴∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD，∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD.又∵∠AOC＝∠BOE，∠CAE＝∠CBD，∴∠BHO＝∠ACO＝90°.∵點P，M，N分別為AD，AB，DE的中點，∴PM＝BD，PM∥BD；PN＝AE，PN∥AE，∴PM＝PN，∴∠MGE＋∠BHA＝180°，∴∠MGE＝90°，∴∠MPN＝90°，∴PM⊥PN；(3)PM＝kPN.理由如下：∵△ACB和△ECD是直角三角形，∴∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ACB＋∠BCE＝∠ECD＋∠BCE，∴∠ACE＝∠BCD.∵BC＝kAC，CD＝kCE，∴＝＝k，∴△BCD∽△ACE，∴BD＝kAE.∵點P，M，N分別為AD，AB，DE的中點，∴PM＝BD，PN＝AE，∴PM＝kPN.

與四邊形有關的猜想與探究
6．(2015威海中考)猜想與證明：
如圖1擺放矩形紙片ABCD與矩形紙片ECGF，使B，C，G三點在一條直線上，CE在邊CD上，連接AF，若M為AF的中點，連接DM，ME，試猜想DM與ME的關系，并證明你的結論．
拓展與延伸：
(1)若將”猜想與證明“中的紙片換成正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，其他條件不變，則DM和ME的關系為________；
(2)如圖2擺放正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，使點F在邊CD上，點M仍為AF的中點，試證明(1)中的結論仍然成立．

解： 猜想與證明 DM＝ME.證明：如圖1，延長EM交AD于點H, ∵四邊形ABCD和CEFG是矩形，∴AD∥EF，∴∠EFM＝∠HAM, 又∵∠FME＝∠AMH，FM＝AM，在△FME和△AMH中， ∴△FME≌△AMH(ASA)∴HM＝EM, 在Rt△HDE中，HM＝EM，∴DM＝HM＝ME，∴DM＝ME.拓展與延伸
(1)DM＝ME且DM⊥ME；(2)如圖2，連接AE, ∵四邊形ABCD和ECGF是正方形，∴∠FCE＝45°，∠FCA＝45°， ∴AE和EC在同一條直線上，在Rt△ADF中，AM＝MF，∴DM＝AM＝MF, 在Rt△AEF中，AM＝MF，∴AM＝MF＝ME, ∴DM＝ME.


7．(2016龍東中考)已知：點P是平行四邊形ABCD對角線AC所在直線上的一個動點(點P不與點A，C 重合)，分別過點A，C向直線BP作垂線，垂足分別為點E，F，點O為AC的中點．
(1)當點P與點O重合時如圖1，易證OE＝OF；(不需證明)
(2)直線BP繞點B逆時針方向旋轉，當∠OFE＝30°時，如圖2、圖3的位置，猜想線段CF，AE，OE之間有怎樣的數量關系？請寫出對圖2、圖3的猜想，并選擇一種情況給予證明．

解：(2)圖2中的結論為：CF＝OE＋AE.圖3中的結論為：CF＝OE－AE.選圖2中的結論證明如下：延長EO交CF于點G，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠EAO＝∠GCO，∠EOA＝∠GOC，OA＝OC，∴△EOA≌△GOC，∴EO＝GO，AE＝CG，在Rt△EFG中．∵EO＝OG，∴OE＝OF＝GO，∵∠OFE＝30°，∴∠OFG＝90°－30°＝60°，∴△OFG是等邊三角形，∴OF＝GF，∵OE＝OF，∴OE＝FG，∵CF＝FG＋CG，∴CF＝OE＋AE.選圖3的結論證明如下：延長EO交FC的延長線于點G，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠AEO＝∠G，∵∠AOE＝∠COG，OA＝OC，∴△AOE≌△COG，∴OE＝OG，AE＝CG，在Rt△EFG中，∵OE＝OG，∴OE＝OF＝OG，∵∠OFE＝30°，∴∠OFG＝90°－30°＝60°，∴△OFG是等邊三角形，∴OF＝FG，∵OE＝OF，∴OE＝FG，∵CF＝FG－CG，∴CF＝OE－AE.


8．(2016襄陽中考)如圖，將矩形ABCD沿AF折疊，使點D落在BC邊的點E處，過點E作EG∥CD交AF于點G，連接DG.
(1)求證：四邊形EFDG是菱形；
(2)探究線段EG，GF，AF之間的數量關系，并說明理由；
(3)若AG＝6，EG＝2，求BE的長．

解：(1)由折疊的性質可得，∠AFD＝∠AFE，FD＝FE.∵EG∥CD，∴∠EGF＝∠AFD，∴∠EGF＝∠AFE，∴EG＝EF＝FD，∴EG綊FD，∴四邊形EFDG是平行四邊形．又∵FD＝FE，∴?EFDG是菱形；(2)EG2＝AF·GF.理由如下：連接ED交AF于點H，∵四邊形EFDG是菱形，∴DE⊥AF，FH＝GH＝GF，EH＝DH＝DE.∵∠FEH＝∠FAE＝90°－∠EFA，∴Rt△FEH∽Rt△FAE，∴＝.即EF2＝FH·AF，∴EG2＝AF·GF；(3)∵AG＝6，EG＝2，EG2＝AF·GF，∴(2)2＝(6＋GF)·GF.∵GF>0，∴GF＝4，∴AF＝10.∵DF＝EG＝2，∴AD＝BC＝＝4，DE＝2EH＝＝8.∵∠CDE＋∠DFA＝90°，∠DAF＋∠DFA＝90°，∴∠CDE＝∠DAF，∴Rt△ADF∽Rt△DCE，∴＝，即＝，∴EC＝，∴BE＝BC－EC＝.

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