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課件27張PPT。2017年中考數學命題研究（青海專版）2017年中考數學命題研究（懷化專版）2017年中考數學命題研究（青海專版）2017年中考數學命題研究（懷化專版）2017年中考數學命題研究（青海專版）2017年中考數學命題研究（懷化專版）2017年中考數學命題研究（青海專版）2017年中考數學命題研究（懷化專版）2017年中考數學命題研究（青海專版）2017年中考數學命題研究（懷化專版）2017年中考數學命題研究（青海專版）2017年中考數學命題研究（懷化專版）2017年中考數學命題研究（青海專版）2017年中考數學命題研究（懷化專版）2017年中考數學命題研究（青海專版）2017年中考數學命題研究（懷化專版）2017年中考數學命題研究（青海專版）2017年中考數學命題研究（懷化專版）2017年中考數學命題研究（青海專版）2017年中考數學命題研究（懷化專版）2017年中考數學命題研究（青海專版）2017年中考數學命題研究（懷化專版）2017年中考數學命題研究（青海專版）2017年中考數學命題研究（懷化專版）2017年中考數學命題研究（青海專版）2017年中考數學命題研究（懷化專版）2017年中考數學命題研究（青海專版）2017年中考數學命題研究（懷化專版）2017年中考數學命題研究（青海專版）2017年中考數學命題研究（懷化專版）2017年中考數學命題研究（青海專版）2017年中考數學命題研究（懷化專版）2017年中考數學命題研究（青海專版）2017年中考數學命題研究（懷化專版）2017年中考數學命題研究（青海專版）2017年中考數學命題研究（懷化專版）2017年中考數學命題研究（青海專版）2017年中考數學命題研究（懷化專版）2017年中考數學命題研究（青海專版）2017年中考數學命題研究（懷化專版）2017年中考數學命題研究（青海專版）2017年中考數學命題研究（懷化專版）2017年中考數學命題研究（青海專版）2017年中考數學命題研究（懷化專版）2017年中考數學命題研究（青海專版）2017年中考數學命題研究（懷化專版）2017年中考數學命題研究（青海專版）2017年中考數學命題研究（懷化專版）2017年中考數學命題研究（青海專版）2017年中考數學命題研究（懷化專版）2017年中考數學命題研究（青海專版）2017年中考數學命題研究（懷化專版）2017年中考數學命題研究（青海專版）專題四　幾何圖形綜合探究問題
命題規律：縱觀青海近五年中考，每年必考，而且此類題總是出現在試卷第27題，中考常與函數結合在一起考出現在壓軸題，從考查的類型看主要包括從實際操作中探究、從特殊到一般的探究，存在性探究、動態探究，難度中偏上．
命題預測：預計2017年青海(西寧)中考仍會考查此類內容，復習時應加強各種類型的強化訓練．
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　從特殊到一般的探究性問題
【例1】(2015臨沂中考)如圖1，在正方形ABCD的外側，作兩個等邊三角形ADE和DCF，連接AF，BE.
(1)請判斷：AF與BE的數量關系是________，位置關系是________；
(2)如圖2，若將條件“兩個等邊三角形ADE和DCF”變為“兩個等腰三角形ADE和DCF，且EA＝ED＝FD＝FC”，第(1)問中的結論是否仍然成立？請作出判斷并給予證明；
(3)若三角形ADE和DCF為一般三角形，且AE＝DF，ED＝FC，第(1)問中的結論能成立嗎？請直接寫出你的判斷．
【解析】根據正方形和等邊三角形的性質，可以判定AF、BE所在的兩個鈍角三角形全等，利用全等三角形的性質可得AF和BE的數量關系和位置關系；
(2)問的思路同(1)相似，只是增加了證明向外做的這兩個等腰三角形全等的過程；
(3)問思路同(2)問一樣．
【學生解答】解：(1)AF＝BE，AF⊥BE；(2)第(1)問中的判斷仍然成立，證明：由EA＝ED＝FD＝FC和AD＝CD，可知△ADE≌△DCF，∴∠DAE＝∠CDF，∵∠BAE＝∠BAD＋∠DAE＝∠DAE＋90°，∠ADF＝∠ADC＋∠CDF＝∠CDF＋90°，∴∠BAE＝∠ADF.在△BAE和△ADF中，AB＝AD，AE＝DF，∠BAE＝∠ADF，∴△BAE≌△ADF，∴AF＝BE，由于△BAE≌△ADF，∴∠FAD＝∠EBA，又∵∠FAD＋∠BAF＝∠BAD＝90°，∴∠EBA＋∠BAF＝90°，∴AF⊥BE；
(3)第(1)問中結論都成立．如圖所示，∵AE＝DF，ED＝FC，AD＝CD.∴△ADE≌△DCF，其余證明和(2)一樣．
【點撥】這類稍微改變條件，問同一結論是否仍然成立的問題，幾個問題之間的思路往往一脈相承，其中體現了從特殊到一般的思維方法．
1．(2016青海中考)如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分線CF于點F，請你認真閱讀下面關于這個圖形的探究片段，完成所提出的問題．
,) 　　,圖1)
,圖2) 　　,圖3)
(1)探究1：小強看到圖后，很快發現AE＝EF，這需要證明AE和EF所在的兩個三角形全等，但△ABE和△ECF顯然不全等(一個是直角三角形，一個是鈍角三角形)，考慮到點E是邊BC的中點，因此可以選取AB的中點M，連接EM后嘗試著去證△AEM≌△EFC就行了，隨著小強寫出了如下的證明過程：
證明：如圖1，取AB的中點M，連接EM.∵∠AEF＝90°，∴∠FEC＋∠AEB＝90°，又∵∠EAM＋∠AEB＝90°，∴∠EAM＝∠FEC，點E、M分別是正方形BC和AB的中點，∴AM＝EC，又∵△BME為等腰Rt△，∴∠AME＝135°，又∵CF是正方形外角的平分線，∴∠ECF＝135°，∴△AEM≌△EFC(ASA)，∴AE＝EF.
(2)探究2：小強繼續探索：如圖2，若把條件“點E是BC的中點”改為“點E是BC上的任意一點”，其余條件不變，發現AE＝EF仍然成立，請你證明這一結論．
(3)探究3：小強進一步還想試試，如圖3，若把條件“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC的延長線上的一點”其余條件仍不變，那么結論AE＝EF是否成立嗎？若成立，請你完成證明過程給小強看，若不成立，請你說明理由．
證明：(2)在AB上截取AM＝EC，連接ME，∵AB＝BC，∴BM＝BE，∴∠BME＝45°，∴∠AME＝∠ECF＝135°，∵∠AEF＝90°，∴∠FEC＋∠AEB＝90°，又∵∠EAM＋∠AEB＝90°，∴∠EAM＝∠FEC，∴△AEM≌EFC(ASA)，∴AE＝EF；(3)成立．證明：延長BA到M，使AM＝CE，連接ME.∴BM＝BE，∴∠BME＝45°，∴∠BME＝∠ECF，又∵AD∥BE，∴∠DAE＝∠BEA，又∵∠MAD＝∠AEF＝90°，∴∠DAE＋∠MAD＝∠BEA＋∠AEF，即∠MAE＝∠CEF，∴△MAE≌△CEF(ASA)，∴AE＝EF.
　實踐操作型綜合探究問題
【例2】在圖①至圖③中，直線MN與線段AB相交于點O，∠1＝∠2＝45°.
(1)如圖①，若AO＝OB，請寫出AO與BD的數量關系和位置關系；
(2)將圖①中的MN繞點O順時針旋轉得到圖②，其中AO＝OB.求證：AC＝BD，AC⊥BD；
(3)將圖②中的OB拉長為AO的k倍得到圖③，求的值．
【學生解答】解：(1)AO＝BD，AO⊥BD；(2)如解圖①，過點B作BE∥CA交DO于點E，∴∠ACO＝∠BEO.又∵AO＝OB，∠AOC＝∠BOE，∴△AOC≌△BOE，∴AC＝BE.又∵∠1＝45°，∴∠ACO＝∠BEO＝135°.∴∠DEB＝45°，∵∠2＝45°，∴BE＝BD，∠EBD＝90°.∴AC＝BD.延長AC交BD的延長線于點F，如解圖①，∵BE∥AC，∴∠AFD＝90°，∴AC⊥BD；
　　　　
(3)如解圖②，過點B作BE∥CA交DO于點E，∴∠BEO＝∠ACO.又∵∠BOE＝∠AOC，∴△BOE∽△AOC.∴＝.又∵OB＝kAO，由(2)的方法易得BE＝BD，∴＝k.
【方法指導】(1)在探索兩線段的數量關系時常以三角形全等或者相似為工具，由對應角的關系得到兩線段相等或者成對應比例．有時需先進行等量代換，將兩線段放到相似三角形或全等三角形中，若出現直角三角形，則利用直角三角形的性質求解．
(2)兩線段的位置關系通常為平行或垂直．先觀察圖形，根據圖形先推測兩線段的位置關系是平行或垂直．若平行，則常通過以下方法進行證解：①平行線的判定定理；②平行四邊形對邊平行；③三角形中位線性質等．若垂直，則可考慮以下途徑：①證明兩線段所在直線夾角為90°；②兩線段是矩形的鄰邊；③兩線段是菱形的對角線；④勾股定理的逆定理；⑤利用等腰三角形三線合一的性質等方式證明．
2．(2015河南中考)如圖1，在Rt△ABC中，BC＝2AB＝8，點D，E分別是邊BC，AC的中點，連接DE，將△EDC繞點C按順時針方向旋轉，記旋轉角為α.
(1)問題發現：
①當α＝0°時，＝________；
②當α＝180°時，＝________；
(2)拓展探究：
試判斷：當0≤α＜360°時，的大小有無變化，請僅就圖2的情況給出證明；
(3)問題解決：
當△EDC旋轉至A、D、E三點共線時，直線寫出線段BD的長．
解：(1)；；(2)無變化．∵△EDC在旋轉過程中形狀大小不變，∴△EDC∽△ABC.∴＝.又∵∠ACE＝∠BCD＝α，∴△CEA∽△CDB.∴＝.在Rt△ABC中，AC＝＝＝4，∴＝＝.∴＝，即的大小不變；(3)4或.
　幾何圖形的動態問題
【例3】(2015青島中考)已知：如圖1，在?ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，AC⊥AB.△ACD沿AC的方向勻速平移得到△PNM，速度為1 cm/s；同時，點Q從點C出發，沿CB方向勻速動，速度為1 cm/s，當△PNM停止平移時，點Q也停止運動．如圖2，設運動時間為t(s)(0＜t＜4)，解答下列問題：
(1)當t為何值時，PQ∥MN?
(2)設△QMC的面積為y cm2，求y與t之間的函數關系式；
(3)是否存在某一時刻t，使S△QMC∶S四邊形ABQP＝1∶4？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；
(4)是否存在某一時刻t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
【解析】(1)當PQ∥MN時，PQ∥AB，利用平行線分線段成比例表示線段CP、AC、CQ、CB的比例關系，進而得出t值；
(2)分別過點A，P作AE⊥BC，PD⊥BC分別于點E，D，利用相似三角形的性質得到PD的長，從而表示出S△QPC，再根據平行線間的距離處處相等得S△QMC＝S△QPC，從而求出的函數關系式；
(3)在(2)的基礎上，用含t的式子表示S△QMC和S四邊形ABQP的式子，假設題中關系式成立，可得關于t的方程，t有解則存在；若t無解，則不存在；
(4)假設PQ⊥MQ，則易證△MQP∽△PDQ，利用相似三角形的對應線段成比例，進而計算得出t的存在性．
【學生解答】(1)在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝＝4.由平移性質可得MN∥AB.∵PQ∥MN，∴PQ∥AB.∴＝，即＝，解得t＝；(2)作PD⊥BC于點D，AE⊥BC于點E.由S△ABC＝AB×AC＝AE×BC可得AE＝.則由勾股定理易求CE＝.∵PD⊥BC，AE⊥BC，∴AE∥PD.∴△CPD∽△CAE.∴＝＝，即＝＝.∴PD＝，CD＝.∵PM∥BC，∴M到BC的距離h＝PD＝.∴△QCM是面積y＝CQ×h＝×t×＝－t2＋t；(3)∵PM∥BC，∴S△PQC＝S△MQC.若S△QMC∶S四邊形ABQP＝1∶4，則S△QMC∶S△ABC＝1∶5，∴－t2＋t＝×6，整理得t2－4t＋4＝0，解得t＝2.即當t＝2時，S△QMC∶S四邊形ABQP＝1∶4；(4)若PQ⊥MQ，則∠MQP＝∠PDQ＝90°.∵MP∥BC，∴∠MPQ＝∠PQD.∴△MQP∽△PDQ.∴＝.∴PQ2＝PM·DQ.即PD2＋DQ2＝PM·DQ，由CD＝，∴DQ＝CD－CQ＝.∴()2＋()2＝5×，整理得2t2－3t＝0.解得t1＝0(舍)，t2＝.即當t＝時，PQ⊥MQ.
【點撥】圖形的運動變換主要是圖形的平移、旋轉和翻折這幾種基本變換，每一種變換都涉及三角形的全等，而在平移問題中，由平行也可以得到的相似三角形，而全等和相似的性質就是解決這些問題的關鍵所在．
3．如圖，在四邊形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB，AD＝4 cm，DC＝5 cm，AB＝8 cm.如果點P由B點出發沿BC方向向點C勻速運動，同時點Q由A點出發沿AB方向向點B 勻速運動，它們的速度均為1 cm/s.當P點到達C點時，兩點同時停止運動．連接PQ，設運動時間為t s．解答下列問題：
(1)當t為何值時，P，Q兩點同時停止運動？
(2)設△PQB的面積為S，當t為何值時，S取得最大值，并求出最大值；
(3)當△PQB為等腰三角形時，求t的值．
解：(1)過C作CE⊥AB于點E，易得：BC＝5，當t＝5時，P、Q同時停止運動；(2)作PF⊥AB于點F，根據題意，得AQ＝t，BQ＝8－t，BP＝t.∵△BPF∽△BCE，∴＝，∴PF＝t.∴S△PQB＝BQ·PF＝－(t－4)2＋.∴當t＝4時，△PQB的面積最大，且S△max＝ cm2；(3)①若BP＝BQ，則t＝8－t，∴t＝4 s；②若QP＝QB，則＝，t＝ s；③若PQ＝PB，則＝，t＝ s．綜上，當t等于4 s， s， s時，△PQB為等腰三角形．
4．已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，點Q是線段AC上一個動點，過點Q作AC的垂線交線段AB(如圖1)或線段AB的延長線(如圖2)于點P.
(1)當點P在線段AB上時，求證：△APQ∽△ACB；
(2)當△PQB為等腰三角形時，求AP的長．
解：(1)在△APQ與△ACB中，∵∠ABC＝90°，PQ⊥AC，∴∠AQP＝∠ABC，∵∠PAQ＝∠CAB，∴△APQ∽△ACB；(2)AP＝或6.

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