資源簡介

第三章　函數及其圖象
第一節　函數及其圖象
,青海五年中考命題規律)
年份
題型
題號
考查點
考查內容
分值
總分
2016
填空
4
函數自變量的取值范圍
求既含有字母，又含有二次根式的自變量的取值范圍
2
選擇
19
函數圖象的判斷
以正方形為背景，判斷函數的圖象
3
5
2014
填空
7
平面坐標系中的對稱規律
利用對稱規律求字母的值
2
填空
11
平面直角坐標系
以象棋為背景建立平面直角坐標系，求點的坐標
2
4
2013
填空
5
函數自變量的取值范圍
求既含有分母又含二次根式的自變量的取值范圍
2
2
2012
填空
4
函數自變量的取值范圍
求既含有分母又含有二次根式的自變量的取值范圍
2
選擇
20
函數圖象信息
利用圖象結合實際獲取信息
3
5
命題規律
縱觀青海五年中考，有四年考查了此考點內容，并且以選擇題、填空題的形式呈現，其中求函數自變量的取值范圍考查了3次，平面直角坐標系及其點的對稱規律考查了2次，函數圖象及其信息考查了2次
命題預測
預計2017年青海中考考查的重點為求函數自變量的取值范圍和函數圖象的判斷，可能會與其他知識結合，特別是與幾何圖形結合的圖象
,青海省(西寧)五年中考真題)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　平面直角坐標系(青海1次、西寧0次)
1．(2014青海中考)如圖所示，在象棋盤上建立直角坐標系，使“帥”位于點(－2，－2)，“馬”位于點(1，－2)，則“兵”位于點__(－4，1)__．
　求自變量的取值范圍(青海3次、西寧1次)
2．(2012西寧中考)函數y＝的自變量x的取值范圍在數軸上可表示為(　D　)
,A) 　　　,B)
,C) 　　　,D)
3．(2012青海中考)函數y＝中，自變量x的取值范圍是__x≥－4且x≠2__．
4．(2013青海中考)函數y＝中，自變量x的取值范圍是__x≥－1且x≠0__．
5．(2016青海中考)函數y＝中，自變量的取值范圍是__x≥－3且x≠2__．
　平面坐標系中點的坐標特征(青海1次、西寧1次)
6．(2014青海中考)若點M(3，a)關于y軸的對稱點是點N(b，2)，則(a＋b)2 014＝__1__．
7．(2015西寧中考)若點(a，1)與(－2，b)關于原點對稱，則ab＝____．
　與實際相結合的函數圖象(青海2次、西寧4次)
8．(2016西寧中考)如圖，點A的坐標為(0，1)，點B是x軸正半軸上的一動點，以AB為邊作等腰直角△ABC, 使∠BAC＝90°，設點B的橫坐標為x，點C的縱坐標為y，能表示y與x的函數關系的圖象大致是(　A　)
,A) 　　　　,B)
,C) 　　　　,D)
9．(2015西寧中考)如圖，在矩形中截取兩個相同的正方形作為立方體的上下兩個底面，剩余的矩形作為立方體的側面，剛好能組成立方體，設矩形的長和寬分別為y和x，則y與x的函數圖象大致是(　B　)
,A) 　　　　,B)
,C) 　　　　,D)
10．(2014西寧中考)如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，點P是BC邊上的一個動點(點P不與點B，C重合)，現將△PCD沿直線PD折疊，使點C落在點C1處，作∠BPC1的平分線交AB于點E，設BP＝x，BE＝y，那么y關于x函數圖象大致應為(　C　)
,A) 　　　,B)
,C) 　　　,D)
11．(2013西寧中考)如圖，矩形的長和寬分別是4和3，等腰三角形的底和高分別是3和4，如果此三角形的底和矩形的寬重合，并且沿矩形兩條寬的中點所在的直線自右向左勻速運動至等腰三角形的底與另一寬重合．設矩形與等腰三角形重疊部分(陰影部分)的面積為y，重疊部分圖形的高為x，那么y關于x的函數圖象大致應為(　B　)
,A) 　　　,B)
,C) 　　　,D)
12．(2012青海中考)如圖反映的過程是：小剛從家去菜地澆水，又去青稞地除草，然后回家，如果菜地和青稞地的距離為a km，小剛在青稞地除草比在菜地澆水多用了b min，則a，b的值分別為(　D　)
A．1，8 B．0.5，12 C．1，12 D．0.5，8
13．(2016青島中考)如圖，在邊長為2的正方形ABCD中剪去一個邊長為1的小正方形CEFG，動點P從點A出發，沿A→D→E→F→G→B的路線繞多邊形的邊勻速運動到點B時停止(不含點A和點B)，則△ABP的面積S隨著時間t變化的函數圖象大致為(　C　)
,A) 　　　,B)
,C) 　　　,D)
,中考考點清單)
　平面直角坐標系及點的坐標
1．有序實數對：坐標平面上任意一點都可以用唯一一對有序實數來表示；反過來，任意一對有序實數都可以表示坐標平面上唯一一個點．
【方法技巧】一般地，點P(a，b)到x軸的距離為|b|；到y軸的距離為|a|；到原點的距離為.
2．平面直角坐標系中點的坐標特征
各象限點的坐標的符號特征
第一象限(＋，＋)；第二象限①__(－，＋)__；第三象限(－，－)；第四象限②__(＋，－)__
坐標軸上點的坐標特征
x軸上的點的縱坐標為③__0__，y軸上的點的橫坐標為0，原點的坐標為(0，0)
各象限角平分線上點的坐標特征
第一、三象限角平分線上的橫、縱坐標相等；第二、四象限角平分線上的橫、縱坐標④__互為相反數__
對稱點的坐標特征
點P(a，b)關于x軸對稱的點的坐標為(a，－b)；點P(a，b)關于y軸對稱的點的坐標為⑤__(－a，b)__；點P(a，b)關于原點對稱的點的坐標為P′(－a，－b)
平移點的坐標特征
將點P(x，y)向右或向左平移a個單位長度，得到對應點的坐標P′是(x＋a，y)或(x－a，y)；將點P(x，y)向上或向下平移b個單位長度，得到對應點的坐標P′是(x，y＋b)或(x，y－b)；將點P(x，y)向右或向左平移a個單位長度，再向上或向下平移b個單位長度，得到對應點P′是⑥__(x＋a，y＋b)或(x－a，y－b)__，簡記為：左減右加，上加下減
　函數的相關概念
3．變量：在一個變化過程中，可以取不同數值的量叫做變量．
4．常量：在一個變化過程中，數值保持不變的量叫做常量．
5．函數：一般地，在某個變化過程中，有兩個變量x和y.如果給定x的一個值，就能相應地確定y的一個值，那么，我們就說y是x的函數．其中，x叫做自變量．
　函數自變量的取值范圍
解析式
取值范圍
整式型
取全體實數
分式型，如y＝
分母不為0，即x≠0
根式型，如y＝
被開方數大于等于0，即x≥0
分式＋根式型，
如y＝
同時滿足兩個條件：①被開方數大于等于0即x≥0；②分母不為0，即x≠0
　函數的表示方法及其圖象
函數圖象的判斷近5年共考查1次，題型為選擇題，出題背景有：(1)與實際問題結合；(2)與幾何圖形結合；(3)與幾何圖形中的動點問題結合，設問方式均為“判斷函數圖象大致是”．
6．表示方法：數值表、圖象、解析式是函數關系的三種不同表達形式，它們分別表現出具體、形象直觀和便于抽象應用的特點．
7．圖象的畫法：知道函數的解析式，一般用描點法按下列步驟畫出函數的圖象．
(1)取值．根據函數的解析式，取自變量的一些值，得出函數的對應值，按這些對應值列表；
(2)畫點．根據自變量和函數的數值表，在直角坐標系中描點；
(3)連線．用平滑的曲線將這些點連接起來，即得函數的圖象．
8．已知函數解析式，判斷點P(x，y)是否在函數圖象上的方法：若點P(x，y)的坐標適合函數解析式，則點P(x，y)在其圖象上；若點P(x，y)的坐標不適合函數解析式，則點P(x，y)不在其圖象上．
【方法技巧】判斷符合題意的函數圖象的方法
(1)與實際問題結合：
判斷符合實際問題的函數圖象時，需遵循以下幾點：①找起點：結合題干中所給自變量及因變量的取值范圍，對應到圖象中找相對應點；②找特殊點：即指交點或轉折點，說明圖象在此點處將發生變化；③判斷圖象趨勢：判斷出函數的增減性；④看是否與坐標軸相交：即此時另外一個量為0.
(2)與幾何圖形(含動點)結合：
以幾何圖形為背景判斷函數圖象的題目，一般的解題思路為設時間為t，找因變量與t之間存在的函數關系，用含t的式子表示，再找相對應的函數圖象，要注意的是是否需要分類討論自變量的取值范圍．
(3)分析函數圖象判斷結論正誤：
分清圖象的橫縱坐標代表的量及函數中自變量的取值范圍，同時也要注意：①分段函數要分段討論；②轉折點：判斷函數圖象的傾斜方向或增減性發生變化的關鍵點；③平行線：函數值隨自變量的增大而保持不變．再結合題干推導出實際問題的運動過程，從而判斷結論的正誤．
,中考重難點突破)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　平面直角坐標系中點的坐標特征
【例1】(2015唐山模擬)若將點A(－4，3)先向右平移3個單位長度，再往下平移1個單位長度，得到點A1，點A1的坐標為(　　)
A．(－1，3) B．(－1，2)
C．(－7，2) D．(－7，4)
【解析】∵點A(－4，3)先向右平移3個單位長度，再往下平移1個單位長度，∴點A1的坐標為(－1，2)．
【學生解答】B
1．(2016廣東中考)在平面直角坐標系中，點P(－2，－3)所在的象限是(　C　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．(2016武漢中考)已知點A(a，1)與點A′(5，b)關于坐標原點對稱，則實數a，b的值是(　D　)
A．a＝5，b＝1 B．a＝－5，b＝1
C．a＝5，b＝－1 D．a＝－5，b＝－1
3．(2016長沙中考)若將點(1，3)向左平移2個單位長度，再向下平移4個單位長度得到點B，則點B的坐標為(　C　)
A．(2，－1) B．(－1，0)
C．(－1，－1) D．(－2，0)
4．(2016山西中考)如圖是利用網格畫出的太原市地鐵1、2、3號線路部分規劃示意圖．若建立適當的平面直角坐標系，則表示雙塔西街的點的坐標為(0，－1)，表示桃園路的點的坐標為(－1，0)，則表示太原火車站的點(正好在網格點上)的坐標是__(3，0)__．
　函數自變量的取值范圍
【例2】(2016原創)函數y＝－(x－2)0中，自變量x的取值范圍是________．
【解析】根據題意得，x≥0且x－3≠0且x－2≠0，解得x≥0且x≠3且x≠2.
【學生解答】x≥0且x≠3且x≠2
【方法指導】對于分式、根式、零指數冪相結合求自變量取值范圍的，先求出各自變量的取值范圍，然后取公共解集即可．
5．(2016威海中考)函數y＝的自變量x的取值范圍是(　B　)
A．x≥－2 B．x≥－2且x≠0
C．x≠0 D．x＞0且x≠－2
　函數圖象的判斷
【例3】(2016營口中考)如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，點E是BC邊上靠近點B的三等分點，動點P從點A出發，沿路徑A→D→C→E運動，則△APE的面積y與點P經過的路徑長x之間的函數關系用圖象表示大致是(　　)
,A) 　　　　,B)
,C) ,D)
【解析】∵在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，∴CD＝AB＝2，BC＝AD＝3，∵點E是BC邊上靠近點B的三等分點，∴CE＝×3＝2.①點P在AD上時，△APE的面積y＝x·2＝x(0≤x≤3)；②點P在CD上時，S△APE＝S四邊形AECD－S△ADP－S△CEP＝×(2＋3)×2－×3×(x－3)－×2×(3＋2－x)＝5－x＋－5＋x＝－x＋，所以y＝－x＋(3＜x≤5)；③點P在CE上時，S△APE＝×(3＋2＋2－x)×2＝－x＋7，所以y＝－x＋7(5＜x≤7)，縱觀各選項，只有A選項圖形符合．
【學生解答】A
【方法指導】根據動點P的運動路徑A→D→C→E可得，在計算△APE的面積時應該分為3種情況，①當P在AD上時；②當P在DC上時；③當P在CE上時，分別計算出即可．要注意轉折點有x＝3時和x＝5時．
6．(2017中考預測)如圖，邊長分別為1和2的兩個等邊三角形，開始它們在左邊重合，大三角形固定不動，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．設小三角形移動的距離為x，兩個三角形重疊面積為y，則y關于x的函數圖象是(　B　)
,A) ,B)
,C) ,D)
7．(2016廣東中考)如圖，在正方形ABCD中，點P從點A出發，沿著正方形的邊順時針方向運動一周，則△APC的面積y與點P的運動路程x之間形成的函數
關系的圖象大致是(　C　)
,A) ,B)
,C) ,D)
8．(2016濟南中考)勻速地向一個容器內注水，最后把容器注滿，在注水過程中，水面高度h隨時間t的變化規律如圖所示(圖中OABC為一折線)，這個容器的形狀是下圖的哪一個(　C　)
,A) ,B)
,C) ,D)
9．如圖，小明用彈簧秤將鐵塊A懸于盛有水的水槽中，然后勻速向上提起，直至鐵塊完全露出水面一定高度，則大致能反映彈簧秤的讀數y(單位：N)與鐵塊被提起的高度x(單位：cm)之間的函數關系的圖象大致是(　C　)
,A) ,B)
,C) ,D)
10．2015年5月10日上午，小華同學接到通知，她的作文通過了《我的中國夢》征文選拔，需盡快上交該作文的電子文稿．接到通知后，小華立即在電腦上打字錄入這篇文稿，錄入一段時間后因事暫停，過了一會兒，小華繼續錄入并加快了錄入速度，直至錄入完成．設從錄入文稿開始所經過的時間為x，錄入字數為y，下面能反映y與x的函數關系的大致圖象是(　C　)
,A) ,B)
,C) ,D)
第三章　函數及其圖象
第一節　函數及其圖象
1．(2016德令哈市一模)已知線段CD是由線段AB平移得到的，點A(－1，4)的對應點為C(4，7)，則點B(－4，－1)的對應點D的坐標為(　A　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A．(1，2) B．(2，9)
C．(5，3) D．(－9，－4)
2．(2016青海二模)函數y＝中，自變量x的取值范圍是(　D　)
A．x≥－3 B．x≥3
C．x≥0且x≠1 D．x≥－3且x≠1
3．(2015襄陽中考)如圖，是一臺自動測溫儀記錄的圖象，它反映了我市冬季某天氣溫T(℃)隨時間t(h)變化而變化的關系，觀察圖象得到下列信息，其中錯誤的是(　C　)
A．凌晨4時氣溫最低為－3℃
B．14時氣溫最高為8℃
C．從0時至14時，氣溫隨時間增長而上升
D．從14時至24時，氣溫隨時間增長而下降
(第3題圖)
　(第5題圖)
4．(2015涼州中考)在平面直角坐標系中，點P(－3，2)關于直線y＝x對稱點的坐標是(　C　)
A．(－3，－2) B．(3，2)
C．(2，－3) D．(3，－2)
5．(2016北京中考)在1～7月份，某種水果的每斤進價與每斤售價的信息如圖所示，則出售該種水果每斤利潤最大的月份是(　B　)
A．3月份 B．4月份
C．5月份 D．6月份
6．(2015重慶中考)今年五一節，小明外出爬山，他從山腳爬到山頂的過程中，中途休息了一段時間，設他從山腳出發后所用時間為t(min)，所走的路程為s(m)，s與t之間的函數關系如圖所示，下列說法錯誤的是(　C　)
A．小明中途休息用了20 min
B．小明休息前爬山的平均速度為70 m/min
C．小明在上述過程所走的路程為6 600 m
D．小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度
7．(2015自貢中考)小剛以400 m/min的速度勻速騎車5 min，在原地休息了6 min，然后以500 m/min的速度騎回出發地．下列函數圖象能表達這一過程的是(　C　)
,A) ,B)
,C) ,D)
8．(2015重慶中考)某星期天下午，小強和同學小明相約在某公共汽車站一起乘車回學校，小強從家出發先步行到車站，等小明到了后兩人一起乘公共汽車回到學校．圖中折線表示小強離開家的路程y(公里)和所用時間x(min)之間的函數關系．下列說法中錯誤的是(　D　)
A．小強從家到公共汽車站步行了2公里
B．小強在公共汽車站等小明用了10 min
C．公共汽車的平均速度是30公里/h
D．小強乘公共汽車用了20 min
9．(2015呼和浩特中考)如果兩個變量x、y之間的函數關系如圖所示，則函數值y的取值范圍是(　D　)
A．－3≤y≤3 B．0≤y≤2
C．1≤y≤3 D．0≤y≤3
10．(2015隨州中考)甲騎摩托車從A地去B地，乙開汽車從B地去A地，同時出發，勻速行駛，各自到達終點后停止．設甲、乙兩人間距離為s(單位：km)，甲行駛的時間為t(單位：h)，s與t之間的函數關系如圖所示，有下列結論：
①出發1 h后，甲、乙在途中相遇；
②出發1.5 h時，乙比甲多行駛了60 km；
③出發3 h時，甲、乙同時到達終點；
④甲的速度是乙速度的一半．
其中，正確結論的個數是(　B　)
A．4個 B．3個
C．2個 D．1個
11.
(2017中考預測)一天，小亮看到家中的塑料桶中有一個豎直放置的玻璃杯，桶和玻璃杯的形狀都是圓柱形，桶口的半徑是杯口半徑的2倍，其主視圖如圖所示．小亮決定做個試驗：把塑料桶和玻璃杯看作一個容器，對準杯口勻速注水，注水過程中杯子始終豎直放置，則下列能反映容器最高水位h與注水時間t之間關系的大致圖象是(　C　)
,A) ,B)
,C) ,D)
12．(2015廣東中考)如圖，已知正△ABC的邊長為2，E，F，G分別是AB，BC，CA上的點，且AE＝BF＝CG，設△EFG的面積為y，AE的長為x，則y關于x的函數圖象大致是(　D　)
,A) ,B)
,C) ,D)
13．(2016安徽中考)一段筆直的公路AC長20 km，途中有一處休息點B，AB長15 km.甲、乙兩名長跑愛好者同時從點A出發．甲以15 km/h的速度勻速跑至點B，原地休息半小時后，再以10 km/h的速度勻速跑至終點C；乙以12 km/h的速度勻速跑至終點C.下列選項中，能正確反映甲、乙兩人出發后2 h內運動路程y(km)與時間x(h)之間的函數關系的圖象是(　A　)
,A) 　,B)
,C) 　,D
第三節　一次函數的實際應用
,青海五年中考命題規律)
年份
題型
題號
考查點
考查內容
分值
總分
2015
解答
25
一次函數的應用
利用一次函數的性質解決實際問題中的最大利潤
8
8
2012
解答
25
一次函數的應用
利用一次函數的性質結合不等式的應用解決實際問題中的最大利潤
8
8
命題規律
縱觀青海五年中考，“一次函數的實際應用”這一重要考點，綜合性強，只考查兩次，隨著輪流中考趨勢，這一考點應強化訓練
命題預測
預計2017年青海省中考，一次函數的實際應用可能以解答題的形式出現，主要訓練掌握從實際問題中尋找數量關系的方法
,青海省(西寧)五年中考真題)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　一次函數的實際應用(青海2次、西寧3次)
1．(2012青海中考)夏都花卉基地出售兩種花卉，其中馬蹄蓮每株3.5元，康乃馨每株5元．如果同一客戶所購的馬蹄蓮數量多于1 000株，那么所有的馬蹄蓮每株還可優惠0.5元．現某鮮花店向夏都花卉基地采購馬蹄蓮800～1 200株、康乃馨若干株，本次采購共用了7 000元，然后再以馬蹄蓮每株4.5元、康乃馨每株7元的價格賣出，該鮮花店應如何采購這兩種鮮花才能使獲得的利潤最大？
(注：800～1 200株表示采購株數大于或等于800株，且小于或等于1 200株；利潤＝銷售所得金額－進貨所需金額)
解：設采購馬蹄蓮x株、康乃馨y株，利潤為w元．①當800≤x≤1 000時，得3.5x＋5y＝7 000，即y＝＝1 400－0.7x，w＝(4.5－3.5)x＋(7－5)y＝x＋2y＝x＋2(1 400－0.7x)＝2 800－0.4x，當x取800時，w有最大值2 480；②當1 000≤x≤1 200時，得3x＋5y＝7 000，即y＝＝1 400－0.6x，w＝(4.5－3)x＋(7－5)y＝1.5x＋2y＝1.5x＋2(1 400－0.6x)＝2 800＋0.3x，當x取1 200時，w有最大值3 160.綜上所述，采用后者方式進貨，即采購1 200株馬蹄蓮，采購康乃馨(7 000－3×1 200)÷5＝680(株)．
答：采購馬蹄蓮1 200株、康乃馨680株時，利潤最大為3 160元．
2．(2012西寧中考)2012年6月9日召開的青海省居民階梯電價聽證會，征求了消費者、經營者和有關方面的意見，對青海省居民階梯電價方案的必要性、可行性進行了論證，階梯電價方案規定：若月用電量為130度及以下，收費標準為0.38元/度．若月用電量為131度～230度，收費標準由兩部分組成：①其中130度按0.38元/度收費；②超出130度的部分按0.42元/度收費，現提供一居民家某月電費發票的部分信息如下表所示：
青海省居民電費專用發票
計費期限：一個月
用電量(度)
單價(元/度)
階梯一：130
0.38
階梯二：131～230(超出部分)
0.42
本月實付金額：78.8(元)
(大寫)柒拾捌元捌角
根據以上提供的信息解答下列問題：
(1)如果月用電量用x(單位：度)來表示，實付金額用y(單位：元)來表示，請你寫出這兩種情況實付金額y與月用電量x之間的函數關系式；
(2)請你根據表中本月實付金額計算一下，這個家庭一個月的實際用電量；
(3)若小芳和小華家一個月的實際用電量分別為80度和150度，則實付金額分別為多少元？
解：(1)函數關系式：y＝0.38x(0＜x≤130)，y＝0.42(x－130)＋0.38×130＝0.42x－5.2(131≤x≤230)；
(2)當y＝78.8時，0.42x－5.2＝78.8，解得x＝200.答：這個家庭一個月的實際用電量是200度；
(3)0.38×80＝30.4(元)，0.42×150－5.2＝57.8(元)．
答：小芳和小華家的實付金額分別為30.4元和57.8元．
,中考考點清單)
　一次函數的實際應用
1．用一次函數解決實際問題的一般步驟為：
(1)設定實際問題中的自變量與因變量；
(2)通過列方程(組)與待定系數法求一次函數關系式；
(3)確定自變量的取值范圍；
(4)利用函數性質解決問題；
(5)檢驗所求解是否符合實際意義；
(6)答．
2．方案最值問題
對于求方案問題，通常涉及兩個相關量，解題方
法為根據題中所要滿足的關系式，通過列不等式，求解出某一個事物的取值范圍，再根據另一個事物所要滿足的條件，即可確定出有多少種方案；
【方法技巧】求最值的本質為求最優方案，解法有兩種：
①可將所有求得的方案的值計算出來，再進行比較；
②直接利用所求值與其變量之間滿足的一次函數關系式求解，由一次函數的增減性可直接確定最優方案及最值；若為分段函數，則應分類討論，先計算出每個分段函數的取值，再進行比較．顯然，第②種方法更簡單快捷．
,中考重難點突破)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　一次函數的實際應用
【例】(2015邯鄲模擬)某商店銷售10臺A型和20臺B型電腦的利潤為4 000元，銷售20臺A型和10臺B型電腦的利潤為3 500元．
(1)求每臺A型電腦和B型電腦的銷售利潤；
(2)該商店計劃一次購進兩種型號的電腦共100臺，其中B型電腦的進貨量不超過A型電腦的2倍．設購進A型電腦x臺，這100臺電腦的銷售總利潤為y元．
①求y關于x的函數關系式；
②該商店購進A型、B型電腦各多少臺，才能使銷售總利潤最大？
(3)實際進貨時，廠家對A型電腦出廠價下調m(0＜m＜100)元，且限定商店最多購進A型電腦70臺．若商店保持兩種電腦的售價不變，請你根據以上信息及(2)中條件，設計出使這100臺電腦銷售總利潤最大的進貨方案．
【解析】(1)[信息梳理]設每臺A型電腦的銷售利潤為a元，每臺B型電腦的銷售利潤為b元．
原題信息
整理后的信息
一
銷售10臺A型電腦和20臺B型電腦的利潤為4 000元
10a＋20b＝4 000
續表
二
銷售20臺A型電腦和10臺B型電腦的利潤為3 500元
20a＋10b＝3 500
　　【學生解答】解：設每臺A型電腦的銷售利潤為a元，每臺B型電腦的銷售利潤為b元，則有解得
(2)①[信息梳理]
原題信息
整理后的信息
三
購進兩種型號的電腦共100臺
設購進A型電腦x臺，則購進B型電腦(100－x)臺
四
100臺電腦的銷售總利潤為y元
y＝x·每臺A型電腦的利潤＋(100－x)·每臺B型電腦的利潤
　　【學生解答】解：根據題意y＝100x＋150(100－x)，即y＝－50x＋15 000；
②[信息梳理]
原題信息
整理后的信息
五
B型電腦的進貨量不超過A型電腦的2倍
100－x≤2x
　　【學生解答】解：由題意得，100－x≤2x，解得x≥33.當x＝34時，y取得最大值，此時100－x＝66.即商店購進A型電腦34臺，B型電腦66臺，才能使銷售總利潤最大；
(3)[信息梳理]
原題信息
整理后的信息
六
廠家對A型電腦出廠價下調m(0＜m＜100)元
A型電腦的利潤為：原來A型電腦的利潤＋m
七
限定商店最多購進A型電腦70臺
x≤70
　　【學生解答】解：根據題意得y＝(100＋m)x＋150(100－x)，即y＝(m－50)x＋15 000.其中33≤x≤70.①當0＜m＜50時，m－50＜0，y隨x的增大而減小．∴當x＝34時，y取得最大值，即商店購進34臺A型電腦，66臺B型電腦才能獲得最大利潤；②當m＝50時，m－50＝0，y＝15 000.即商店購進A型電腦數量滿足33≤x≤70的整數時獲得的利潤均為15 000元；③當500，y隨x的增大而增大，又33≤x≤70，∴當x＝70時，y取得最大值．即商店購進70臺A型電腦和30臺B型電腦才能獲得最大利潤．
1．(2016原創)懷化市某學校開展“青少年科技創新比賽”活動，“喜洋洋”代表隊設計了一個遙控車沿直線軌道AC做勻速直線運動的模型．甲、乙兩車同時分別從A，B出發，沿軌道到達C處，B在AC上，甲的速度是乙的速度的1.5倍，設t(min)后甲、乙兩遙控車與B處的距離分別為d1，d2，則d1，d2與t的函數關系如圖，試根據圖象解決下列問題：
(1)乙的速度v2＝________m/min；
(2)寫出d1與t的函數關系式；
(3)若甲、乙兩遙控車的距離超過10 m時信號不會產生相互干擾，試探求什么時間兩遙控車的信號不會產生相互干擾？
解：(1)40；
(2)d1＝
(3)當0≤t<時，兩遙控車的信號不會產生相互干擾．
2．(2016陜西中考)昨天早晨7點，小明乘車從家出發，去西安參加中學生科技創新大賽，賽后，他當天按原路返回．如圖，是小明昨天出行的過程中，他距西安的距離y(km)與他離家的時間x(h)之間的函數圖象．根據函數圖象，回答下列問題：
(1)求線段AB所表示的函數關系式；
(2)已知昨天下午3點時，小明距西安112 km，求他何時到家？
解：(1)設線段AB所表示的函數關系式為y＝kx＋b(k≠0)，則解得∴線段AB所表示的函數關系式為y＝－96x＋192(0≤x≤2)；(2)由題意可知，下午3點時，x＝8，y＝112，設線段CD所表示的函數關系式為y＝kx′＋b′(k≠0)，則解得∴線段CD的函數關系式為y＝80x－528，∴當y＝192時，80x－528＝192，解得x＝9，∴他當天下午4點到家．
3．(2016麗水中考)2016年3月27日“麗水半程馬拉松競賽”在蓮都舉行，某運動員從起點萬地廣場西門出發，途經紫金大橋，沿比賽路線跑回終點萬地廣場西門．設該運動員離開起點的路程s(km)與跑步時間t(min)之間的函數關系如圖所示，其中從起點到紫金大橋的平均速度是0.3 km/min，用時35 min，根據圖象提供的信息，解答下列問題：
(1)求圖中a的值；
(2)組委會在距離起點2.1 km處設立一個拍攝點C，該運動員從第一次過點C到第二次過點C所用的時間為68 min.
①求AB所在直線的函數解析式；
②該運動員跑完賽程用時多少分鐘？
解：(1)a＝0.3×35＝10.5；(2)①∵直線OA經過點O(0，0)，A(35，10.5)，∴直線OA的解析式為s＝0.3t(0≤t≤35)，∴當s＝2.1時，0.3t＝2.1，解得t＝7.∵該運動員從第一次過點C到第二次過點C所用時間為68 min，∴該運動員從起點到第二次過點C所用的時間是7＋68＝75(min)，∴直線AB經過(35，10.5)，(75，2.1)兩點，設直線AB的解析式為s＝kt＋b，則解得∴s＝－0.21t＋17.85；②∵該運動員跑完賽程所用的時間即為直線AB與橫軸交點的橫坐標的值．∴當s＝0時，－0.21t＋17.85＝0，解得t＝85，∴該運動員跑完賽程用時85 min.
第三節　一次函數的實際應用
1．(2016哈爾濱中考)明君社區有一塊空地需要綠化，某綠化組承擔了這項任務，綠化組工作一段時間后，提高了工作效率．該綠化組完成的綠化面積S(單位：m2)與工作時間t(單位：h)之間的函數關系如圖所示，則該綠化組提高工作效率前每小時完成的綠化面積是(　B　)
A．300 m2　B．150 m2　C．330 m2　D．450 m2
(第1題圖)
　　　(第2題圖)
2．(2016鄂州中考)如圖，O是邊長為4 cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中點，動點P由A開始沿折線A－B－M方向勻速運動，到M點時停止運動，速度為1 cm/s.設P點的運動時間為t(s)，點P的運動路徑與OA，OP所圍成的圖形的面積為S(cm2)，則描述面積S(cm2)與時間t(s)的關系的圖象可以是(　A　)
,A) ,B)
,C) ,D)
3．(2016泉州中考)張師傅駕車從甲地到乙地，兩地相距500 km，汽車出發前油箱有油25 L，途中加油若干升，加油前、后汽車都以100 km/h的速度勻速行駛，已知油箱中剩余油量y(L)與行駛時間t(h)之間的關系如圖所示．以下說法錯誤的是(　C　)
A．加油前油箱中剩余油量y(L)與行駛時間t(h)的函數關系是y＝－8t＋25
B．途中加油21 L
C．汽車加油后還可行駛4 h
D．汽車到達乙地時油箱中還余油6 L
4．(2016自貢中考)某市按以下標準收取水費：用量不超過20噸，按每噸1.2元收費；超過20噸則超過部分按每噸1.5元收費．某家庭五月份的水費是平均每噸1.25元，那么這個家庭五月份應交水費(　C　)
A．20元　　B．24元　　C．30元　　D．36元
5．(2016黑龍江中考)甲、乙兩車從A城出發前往B城，在整個行程中，兩車離開A城的距離y與t的對應關系如圖所示：
(1)A、B兩城之間的距離是多少千米？
(2)求乙車出發多長時間追上甲車？
(3)直接寫出甲車出發多長時間，兩車相距20 km.
解：(1)A、B兩城之間距離是300 km；(2)設y甲＝k1t＋b1，y乙＝k2t＋b2，將(5，0)，(10，300)兩點代入y甲，得解得則y甲＝60t－300；將(6，0)，(9，300)兩點代入y乙，得解得則y乙＝100t－600，令y甲＝y乙，即60t－300＝100t－600，解得t＝7.5，7.5－6＝1.5，故乙車出發1.5 h后追上甲車；(3)甲出發 h，2 h，3 h和 h后，兩車相距20 km.
6．(2016深圳中考)荔枝是深圳特色水果，小明的媽媽先購買了2 kg桂味和3 kg糯米糍，共花費90元；后又購買了1 kg桂味和2 kg糯米糍，共花費55元．(每次兩種荔枝的售價都不變)
(1)求桂味和糯米糍的售價分別是每千克多少元；
(2)如果還需購買兩種荔枝共12 kg，要求糯米糍的數量不少于桂味數量的2倍，請設計一種購買方案，使所需總費用最低.
解：(1)設桂味的售價為x元/kg，糯米糍的售價為y元/kg.根據題意得：解得答：桂味的售價為15元/kg，糯米糍的售價為20元/kg；(2)設購買桂味t kg，總費用為W元，則購買糯米糍(12－t)kg，根據題意得：12－t≥2t，∴t≤4，∵W＝15t＋20(12－t)＝－5t＋240，∵k＝－5<0，∴W隨t的增大而減小，∴當t＝4時，W最小＝220元；∴12－4＝8.答：購買桂味4 kg，糯米糍8 kg時，所需費用最低．
7．(2016遵義中考)遵義市赤水風景名勝區是國務院唯一以行政區名稱命名的國家級風景名勝區，其中某景區的三個景點A，B，C在同一線路上，甲、乙兩名游客從景點A出發，甲步行到景點C，乙乘景區觀光車先到景點B，在B處停留一段時間后，再步行到景點C.甲、乙兩人離開景點A后的路程s(m)關于時間t(min)的函數圖象如圖所示．根據以上信息回答下列問題：
(1)乙出發后多長時間與甲第一次相遇？
(2)要使甲到達景點C時，乙與C的路程不超過400 m，則乙從景點B步行到景點C的速度至少為多少？(結果精確到0.1 m/min)
解：(1)設s甲＝kt，將(90，5 400)代入得：5 400＝90k，解得k＝60，∴s甲＝60t；當20≤t≤30，設s乙＝at＋b，將(20，0)，(30，3 000)代入，得解得∴當20≤t≤30時，s乙＝300t－6 000.當s甲＝s乙時，60t＝300t－6 000，解得t＝25，∴乙出發后5 min與甲第一次相遇；(2)由題意可得：當甲到達C地，乙距離C地400 m時，乙需要步行的距離為：5 400－3 000－400＝2 000(m)，乙所用的時間為：90－60＝30(min)，故乙從景點B步行到景點C的速度至少為：≈66.7(m/min)．答：乙從景點B步行到景點C的速度至少為66.7 m/min.
8．(2016大慶中考)由于持續高溫和連日無雨，某水庫的蓄水量隨時間的增加而減少，已知原有蓄水量y1(萬立方米)與干旱持續時間x(天)的關系如圖中線段l1所示，針對這種干旱情況，從第20天開始向水庫注水，注水量y2(萬立方米)與時間x(天)的關系如圖中線段l2所示(不考慮其他因素)．
(1)求原有蓄水量y1(萬立方米)與時間x(天)的函數關系式，并求當x＝20時的水庫總蓄水量；
(2)求當0≤x≤60時，水庫的總蓄水量y(萬立方米)與時間x(天)的函數關系式(注明x的范圍)，若總蓄水量不多于900萬立方米為嚴重干旱，直接寫出發生嚴重干旱時x的范圍．
解：(1)設y1＝k1x＋b1，把(0，1 200)和(60，0)代入y1＝k1x＋b1中，得解得∴y1＝－20x＋1 200，當x＝20時，y1＝－20×20＋1 200＝800；(2)設y2＝k2x＋b2，把(20，0)和(60，1 000)代入y2＝k2x＋b2中，得解得∴y2＝25x－500，當0≤x≤20時，y＝－20x＋1 200，當209．(2016荊州中考)A城有某種農機30臺，B城有農機40臺，現要將這些農機全部運往C，D兩鄉，調運任務承包給某運輸公司．已知C鄉需要農機34臺，D鄉需要農機36臺．從A城往C，D兩鄉運送農機的費用分別為250元/臺和200元/臺，從B城往C，D兩鄉運送農機的費用分別為150元/臺和240元/臺．
(1)設A城運往C鄉該農機x臺，運送全部農機的總費用為W元，求W關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
(2)現該運輸公司要求運送全部農機的總費用不低于16 460元，則有多少種不同的調運方案？將這些方案設計出來；
(3)現該運輸公司對A城運往C鄉的農機，從運輸費中每臺減免a元(a≤200)作為優惠，其他費用不變．如何調運，使總費用最少？
解：(1)W＝250x＋200(30－x)＋150(34－x)＋240(6＋x)＝140x＋12 540(0
第二節　一次函數的圖象及性質
,青海五年中考命題規律)
年份
題型
題號
考查點
考查內容
分值
總分
2016
填空
7
一次函數圖象
利用一次函數與反比例函數圖象的交點求字母的值
2
2
2015
選擇
19
一次函數圖象
判斷同一坐標系中，一次函數與反比例函數的圖象位置
3
3
2014
選擇
20
一次函數圖象
以計算程序為背景建立一次函數關系所形成的圖象
3
3
2013
選擇
16
一次函數圖象
判斷同一坐標系中正比例函數與反比例函數的圖象位置
3
3
2012
選擇
16
一次函數圖象
利用一次函數與反比例函數圖象的交點求系數的值
3
3
命題規律
縱觀青海省近五年中考可以看出，一次函數的圖象和性質，一般以選擇題或填空題的形式呈現，且與反比例函數的圖象結合在一起考查，屬于基礎題
命題預測
預計2017年青海中考，一次函數的圖象和性質的考查仍然是與反比例函數圖象結合在一起的考查，仍屬基礎題，但應注意一次函數與其他函數和幾何圖形的綜合并加以強化訓練
,青海省(西寧)五年中考真題)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　一次函數的圖象和性質(青海5次、西寧3次)
1．(2014青海中考)如圖所示的計算程序中，y與x之間的函數關系所對應的圖象為(　C　)
　　,A) 　　,B)
,C) 　　,D)
2．(2016原創)若一次函數y＝ax＋b的圖象不經過第二象限，則二次函數y＝x2＋x＋b－1與x軸的交點個數為(　A　)
A．有兩個交點 B．有一個交點
C．無交點 D．都有可能
3．(2012西寧中考)請你寫出一個圖象經過點(0，2)，且y隨x的增大而減小的一次函數解析式__y＝－x＋2(答案不唯一)__．
4．(2013西寧中考)直線y＝2x－1沿y軸平移3個單位長度，則平移后直線與y軸的交點坐標為__(0，2)或(0，－4)__．
　一次函數與方程(組)、不等式的關系(青海0次、西寧1次)
5．(2016西寧中考)同一直角坐標系中，一次函數y1＝k1x＋b與正比例函數y2＝k2x的圖象如圖所示，則滿足y1≥y2的x取值范圍是(　A　)
A．x≤－2 B．x≥－2
C．x＜－2 D．x＞－2
(第5題圖)
　　　(第6題圖)
6．(2016西寧中考)如圖，直線y＝kx＋b經過A(－1，1)和B(－，0)兩點，則關于x的不等式0＜kx＋b＜－x的解集為__－＜x＜－1__．
7．(2011西寧中考)表1給出了直線l1上部分點(x，y)的坐標值，表2給出了直線l2上部分點(x，y)的坐標值．那么直線l1和直線l2的交點坐標為__(2，－1)__．
x
－2
0
2
4
y
3
1
－1
－3
表1
x
－2
0
2
y
－5
－3
－1
表2
,中考考點清單)
　一次函數與正比例函數的概念
1．一般地，把形如y＝kx＋b(k，b為常數，且k≠0)的函數叫做一次函數，當b＝0時，它就化為__y＝kx__的形式，這時，y叫做x的正比例函數．
　一次函數的圖象及性質
2．一次函數的圖象
一次函數
圖象
一次函數y＝kx＋b(k≠0)的圖象是經過點(0，b)和①__(－，0)__的一條直線
圖象關系
一次函數y＝kx＋b(k≠0)的圖象可由正比例函數y＝kx(k≠0)的圖象平移得到；b＞0，向上平移b個單位長度；b＜0，向下平移|b|個單位長度
圖象確定
因為一次函數的圖象是一條直線，由兩點確定一條直線可知畫一次函數圖象時，只要取兩點即可
　　3.一次函數的性質
函數
字母
取值
圖象
經過的
象限
函數性質
y＝kx
(k≠0)
k＞0
一、三
y隨x的增大而增大
k＜0
②二、四
y隨x的增大而減小
續表
y＝kx＋b
(k≠0)
k＞0
b＞0
一、二、
三
k＞0
b＜0
③一、三、四
k＜0
b＞0
④一、二、四
k＜0
b＜0
⑤二、三、四
y隨x的增大而增大
y隨x的增大而減小
【方法技巧】兩直線的交點坐標及一次函數的圖象與坐標軸圍成的三角形面積
分類
求法
一條直線與x軸交點坐標
令y＝0，求出對應的x值
一條直線與y軸交點坐標
令x＝0，求出對應的y值
一條直線與其他一次函數圖象的交點坐標
解由兩個函數解析式組成的二元一次方程組，方程組的解即為兩函數圖象的交點坐標
一條直線與坐標軸圍成的三角形的面積
直線y＝kx＋b(k≠0)與x軸交點坐標為(－，0)，與y軸交點坐標為(0，b)，與坐標軸圍成的三角形面積為S△＝·|－|·|b|
,中考重難點突破)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　一次函數的圖象和性質
【例1】(2016廣州中考)若一次函數y＝ax＋b的圖象經過第一、二、四象限，則下列不等式中總是成立的是(　　)
A．ab＞0 B．a－b＞0
C．a2＋b＞0 D．a＋b＞0
【解析】由一次函數的性質得a＜0，b＞0，∴ab＜0，a－b＜0，a2＋b＞0，a＋b的符號無法確定，故C正確．
【學生解答】C
1．(2016陜西中考)已知一次函數y＝kx＋5和y＝k′x＋7，假設k＞0且k′＜0，則這兩個一次函數圖象的交點在(　A　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．(2016呼和浩特中考)已知一次函數y＝kx＋b－x的圖象與x軸的正半軸相交，且函數值y隨自變量x的增大而增大，則k，b的取值情況為(　A　)
A．k＞1，b＜0 B．k＞1，b＞0
C．k＞0，b＞0 D．k＞0，b＜0
　一次函數與幾何圖形的結合
【例2】(2017中考預測)如圖，已知函數y＝－x＋b的圖象與x軸、y軸分別交于點A，B，與函數y＝x的圖象交于點M，點M的橫坐標為2.在x軸上有一點P(a，0)(其中a＞2)，過點P作x軸的垂線，分別交函數y＝－x＋b和y＝x的圖象于點C，D.
(1)求點A的坐標；
(2)若OB＝CD，求a的值．
【解析】(1)先利用直線y＝x上的點的坐標特征得到點M的坐標為(2，2)，再把M(2，2)代入y＝－x＋b中可計算出b＝3，得到一次函數的解析式為y＝－x＋3，然后根據x軸上點的坐標特征可確定A點坐標為(6，0)；
(2)先確定B點坐標為(0，3)，則OB＝CD＝3，再表示出C點坐標為(a，－a＋3)，D點坐標為(a，a)，所以a－(－a＋3)＝3，然后解方程即可．
【學生解答】解：(1)A點坐標為(6，0)；(2)a＝4.
3．(2016宜昌中考)如圖，直線y＝x＋與兩坐標軸分別交于A，B兩點．
(1)求∠ABO的度數；
(2)過A的直線l交x軸正半軸于C，AB＝AC，求直線l的函數解析式．
解：(1)∠ABO＝60°；(2)在△ABO中，AB＝AC，∵AO⊥BC，∴BO＝CO，∴點C的坐標為(1，0)，設直線l的解析式為y＝kx＋b，則解得∴y＝－x＋.
4．(2016江西中考)如圖，過點A(2，0)的兩條直線l1，l2分別交y軸于點B，C，其中點B在原點上方，點C在原點下方，已知AB＝.
(1)求點B的坐標；
(2)若△ABC的面積為4，求直線l2的解析式．
解：(1)在Rt△AOB中，22＋OB2＝()2，∴OB＝3，∴B(0，3)；(2)∵S△ABC＝BC·OA，即4＝BC×2，∴BC＝4，∴OC＝BC－OB＝4－3＝1，∴C(0，－1)，設直線l2的解析式為y＝kx＋b，∴∴∴y＝x－1.
第二節　一次函數的圖象及性質
1．(2015長沙中考)一次函數y＝－2x＋1的圖象不經過(　C　)
A．第一象限　　　　　　B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．(2014徐州中考)將函數y＝－3x的圖象沿y軸向上平移2個單位長度后，所得圖象對應的函數關系式為(　A　)
A．y＝－3x＋2 B．y＝－3x－2
C．y＝－3(x＋2) D．y＝－3(x－2)
3．(2015麗水中考)平面直角坐標系中，過點(－2，3)的直線l經過一、二、三象限，若點(0，a)，(－1，b)，(c，－1)都在直線l上，則下列判斷正確的是(　D　)
A．a＜b B．a＜3
C．b＜3 D．c＜－2
4．(2015安順中考)若一元二次方程x2－2x－m＝0無實數根，則一次函數y＝(m＋1)x＋m－1的圖象不經過第________象限(　D　)
A．四　　　B．三　　　C．二　　　D．一
5．(2016桂林中考)如圖，直線y＝ax＋b過點A(0，2)和點B(－3，0)，則方程ax＋b＝0的解是(　D　)
A．x＝2 B．x＝0
C．x＝－1 D．x＝－3
6．(2015廣州中考)某水庫的水位在5 h內持續上漲，初始水位高度為6 m，水位以每小時0.3 m的速度勻速上升，則水庫的水位y與上漲時間x之間的函數關系式是__y＝0.3x＋6(0＜x≤5)__．
7．(2015天津中考)若一次函數y＝2x＋b(b為常數)的圖象經過點(1，5)，則b的值為__3__．
8．(2015上海中考)同一溫度的華氏度數y(?)與攝氏度數x(℃)之間的函數關系是y＝x＋32.如果某一溫度的攝氏度數是25℃，那么它的華氏度數是__77__?．
9．(2016玉樹模擬)函數y＝2x與y＝x＋1的圖象的交點坐標為__(1，2)__．
10．(2015永州中考)已知一次函數y＝kx＋b的圖象經過點A(1，－1)，B(－1，3)兩點，則k__＜__0.(選填“＞”“＜”或“＝”)
11．(2015濰坊中考)若式子＋(k－1)0有意義，則一次函數y＝(k－1)x＋1－k的圖象可能是(　A　)
,A) ,B) ,C) ,D)
12．(2016西寧虎臺一模)如圖，一次函數y＝kx＋b的圖象與y軸交于點(0，1)，則關于x的不等式kx＋b＞1的解集是(　B　)
A．x＞0　　B．x＜0　　C．x＞1　　D．x＜1
(第12題圖)
　　　(第13題圖)
13．(2016原創)如圖，一次函數的圖象與x軸、y軸分別相交于點A，B，將△AOB沿直線AB翻折，得△ACB.若C(，)，則該一次函數的解析式為__y＝－x＋__．
14．(2016東營中考)如圖，直線y＝x＋b與直線y＝kx＋6交于點P(3，5)，則關于x的不等式x＋b>kx＋6的解集是__x>3__．
15．(2016懷化中考)已知：一次函數y＝kx＋b的圖象經過M(0，2)，N(1，3)兩點．
(1)求k、b的值；
(2)若一次函數y＝kx＋b的圖象與x軸交點為A(a，0)，求a的值．
解：(1)k＝1，b＝2；(2)a＝－2.
16．(2015益陽中考)如圖，直線l上有一點P1(2，1)，將點P1先向右平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度得到點P2，點P2恰好在直線l上．
(1)寫出點P2的坐標；
(2)求直線l所表示的一次函數的解析式；
(3)若將點P2先向右平移3個單位長度，再向上平移6個單位長度得到點P3.請判斷點P3是否在直線l上，并說明理由．
解：(1)P2(3，3)；(2)設直線l所表示的一次函數的解析式為y＝kx＋b(k≠0)，∵點P1(2，1)，P2(3，3)在直線l上，∴解得∴直線l所表示的一次函數的解析式為y＝2x－3；(3)點P3在直線l上．由題意知點P3的坐標為(6，9)，∴2×6－3＝9，∴點P3在直線l上．
17．(2016原創)已知，如圖所示，直線PA與x軸交于點A，與y軸交于點C(0，2)，且S△AOC＝4.直線BD與x軸交于點B，與y軸交于點D，直線PA與直線BD交于點P(2，m)，點P在第一象限，連接OP.
(1)求點A的坐標；
(2)求直線PA的函數解析式；
(3)求m的值；
(4)若S△BOP＝S△DOP，請你直接寫出直線BD的函數解析式．
解：(1)A(－4，0)；(2)y＝x＋2；(3)m＝3；(4)y＝－x＋6.
18．(2016青海模擬)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知正比例函數y＝x與一次函數y＝－x＋7的圖象交于點A.
(1)求點A的坐標；
(2)設x軸上一點P(a，0)，過點P作x軸的垂線(垂線位于點A的右側)，分別交y＝x和y＝－x＋7的圖象于點B，C，連接OC，若BC＝OA，求△OBC的面積．
解：(1)由題意得解得∴A(4，3)；(2)如圖，過點A作x軸的垂線，垂足為D.在Rt△OAD中，由勾股定理得，OA＝＝＝5，∴BC＝OA＝×5＝7，∵P(a，0)，∴B(a，a)，C(a，－a＋7)，∴BC＝a－(－a＋7)＝a－7，∴a－7＝7，解得a＝8，∴S△OBC＝BC·OP＝×7×8＝28.
第五節　二次函數的圖象及性質
,青海五年中考命題規律)
年份
題型
題號
考查點
考查內容
分值
總分
2016
解答
28
二次函數
(1)二次函數的解析式；(2)二次函數與三角形、四邊形的綜合
12
12
2015
解答
28
二次函數
(1)二次函數解析式；(2)利用二次函數判斷三角形的形狀；(3)二次函數與相似三角形的綜合
13
13
2014
解答
28
二次函數
(1)二次函數的解析式；(2)二次函數與三角形的綜合
13
13
2013
解答
28
二次函數
(1)二次函數的解析式；(2)二次函數與四邊形的綜合；(3)二次函數與相似三角形的綜合
12
12
2012
選擇
18
二次函數
利用平移求二次函數的解析式
3
解答
28
二次函數
(1)二次函數的解析式；(2)二次函數與四邊形的綜合應用
12
15
命題規律
縱觀青海省五年中考，每年都涉及到此考點，以解答題的形式呈現，偶爾增加小題，解答題一般與三角形、四邊形綜合在一起考查，難度較高，往往是最后的壓軸題
命題預測
預計2017年青海省中考，仍會考查此點，且以解答題(壓軸題)的形式出現，應加強綜合訓練
,青海省(西寧)五年中考真題)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　二次函數的圖象及性質(青海1次、西寧1次)
1．(2012青海中考)把拋物線y＝3x2向右平移1個單位長度后，所得到的函數解析式為(　B　)
A．y＝3x2－1 B．y＝3(x－1)2
C．y＝3x2＋1 D．y＝3(x＋1)2
2．(2012西寧中考)如圖，二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象過(－1，1)，(2，－1)兩點，下列關于這個二次函數的敘述正確的是(　B　)
A．當x＝0時，y的值大于1
B．當x＝3時，y的值小于0
C．當x＝1時，y的值大于1
D．y的最大值小于0
　二次函數圖象和性質的綜合應用(青海5次、西寧4次)
3．(2016青海中考)如圖所示(注：與圖2完全相同)，二次函數y＝x2＋bx＋c的圖象與x軸交于A(3，0)，B(－1，0)兩點，與y軸交于點C.
(1)求該二次函數的解析式；
(2)設該拋物線的頂點為D，求△ACD的面積；(請在圖1中探索)
(3)若點P，Q同時從A點出發，都以每秒1個單位長度的速度分別沿AB、AC邊運動，其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動．當P，Q運動到t s時，△APQ沿PQ所在的直線翻折，點A恰好落在拋物線上E點處，請直接判定此時四邊形APEQ的形狀，并求出E點坐標．(請在圖2中探索)
圖1
　　　圖2
解：(1)y＝x2－x－4；(2)拋物線的頂點D的坐標為(1，)，S△ACD＝4；(3)四邊形APEQ為菱形，E(－，－)．
4．(2015西寧中考)如圖，在平面直角坐標系xOy中，以M為頂點的拋物線與x軸分別相交于B，C兩點，拋物線上一點A的橫坐標為2，連接AB，AC.正方形DEFG的一邊GF在線段BC上，點D，E在線段AB，AC上，AK⊥x軸于點K，交DE于點H，下表給出了這條拋物線上部分點(x，y)的坐標值．
x
…
－2
0
4
8
10
…
y
…
0
5
9
5
0
…
(1)求出這條拋物線的解析式；
(2)求正方形DEFG的邊長；
(3)請問在拋物線的對稱軸上是否存在點P，在x軸上是否存在點Q，使得四邊形ADQP的周長最小？若存在，請求出P，Q兩點的坐標；若不存在，請說明理由．
解：(1)y＝－(x－4)2＋9；
(2)正方形DEFG的邊長為；
(3)存在，P，Q，理由略．
5．(2014青海中考)如圖所示，拋物線y＝ax2＋bx＋c的頂點為M(－2，－4)，與x軸交于A，B兩點，且A(－6，0)，與y軸交于點C.
(1)求拋物線的函數解析式；
(2)求△ABC的面積；
(3)能否在拋物線第三象限的圖象上找一點P，使△APC的面積最大？若能，請求出點P的坐標；若不能，請說明理由．
解：(1)設此函數的解析式為y＝a(x＋h)2＋k，∵函數圖象頂點為M(－2，－4)，∴y＝a(x＋2)2－4，又∵函數圖象經過點A(－6，0)，∴0＝a(－6＋2)2－4，解得a＝.∴此函數的解析式為y＝(x＋2)2－4，即y＝x2＋x－3；(2)∵點C是函數y＝x2＋x－3的圖象與y軸的交點，∴點C的坐標是(0，－3)，又當y＝0時，有y＝x2＋x－3＝0，解得x1＝－6，x2＝2，∴點B的坐標是(2，0)，則S△ABC＝|AB|·|OC|＝×8×3＝12；(3)假設存在這樣的點P，過點P作PE⊥x軸于點E，交AC于點F.設E(x，0)，則P(x，x2＋x－3)．又設直線AC的解析式為y＝kx＋b，∵直線AC過點A(－6，0)，C(0，－3)，∴解得∴直線AC的解析式為y＝－x－3.∴點F的坐標為F(x，－x－3)，則|PF|＝－x－3－(x2＋x－3)＝－x2 －x，∴S△APC＝S△APF＋S△CPF＝|PF|·|AE|＋|PF|·|OE|＝|PF|·|OA|＝×(－x2－x)×6＝－x2－x＝－(x＋3)2＋，∴當x＝－3時，S△APC有最大值，此時P點坐標是P(－3，－)．
,中考考點清單)
　二次函數的概念及解析式
1．定義：一般地，如果兩個變量x和y之間的函數關系，可以表示成y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數，且a≠0)，那么稱y是x的二次函數，其中，a叫做二次項系數，b叫做一次項系數，c叫做常數項．
2．三種表示方法：
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)頂點式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中二次函數的頂點坐標是(h，k)；
(3)兩點式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2為拋物線與x軸交點的橫坐標．
3．三種解析式之間的關系
頂點式一般式兩點式
4．二次函數解析式的確定
(1)求解二次函數解析式的方法一般用待定系數法，根據所給條件的不同，要靈活選用函數解析式；
A．當已知拋物線上任意三點時，通常設為一般式y＝ax2＋bx＋c形式；
B．當已知拋物線的頂點或對稱軸時，通常設為頂點式y＝a(x－h)2＋k形式；
C．當已知拋物線與x軸的交點或交點橫坐標時，通常設為兩點式y＝a(x－x1)(x－x2)．
(2)步驟：
①設二次函數的解析式；
②根據已知條件，得到關于待定系數的方程組；
③解方程組，求出待定系數的值，從而寫出函數的解析式．
　二次函數的圖象及其性質
5．圖象性質
函數
二次函數y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數，a≠0)
圖象
對稱軸
直線x＝①__－__
直線x＝－
頂點
坐標
(－，)
(－，)
增減性
在對稱軸的左側，即x＜－時，y隨x的增大而減小；在對稱軸的右側，即當x＞－時，y隨x的增大而增大，簡記為左減右增
在對稱軸的左側，即當x＜－時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側，即當x＞－時，y隨x的增大而減小，簡記為左增右減
最值
拋物線有最低點，當②__x＝－__時，y有最小值，y最小值＝
拋物線有最高點，當x＝－時，y有最大值，y最大值＝③____
　　6.系數a，b，c與二次函數的圖象關系
項目字母
字母的符號
圖象的特征
a
a＞0
開口向上
a＜0
④__開口向下__
b
b＝0
對稱軸為y軸
ab＞0(b與a同號)
對稱軸在y軸左側
ab＜0(b與a異號)
對稱軸在y軸右側
c
c＝0
⑤__經過原點__
c＞0
與y軸正半軸相交
c＜0
與y軸負半軸相交
b2－4ac
b2－4ac＝0
與x軸有唯一交點(頂點)
b2－4ac＞0
與x軸有兩個不同交點
b2－4ac＜0
與x軸沒有交點
特殊
關系
當x＝1時，y＝a＋b＋c
當x＝－1時，y＝a－b＋c
若a＋b＋c＞0，即x＝1時，y＞0
若a－b＋c＞0，即x＝－1時，y＞0
　二次函數圖象的平移
7．平移步驟：
(1)將拋物線解析式轉化為頂點式y＝a(x－h)2＋k，確定其頂點坐標；
(2)保持拋物線的形狀不變，平移頂點坐標(h，k)即可．
8．平移規律：
移動
方向
平移前的解析式
平移后的解析式
規律
向左平
移m個
單位長度
y＝a(x－h)2＋k
y＝a(x－h＋m)2＋k
左加
向右平
移m個
單位長度
y＝a(x－h)2＋k
y＝a(x－h－m)2＋k
右減
向上平
移m個
單位長度
y＝a(x－h)2＋k
y＝a(x－h)2＋k＋m
上加
向下平
移m個
單位長度
y＝a(x－h)2＋k
y＝a(x－h)2＋k－m
下減
口訣：左加右減、上加下減
　二次函數與一元二次方程的關系
9．當拋物線與x軸有兩個交點時，兩交點的橫坐標就是對應的一元二次方程的兩個不相等的實數根．
10．當拋物線與x軸只有一個交點時，該交點的橫坐標就是對應的一元二次方程的兩個相等的實數根．
11．當拋物線與x軸沒有交點時，對應的一元二次方程無實數根．
12．二次函數與一元二次方程及b2－4ac的關系．
二次函數y＝ax2＋bx＋c與x軸的交點個數
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的情況
b2－4ac
有兩個交點(x1，0)，(x2，0)
有兩個不相等的實數根x1，x2
b2－4ac＞0
只有一個交點，交點坐標為(－，0)
有兩個相等的實數根x1＝x2＝－
b2－4ac＝0
沒有交點
沒有實數根
b2－4ac＜0
,中考重難點突破)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　二次函數的圖象與性質
【例1】(2016蘭州中考)二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，對稱軸是直線x＝－1.有以下結論：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a＋b＝0；④a－b＋c＞2.其中正確結論的個數是(　　)
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【解析】∵拋物線的開口向下，∴a＜0，∵拋物線與y軸的交點在原點上方，∴c＞0，∵拋物線的對稱軸x＝－＜0，∴b＜0，∴abc＞0，故①正確；∵拋物線與x軸的兩個交點，∴方程ax2＋bx＋c＝0有兩個不相等的實數根，即b2－4ac＞0，∴b2＞4ac，故②正確；對稱軸是直線x＝－1，∴＝－1，則2a－b＝0，故③錯誤；當x＝－1時，y取最大值，由題圖可知a－b＋c＞2，∴共有3個結論正確．
【學生解答】C
1．(2016寧波中考)已知函數y＝ax2－2ax－1(a是常數，a≠0)，下列結論正確的是(　D　)
A．當a＝1時，函數圖象過點(－1，1)
B．當a＝－2時，函數圖象與x軸沒有交點
C．若a＞0，則當x≥1時，y隨x的增大而減小
D．若a＜0，則當x≤1時，y隨x的增大而減小
　二次函數的圖象和性質的綜合應用
【例2】(2016杭州中考)已知函數y1＝ax2＋bx，y2＝ax＋b(ab≠0)．在同一平面直角坐標系中：
(1)若函數y1的圖象過點(－1，0)，函數y2的圖象過點(1，2)，求a，b的值；
(2)若函數y2的圖象經過y1的圖象的頂點．
①求證：2a＋b＝0；
②當1＜x＜時，比較y1與y2的大小．
【學生解答】解：(1)由題意得解得(2)①證明：∵y1的圖象的頂點坐標為(－，)，∴a(－)＋b＝，即b＝，∵ab≠0，∴－b＝2a，∴2a＋b＝0；②由①得b＝－2a，∴y1＝ax(x－2)，y2＝a(x－2)，∴y1－y2＝a(x－2)(x－1)，∵1＜x＜，∴x－2＜0，x－1＞0，∴(x－2)(x－1)＜0，∴當a＞0時，a(x－2)(x－1)＜0，即為y1＜y2；當a＜0時，a(x－2)(x－1)＞0，即為y1＞y2.
2．(2016河北中考)如圖，拋物線L：y＝－(x－t)(x－t＋4)(常數t＞0)與x軸從左到右的交點為B，A，過線段OA的中點M作MP⊥x軸，交雙曲線y＝(k＞0，x＞0)于點P，且OA·MP＝12.
(1)求k值；
(2)當t＝1時，求AB的長，并求直線MP與L對稱軸之間的距離；
(3)把L在直線MP左側部分的圖象(含與直線MP的交點)記為G，用t表示圖象G最高點的坐標．
解：(1)設P(x，y)，則OM＝x，MP＝y，由OA的中點為M可知OA＝2x，代入OA·MP＝12，∴2x·y＝12，即xy＝6，∴k＝xy＝6；(2)當t＝1時，令y＝0，得0＝－(x－1)(x＋3)，∴x1＝1，x2＝－3，由點B在點A左邊，得B(－3，0)，A(1，0)，∴AB＝4.∵L的對稱軸為直線x＝－1，點M為(，0)，∴直線MP與L對稱軸的距離為；(3)∵A(t，0)，B(t－4，0)，∴L的對稱軸為x＝t－2，又∵直線MP的解析式為x＝，∴當t－2≤，即t≤4時，頂點(t－2，2)就是G的最高點；當t－2＞，即t＞4時，L與直線MP的交點(，－t2＋t)就是G的最高點．
第五節　二次函數的圖象及性質
1．(2016西寧十一中模擬)拋物線y＝－2x2＋3的頂點在(　B　)
　 　　　　　 　　　　　 　　　　
A．x軸上 B．y軸上
C．第一象限 D．第四象限
2．(2015江西中考)已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a＞0)過(－2，0)，(2，3)兩點，那么拋物線的對稱軸(　D　)
A．只能是直線x＝－1
B．可能是y軸
C．在y軸右側且在直線x＝2的左側
D．在y軸左側且在直線x＝－2的右側
3．(2015益陽中考)若拋物線y＝(x－m)2＋(m＋1)的頂點在第一象限，則m的取值范圍為(　B　)
A．m＞1 B．m＞0
C．m＞－1 D．－1＜m＜0
4．(2016青海湟川中學模擬)已知一個函數圖象經過(1，－4)，(2，－2)兩點，在自變量x的某個取值范圍內，都有函數值y隨x的增大而減小，則符合上述條件的函數可能是(　D　)
A．正比例函數 B．一次函數
C．反比例函數 D．二次函數
5．(2015天津中考)已知拋物線y＝－x2＋x＋6與x軸交于點A，點B，與y軸交于點C，若D為AB的中點，則CD的長為(　D　)
A. B. C. D.
6．(2016原創)若二次函數y＝x2＋bx的圖象的對稱軸是經過點(2，0)且平行于y軸的直線，則關于x的方程x2＋bx＝5的解為(　D　)
A．x1＝0，x2＝4 B．x1＝1，x2＝5
C．x1＝1，x2＝－5 D．x1＝－1，x2＝5
7．(2016樂都模擬)下列圖象中，有一個可能是函數y＝ax2＋bx＋a＋b(a≠0)的圖象，它是(　C　)
,A)　 ,B)　 ,C)　 ,D)
8．(2016海北藏族自治州模擬)如果拋物線y＝－x2＋3x－1＋m經過原點，那么m＝__1__．
9．(2015上海中考)如果將拋物線y＝x2＋2x－1向上平移，使它經過點A(0，3)，那么所得新拋物線的解析式是__y＝x2＋2x＋3__．
10．(2015菏澤中考)二次函數y＝x2的圖象如圖，點O為坐標原點，點A在y軸的正半軸上，點B、C在二次函數y＝x2的圖象上，四邊形OBAC為菱形，且∠OBA＝120°，則菱形OBAC的面積為__2__．
11．(2016畢節中考)一次函數y＝ax＋c(a≠0)與二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一個坐標系中的圖象可能是(　D　)
,A) ,B)
,C) ,D)
12．(2016煙臺中考)二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，下列結論：①4acb；③2a＋b>0, 其中正確的有(　B　)
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
13．(2016蘭州中考)點P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函數y＝－x2＋2x＋c的圖象上，則y1，y2，y3的大小關系是(　D　)
A．y3>y2>y1 B．y3>y1＝y2
C．y1>y2>y3 D．y1＝y2>y3
14．(2016丹東中考)如圖，一次函數y＝－x＋2分別交y軸、x軸于A，B兩點，拋物線y＝－x2＋bx＋c過A，B兩點．
(1)求這個拋物線的解析式；
(2)作垂直于x軸的直線x＝t，在第一象限交直線AB于點M，交這個拋物線于點N.求當t取何值時，MN有最大值？最大值是多少？
(3)在(2)的情況下，以A，M，N，D為頂點作平行四邊形，求第四個頂點D的坐標．
解：(1)由y＝－x＋2知：A(0，2)，B(4，0)，∴解得∴y＝－x2＋x＋2；(2)當x＝t時，M，N，則：MN＝－＝－t(t－4)，當t＝＝2時，MN的最大值為：－2×(2－4)＝4；(3)在第(2)問條件下，x＝2，則M(2，1)，N(2，5)，當四邊形AMND是平行四邊形時，D1(0，6)，當四邊形ADMN是平行四邊形時，D2(0，－2)，當四邊形AMDN是平行四邊形時，D3(4，4)．
15．(2016紹興中考)如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的頂點坐標為D(－1，4)，與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C(0，3)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)在拋物線上是否存在一點P，使△PAB的面積是△ABC的面積的2倍，若存在，請求出P點坐標；若不存在，說明理由．
(3)點M是拋物線上一動點，且在直線BC上方，過點M作MN∥y軸交直線BC于點N，MN的最大值．
解：(1)拋物線y＝ax2＋bx＋c的頂點坐標為D(－1，4)，且與y軸交于點C(0，3)，∴解得∴拋物線的解析式為y＝－x2－2x＋3；
(2)存在，設P(x，－x2－2x＋3)，令－x2－2x＋3＝0，解得x1＝－3，x2＝1.∴A(1，0)，B(－3，0)，∴AB＝4，又OC＝3.∴S△ABC＝AB·OC＝×4×3＝6，S△PAB＝AB·|y|＝×4·|－x2－2x＋3|＝2S△ABC＝12.∴－x2－2x＋3＝6或－x2－2x＋3＝－6，x2＋2x＋3＝0此方程無實數解，∴x2＋2x－9＝0，解得x＝－＝－1±，x1＝－1＋，x2＝－1－，當x＝－1＋時，y＝－6或x＝－1－時y＝－6時，可得點P的坐標為P1(－1＋，－6)或P2(－1－，－6)；
(3)設直線BC的解析式為y＝kx＋b′(k≠0)，∴直線BC過點B(－3，0)，C(0，3)，解得∴直線BC的解析式為y＝x＋3，設M點坐標為(x，－x2－2x＋3)，又MN∥y軸交直線BC于點N，∴N(x，x＋3)，∵M點在BC上方，∴MN＝－x2－2x＋3－(x＋3)＝－x2－3x＝－(x2＋3x)＝－＋，∴當x＝－時，MN有最大值，最大值為.

第六節　二次函數的實際應用
,青海五年中考命題規律)
命題規律
縱觀青海省五年中考，此考點沒有考查，但二次函數的數學模型在初中所處的地位非常重要，本著“學以致用”的原則，此考點不能忽視
命題預測
預計2017年青海省中考可能會出現一次函數與二次函數結合的實際應用，一般是求實際問題中的最值，注意分類考慮
,青海省(西寧)五年中考真題)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　二次函數的實際應用(青海0次、西寧2次)
1．(2016西寧中考)如圖，在△ABC中，∠B＝90°，tan ∠C＝，AB＝6 cm，動點P從點A開始沿AB向點B以1 cm/s的速度移動，動點Q從點B開始沿邊BC向點C以2 cm/s的速度移動．若P，Q兩點分別從A，B兩點同時出發，在運動過程中，△PBQ的最大面積是(　C　)
A．18 cm2 B．12 cm2 C．9 cm2 D．3 cm2
(第1題圖)
　　　(第2題圖)
2．(2011西寧中考)西寧中心廣場有各種音樂噴泉，其中一個噴水管噴水的最大高度為3 m，此時距噴水管的水平距離為 m，在如圖所示的坐標系中，這個噴泉的函數關系式是(　C　)
A．y＝－(x－)2＋3
B．y＝－3(x＋)2＋3
C．y＝－12(x－)2＋3
D．y＝－12(x＋)2＋3
3．(2014西寧中考)今年5月1日起實施《青海省保障性住房準入分配退出和運營管理實施細則》規定：公共租賃住房準入分配退出和運營管理實施細則》規定：公共租賃住房和廉租住房并軌運行(以下簡稱并軌房)，計劃10年內解決低收入人群住房問題．已知第x年(x為正整數)
投入使用的并軌房面積為y百萬平方米，且y與x的函數關系式為y＝－x＋5.由于物價上漲等因素的影響，每年單位面積租金也隨之上調．假設每年的并軌房全部出租完，預計第x年投入使用的并軌房的單位面積租金z與時間x滿足一次函數關系如下表：
時間x(單位：年，
x為正整數)
1
2
3
4
5
…
單位面積租金z
(單位：元/m2)
50
52
54
56
58
…
(1)求出z與x的函數關系式；
(2)設第x年政府投入使用的并軌房收取的租金為W百萬元，請問政府在第幾年投入使用的并軌房收取的租金最多，最多為多少百萬元？
解：(1)設z與x的一次函數關系式為z＝kx＋b(k≠0)，∵x＝1時，z＝50；x＝2時，z＝52，∴解得∴z與x的函數關系式為z＝2x＋48；(2)由題意得，W＝yz＝(－x＋5)(2x＋48)＝－x2＋2x＋240＝－(x－3)2＋243，∵－＜0，∴當x＝3時，W有最大值為243.答：政府在第3年投入使用的并軌房收取的租金最多，最多為243百萬元．
4．(2016青海中考模擬)為滿足市場需求，求超市在五月初五“端午節”來臨前夕，購進一種品牌粽子，每盒進價是40元，超市規定每盒售價不得少于45元，根據以往銷售經驗發現：當售價定為每盒45元時，每天可賣出700盒，每盒售價提高1元，每天要少賣出20盒．
(1)試求出每天的銷售量y(盒)與每盒售價x(元)之間的函數關系式；
(2)當每盒售價定為多少元時，每天銷售的利潤P(元)最大？最大利潤是多少？
(3)當穩定物價，有關管理部門限定：這種粽子的每盒售價不得高于58元，如果超市想要每天獲得不低于6 000元的利潤，那么超市每天至少銷售粽子多少盒？
解：(1)y＝700－20(x－45)＝－20x＋1 600；(2)P＝(x－40)(－20x＋1 600)＝－20x2＋2 400x－64 000＝－20(x－60)2＋8 000，∵x≥45，－20＜0，∴當x＝60時，P最大值＝8 000元，即當每盒售價為60元，每天銷售的利潤最大，最大利潤為8 000元；(3)由題意，得－20(x－60)2＋8 000＝6 000，解得x1＝50，x2＝70.∵拋物線P＝－20(x－60)2＋8 000的開口向下，∴當50≤x≤70時，每天銷售粽子的利潤不低于6 000元，又x≤58，∴50≤x≤58，∵在y＝－20x＋1 600中，－20＜0，∴y隨x的增大而減小，當x＝58時，y最小值＝－20×58＋1 600＝440，即超市每天至少銷售粽子440盒．
,中考考點清單)
　二次函數的實際應用
二次函數的實際應用，題型多為選擇、解答題，有以下兩種常考類型：(1)單純二次函數的實際應用；(2)與一次函數結合的實際應用．出題形式有三種：(1)以某種產品的銷售為背景；(2)以公司的工作業績為背景；(3)以某公司裝修所需材料為背景．設問方式主要有：(1)列函數關系式并求值；(2)求最優解；(3)求最大利潤及利潤最大時自變量的值；(4)求最小值；(5)選擇最優方案．
解二次函數應用題步驟及關鍵點
步驟
關鍵點
(1)分析問題
明確題中的常量與變量及其它們之間的關系，確定自變量及函數
(2)建立模型，確定函數解析式
根據題意確定合適的解析式或建立恰當的坐標系
(3)求函數解析式
變量間的數量關系表示及自變量的取值范圍
(4)應用性質，解決問題
熟記頂點坐標公式或配方法，注意a的正負及自變量的取值范圍
【方法技巧】(1)利用二次函數解決實際生活中的利潤問題，應理清變量所表示的實際意義，注意隱含條件的使用，同時考慮問題要周全，此類問題一般是運用“總利潤＝總售價－總成本”或“總利潤＝每件商品所獲利潤×銷售數量”，建立利潤與價格之間的函數關系式；
(2)最值：若函數的對稱軸在自變量的取值范圍內，頂點坐標即為其最值，若頂點坐標不是其最值，那么最值可能為自變量兩端點的函數值；若函數的對稱軸不在自變量的取值范圍內，可根據函數的增減性求解，再結合兩端點的函數值對比，從而求解出最值．
,中考重難點突破)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　二次函數的實際應用
【例】某電子廠商投產一種新型電子產品，每件制造成本為18元，試銷過程中發現，每月銷售量y(萬件)與銷售單價x(元)之間的關系可以近似地看作一次函數y＝－2x＋100.(利潤＝售價－制造成本)
(1)寫出每月的利潤z(萬元)與銷售單價x(元)之間的函數關系式；
(2)當銷售單價為多少元時，廠商每月獲得的利潤為440萬元？
(3)根據相關部門規定，這種電子產品的銷售單價不能高于40元，如果廠商每月的制造成本不超過540萬元，那么當銷售單價為多少元時，廠商每月獲得的利潤最大？最大利潤為多少萬元？
【解析】(1)根據每月的利潤z＝(x－18)y，再把y＝－2x＋100代入即可求出z與x之間的函數關系式；(2)把z＝440代入z＝－2x2＋136x－1 800，解這個方程即可；(3)根據廠商每月的制造成本不超過540萬元，以及成本價18元，得出銷售單價的取值范圍，進而得出最大利潤．
【學生解答】解：(1)z＝(x－18)y＝(x－18)(－2x＋100)＝－2x2＋136x－1 800，故z與x之間的函數解析式為z＝－2x2＋136x－1 800；(2)由z＝440，得440＝－2x2＋136x－1 800，解得x1＝28，x2＝40；(3)∵廠商每月的制造成本不超過540萬元，每件制造成本為18元，∴每月的生產量小于等于30萬件，y＝－2x＋100≤30，解得x≥35，又由限價40元，得35≤x≤40，∵z＝－2x2＋136x－1 800＝－2(x－34)2＋512，∴圖象開口向下，對稱軸右側z隨x的增大而減小，∴x＝35時，z最大，為510萬元．即當銷售單價為35元時，廠商每月獲得的利潤最大，最大利潤為510萬元．
1．(2016黃石中考)科技館是少年兒童節假日游玩的樂園．如圖所示，圖中點的橫坐標x表示科技館從8：30開門后經過的時間(min)，縱坐標y表示到達科技館的累計人數．圖中曲線對應的函數解析式為y＝10：00之后來的游客較少可忽略不計．
(1)請寫出圖中曲線對應的函數解析式；
(2)為保證科技館內游客的游玩質量，館內人數不超過684人，后來的游客在館外休息區等待．從10：30開始到12：00館內陸續有人離館，平均每分鐘離館4人，直到館內人數減少到624人時，館外等待的游客可全部進入．請問館外游客最多等待多少分鐘？
解：(1)y＝(2)由題意得，－(x－90)2＋700＝684，解得x＝78，另一解不合題意，舍去，(684－624)÷4＝15(min)，15＋30＋(90－78)＝57(min)．
答：館外游客最多等待57 min.
2．(2017中考模擬)某工廠生產一種合金薄板(其厚度忽略不計)，這些薄板的形狀均為正方形，邊長(單位：cm)在5～50之間．每張薄板的成本價(單位：元)與它的面積(單位：cm2)成正比例．每張薄板的出廠價(單位：元)由基礎價和浮動價兩部分組成，其中基礎價與薄板的大小無關，是固定不變的，浮動價與薄板的邊長成正比例．在營銷過程中得到了表格中的數據．
薄板的邊長(cm)
20
30
出廠價(元/張)
50
70
(1)求一張薄板的出廠價與邊長之間滿足的函數關系式；
(2)已知出廠一張邊長為40 cm的薄板，獲得的利潤是26元(利潤＝出廠價－成本價)．
①求一張薄板的利潤與邊長之間滿足的函數關系式；
②當邊長為多少時，出廠一張薄板所獲得的利潤最大？最大利潤是多少？
[參考公式：拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的頂點坐標是(－，)]
解：(1)函數關系式為y＝2x＋10；(2)①設利潤為P，成本價為mx2，函數關系式為P＝2x＋10－mx2，將x＝40，P＝26代入，解得m＝，∴函數關系式為P＝－x2＋2x＋10; ②∵a＝－＜0，∴當x＝－＝25時，P最大＝＝35，∴出廠一張邊長為25 cm的薄板，獲得利潤最大為35元．
3．(2016原創)某網店試銷一種新型商品，進價為20元/件，試銷期為18天，銷售價y(元/件)與銷售天數x(天)滿足：當1≤x≤9時，y＝k1x＋30；當10≤x≤18時，y＝＋20.在試銷期內，銷售量p＝30－x.
(1)已知當x＝5或12時，y＝32.5，求k1，k2的值；
(2)分別求當1≤x≤9，10≤x≤18時，該網店的銷售利潤w(元)與銷售天數x(天)之間的函數關系式；
(3)該網店在試銷期間，第幾天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？
解：(1)根據題意，得32.5＝5k1＋30，解得k1＝，32.5＝＋20，解得k2＝150.綜上，k1＝，k2＝150；(2)①當1≤x≤9時，w＝(y－20)p＝(x＋30－20)(30－x)，即w＝－x2＋5x＋300；②當10≤x≤18時，w＝(y－20)p＝(＋20－20)(30－x)，即w＝－150；(3)當1≤x≤9時，w＝－x2＋5x＋300＝－(x－5)2＋312.5.∵－<0，∴當x＝5時，w取最大值w1，w1＝312.5；當10≤x≤18時，w＝－150，∵4 500＞0，∴w隨x的增大而減小．∴當x＝10時，w取最大值w2，w2＝－150＝300.∵w1>w2，∴該網店在試銷期間，第5天獲得的利潤最大，最大利潤是312.5元．
第六節　二次函數的實際應用
1．如圖，某校的圍墻由一段相同的凹曲拱組成，其拱狀圖形為拋物線的一部分，柵欄的跨徑AB間按相同間隔0.2 m用5根立柱加固，拱高OC為0.36 m，則立柱EF的長為(　C　)
　 　　　　　 　　　　　 　　　　
A．0.4 m B．0.24 m
C．0.2 m D．0.16 m
2．(2016安順中考)某校校園內有一個大正方形花壇，如圖所示，它由四個邊長均為3 m的小正方形組成，且每個小正方形的種植方案相同．其中的一個小正方形ABCD如圖乙所示，DG＝1 m，AE＝AF＝x m，在五邊形EFBCG區域上種植花卉，則大正方形花壇種植花卉的面積y與x的函數圖象大致是(　A　)
,A),B),C),D)
3．教練對小明推鉛球的錄像進行技術分析，發現鉛球行進高度y(m)與水平距離x(m)之間的關系為y＝－(x－4)2＋3，由此可知鉛球推出的距離是__10__m.
,(第3題圖))　　　,(第4題圖))
4．(2016溫州中考)某農場擬建兩間矩形飼養室，一面靠現有墻(墻足夠長)，中間用一道墻隔開，并在如圖所示的三處各留1 m寬的門．已知計劃中的材料可建墻體(不包括門)總長為27 m，則能建成的飼養室總占地面積最大為__75__m2.
5．(2015隨州中考)如圖，某足球運動員站在點O處練習射門，將足球從離地面0.5 m的A處正對球門踢出(點A在y軸上)，足球的飛行高度y(單位：m)與飛行時間t(單位：s)之間滿足函數關系y＝at2＋5t＋c，已知足球飛行0.8 s時，離地面的高度為3.5 m.
(1)足球飛行的時間是多少時，足球離地面最高？最大高度是多少？
(2)若足球飛行的水平距離x(單位：m)與飛行時間t(單位：s)之間具有函數關系x＝10t，已知球門的高度為2.44 m，如果該運動員正對球門射門時，離球門的水平距離為28 m，他能否將球直接射入球門？
解：(1)由題意得：函數y＝at2＋5t＋c的圖象經過(0，0.5)，(0.8，3.5)，∴解得∴拋物線的解析式為y＝－t2＋5t＋＝－(t－)2＋，∴當t＝時，y最大＝.答：足球飛行的時間是 s時，足球離地面最高，最大高度是 m；(2)假設他能將球直接射入球門，把x＝28代入x＝10t，得28＝10t，∴t＝2.8，∴當t＝2.8時，∴y＝－×2.82＋5×2.8＋＝2.25＜2.44，∴他能將球直接射入球門．
6．如圖，等腰梯形花圃ABCD的底邊AD靠墻，另三邊用長為40 m的鐵欄桿圍成，設該花圃的腰AB的長為x m.
(1)求出底邊BC的長；(用含x的代數式表示)
(2)若∠BAD＝60°，該花圃的面積為S m2.
①求S與x之間的函數關系式(要指出自變量x的取值范圍)，并求當S＝93時x的值；
②如果墻長為24 m，試問S有最大值還是最小值？這個值是多少？
解：(1)BC＝40－2x；(2)①過點B，C分別作BE⊥AD于點E，CF⊥AD于點F.在Rt△ABE中，AB＝x，∠BAE＝60°，∴AE＝x，BE＝x.同理DF＝x，CF＝x.又EF＝BC＝40－2x，∴AD＝40－x.∴S梯形ABCD＝(BC＋AD)·BE＝(40－2x＋40－x)·x，即S＝－x2＋20x(0＜x＜20)．當S＝93時，－x2＋20x＝93.解得x1＝6，x2＝20(舍去)．∴x＝6；②由題意，得40－x≤24.解得x≥16.結合①得16≤x＜20.由①得，S＝－x2＋20x＝－(x－)2＋.∴當16≤x＜20時，S隨x的增大而減小，∴當x＝16時，S取得最大值，此時S最大值＝128 m2.
7．(2016襄陽模擬)為了節省材料，某水產養殖戶利用水庫的岸堤(岸堤足夠長)為一邊，用總長為80 m的圍網在水庫中圍成了如圖所示的①②③三塊矩形區域，而且這三塊矩形區域的面積相等．設BC的長度為x m，矩形區域ABCD的面積為y m2.
(1)求y與x之間的函數關系式，并注明自變量x的取值范圍；
(2)x為何值時，y有最大值？最大值是多少？
解：(1)設AE＝a，由題意，得AE·AD＝2BE·BC，AD＝BC，∴BE＝a，AB＝a.由題意，得2x＋3a＋2×a＝80，∴a＝20－x，y＝AB·BC＝a·x＝(20－x)x，即y＝－x2＋30x，其中0＜x＜40；(2)y＝－x2＋30x＝－(x－20)2＋300，由于－＜0，拋物線開口向下，又0＜x＜40，∴當x＝20時，y取最大值，最大值為300 m2.
8．(2015南京中考)某企業生產并銷售某種產品，假設銷售量與產量相等．下圖中的折線ABD、線段CD分別表示該產品每千克生產成本y1(單位：元)、銷售價y2(單位：元)與產量x(單位：kg)之間的函數關系．
(1)請解釋圖中點D的橫坐標、縱坐標的實際意義；
(2)求線段AB所表示的y1與x之間的函數解析式；
(3)當該產品產量為多少時，獲得的利潤最大？最大利潤是多少？
解：(1)略；(2)y1＝－0.2x＋60(0≤x≤90)；(3)當該產品產量為75 kg時，獲得最大利潤2 250元．
9．(2016黃岡中考)東坡商貿公司購進某種水果的成本為20元/kg，經過市場調研發現，這種水果在未來48天的銷售單價p(元/kg)與時間t(天)之間的函數關系式為p＝且其日銷售量y(kg)與時間t(天)的關系如下表：
時間t(天)
1
3
6
10
20
40
…
日銷售量y(kg)
118
114
108
100
80
40
…
(1)已知y與t之間的變化規律符合一次函數關系，試求在第30天的日銷售量是多少？
(2)哪一天的銷售利潤最大？最大日銷售利潤為多少？
(3)在實際銷售的前24天中，公司決定每銷售1kg水果就捐贈n元利潤(n＜9)給“精準扶貧”對象．現發現：在前24天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間t的增大而增大，求n的取值范圍．
解：(1)設y＝kt＋b，把t＝1，y＝118；t＝3，y＝114代入，得解得∴y＝－2t＋120，當t＝30時，y＝－2×30＋120＝60，故在第30天的日銷售量為60 kg；(2)設第x天的銷售利潤為w元．當1≤t≤24時，由題意W＝(－2t＋120)＝－(t－10)2＋1 250，∴t＝10時，W最大值為1 250元．當25≤t≤48時，W＝(－2t＋120)＝t2－116t＋3 360，∵對稱軸為直線x＝58，a＝1>0，∴在對稱軸左側，W隨x的增大而減小，∴x＝25時，W最大＝1 085，綜上所述，第10天利潤最大，最大利潤為1 250元；(3)n的取值范圍為7≤n<9.
第四節　反比例函數的圖象及性質
,青海五年中考命題規律)
年份
題型
題號
考查點
考查內容
分值
總分
2016
填空
7
反比例函數
利用正比例函數與反比例函數圖象的交點，求字母的值
2
2
2015
選擇
19
反比例函數
判別同一坐標系中反比例函數與一次函數圖象的位置
3
3
2014
選擇
15
反比例函數
利用反比例函數的幾何意義比較面積大小
3
3
2013
選擇
16
反比例函數
判別同一坐標系中反比例函數與正比例函數圖象的位置
3
3
2012
選擇
16
反比例函數
利用反比例函數與一次函數的結合，求字母的值
3
3
命題規律
縱觀青海省五年中考，“反比例函數的圖象與性質”這一考點一般以選擇題、填空題的形式呈現，且與一次函數結合在一起考查，難度偏低
命題預測
預計2017年青海省中考的考查仍會以反比例函數圖象及性質與一次函數的結合考查，題型多以選擇題的形式呈現，但也應注意反比例函數與其他函數或幾何圖形綜合考查，不可忽視
,青海省(西寧)五年中考真題)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　反比例函數的圖象和性質(青海1次、西寧0次)
1．(2014青海中考)如圖，點P1，P2，P3分別是雙曲線同一支圖象上的三點，過這三點分別作y軸的垂線，垂足分別是A1，A2，A3，得到三個三角形△P1A1O，△P2A2O，△P3A3O.設它們的面積分別為S1，S2，S3，則它們的大小關系是(　C　)
A．S1＞S2＞S3 B．S3＞S2＞S1
C．S1＝S2＝S3 D．S2＞S3＞S1
　反比例函數與一次函數的結合(青海4次、西寧5次)
2．(2012青海中考)如圖，一次函數y＝kx－3的圖象與反比例函數y＝的圖象交于A，B兩點，其中A點坐標為(2，1)，則k，m的值為(　C　)
A．k＝1，m＝2 B．k＝2，m＝1
C．k＝2，m＝2 D．k＝1，m＝1
(第2題圖)
　　　(第3題圖)
3．(2014西寧中考)反比例函數y1＝和正比例函數y2＝mx的圖象如圖所示，根據圖象可以得到滿足y1＜y2的x的取值范圍是(　C　)
A．x＞1 B．0＜x＜1或x＜－1
C．－1＜x＜0或x＞1 D．x＞2或x＜1
4．(2013青海中考)在同一直角坐標系中，函數y＝2x與y＝－的圖象大致是(　D　)
,A) 　　,B)
,C) 　　,D)
5．(2015青海中考)已知一次函數y＝2x－3與反比例函數y＝－，那么它們在同一坐標系中的圖象可能是(　D　)
,A) 　　　,B)
,C) 　　　,D)
6．(2012西寧中考)如圖，反比例函數y＝的圖象與經過原點的直線相交于點A，B，已知點A的坐標為(－2，1)，則點B的坐標為__(2，－1)__．
(第6題圖)
　　　(第7題圖)
7．(2016青海中考)如圖，直線y＝x與雙曲線y＝，在第一象限的交點為A(2，m)，則k＝__2__．
8．(2016西寧中考)如圖，在平面直角坐標系中，直線AB與x軸交于點A，與y軸交于點C(0，2)，且與反比例函數y＝在第一象限內的圖象交于點B，且BD⊥x軸于點D，OD＝2.
(1)求直線AB的函數解析式；
(2)設點P是y軸上的點，若△PBC的面積等于6，直接寫出點P的坐標．
解：(1)∵BD⊥x軸，OD＝2，∴點B的橫坐標為2，將x＝2代入y＝，得y＝4，∴B(2，4)，設直線AB的函數解析式為y＝kx＋b(k≠0)，將點C(0，2)，B(2，4)代入y＝kx＋b，得∴∴直線AB的函數解析式為y＝x＋2；(2)P(0，8)或P(0，－4)．
9．(2015西寧中考)如圖，一次函數y＝－x＋2的圖象與x軸交于點B，與反比例函數y＝的圖象的交點為A(－2，3)．
(1)求反比例函數的解析式；
(2)過點A作AC⊥x軸，垂足為C，若點P在反比例函數圖象上，且△PBC的面積等于18，求P點的坐標．
解：(1)由題意可得：點A(－2，3)在反比例函數y＝的圖象上，∴＝3，解得m＝－6.∴反比例函數解析式為y＝－；(2)設點P的坐標為(a，b)，∵一次函數y＝－x＋2的圖象與x軸交于點B.∴－x＋2＝0，解得x＝4，∴BC＝6.∵△PBC的面積等于18，∴×BC×|b|＝18，∴|b|＝6.∴b1＝6，b2＝－6.∴P點坐標為(－1，6)，(1，－6)．
10．(2016西寧中考)如圖，一次函數y＝x＋m的圖象與反比例函數y＝的圖象交于A，B兩點，且與x軸交于點C，點A的坐標為(2，1)．
(1)求m及k的值；
(2)求點C的坐標，并結合圖象寫出不等式組0＜x＋m≤的解集．
解：(1)m＝－1，k＝2；(2)C(1，0)；1＜x≤2.
　反比例函數與幾何圖形的結合
11．(2014西寧中考)如圖，已知?ABCD水平放置在平面直角坐標系xOy中，若點A，D的坐標分別為(－2，5)，(0，1)，點B(3，5)在反比例函數y＝(x＞0)圖象上．
(1)求反比例函數y＝的解析式；
(2)將?ABCD沿x軸正方向平移10個單位長度后，能否使點C落在反比例函數y＝的圖象上？并說明理由．
解：(1)∵點B(3，5)在反比例函數y＝圖象上，∴k＝15，∴反比例函數的解析式為y＝(x＞0)；(2)平移后的點C能落在反比例函數y＝的圖象上．理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形．∴AB∥CD，AB＝CD，∵點A，B，D的坐標分別為(－2，5)，(3，5)，(0，1)，∴AB＝5，AB∥x軸，∴CD∥x軸．∴點C的坐標為(5，1)，∴?ABCD沿x軸正方向平移10個單位長度后點C的坐標為(15，1)，∴平移后的點C能落在反比例函數y＝的圖象上．
,中考考點清單)
　反比例函數的概念
1．一般地，如果變量y與變量x之間的函數關系可以表示成①__y＝__(k是常數，且k≠0)的形式，則稱y是x的反比例函數，k稱為比例函數．
　反比例函數的圖象和性質
2．函數圖象
解析式
y＝(k≠0，k為常數)
k
k＞0
k＜0
圖象
　　3.函數的圖象性質
函數
系數
所在象限
增減性質
對稱性
y＝
(k≠0)
k＞0
第一、三象限(x，y同號)
在每個象限內y隨x的②__增大而減小__
關于③__y＝－x__對稱
k＜0
第二、四象限(x，y異號)
在每個象限內y隨x的④__增大而增大__
關于⑤__y＝x__對稱
　　4.k的幾何意義
k的幾
何意義
設P(x，y)是反比例函數y＝圖象上任一點，過點P作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N，則S矩形PNOM＝PM·PN＝|y|·|x|＝|xy|　
【方法技巧】反比例函數與一次函數、幾何圖形結合
(1)反比例函數與一次函數圖象的綜合應用的四個方面：
A．探求同一坐標系下兩函數的圖象常用排除法．
B．探求兩函數解析式常利用兩函數的圖象的交點坐標．
C．探求兩圖象交點的坐標常利用解方程(組)來解決，這也是求兩函數圖象交點坐標的常用方法．
D．兩個函數值比較大小的方法是以交點為界限，觀察交點左、右兩邊區域的兩個函數圖象上、下位置關系，從而寫出函數值的大小．
(2)在平面直角坐標系中求三角形的面積時，通常以坐標軸上的邊為底，相對頂點的橫坐標(或縱坐標)的絕對值為高；如果沒有坐標軸上的邊，則用坐標軸將其分割后求解．
　反比例函數解析式的確定
5．步驟
(1)設所求的反比例函數為y＝(k≠0)；
(2)根據已知條件列出含k的方程；
(3)由代入法解待定系數k的值；
(4)把k代入函數解析式y＝中．
6．求解析式的兩種途徑
求反比例函數的解析式，主要有兩條途徑：(1)根據問題中兩個變量間的數量關系直接寫出；(2)在已知兩個變量x，y具有反比例關系y＝(x≠0)的前提下，根據一對x，y的值，列出一個關于k的方程，求得k的值，確定出函數的解析式．
　反比例函數的應用
利用反比例函數解決實際問題，首先是建立函數模型．一般地，建立函數模型有兩種思路：一是通過問題提供的信息，知道變量之間的函數關系，在這種情況下，可先設出函數的解析式y＝(k≠0)，再由已知條件確定解析式中k的取值即可；二是問題本身的條件中不確定變量間是什么關系，此時要通過分析找出變量的關系并確定函數解析式．
,中考重難點突破)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　反比例函數的圖象及性質
【例1】(2015天水中考)已知函數y＝的圖象如圖以下結論：
①m＜0；
②在每個分支上y隨x的增大而增大；
③若點A(－1，a)，點B(2，b)在圖象上，則a＜b；
④若點P(x，y)在圖象上，則點P1(－x，－y)也在圖象上．
其中正確的個數是(　　)
A．4個　 　B．3個　 　C．2個　 　D．1個
【解析】①根據反比例函數的圖象的兩個分支分別位于第二、四象限，可得m＜0，正確；②在每個分支上y隨x的增大而增大，正確；③若點A(－1，a)，點B(2，b)在圖象上，觀察圖象可知a＞0，b＜0，則a＞b，錯誤；④若點P(x，y)在圖象上，則y＝，即m＝xy，又∵m＝(－x)·(－y)＝xy，則點P1(－x，－y)也在圖象上，正確．
【學生解答】B
1．(2016蘭州中考)反比例函數y＝的圖象在(　B　)
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
2．(2016上海中考)已知反比例函數y＝(k≠0)，如果在這個函數圖象所在的每一個象限內，y的值都隨著x的增大而減小，那么k的取值范圍是__k＞0__．
　反比例函數k的幾何意義
【例2】(2016寧波中考)如圖，點A為函數y＝(x＞0)圖象上一點，連接OA，交函數y＝(x＞0)的圖象于點B，點C是x軸上一點，且AO＝AC，則△ABC的面積為________．
【解析】分別過點A，B作AD⊥x軸，BE⊥x軸，垂足分別為D，E，根據反比例函數的幾何意義可得，S△BOE＝，S△AOD＝，S△AOC＝2S△AOD＝9.∵AD⊥OC，BE⊥OC，∴BE∥AD.∴△BOE∽△AOD，∴＝＝＝，∴＝＝，∴S△ABC＝S△AOC＝×9＝6.
【學生解答】6
3．(2016河南中考)如圖，過反比例函數y＝(x＞0)的圖象上一點A作AB⊥x軸于點B，連接AO，若S△AOB＝2，則k的值為(　C　)
A．2 B．3 C．4 D．5
(第3題圖)
　　　(第4題圖)
4．(2016江西中考)如圖，直線l⊥x軸于點P，且與反比例函數y1＝(x＞0)及y2＝(x＞0)的圖象分別交于點A，B，連接OA，OB，已知△OAB的面積為2，則k1－k2＝__4__．
　反比例函數與一次函數結合
【例3】(2016巴中中考)如圖，在平面直角坐標xOy中，已知四邊形DOBC是矩形，且D(0，4)，B(6，0)．若反比例函數y＝(x＞0)的圖象經過線段OC的中點A，交DC于點E，交BC于點F，設直線EF的解析式為y＝k2x＋b.
(1)求反比例函數和直線EF的解析式；
(2)求△OEF的面積；
(3)請結合圖象直接寫出不等式k2x＋b－＞0的解集．
【解析】(1)先確定反比例函數解析式，再確定直線解析式；(2)利用S△OEF＝S矩形BCDO－S△ODE－S△OBF－S△CEF進行計算；(3)觀察函數圖象得到當＜x＜6時，一次函數圖象都在反比例函數圖象上方，即k2x＋b＞.
【學生解答】解：(1)y＝，y＝－x＋5；(2)S△OEF＝；(3)不等式k2x＋b－＞0的解集為＜x＜6.
5．(2017中考預測)如圖，直線y＝2x＋2與x軸，y軸分別交于A，B兩點，與反比例函數y＝(k≠0，x＞0)的圖象交于點M，過M作MH⊥x軸于點H，且AB＝BM，點N(a，1)在反比例函數y＝(k≠0，x＞0)的圖象上．
(1)求k的值；
(2)求點N關于x軸的對稱點N′的坐標；
(3)在x軸的正半軸上存在一點P，使得PM＋PN的值最小，請求出點P的坐標；
(4)在y軸的正半軸上是否也存在一點Q，使得QM＋QN的值最小？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
解：(1)k＝4；(2)點N′的坐標為(4，－1)；(3)P(，0)；(4)存在，點Q的坐標為(0，)．
第四節　反比例函數的圖象及性質
1．(2016海南中考)某村耕地總面積為50公頃，且該村人均耕地面積y(單位：公頃/人)與總人口x(單位：人)的函數圖象如圖所示，則下列說法正確的是(　D　)
A．該村人均耕地面積隨總人口的增多而增多
B．該村人均耕地面積y與總人口x成正比例
C．若該村人均耕地面積為2公頃，則總人口有100人
D．當該村總人口為50人時，人均耕地面積為1公頃
2．(2015天津中考)已知反比例函數y＝，當1＜x＜3時，y的取值范圍是(　C　)
　 　　　　　 　　　　　 　　　　
A．0＜y＜1 B．1＜y＜2
C．2＜y＜6 D．y＞6
3．(2016原創)在同一直角坐標系中，一次函數y＝kx－k與反比例函數y＝(k≠0)的圖象大致是(　A　)
,A),B),C),D)
4．(2016西寧二十八模擬)如圖，正比例函數y1＝k1x的圖象與反比例函數y2＝的圖象相交于A，B兩點，其中點A的橫坐標為2.當y1＞y2時，x的取值范圍是(　D　)
A．x＜－2或x＞2
B．x＜－2或0＜x＜2
C．－2＜x＜0或0＜x＜2
D．－2＜x＜0或x＞2
5．(2016淮安中考)雙曲線y＝在每個象限內，函數值y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是__m<1__．
6．(2016南寧中考)如圖所示，反比例函數y＝(k≠0，x>0)的圖象經過矩形OABC的對角線AC的中點D.若矩形OABC的面積為8，則k的值為__2__．
7．(2015廣州中考)已知反比例函數y＝的圖象的一支位于第一象限．
(1)判斷該函數圖象的另一支所在的象限，并求m的取值范圍；
(2)O為坐標原點，點A在該反比例函數位于第一象限的圖象上，點B與點A關于x軸對稱，若△OAB的面積為6，求m的值．
解：(1)圖象另一支在第三象限；m＞7；(2)設點A的坐標為(x，y)，∵點B與點A關于x軸對稱，∴點B坐標為(x，－y)，∴AB的距離為2y，∵S△OAB＝6，∴·2y·x＝6，∴xy＝6，∵y＝，∴xy＝m－7，∴m－7＝6，∴m＝13，∴m的值為13.
8．(2015自貢中考)若點(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，都是反比例函數y＝圖象上的點，并且y1＜0＜y2＜y3，則下列各式中正確的是(　B　)
A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2
C．x2＜x1＜x3 D．x2＜x3＜x1
9．(2016東營中考)如圖，A，B兩點在反比例函數y＝的圖象上，C，D兩點在反比例函數y＝的圖象上，AC⊥x軸于點E，BD⊥x軸于點F，AC＝2，BD＝3，EF＝，則k2－k1＝(　A　)
A．4　　　 B.　　　 C.　　　 D．6
10．(2016資陽中考)如圖，函數y＝－x與函數y＝－的圖象相交于A，B兩點，過A，B兩點分別作y軸的垂線，垂足分別為點C，D，則四邊形ACBD的面積為(　D　)
A．2 B．4 C．6 D．8
(第10題圖)
　　　(第11題圖)
11．(2016青海模擬)如圖，A是反比例函數y＝的圖象上一點，過點A作AB⊥y軸于點B，點P在x軸上，則△ABP的面積為__2__．
12．(2016內江中考)如圖，點A在雙曲線y＝(x>0)上，點B在雙曲線y＝(x>0)上(點B在點A的右側)，且AB∥x軸，若四邊形OABC是菱形，且∠AOC＝60°，則k＝__6__．
(第12題圖)
　　　(第13題圖)
13．(2016荊門中考)如圖，已知點A(1，2)是反比例函數y＝圖象上的一點，連接AO并延長交雙曲線的另一分支于點B，點P是x軸上一動點；若△PAB是等腰三角形，則點P的坐標是__(－3，0)或(5，0)或(3，0)或(－5，0)__．
14．(2015畢節中考)如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數y＝kx＋b的圖象與反比例函數y＝的圖象交于A(2，3)，B(－3，n)兩點．
(1)求一次函數和反比例函數的解析式；
(2)若P是y軸上一點，且滿足△PAB的面積是5，直接寫出OP的長．
解：(1)∵反比例函數y＝的圖象經過點A(2，3)，∴m＝6，∴反比例函數的解析式是y＝，∵點B(－3，n)在反比例函數y＝的圖象上，∴n＝－2.∴B(－3，－2)．∵一次函數y＝kx＋b的圖象經過A(2，3)，B(－3，－2)兩點，∴解得∴y＝x＋1；(2)OP的長為3或1.
15．(2016蘭州中考)如圖，在平面直角坐標系中，OA⊥OB，AB⊥x軸于點C，點A(，1)在反比例函數y＝的圖象上．
(1)求反比例函數y＝的解析式；
(2)在x軸的負半軸上存在一點P，使得S△AOP＝S△AOB，求點P的坐標；
(3)若將△BOA繞點B按逆時針方向旋轉60°得到△BDE.直接寫出點E的坐標，并判斷點E是否在該反比例函數的圖象上，說明理由．
解：(1)∵點A(，1)在反比例函數y＝的圖象上，∴k＝×1＝，∴反比例函數的解析式為y＝；(2)∵A(，1)，AB⊥x軸于點C，∴OC＝，AC＝1，由射影定理得OC2＝AC·BC，可得BC＝3，B(，－3)，S△AOB＝××4＝2.∴S△AOP＝S△AOB＝.設點P的坐標為(m，0)，∴×|m|×1＝，∴|m|＝2，∵P是x軸的負半軸上的點，∴m＝－2，∴點P的坐標為(－2，0)；(3)點E在該反比例函數的圖象上，理由如下：∵OA⊥OB，OA＝2，OB＝2，AB＝4，∴sin∠ABO＝＝＝，∴∠ABO＝30°，∵將△BOA繞點B按逆時針方向旋轉60°得到△BDE，∴△BOA≌△BDE，∠OBD＝60°，∴BO＝BD＝2，OA＝DE＝2，∠BOA＝∠BDE＝90°，∠ABD＝30°＋60°＝90°，而BD－OC＝，BC－DE＝1，∴E(－，－1)，∵－×(－1)＝，∴點E在該反比例函數的圖象上．
階段測評(三)　函數及其圖象
(時間：45分鐘　總分：100分)
一、選擇題(每小題4分，共32分)
1．(2016南寧中考)下列各曲線中表示y是x的函數的是(　D　)
　 　　　　　 　　　　　 　　　　
,A) ,B)
,C) ,D)
2．(2016青海模擬)已知直線y＝k1x(k1≠0)與雙曲線y＝(k2≠0)一個交點坐標為(－3，2)，則它們另一個交點坐標為(　A　)
A．(3，－2) B．(－2，3)
C．(3，2) D．(－2，－3)
3．(2016荊門中考)若二次函數y＝x2＋mx的對稱軸是直線x＝3，則關于x的方程x2＋mx＝7的解為(　D　)
A．x1＝0，x2＝6 B．x1＝1，x2＝7
C．x1＝1，x2＝－7 D．x1＝－1，x2＝7
4．(2016菏澤中考)如圖，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函數y＝在第一象限的圖象經過點B，則△OAC與△BAD的面積之差S△OAC－S△BAD為(　D　)
A．36 B．12 C．6 D．3
5．(2016張家界中考)在同一平面直角坐標系中，函數y＝ax＋b與y＝ax2－bx的圖象可能是(　C　)
,A) ,B)
,C) ,D)
6．(2016孝感中考)“科學用眼，保護視力”是青少年珍愛生命的具體表現．科學證實：近視眼鏡的度數y(度)與鏡片焦距x(m)成反比例關系．如果500度近視眼鏡片的焦距為0.2 m，則表示y與x函數關系的圖象大致是(　B　)
,A) 　 ,B)
,C) 　 ,D)
7．(2016畢節中考)如圖，點A為反比例函數y＝－圖象上一點，過A作AB⊥x軸于點B，連接OA，則△ABO的面積為(　D　)
A．－4 B．4 C．－2 D．2
(第7題圖)
　　　(第8題圖)
8．(2016龍巖中考)已知拋物線y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則|a－b＋c|＋|2a＋b|＝(　D　)
A．a＋b B．a－2b C．a－b D．3a
二、填空題(每小題5分，共15分)
9．(2016河南中考)已知A(0，3)，B(2，3)是拋物線y＝－x2＋bx＋c上兩點，該拋物線的頂點坐標是__(1，4)__．
10．(2015南京中考)如圖，過原點O的直線與反比例函數y1，y2的圖象在第一象限內分別交于點A，B，且A為OB的中點．若函數y1＝，則y2與x的函數解析式是__y2＝__．
(第10題圖)
　　　(第11題圖)
11．(2016深圳中考)如圖，四邊形ABCO是平行四邊形，OA＝2，AB＝6，點C在x軸的負半軸上，將?ABCO繞點A逆時針旋轉得到?ADEF，AD經過點O，點F恰好落在x軸的正半軸上，若點D在反比例函數y＝(x<0)的圖象上，則k的值為__4__．
三、解答題(共53分)
12．(12分)(2016達州中考)如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c經過A(－1，0)，B(4，5)兩點，請解答下列問題：
(1)求拋物線的解析式；
(2)若拋物線的頂點為D，對稱軸交x軸于點E，連接AD，點F是AD的中點，求出線段EF的長；
(3)若點P是拋物線上異于A，C的另外一點，且S△AEP＝S△AED，求點P的坐標．
解：(1)y＝x2－2x－3；(2)EF＝；(3)點P的坐標是(1＋2，4)或(1－2，4)．
13．(10分)(2016重慶中考)如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于第二、四象限內的A，B兩點，與x軸交于點C，與y軸交于點D，點B的坐標是(m，－4)，連接AO，AO＝5，sin∠AOC＝.
(1)求反比例函數的解析式；
(2)連接OB，求△AOB的面積．
解(1)y＝－；(2)S△AOB＝.
14．(15分)(2016畢節中考)如圖，已知拋物線y＝x2＋bx與直線y＝2x＋4交于A(a，8)，B兩點，點P是拋物線上A，B之間的一個動點，過點P分別作x軸、y軸的平行線與直線AB交于點C和點E.
(1)求拋物線的解析式；
(2)若C為AB中點，求PC的長；
(3)如圖，以PC，PE為邊構造矩形PCDE，設點D的坐標為(m，n)，請求出m，n之間的關系式．
解：(1)∵A(a，8)是拋物線與直線的交點，∴點A(a，8)在直線上，∴8＝2a＋4，解得a＝2，∴將A(2，8)代入y＝x2＋bx得：8＝22＋b×2，解得b＝2，∴拋物線的解析式為y＝x2＋2x；(2)由得B(－2，0)，∴由中點坐標公式可知C(0，4)，∵點P在拋物線上且其縱坐標與C相同，∴P(－1，4)，∴PC＝－1－0＝－1；(3)∵D(m，n)，∴C(m，2m＋4)，E，P(，2m＋4)，∵點P在拋物線上，∴n2－4n－8m－16＝0.
15．(16分)(2016安徽中考)某游泳館普通票價為20元/張，暑假為了促銷，新推出兩種優惠卡：
①金卡售價600元/張，每次憑卡不再收費；②銀卡售價150元/張，每次憑卡另收10元．
暑期普通票正常出售，兩種優惠卡僅限暑期使用，不限次數．設游泳x次時，所需總費用為y元．
(1)分別寫出選擇銀卡、普通票消費時，y與x之間的函數關系式；
(2)在同一個坐標系中，若三種消費方式對應的函數圖象如圖所示，請求出點A、B、C的坐標；
(3)請根據函數圖象，直接寫出選擇哪種消費方式更合算．
解：(1)由題意可得：銀卡消費：y＝10x＋150，普通消費：y＝20x；(2)由題意可得：當10x＋150＝20x，解得x＝15，則y＝300，故B(15，300)，當y＝10x＋150，x＝0時，y＝150，故A(0，150)，當y＝10x＋150＝600，解得x＝45，則y＝600，故C(45，600)；(3)如圖所示，由A，B，C的坐標可得：當045時，金卡消費更合算．

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