資源簡介

第四章　圖形的初步認識與三角形、四邊形
第一節　線段、角、相交線和平行線
,青海五年中考命題規律)
年份
題型
題號
考查點
考查內容
分值
總分
2016
填空
5
平行線的性質與角平分線
平行線的性質與角平分線
2
2
2015
填空
5
平行線的性質和垂線
　　　利用平行線的性質和垂線定義求角
2
2
2014
填空
6
角平分線的性質
利用角平分線的性質求點到直線的距離
2
選擇
17
平行線的性質
先利用同位角相等判兩直線平行，再利用平行線的性質求角
3
5
2012
填空
5
平行線的性質與角平分線
平行線的性質與角平分線
2
2
命題規律
縱觀青海五年中考，此考點一般設一道題，均為選擇題或填空題，題目較簡單，屬于中考送分題
命題預測
預計2017年青海中考，本考點可能仍以利用平行線的性質求角度，也可能是平行線與角平分線、垂線等的結合求角度，題型為選擇題或填空題
,青海省(西寧)五年中考真題)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　利用平行線的性質(青海4次、西寧2次)
1．(2014青海中考)如圖，∠1＝∠2，∠3＝30°，則∠4等于(　D　)
A．120° B．130° C．145° D．150°
(第1題圖)
　　　(第2題圖)
2．(2015西寧中考)如圖，∠AOB的一邊OA為平面鏡，∠AOB＝37°36′，在OB上有一點E，從E點射出一束光線經OA上一點D反射后，反射光線DC恰好與OB平行，則∠DEB的度數是(　C　)
A．74°12′ B．74°36′ C．75°12′ D．75°36′
3．(2015青海中考)如圖，直線a∥b，直線l與a相交于點P，與直線b相交于點Q，且PM垂直于l，若∠1＝58°，則∠2＝__32°__．
(第3題圖)
　　　(第4題圖)
4．(2011西寧中考)如圖，將三角形的直角頂點放在直尺的一邊上，∠1＝30°，∠3＝20°，則∠2＝__50°__．
5．(2012青海中考)如圖，直線l1∥l2且l1，l2被直線l3所截，∠1＝∠2＝35°，∠P＝90°，則∠3＝__55°__．
(第5題圖)
　　　(第6題圖)
6．(2016青海中考)如圖所示，直線AB∥CD，CA平分∠BCD，若∠1＝50°，則∠2＝__65°__．
,中考考點清單)
　線段與直線
1．線段
(1)定義：線段的直觀形象是拉直的一段線．
(2)基本事實：兩點之間的所有連線中，線段最短．
(3)線段的和與差：如圖(1)，已知兩條線段a和b，且a>b，在直線l上畫線段AB＝a，BC＝b，則線段AC就是線段a與b的和，即AC＝__a＋b__．
如圖(2)，在直線l上畫線段AB＝a，在AB上畫線段AD＝b，則線段DB就是線段a與b的差，即DB＝a－b.
(4)線段的中點：如圖(3)，線段AB上的一點M，把線段AB分成兩條線段AM與MB.如果AM＝MB，那么點M就叫做線段AB的中點，此時有__AM__＝MB＝AB，AB＝2AM＝2MB.
2．直線
(1)定義：沿線段向兩方無限延伸所形成的圖形．
(2)基本事實：經過兩點有一條直線，并且只有一條直線．
　角及角平分線
3．角的分類
(1)分類
分類
銳角
直角
鈍角
平角
周角
度數
0°<α<90°
α＝90°
90°<α＜180°
α＝180°
α＝360°
　　(2)周角、平角、直角之間的關系和度數
1周角＝2平角＝4直角＝360°，
1平角＝2直角＝180°，1直角＝90°，
1°＝60′，1′＝60″，1′＝()°，1″＝()′.
4．角平分線的概念及性質
(1)定義：如果一條射線把一個角分成兩個相等的角，那么這條射線叫做這個角的角平分線．
(2)性質：角平分線上的點到角兩邊的距離相等．
警示：到角兩邊距離相等的點在角平分線上．
5．余角、補角、鄰補角
(1)余角：A.如果兩個角的和為__90°__，那么這兩個角互為余角；
B．同角(等角)的余角相等．
(2)補角：A.如果兩個角的和為__180°__，那么這兩個角互為補角；
B．同角(等角)的補角相等．
(3)鄰補角：A.兩個角有一個公共頂點和一條公共邊，另一邊互為反向延長線的兩個角互為鄰補角；
B．互為鄰補角的兩個角的和為180°.
　相交線
三線八角(如圖)
6．同位角有：∠1與__∠5__，∠2與∠6，∠4與∠8，∠3與∠7.
7．內錯角有：∠2與__∠8__，∠3與∠5.
8．同旁內角有：∠3與∠8，∠2與__∠5__．
9．對頂角：∠1與∠3為對頂角，∠2與__∠4__為對頂角，∠5與∠7為對頂角，∠6與__∠8__為對頂角．
　垂線及其性質
10．定義：兩條直線相交所成的四個角中，如果有一個角是直角，我們就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線．
11．基本事實：經過直線上或直線外一點，有且只有一條直線與已知直線垂直．
12．性質：直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短．
13．點到直線的距離：從直線外一點到這條直線的垂線段長度．
14．線段垂直平分線：(1)定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離__相等__；
(2)逆定理：到一條線段的兩端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上．
　平行線的判定及性質
15．定義：在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線．
16．兩條平行線之間的距離處處相等．
17．性質：(1)兩直線平行，同位角相等，即∠1＝__∠2__.
(2)兩直線平行，內錯角相等，即∠2＝__∠3__．
(3)兩直線平行，同旁內角互補，即∠3＋__∠4__＝180°.
18．判定：(1)基本事實：經過已知直線外一點，有且只有一條直線和已知直線平行．
(2)同位角相等，兩直線平行．
(3)內錯角相等，兩直線平行．
(4)同旁內角互補，兩直線平行．
(5)平行于同一條直線的兩條直線平行．
　命題與定理
19．命題：判斷一件事情的句子叫做命題，命題由題設、結論兩部分組成，題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項，命題常寫成“如果……那么……”的形式．
20．真命題：如果題設成立，那么結論一定成立的命題叫做真命題．
21．假命題：題設成立，不能保證結論一定成立的命題叫做假命題．
22．定理：有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理，推理過程叫做證明．
【方法技巧】利用平行線性質求角度：先觀察要求角與已知角的位置關系，再選擇合理的角度進行等量代換，因此需要熟練掌握平行線的性質．另外在解題中要注意平角、直角及三角形內角和、三角形內外角關系等知識的運用．
,中考重難點突破)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　線段、角的有關概念及其性質
【例1】(2016湘西中考)一個角的度數是40°，那么它的余角的補角度數是(　　)
A．130°　　B．140°　　C．50°　　D．90°
【解析】若兩個角的和為90°，則這兩個角互余；若兩個角的和等于180°，則這兩個角互補．依此求出度數．
【學生解答】A
1．(2017中考預測)將直角三角尺的直角頂點靠在直尺上，且斜邊與這根直尺平行，那么，在形成的這個圖中與∠α互余的角共有(　C　)
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
(第1題圖)
　　　　(第2題圖)
2．(2016無錫中考)如圖，AB∥CD，則根據圖中標注的角，下列關系中成立的是(　D　)
A．∠1＝∠3 B．∠2＋∠3＝180°
C．∠2＋∠4<180° D．∠3＋∠5＝180°
3．(2016宜昌中考)如圖，田亮同學用剪刀沿直線將一片平整的樹葉剪掉一部分，發現剩下樹葉的周長比原樹葉的周長要小，能正確解釋這一現象的數學知識是(　D　)
A．垂線段最短
B．經過一點有無數條直線
C．經過兩點，有且僅有一條直線
D．兩點之間，線段最短
4．(2016長沙中考)下列各圖中，∠1與∠2互為余角的是(　B　)
,A) 　　　,B)
,C) 　　　,D)
5．(2016福州中考)如圖，直線a、b被直線c所截，∠1與∠2的位置關系是(　B　)
A．同位角 B．內錯角
C．同旁內角 D．對頂角
(第5題圖)
　　　(第6題圖)
6．(2016宜昌中考)已知M，N，P，Q四點的位置如圖所示，下列結論中，正確的是(　C　)
A．∠NOQ＝42°
B．∠NOP＝132°
C．∠PON比∠MOQ大
D．∠MOQ與∠MOP互補
　平行線的性質
【例2】(2016西寧模擬)如圖，直線a∥b，射線DC與直線a相交于點C，過點D作DE⊥b于點E，已知∠1＝25°，則∠2的度數為(　　)
A．115° B．125° C．155° D．165°
(例2題圖)
　　　　(例2題解圖)
【解析】如解圖，過點D作c∥a，則∠1＝∠CDB＝25°，又∵a∥b，DE⊥b，∴b∥c，DE⊥c，∴∠2＝∠CDB＋90°＝115°.
【學生解答】A
7．(2016畢節中考)如圖，直線a∥b，∠1＝85°，∠2＝35°，則∠3＝(　C　)
A．85° B．60° C．50° D．35°
(第7題圖)
　　　(第8題圖)
8．(2016咸寧中考)如圖，直線l1∥l2，CD⊥AB于點D，∠1＝50°，則∠BCD的度數為(　C　)
A．50° B．45° C．40° D．30°
9．(2016陜西中考)如圖，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于點E.若∠C＝50°，則∠AED＝(　B　)
A．60° B．115° C．125° D．130°
(第9題圖)
　　　(第10題圖)
10．(2016蘇州中考)如圖，直線a∥b，直線l與a，b分別相交于A，B兩點，過點A作直線l的垂線交直線b于點C，若∠1＝58°，則∠2的度數為(　C　)
A．58° B．42° C．32° D．28°
11．(2016深圳中考)如圖，已知a∥b，直角三角形的直角頂點在直線b上，若∠1＝60°，則下列結論錯誤的是(　D　)
A．∠2＝60° B．∠3＝60°
C．∠4＝120° D．∠5＝40°
(第11題圖)
　　　(第12題圖)
12．(2016廣東中考)如圖，直線l1∥l2，若∠1＝130°，∠2＝60°，則∠3＝__70°__．
13．(2015鹽城中考)如圖，點D、E分別在AB、BC上，DE∥AC，AF∥BC，∠1＝70°，則∠2＝__70__°.
,(第13題圖))　　　　,(第14題圖))
14．(2015連云港中考)如圖，AB∥CD，∠1＝62°，FG平分∠EFD，則∠2＝__31__°.
15．(2016郴州中考)如圖，直線AB，CD被直線AE所截，AB∥CD，∠A＝110°，則∠1＝__70__°.
　平行線的實際應用
【例3】如圖，小明在操場上從A點出發，先沿南偏東30°方向走到B點，再沿南偏東60°方向走到C點，這時，∠ABC的度數是(　　)
A．120°
B．135°
C．150° D．160°
【解析】首先找準方位角，并從中找出互相平行的直線．
【學生解答】C
16．將一副三角板如圖放置，使點A在DE上，BC∥DE，則∠AFC的度數為(　D　)
A．45° B．50°
C．60° D．75°
,(第16題圖))　　,(第17題圖))
17．一次數學活動課上，小聰將一副三角板按如圖所示方式疊放，則∠α等于(　D　)
A．30° B．45° C．60° D．75°
18．(2016菏澤中考)如圖，將一副三角板和一張對邊平行的紙條按下列方式擺放，兩個三角板的一直角邊重合，含30°角的直角三角板的斜邊與紙條一邊重合，含45°角的三角板的一個頂點在紙條的另一邊上，則∠1的度數是__15°__．
第四章　圖形的初步認識與三角形、四邊形
第一節　線段、角、相交線和平行線
1．(2016徐州中考)如圖，∠1的內錯角是(　D　)
A．∠2　　　B．∠3　　　C．∠4　　　D．∠5
(第1題圖)
　　　(第2題圖)
2．(2016百色中考)如圖，直線a、b被直線c所截，下列條件能使a∥b的是(　B　)
A．∠1＝∠6 B．∠2＝∠6
C．∠1＝∠3 D．∠5＝∠7
3．(2016黃岡中考)如圖，直線a∥b，∠1＝55°，則∠2＝(　C　)
A．35° B．45° C．55° D．65°
(第3題圖)
　　　(第4題圖)
4．(2016東營中考)如圖，直線m∥n，∠1＝70°，∠2＝30°，則∠A等于(　C　)
A．30° B．35° C．40° D．50°
5．(2016襄陽中考)如圖，AD是∠EAC的平分線，AD∥BC，∠B＝30°，則∠C的度數為(　C　)
A．50° B．40° C．30° D．20°
6．(2015福州中考)下列圖形中，由∠1＝∠2能得到AB∥CD的是(　B　)
,A) ,B)
,C) ,D)
7．(2016湘西中考)如圖，直線CD∥EF，直線AB與CD、EF分別相交于點M，N，若∠1＝30°，則∠2＝__30°__．
8．(2016瀘州中考)把一塊直尺與一塊三角板如圖放置，若∠1＝45°，則∠2的度數為(　D　)
A．115° B．120° C．145° D．135°
(第8題圖)
　　　　(第9題圖)
9．(2017中考預測)如圖，將△ABC平移到△A′B′C′的位置(點B′在AC邊上)，若∠B＝55°，∠C＝100°，則∠AB′A′的度數為__25°__．
10．如圖，AD∥BC，∠ABC的平分線BP與△BAD的平分線AP相交于點P，作PE⊥AB于點E.若PE＝2，則兩平行線AD與BC間的距離為__4__．
(第10題圖)
　　　(第11題圖)
11．(2016昆明中考)如圖，AB∥CE，BF交CE于點D，DE＝DF，∠F＝20°，則∠B的度數為__40°__．
12．(2016宜賓中考)如圖，直線a∥b，∠1＝45°，∠2＝30°，則∠P＝__75__°.
(第12題圖)
　　　(第13題圖)
13．(2016安順中考)如圖，直線m∥n，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，則∠1＝__45__°.
第三節　等腰三角形與直角三角形
,青海五年中考命題規律)
年份
題型
題號
考查點
考查內容
分值
總分
2015
填空
8
等腰直角三角形的性質
利用等腰直角三角形的性質求直角頂點關于原點的對稱點
2
選擇
20
等腰三角形的性質
利用等腰三角形的性質和三角形的外角與內角關系求角
3
5
2014
填空
6
勾股定理
角平分線的性質與勾股定理
2
2
2012
選擇
1
直角三角形的性質
直角三角形的斜面上中線與勾股定理和正切值
3
3
命題規律
縱觀青海省五年中考，此考點作為學生的選擇題或填空題考查4次，其中2013年、2016年沒考，但此考點與其他知識的綜合考查的作答題較常見
命題預測
預計2017年青海省中考重點仍然是直角三角形的有關計算和等腰三角形的判定與性質的綜合應用
,青海省(西寧)五年中考真題)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　等腰三角形的性質與判定(青海2次、西寧2次)
1．(2015青海中考)一副三角板疊在一起如圖放置，最小銳角的頂點D恰好放在等腰直角三角板的斜邊上，AC與DM，DN分別交于點E，F，把△DEF繞點D放置到一定位置，使得DE＝DF，則∠BDN的度數是(　C　)
A．105° B．115° C．120° D．135°
(第1題圖)
　　　(第3題圖)
2．(2016西寧中考)等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為20°，則頂角的度數為__70°或110°__．
3．(2014西寧中考)如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，四邊形OABC是矩形；點A，C的坐標分別為A(10，0)，C(0，4)，點D是OA的中點，點P為線段BC上的點；小明同學寫出了一個以OD為腰的等腰三角形ODP的頂點P的坐標為(3，4)，請寫出其余所有符合這個條件的P點坐標__(2，4)或(8，4)__．
　直角三角形的性質與判定(青海3次、西寧5次)
4．(2012青海中考)如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，已知CD＝5，AC＝6，則tanB的值是(　C　)
A. B. C. D.
5．(2012西寧中考)折紙是一種傳統的手工藝術，也是每一個人從小就經歷的事，它是一種培養手指靈活性、協調能力的游戲，更是培養智力的一種手段，在折紙中，蘊含許多數學知識，我們還可以通過折紙驗證數學猜想，把一張直角三角形紙片按照圖①～④的過程折疊后展開，請選擇所得到的數學結論(　C　)
A．角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等
B．在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半
C．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半
D．如果三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形
6．(2014西寧中考)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB交BC于點D，E為AB上一點，連接DE，則下列說法錯誤的是(　D　)
A．∠CAD＝30° B．AD＝BD
C．BD＝2CD D．CD＝ED
(第6題圖)
　　　(第7題圖)
7．(2013西寧中考)如圖，已知OP平分∠AOB，∠AOB＝60°，CP＝2，CP∥OA，PD⊥OA于點D，PE⊥OB于點E.如果點M是OP的中點，則DM的長是(　C　)
A．2 B. C. D．2
8．(2015青海中考)若將等腰直角三角形AOB按如圖所示放置，OB＝2，則點A關于原點對稱的點的坐標為__(－1，－1)__．
(第8題圖)
　　　(第9題圖)
9．(2014青海中考)如圖所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于點D，且AB＝4，BD＝5，則點D到BC的距離為__3__．
10．(2015西寧中考)如圖，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，AC的垂直平分線DE分別交AB、AC于D、E兩點，則CD的長為____．
(第10題圖)
　　　(第11題圖)
11．(2016西寧中考)如圖，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于點D，PC＝4，則PD＝__2__．
,中考考點清單)
　等腰三角形的性質與判定
1．等腰三角形
定義
有兩邊相等的三角形是等腰三角形，相等的兩邊叫腰，第三邊為底．
性質
(1)等腰三角形兩腰相等(即AB＝AC)；
(2)等腰三角形的兩底角__相等__(即∠B＝__∠C__)；
(3)等腰三角形是軸對稱圖形，有一條對稱軸；
(4)等腰三角形頂角的平分線、底邊上的高和底邊的中線互相重合；
(5)面積： S△ABC＝BC·AD.
判定
如果一個三角形有兩個角相等，那么這個三角形是等腰三角形，其中，兩個相等的角所對的邊相等．(簡稱“__等角對等邊__”)
　　2.等邊三角形
定義
三邊相等的三角形是等邊三角形．
性質
(1)等邊三角形三邊相等(即AB＝BC＝AC)；
(2)等邊三角形三角相等，且每一個角都等于__60°__(即∠A＝∠B＝∠C＝__60°__)；
(3)等邊三角形內、外心重合；
(4)等邊三角形是軸對稱圖形，有三條對稱軸；
(5)面積：S△ABC＝BC·AD.
判定
(1)三邊都相等的三角形是等邊三角形；
(2)三個角相等的三角形是等邊三角形；
(3)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.
　直角三角形的性質與判定
3．直角三角形
定義
有一個角等于90°的三角形叫做直角三角形．
性質
(1)直角三角形的兩個銳角之和等于__90°__；
(2)直角三角形斜邊上的__中線__等于斜邊的一半(即BD＝AC)；
(3)直角三角形中__30°__角所對應的直角邊等于斜邊的一半(即AB＝AC)；
(4)勾股定理：如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2＋b2＝c2；
(5)在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°.
判定
(1)有一個角為90°的三角形是直角三角形；
(2)一條邊的中線等于這條邊的一半的三角形是直角三角形；
(3)有兩個角互余的三角形是直角三角形.
　　4.等腰直角三角形
定義
頂角為90°的等腰三角形是等腰直角三角形．
性質
等腰直角三角形的頂角是直角，兩底角為45°.
判定
(1)用定義判定；(2)有兩個角為45°的三角形.
破)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　等腰三角形的相關計算
【例1】如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線MN交AC于點D，且∠DBC＝15°，求∠A的度數．
【解析】由線段垂直平分線定理知AD＝BD，∴∠A＝∠ABD，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，設∠A＝x，則2(x＋15°)＋x＝180°，∴∠A＝x＝50°.
【學生解答】解：∠A＝50°.
1．(2016黃石中考)如圖所示，線段AC的垂直平分線交線段AB于點D，∠A＝50°，則∠BDC＝(　B　)
A．50° B．100° C．120° D．130°
(第1題圖)
　　　(第2題圖)
2．(2016白銀中考)如圖，已知∠AOB＝60°，點P在邊OA上，OP＝12，點M，N在邊OB上，PM＝PN，若MN＝2，則OM＝(　C　)
A．3 B．4 C．5 D．6
3．(2016淄博中考)如圖，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于點D，BC的中點為M，ME∥AD，交BA的延長線于點E，交AC于點F.
求證：(1)AE＝AF；
(2)BE＝(AB＋AC)．
證明：(1)∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∵AD∥EM，∴∠BAD＝∠AEF，∠CAD＝∠AFE，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF；(2)過點C作CG∥EM，交BA的延長線于點G，∴∠AGC＝∠AEF，∠ACG＝∠AFE.∵∠AEF＝∠AFE，∴∠AGC＝∠ACG，∴AG＝AC，∵BM＝CM，EM∥CG，∴BE＝EG.∴BE＝BG＝(BA＋AG)＝(AB＋AC)．
　直角三角形的相關計算
【例2】(2015宿遷中考)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC與BC相交于點D，若BD＝4，CD＝2，求AB的長．
,(例2題圖))　　　,(例2題解圖))
【解析】如解圖，過D作DE⊥AB，∵∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，∴DE＝CD＝2，在Rt△BDE中，DE＝2，BD＝4，∴∠B＝30°，在Rt△ABC中，BC＝CD＋BD＝6，∴AC＝＝2，∴AB＝2·2＝4.
【學生解答】解：AB的長為4.
4．(2016北京中考)如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，點M，N分別為AC，CD的中點，連接BM，MN，BN.
(1)求證：BM＝MN；
(2)若∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的長．
解：(1)∵∠ABC＝90°，點M為AC的中點，∴BM＝AC，在△ACD中，∵點M，N分別為AC，CD的中點，∴MN∥AD，且MN＝AD，又AC＝AD，∴BM＝AC＝AD＝MN，∴MN＝BM；(2)∵∠BCA＝90°，AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝30°，又∵∠BCA＝90°－∠BAC＝60°，由(1)知BM＝AC＝MC，∴△BMC為等邊三角形，∴∠BMC＝60°，∵MN∥AD，∴∠CMN＝∠CAD＝30°，∴∠BMN＝∠BMC＋∠NMC＝90°.∵AC＝2，∴BM＝MN＝AC＝1，∴BN＝＝.
第三節　等腰三角形與直角三角形
1．(2015北京中考)如圖，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中點M與點C被湖隔開，若測得AM的長為1.2 km，則M，C兩點間的距離為(　D　)
A．0.5 km　　　　　　　　B．0.6 km
C．0.9 km D．1.2 km
(第1題圖)
　　　(第3題圖)
2．(2016濱州中考)下列四組線段中，可以構成直角三角形的是(　B　)
A．4，5，6 B．1.5，2，2.5
C．2，3，4 D．1，，3
3．(2015青島中考)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△BAC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，DE＝1，則BC＝(　C　)
A.　 　　B．2　 　　C．3　　 　D.＋2
4．(2016西寧三中模擬)如圖，在△ABC中，∠C＝45°，點D在AB上，點E在BC上．若AD＝DB＝DE，AE＝1，則AC的長為(　D　)
A. B．2 C. D.
(第4題圖)
　　　(第5題圖)
5．如圖，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分線交AB于點E，垂足為D，CE平分∠ACB，若BC＝2，則AC的長為(　B　)
A. B．1 C. D．2
6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，CD是AB邊上的中線，則CD的長是(　C　)
A．20 B．10 C．5 D.
7．(2015陜西中考)如圖，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分線，若在邊AB上截取BE＝BC，連接DE，則圖中等腰三角形共有(　D　)
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
8．(2016淮安中考)已知一個等腰三角形的兩邊長分別為2和4，則該等腰三角形的周長是__10__．
(第7題圖)
　　　(第9題圖)
9．(2015聊城中考)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分線，若AB＝6，則點D到AB的距離是____．
10．(2016重慶中考)已知：一等腰三角形的兩邊長x，y滿足方程組則此等腰三角形的周長為__5__．
11．(2016廣安中考)如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且DE∥AB，過點E作EF⊥DE，交BC的延長線于點F.
(1)求∠F的度數；
(2)若CD＝2，求DF的長．
解：(1)∠F＝30°；(2)DF＝4.
12．(2016安徽中考)如圖，D是等邊△ABC邊AB上的一點，且AD∶DB＝1∶2，現將△ABC折疊，使點C與D重合，折痕為EF，點E，F分別在AC和BC上，則CE∶CF＝(　B　)
A. B. C. D.
13．(2016莆田中考)如圖，正方形ABCD的邊長為2，其面積標記為S1，以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標記為S2，……，按照此規律繼續下去，則S2 015的值為(　C　)
A. B.
C. D.
14．(2016貴港中考)如圖，在Rt△ABC中，∠A是直角，AB＝3，AC＝4，分別在Rt△ABC、Rt△DBE、Rt△FEC內作正方形ADEF、正方形DGHI和正方形FJKL，如果頂點H，E，K恰好落在Rt△ABC的斜邊BC上，那么DG＋FL的值為(　A　)
A. B. C. D.
(第14題圖)
　　(第15題圖)
15．(2016淮安中考)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，點F在邊AC上，并且CF＝2，點E為邊BC上的動點，將△CEF沿直線EF翻折，點C落在點P處，則點P到邊AB距離的最小值是__1.2__．
16．(2016蘇州中考)如圖，在等腰Rt△ACB中，∠ACB是直角，AC＝BC，把一個45°角的頂點放在C處，兩邊分別與AB交于E，F兩點．
(1)將所得△ACE以C為中心，按逆時針方向旋轉到△BCG，試求證：△EFC≌△GFC；
(2)若AB＝10，AE∶BF＝3∶4，求EF的長．
解：(1)連接FG，由旋轉知：△BCG≌△ACE.∴CG＝CE，∠BCG＝∠ACE，∵∠ACE＋∠BCF＝45°，∴∠BCG＋∠BCF＝45°，即∠GCF＝∠ECF＝45°，而CF為公共邊，∴△EFC≌△GFC(SAS)；(2)由△BCG≌△ACE知：∠CBG＝∠A＝45°，∴∠GBF＝∠CBG＋∠CBF＝90°，由△EFC≌△GFC知：EF＝GF，設BG＝AE＝3x，BF＝4x，則在Rt△GBF中，GF＝5x，∴EF＝GF＝5x，于是3x＋5x＋4x＝10，解得x＝，∴EF＝.
17．(2015菏澤中考)如圖，已知∠ABC＝90°，D是直線AB上的點，AD＝BC.
(1)如圖，過點A作AF⊥AB，并截取AF＝BD，連接DC，DF，CF，判斷△CDF的形狀并證明；
(2)如圖，E是直線BC上的一點，且CE＝BD，直線AE、CD相交于點P，∠APD的度數是一個固定的值嗎？若是，請求出它的度數，若不是，請說明理由．
解：(1)△CDF是等腰直角三角形．理由如下：∵∠ABC＝90°，AF⊥AB，∠FAD＝∠DBC.∵AD＝BC，AF＝BD，∴△FAD≌△DBC.∴FD＝DC，∠1＝∠2.∵∠1＋∠3＝90°，∴∠2＋∠3＝90°.即∠CDF＝90°.∴△CDF是等腰直角三角形；
(2)是．理由如下：過點A作AF⊥AB，并截取AF＝BD，連接DF、CF.∵∠ABC＝90°，AF⊥AB，∴AF∥CE.又∵BD＝CE，AF＝BD，∴AF＝CE，∴四邊形AFCE是平行四邊形．∴FC∥AE.∴∠APD＝∠FCD.由(1)知∠APD＝45°.說明：1.此處輔助線也可以使用平移的方法：將線段CE沿EA方向平移至AF的位置，連接FD、FC.2.方法二：將線段CE沿CD方向平移至DF位置，連接AF、EF；方法三：將線段AD沿AE方向平移至EF位置，連接CF、DF.
,方法二　　　　　　　　方法三)
第二節　三角形的基本概念及全等三角形
,青海五年中考命題規律)
年份
題型
題號
考查點
考查內容
分值
總分
2016
填空
6
三角形的外角與內角的關系
利用三角形的外角與內角的關系結合平行線、角平分線，求三角形的內角
2
2
2015
填空
10
全等三角形
判別三角形全等的條件
2
選擇
14
三角形三邊關系
已知三角形的兩邊，求第三邊長的可能性
3
5
2014
填空
10
全等三角形
判別三角形全等的條件
2
2
2013
填空
8
全等三角形
判別三角形全等的條件
2
2
2012
填空
9
全等三角形
判別三角形全等的條件
2
2
命題規律
縱觀青海省五年中考，“三角形的基本概念及全等三角形”這一考點每年都有考查，其中三角形全等的判別條件考查4次，三角形的三邊關系1次，三角形的內外角關系1次，題型以選擇題、填空題的形式出現
命題預測
預計2017年青海省中考，仍以全等三角形的判別為主，全等三角形的判別與性質可能與四邊形等結合在一起以解答題的形式進行考查
,青海省(西寧)五年中考真題)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　三角形的邊角關系(青海2次、西寧2次)
1．(2014西寧中考)下列線段能構成三角形的是(　B　)
A．2，2，4 B．3，4，5 C．1，2，3 D．2，3，6
2．(2015青海中考)已知三角形兩邊的長分別是4和10，則此三角形第三邊的長可能是(　C　)
A．5 B．6 C．12 D．16
3．(2016西寧中考)下列每組數分別是三根小木棒的長度，用它們能擺動成三角形的是(　D　)
A．3 cm、4 cm、8 cm B．8 cm、7 cm、15 cm
C．5 cm、5 cm、11 cm D．13 cm、12 cm、20 cm
4．(2016青海中考)如圖，已知∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC，且AD是∠EAC的平分線，若∠B＝71°，則∠BAC＝__38°__．
　三角形的四條重要線段(西寧2次、青海0次)
5．(2013西寧中考)如果等邊三角形的邊長為4，那么等邊三角形的中位線長為(　A　)
A．2 B．4 C．6 D．8
6．(2016西寧中考)如圖，已知直角梯形ABCD的一條對角線把梯形分為一個直角三角形和一個以BC為底的等腰三角形．若梯形上底為5，則連接△DBC的兩腰中點的線段的長為__5__．
　全等三角形(青海5次、西寧4次)
7．(2013西寧中考)使兩個直角三角形全等的條件是(　D　)
A．一銳角對應相等 B．兩銳角對應相等
C．一條邊對應相等 D．兩條邊對應相等
8．(2012青海中考)如圖，點D，E分別在線段AB、AC上，BE，CD相交于點O，AE＝AD，要使△ABE≌△ACD需添加一個條件是__答案不唯一，如∠B＝∠C__．(只需一個即可，圖中不能再添加其他點或線)
(第8題圖)
　　　(第9題圖)
9．(2013青海中考)如圖，BC＝EC，∠1＝∠2，添加一個適當的條件，使△ABC≌△DEC，則需添加的條件是__答案不唯一，如∠A＝∠D__．(不添加任何輔助線)
10．(2015青海中考)如圖，點B，F，C，E在同一直線上，BF＝CE，AB∥DE，請添加一個條件，使△ABC≌△DEF，這個添加的條件可以是__AB＝DE或∠A＝∠D或∠ACB＝∠DFE或AC∥FD__．(只需寫一個，不添加輔助線)
(第10題圖)
　　　(第11題圖)
11．(2014青海中考)如圖，已知∠C＝∠D，∠CAB＝∠DBA，AD交BC于點O，請寫出圖中一組相等的線段__BC＝AD或AC＝BD或OA＝OB或OC＝OD__．
12．(2014青海中考)如圖，?ABCD中，點E在邊AB上，點F在AB的延長線上，且AE＝BF.
求證：∠ADE＝∠BCF.
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC且AD∥BC，∴∠DAE＝∠CBF.又∵AE＝BF，∴△DAE≌△CBF(SAS)，∴∠ADE＝∠BCF.
13．(2014西寧中考)課間，小明拿著老師的等腰直角三角板玩，不小心掉到兩墻之間，如圖所示．
(1)求證：△ADC≌△CEB；
(2)從三角板的刻度可知AC＝25 cm，請你幫小明求出砌墻磚塊的厚度a的大小．(每塊磚的厚度相等)
解：(1)由題意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD＋∠BCE＝90°，∠ACD＋∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠CAD.在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB(AAS)；(2)由題意得：AD＝4a，BE＝3a，由(1)得△ADC≌△CEB，∴DC＝BE＝3a，在Rt△ADC中，AD2＋DC2＝AC2，∴(4a)2＋(3a)2＝252，即a2＝25，∵a＞0，∴a＝5.答：砌墻磚塊的厚度a為5 cm.
,中考考點清單)
　三角形分類及三邊關系
1．三角形分類
(1)按角分類
銳角三角形
直角三角形
鈍角三角形
(2)按邊分類
兩條邊相等的三角形
三邊相等的三角形
三邊互不相等的三角形
__等腰三角形
__等邊__三角形
不等邊三角形
2．三邊關系：三角形任意兩邊之和__大于__第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，如圖，__a＋b__>c，|a－b|<__c__．
3．判斷幾條線段能否構成三角形：運用三角形三邊關系判定三條線段能否構成三角形，并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判斷這三條線段能構成一個三角形．
　三角形內角和定理及內外角關系
4．內角和定理：三角形的內角和等于__180°__．
5．內外角關系：三角形的一個外角__等于__與它不相鄰的兩個內角之和．三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角．
　三角形中的四條重要線段
四線
定義
性質
圖形
中線
連接一個頂點與它對邊中點的線段
BD＝DC
高線
從三角形一個頂點到它對邊所在直線的垂線段
AD⊥BC，
即∠ADB＝
∠ADC＝90°
角平
分線
一個內角的平分線與這個角的對邊相交，頂點與交點之間的線段
∠1＝∠2
中
位
線
連接三角形兩邊中點的線段
DE∥BC且
DE＝BC
　全等三角形及其性質
6．定義：
能完全重合的兩個三角形叫做全等三角形．
7．性質：
(1)全等三角形的對應邊__相等__，對應角__相等__；
(2)全等三角形的對應線段(角平分線、中線、高線、中位線)相等，周長__相等__，面積__相等__．
　全等三角形的判定
8．三角形全等的判定
類型
圖形
已知條件
是否
全等
形成
結論
一般
三角
形的
判定
A1B1＝A2B2，
B1C1＝B2C2，
A1C1＝A2C2
是
__SSS__
∠B1＝∠B2，
B1C1＝B2C2，
∠C1＝∠C2
是
ASA
∠B1＝∠B2，
∠C1＝∠C2，
A1C1＝A2C2
是
AAS
A1B1＝A2B2，
∠B1＝∠B2，
B1C1＝B2C2
是
__SAS__
直角
三角
形的
判定
A1B1＝A2B2，
A1C1＝A2C2，
是
__HL__

,中考重難點突破)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　三角形三邊關系
【例1】一個三角形的兩邊長為2和6，第三邊為偶數，則這個三角形的周長為(　　)
A．10 B．12 C．14 D．16
【解析】根據三角形三邊關系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，求出第三邊的取值范圍，再根據第三邊為偶數，求出第三邊的長度，從而可求出三角形周長．
【學生解答】C
1．(2016長沙中考)若一個三角形的兩邊長分別為3和7，則第三邊長可能是(　A　)
A．6 B．3 C．2 D．11
2．(2016玉林中考)在等腰△ABC中，AB＝AC，其周長為20 m，則AB邊的取值范圍是(　B　)
A．1 cm＜AB＜4 cm B．5 cm＜AB＜10 cm
C．4 cm＜AB＜8 cm D．4 cm＜AB＜10 cm
　三角形的內角和外角關系
【例2】(2017中考預測)如圖，CD是△ABC外角∠ACE的平分線，AB∥CD，∠A＝50°，則∠B的大小是(　　)
A．50°
B．60°
C．40°
D．30°
【解析】∵AB∥CD，∴∠A＝∠ACD＝50°，又∵CD是△ABC外角∠ACE的平分線，∴∠ACD＝∠DCE＝50°，∴∠ACE＝2∠ACD＝100°，由三角形內外角關系可得∠B＋∠A＝∠ACE，∴∠B＝∠ACE－∠A＝100°－50°＝50°.
【學生解答】A
3．(2016麗水中考)如圖，在△ABC中，∠A＝63°，直線MN∥BC，且分別與AB，AC相交于點D，E，若∠AEN＝133°，則∠B的度數為__70°__．
4．(2016南京中考)用兩種方法證明“三角形的外角和等于360°”．如圖，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三個外角．
求證：∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝360°.
證法1：∵__∠BAE＋∠1＝∠CBF＋∠2＝∠ACD＋∠3＝180°__，
∴∠BAE＋∠1＋∠CBF＋∠2＋∠ACD＋∠3＝180°×3＝540°.
∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝540°－(∠1＋∠2＋∠3)．
∵__∠1＋∠2＋∠3＝180°.__．
∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝540°－180°＝360°.
請把證法1補充完整，并用不同的方法完成證法2.
解：證法2：過點A作射線AP，使AP∥BD，∵AP∥BD，∴∠CBF＝∠PAB，∠ACD＝∠EAP.∵∠BAE＋∠PAB＋∠EAP＝360°，∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝360°
　三角形中重要線段的應用
【例3】在△ABC中，D為AB的中點，E為AC上一點，CE＝AC，BE，CD交于點O，BE＝5 cm，則OE＝________cm.
(例3題圖)
　　　　(例3題解圖)
【解析】如解圖，過D作DF∥BE，那么DF就是三角形ABE的中位線，∴DF＝BE，AF＝EF，又∵CE＝AC，∴CE＝EF，∴OE就是三角形CDF的中位線，∵OE＝DF＝BE＝1.25 cm.
【學生解答】1.25
5．(2016淄博中考)如圖，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分別為點A，D.則圖中能表示點到直線距離的線段共有(　D　)
A．2條 B．3條 C．4條 D．5條
(第5題圖)
　　　(第6題圖)
6．(2016南充中考)如圖，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，點D，E分別是直角邊BC，AC的中點，則DE的長為(　A　)
A．1 B．2 C. D．1＋
　全等三角形的證明及性質
【例4】如圖，已知點D為等腰Rt△ABC內一點，∠CAD＝∠CBD＝15°，E為AD延長線上的一點，且CE＝CA.若點M在DE上，且DC＝DM，試探究線段ME與BD的數量關系，并說明理由．
【解析】連接MC，先證△BDC≌△ADC，再證△ADC≌△EMC.
【學生解答】解：如圖，連接MC，在等腰Rt△ABC中，∵∠CAD＝∠CBD＝15°，∴∠BAD＝∠ABD＝45°－15°＝30°，∴BD＝AD，又AC＝BC，∴△BDC≌△ADC(SSS)，∴∠DCA＝∠DCB＝45°，∠EDC＝∠DAC＋∠DCA＝15°＋45°＝60°.∵DC＝DM，∴△MDC是等邊三角形，即CM＝CD，又∵∠EMC＝180°－∠DMC＝180°－60°＝120°，∠ADC＝180°－∠MDC＝180°－60°＝120°，∴∠EMC＝∠ADC.又∵CE＝CA，∴∠DAC＝∠CEM＝15°，∴△ADC≌△EMC(AAS)，∴ME＝AD＝DB，∴ME＝BD.
7．(2016孝感中考)如圖，BD⊥AC于點D，CE⊥AB于點E，AD＝AE.求證：BE＝CD.
證明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，而AD＝AE，∠A＝∠A，∴△ADB≌△AEC(ASA)，∴AB＝AC，又AD＝AE，∴AB－AE＝AC－AD，即BE＝CD.
8．(2016南充中考)已知△ABN和△ACM的位置如圖所示，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2.
求證：(1)BD＝CE；
(2)∠M＝∠N.
證明：(1)∵△ABD和△ACE中，AB＝AC，∠1＝∠2，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE，∴BD＝CE；(2)∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC，又∵∠MDO＝∠ADB，∠NEO＝∠AEC，∴∠MDO＝∠NEO，∵∠MOD＝∠NOE，∴180°－∠MDO－∠MOD＝180°－∠NEO－∠NOE，∴∠M＝∠N.
9．(2016襄陽模擬)如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于點E，AD⊥CE于點D.
(1)求證：△BEC≌△CDA；
(2)試判斷BE，DE，AD三條線段之間的關系．
證明：(1)∵∠ACB＝90°，∴∠BCE＋∠ACD＝90°，∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠CDA＝90°，又∵∠BCE＋∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE，又AC＝BC，∴△BEC≌△CDA(AAS)；(2)由(1)知CE＝AD.∵CD＋DE＝CE，∴CD＋DE＝AD.又∵BE＝CD，∴BE＋DE＝AD.
第二節　三角形的基本概念及全等三角形
1．(2016岳陽中考)下列長度的三根小木棒能構成三角形的是(　D　)
　 　　　　　 　　　　　 　　　　
A．2 cm，3 cm，5 cm B．7 cm，4 cm，2 cm
C．3 cm，4 cm，8 cm D．3 cm，3 cm，4 cm
2．(2016荊門中考)如圖，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分線．已知AB＝5，AD＝3，則BC的長為(　C　)
A．5 B．6 C．8 D．10
(第2題圖)
　　　(第3題圖)
3．(2016懷化中考)如圖，OP為∠AOB的角平分線，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是C，D，則下列結論錯誤的是(　B　)
A．PC＝PD B．∠CPD＝∠DOP
C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝OD
4．(2016邵陽中考)如圖所示，點D是△ABC的邊AC上一點(不含端點)，AD＝BD，則下列結論正確的是(　A　)
A．AC>BC B．AB＝BC
C．∠A>∠ABC D．∠A＝∠ABC
,(第4題圖))　　　,(第5題圖))
5．如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，則∠ABD＝(　B　)
A．36° B．54° C．18° D．64°
6．在平面直角坐標系中，點A(，)，B(3，3)，動點C在x軸上，若以A，B，C三點為頂點的三角形是等腰三角形，則點C的個數為(　B　)
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
7．如圖，某同學把一塊三角形的玻璃打碎成了三塊，現在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是(　C　)
A．帶①去 B．帶②去
C．帶③去 D．帶①和②去
(第7題圖)
　(第8題圖)
8．(2015東莞中考)如圖，△ABC三邊的中線AD，BE，CF的公共點G，若S△ABC＝12，則圖中陰影部分的面積是__4__．
9．(2016南京中考)如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，△ABO≌△ADO.下列結論：
①AC⊥BD；②CB＝CD；③△ABC≌△ADC；④DA＝DC.
其中所有正確結論的序號是__①②③__．
10．(2016十堰中考)如圖，AB∥CD，E是CD上一點，BE交AD于點F，EF＝BF.求證：AF＝DF.
證明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠FED，在△ABF和△DEF中，∴△ABF≌△DEF，∴AF＝DF.
11．(2016湖州中考)如圖，AB∥CD，BP和CP分別平分∠ABC和∠DCB，AD過點P，且與AB垂直．若AD＝8，則點P到BC的距離是(　C　)
A．8 B．6 C．4 D．2
(第11題圖)
　　　(第12題圖)
12．(2016陜西中考)如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6.若DE是△ABC的中位線，延長DE交△ABC的外角∠ACM的平分線于點F，則線段DF的長為(　B　)
A．7 B．8 C．9 D．10
13．(2016大慶中考)如圖，從①∠1＝∠2，②∠C＝∠D，③∠A＝∠F三個條件中選出兩個作為已知條件，另一個作為結論所組成的命題中，正確命題的個數為(　D　)
A．0 B．1 C．2 D．3
14．(2016懷化中考)如圖，已知AD＝BC，AC＝BD.
(1)求證：△ADB≌△BCA；
(2)OA與OB相等嗎？若相等，請說明理由．
解：(1)∵在△ADB和△BCA中，∴△ADB≌△BCA(SSS)；(2)OA＝OB，理由是：∵△ADB≌△BCA，∴∠ABD＝∠BAC，∴OA＝OB.
15．(2016衢州中考)如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，點D是AC的中點，將一塊銳角為45°的直角三角板如圖放置，使三角板斜邊的兩個端點分別與A，D重合，連接BE，EC.試猜想線段BE和EC的數量及位置關系，并證明你的猜想．
解：BE＝EC，BE⊥EC.理由如下：∵AC＝2AB，點D是AC的中點，∴AB＝AD＝CD.∵∠EAD＝∠EDA＝45°，∴∠EAB＝∠EDC＝135°.∵EA＝ED，∴△EAB≌△EDC.∴∠AEB＝∠DEC，EB＝EC.∴∠BEC＝∠AED＝90°.∴BE＝EC，BE⊥EC.
16．(2015泰安中考)如圖，∠ABC＝90°，D，E分別在BC，AC上，AD⊥DE，且AD＝DE.點F是AE的中點，FD與AB相交于點M.
(1)求證：∠FMC＝∠FCM；
(2)AD與MC垂直嗎？并說明理由．
解：(1)∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE的中點，∴DF⊥AE，DF＝AF＝EF.又∵∠ABC＝90°，∠DCF，∠AMF都與∠MAC互余，∴∠DCF＝∠AMF.又∵∠DFC＝∠AFM＝90°，∴△DFC≌△AFM，∴CF＝MF，∴∠FMC＝∠FCM；(2)AD⊥MC，理由如下：由(1)知∠MFC＝90°，FD＝FE，FM＝FC，∴∠FDE＝∠FMC＝45°，∴DE∥CM，∴AD⊥MC.
17．在四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠D＝60°，連接AC.
(1)如圖1，點E，F分別在邊BC，CD上，且BE＝CF.求證：
①△ABE≌△ACF；
②△AEF是等邊三角形；
(2)若E在BC的延長線上，在直線CD上是否存在點F，使△AEF是等邊三角形？請證明你的結論(圖2備用)．
解：(1)①∵AB＝BC，∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形．∴AB＝AC.同理，△ADC也是等邊三角形，∴∠ACF＝∠B＝60°.又∵BE＝CF，∴△ABE≌△ACF(SAS)；②∵△ABE≌△ACF，∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF.∵∠BAE＋∠CAE＝60°，∴∠CAF＋∠CAE＝60°，即∠EAF＝60°.∴△AEF是等邊三角形；(2)存在，在CD延長線上取點F，使CF＝BE，連接AE，EF，AF.與(1) ①同理可證△ABE≌△ACF，∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF.∴∠CAF－∠CAE＝∠BAE－∠CAE.∴∠EAF＝∠BAC＝60°.∴△AEF是等邊三角形．(在CD延長線上取點F，使DF＝CE也可)
第五節　多邊形與平行四邊形
,青海五年中考命題規律)
年份
題型
題號
考查點
考查內容
分值
總分
2016
解答
23
平行四邊形
(1)利用平行四邊形的性質證線段相等；(2)判平行四邊形
7
7
2015
選擇
15
平行四邊形
利用平行四邊形的性質，求比例線段的值
3
3
2014
解答
23
平行四邊形
利用平行四邊形的性質證角相等
7
7
2013
解答
23
平行四邊形
平行四邊形的判定
7
7
命題規律
縱觀青海省五年中考，多邊形未考查，平行四邊形考查4次，多以解答題的形式出現，難度中偏下
命題預測
預計2017年青海省中考仍會以平行四邊形的判定與性質為主進行考查，也會與其他知識相結合
,青海省(西寧)五年中考真題)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　與多邊形有關的計算(青海0次、西寧2次)
1．(2013西寧中考)如果一個正多邊形的一個外角60°，那么這個正多邊形的邊數是__6__．
2．(2016西寧中考)若一個多邊形的內角和是它的外角和的2倍，則這個多邊形的邊數是__6__．
　平行四邊形的判定與性質(青海4次、西寧2次)
3．(2013青海中考)如圖，已知?ABCD，過A作AM⊥BC于M，交BD于E，過C作CN⊥AD于N，交BD于F，連接AF，CE.
求證：四邊形AECF為平行四邊形．
證明：∵在?ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∠ABC＝∠ADC，∴∠ABD＝∠CDB.又∵AM⊥BC，CN⊥AD，∴∠BMA＝∠DNC＝90°，∴∠BAM＝∠DCN，∴△ABE≌△CDF(ASA)，∴AE＝CF，∵AM∥CN，∴AE∥CF，∴四邊形AECF為平行四邊形．
4．(2016青海中考)如圖所示，在?ABCD中，點E，F在對角線AC上，且AE＝CF.
求證：(1)DE＝BF；
(2)四邊形DEBF是平行四邊形．
證明：(1)∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD＝CB，AD∥CB，∴∠DAE＝∠BCF，而AE＝CF，∴△ADE≌△CBF，∴DE＝BF；(2)由(1)知△ADE≌△CBF，∴∠DEA＝∠BFC，又∵∠DEA＋∠DEF＝180°，∠BFC＋∠BFE＝180°，∴∠DEF＝∠BFE，∴DE∥BF，又DE＝BF，∴四邊形DEBF是平行四邊形．
5．(2015西寧中考)如圖，CD是△ABC的中線，點E是AF的中點，CF∥AB.
(1)求證：CF＝AD；
(2)若∠ACB＝90°，試判斷四邊形BFCD的形狀，并說明理由．
解：(1)∵點E為AF的中點，∴AE＝FE.又∵CF∥AB，∴∠ADE＝∠FCE，∠DAE＝∠CFE，∴在△ADE和△FCE中，∴△ADE≌△FCE(AAS)，∴CF＝DA；(2)四邊形BFCD是菱形．理由如下：∵CD是△ABC的中線，∴D是AB的中點，∴AD＝BD.∵△ADE≌△FCE，∴AD＝CF，BD＝CF，∵AB∥CF，∴BD∥CF，∴四邊形BFCD是平行四邊形．又∵∠ACB＝90°，∴△ACB是直角三角形，∴CD＝AB.又∵BD＝AB，∴BD＝CD.∵四邊形BFCD為平行四邊形，∴四邊形BFCD是菱形．
6．(2016西寧中考)如圖所示，在?ABCD中，E是BC的中點，連接AE并延長交DC的延長線于點F.
(1)求證：AB＝CF；
(2)連接DE，若AD＝2AB，求證：DE⊥AF.
證明：(1)∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥DF，∴∠BAE＝∠F.∵E是BC的中點，∴BE＝CE，而∠AEB＝∠FEC，∴△AEB≌△FEC(AAS)，∴AB＝CF；(2)∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB＝CD，∵AB＝CF，DF＝DC＋CF，∴DF＝2CF，∴DF＝2AB.∵AD＝2AB，∴AD＝DF.∵△AEB≌△FEC.∴AE＝EF，∴ED⊥AF.
,中考考點清單)
　多邊形
1.
n邊形
(n≥3)
內角和
定理
n邊形的內角和為__(n－2)·180°__.
外角和
定理
n邊形的外角和為__360°__．
對角線
過n(n＞3)邊形一個頂點可引(n－3)條對角線，n邊形共有條對角線.
正n邊
形n≥3
定義
在平面內，邊相等，角也相等的多邊形叫做正多邊形．
性質
(1)正n邊形的每一個內角為____；
(2)正(2n－1)邊形是軸對稱圖形，對稱軸有(2n－1)條；
(3)正2n邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，對稱軸有2n條.
　平行四邊形的性質與判定
圖(1)
2．定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．如圖(1)所示．
3．性質
文字描述
字母表示[參考圖(1)]
(1)對邊__平行且相等__
AB綊CD，AD綊BC
(2)對角__相等__
∠DAB＝∠DCB，
∠ADC＝∠ABC
(3)對角線__互相平分__
OA＝OC，OB＝OD
(4)平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是兩條對角線的交點，O為對稱中心
4．判定
文字描述
字母表示[參考圖(1)]
(1)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形
?
(2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
?
(3)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
?
(4)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形
?
四邊形ABCD是平行四邊形
(5)兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
?
,中考重難點突破)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　多邊形的相關計算
【例1】如圖，正三角形與正六邊形的邊長分別為2和1，正六邊形的頂點O是正三角形的中心，則四邊形OABC的面積等于________．
(例1題圖)
　　　(例1題解圖)
【解析】過點O作三角形兩邊的垂線，垂足為E，F.∵O為等邊△ABC的中心，∴OE＝OF，所求四邊形OABC的面積等于四邊形OEBF的面積，即正三角形面積的.∵正三角形的面積為×2×＝，故四邊形OABC的面積為＝.
【學生解答】
1．(2016長沙中考)六邊形的內角和是(　B　)
A．540° B．720° C．900° D．360°
2．(2016宜昌中考)設四邊形的內角和等于a，五邊形的外角和等于b，則a與b的關系是(　B　)
A．a＞b B．a＝b
C．a＜b D．b＝a＋180°
3．(2016益陽中考)將一矩形紙片沿一條直線剪成兩個多邊形，那么這兩個多邊形的內角和之和不可能是(　D　)
A．360° B．540° C．720° D．900°
4．(2016河北中考)已知n邊形的內角和θ＝(n－2)×180°.
(1)甲同學說，θ能取360°；而乙同學說，θ也能取630°.甲、乙的說法對嗎？若對，求出邊數n；若不對，說明理由；
(2)若n邊形變為(n＋x)邊形，發現內角和增加了360°，用列方程的方法確定x.
解：(1)甲對，乙不對，若θ＝360°，則(n－2)180＝360，解得n＝4，若θ＝630°，則(n－2)180＝630，解得n＝，而n為整數，∴θ不能為630°；(2)依題意，得(n－2)180＋360＝(n＋x－2)180，解得x＝2.
　平行四邊形的相關計算
【例2】(2017中考預測)在?ABCD中，BC邊上的高為4，AB＝5，AC＝2，求?ABCD的周長．
【解析】如解圖①所示，∵在?ABCD中，BC邊上的高為4，AB＝5，AC＝2，∴EC＝＝2，BE＝＝3，∴AD＝BC＝BE＋EC＝5，∴?ABCD的周長等于20；如解圖②所示，∵在?ABCD中，BC邊上的高為4，AB＝5，AC＝2，∴EC＝＝2，BE＝＝3，∴BC＝3－2＝1，∴?ABCD的周長等于1＋1＋5＋5＝12.則?ABCD的周長等于12或20.
【學生解答】解：?ABCD的周長為12或20.
5．(2016紹興中考)小敏不慎將一塊平行四邊形玻璃打碎成如圖所示的四塊，為了能在商店配到一塊與原來相同的平行四邊形玻璃，他帶了兩塊碎玻璃，其編號應該是(　D　)
A．①② B．①④ C．③④ D．②③
(第5題圖)
　　　(第6題圖)
6．(2016麗水中考)如圖，?ABCD的對角線AC，BD交于點O，已知AD＝8，BD＝12，AC＝6，則△OBC的周長為(　B　)
A．13 B．17 C．20 D．26
7．(2016陜西中考)如圖，在?ABCD中，連接BD，在BD的延長線上取一點E，在DB的延長線上取一點F，使BF＝DE.連接AF，CE.
求證：AF∥CE.
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADB＝∠CBD，又∵BF＝DE，∴BF＋BD＝ED＋BD，∴DF＝BE，∴△ADF≌△CBE，∴∠AFD＝∠CEB，∴AF∥CE.
8．(2016連云港中考)四邊形ABCD中，AD＝BC，BE＝DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為點E，F.
(1)求證：△ADE≌△CBF；
(2)若AC與BD相交于點O，求證：AO＝CO.
證明：(1)∵在四邊形ABCD中，BE＝DF，∴BE－EF＝DF－EF，即BF＝DE，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED＝∠CFB＝90°，又AD＝BC，∴△ADE≌△CBF；(2)連接AC交BD于點O，∵△ADE≌△CBF，∴AE＝CF，又AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，∴四邊形AECF為平行四邊形，∴AO＝CO.
第五節　多邊形與平行四邊形
1．(2016湘西中考)下列說法錯誤的是(　D　)
A．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
B．兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
C．一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
D．一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是平行四邊形
2．(2016丹東中考)已知一個多邊形的內角和是540°，則這個多邊形是(　B　)
A．四邊形　B．五邊形　C．六邊形　D．七邊形
3．(2016瀘州中考)如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點O，且AC＋BD＝16，CD＝6，則△ABO的周長是(　B　)
A．10 B．14 C．20 D．22
(第3題圖)
　　　　(第4題圖)
4．(2016邵陽中考)如圖所示，四邊形ABCD的對角線相交于點O，若AB∥CD，請添加一個條件__AD∥BC(答案不唯一)__(寫一個即可)，使四邊形ABCD是平行四邊形．
5．(2016寧夏中考)在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線AE交BC于點E，且BE＝3，若平行四邊形ABCD的周長是16，則EC等于__2__．
(第5題圖)
　　　(第6題圖)
6．(2016新疆中考)如圖，在?ABCD中，P是CD邊上一點，且AP和BP分別平分∠DAB和∠CBA，若AD＝5，AP＝8，則△APB的周長是__24__．
7．(2016西寧二十一中模擬)如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，E為CD上一點，分別以EA，EB為折痕將兩個角(∠C，∠D)向內折疊，恰好落在AB邊的點F處，若AD＝2，BC＝3，則EF的長為____．
(第7題圖)
　　　(第8題圖)
8．(2016梅州中考)如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是邊AD的中點，EC交對角線BD于點F，若S△DEC＝3，則S△BCF＝__4__．
9．(2016十堰中考)如圖，在?ABCD中，AB＝2 cm，AD＝4 cm，AC⊥BC，則△DBC比△ABC的周長長__4__cm.
10．(2016邵陽中考)如圖所示，點E，F是平行四邊形ABCD對角線BD上的點，BF＝DE，求證：AE＝CF.
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠EDA＝∠FBC，在△AED和△CFB中，∴△AED≌△CFB(SAS)，∴AE＝CF.
11．(2017中考預測)如圖，?ABCD中，點E在邊AD上，以BE為折痕，將△ABE向上折疊，使點A正好與CD上的F點重合，若△FDE的周長為16，三角形FCB的周長為28，則FC的長為(　C　)
A．4 B．5 C．6 D．7
　 (第11題圖)
　　(第12題圖)
12．如圖，在?ABCD中，延長AB到點E，使BE＝AB，連接DE交BC于點F，則下列結論不一定成立的是(　D　)
A．∠E＝∠CDF B．EF＝DF
C．AD＝2BF D．BE＝2CF
13．(2016常德中考)如圖，把平行四邊形ABCD折疊，使點C與點A重合，這時點D落在D1，折痕為EF，若∠BAE＝55°，則∠D1AD＝__55°__．
(第13題圖)
　　　(第14題圖)
14．(2016東營中考)如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC>AB，點D在BC上，以AC為對角線的平行四邊形ADCE中，DE的最小值是__4__．
15．(2016益陽中考)如圖，在?ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，連接AF，CE.求證：AF＝CE.
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF.又∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，AE∥CF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴AE＝CF，∵AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形，∴AF＝CE.
16．(2016百色中考)已知平行四邊形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于點E，AF∥CE，且交BC于點F.
(1)求證：△ABF≌△CDE；
(2)如圖，若∠1＝65°，求∠B的大小．
解：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AD∥BC，∠B＝∠D，∴∠1＝∠ECB，∵AF∥CE，∴∠AFB＝∠ECB，∴∠AFB＝∠1，在△ABF和△CDE中，∴△ABF≌△CDE(AAS)；(2)由(1)得：∠1＝∠ECB，∵CE平分∠BCD，∴∠DCE＝∠ECB，∴∠1＝∠DCE＝65°，∴∠B＝∠D＝180°－2×65°＝50°.
17．(2016鄂州中考)如圖，?ABCD中，BD是它的一條對角線，過A，C兩點作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E，F，延長AE，CF分別交CD，AB于M，N.
(1)求證：四邊形CMAN是平行四邊形．
(2)已知DE＝4，FN＝3，求BN的長．
解：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD∥AB，∵AM⊥BD，CN⊥BD，∴AM∥CN，又∵CM∥AN，∴四邊形AMCN是平行四邊形；(2)∵四邊形AMCN是平行四邊形，∴CM＝AN，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD＝AB，CD∥AB，∴DM＝BN，∠MDE＝∠NBF，在△MDE和△NBF中，∴△MDE≌△NBF，∴ME＝NF＝3，在Rt△DME中，∵∠DEM＝90°，DE＝4，ME＝3，∴DM＝＝＝5，∴BN＝DM＝5.
18．(2016海東模擬)如圖是某區部分街道示意圖，其中CE垂直平分AF，AB∥DC，BC∥DF.從B站乘車到E站只有兩條路線有直接到達的公交車，路線1是B?D?A?E，路線2是B?C?F?E，請比較兩條路線路程的長短，并給出證明．
解：這兩條路線路程的長度一樣．理由如下：延長FD交AB于點G.∵BC∥DF，AB∥DC，∴四邊形BCDG是平行四邊形，∴DG＝CB.∵CE垂直平分AF，∴FE＝AE，DE∥AG，∴FD＝DG，∴CB＝FD.又∵BC∥DF，∴四邊形BCFD是平行四邊形，∴CF＝BD.∵CE垂直平分AF，∴AE＝FE，FD＝DA，∴BC＝DA，∴BD＋DA＋AE＝BC＋CF＋FE.
19．如圖(1)，在△OAB中，∠OAB＝90°，∠AOB＝30°，OB＝8，以OB為邊，在△OAB外作等邊△OBC，D是OB的中點，連接AD并延長交OC于E.
(1)求證：四邊形ABCE是平行四邊形；
(2)如圖(2)，將圖(1)中的四邊形ABCO折疊，使點C與點A重合，折痕為FG，求OG的長．
解：(1)∵Rt△OAB中，D為OB的中點，∴AD＝OB，OD＝BD＝OB，DO＝DA，∴∠DAO＝∠DOA＝30°，∴∠EOA＝∠DOC＋∠DOA＝90°，∴∠AEO＝60°，又∵△OBC為等邊三角形，∴∠BCO＝∠AEO＝60°，∴BC∥AE，∵∠BAO＝∠COA＝90°，∴CO∥AB，∴四邊形ABCE是平行四邊形；(2)OG＝1.
第六節　矩形、菱形、正方形
,青海五年中考命題規律)
年份
題型
題號
考查點
考查內容
分值
總分
2016
填空
11
菱形的性質
已知菱形的兩條對角線長，求菱形的高
2
解答
27
探究規律
由三角形外作正三角形、正四邊形、正五邊形、正n邊形探究規律
10
12
2015
解答
24
菱形的判定
以梯形為背景判菱形
8
8
2014
解答
27
探究規律
以正方形與直尺為背景，探究線段之間的關系或求線段比
8
8
2013
解答
27
探究規律
以正方形為背景探究規律
8
8
2012
解答
23
矩形的判定
(1)利用全等證線段相等；(2)判矩形
8
解答
27
探究規律
以正方形為背景，探究從特殊到一般的規律
10
18
命題規律
縱觀青海省中考，矩形、菱形、正方形為常考內容，最多設2道題，題型以解答題為主，且每年都有與之相關的探究的綜合應用，題目難度中等偏上
命題預測
預計2017年青海省中考，特殊四邊形的探究規律為必考題型，除此之外，還有可能另外設置特殊四邊形的計算與證明問題，應加強訓練
,青海省(西寧)五年中考真題)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　菱形(青海2次、西寧3次)
1．(2012西寧中考)如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AC＝12，BD＝16，E為AD的中點，點P在x軸上移動，小明同學寫出了兩個使△POE為等腰三角形的P點坐標(－5，0)和(5，0)，請你寫出其余所有符合這個條件的P點坐標__(8，0)或(，0)__．
(第1題圖)
　　　(第2題圖)
2．(2016青海中考)如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，且AC＝8，BD＝6，則菱形ABCD的高DH＝____．
3．(2016西寧中考)如圖，在菱形ABCD中，E，F分別是AD，BD的中點，若EF＝2，則菱形ABCD的周長是__16__．
4．(2012西寧中考)如圖，已知菱形ABCD，AB＝AC，E，F分別是BC，AD的中點，連接AE，CF.
(1)求證：四邊形AECF是矩形；
(2)若AB＝8，求菱形的面積．
解：(1)∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，又∵AB＝AC，E是BC的中點，∴AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∵E，F分別是BC，AD的中點，∴AF＝AD，EC＝BC，∴AF＝EC，在四邊形AECF中，AD∥BC，∴AF∥EC，∴AECF是平行四邊形．又∵∠AEC＝90°，∴四邊形AECF是矩形；(2)S菱形＝32.
5．(2016青海中考)如圖，梯形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，CE∥DA交AB于點E.
求證：四邊形ADCE是菱形．
證明：∵AB∥CD，CE∥DA，∴四邊形ADCE是平行四邊形．∵AC是∠DAB的平分線，∴∠DAC＝∠CAB.∵DC∥AE，∴∠DCA＝∠CAB，∴∠DAC＝∠DCA.∴DA＝DC，∴平行四邊形ADCE是菱形．
　矩形(青海1次、西寧2次)
6．(2012青海中考)已知，如圖，D是△ABC的邊AB上一點，CN∥AB，DN交AC于點M，MA＝MC.
(1)求證：CD＝AN；
(2)若∠AMD＝2∠MCD，求證：四邊形ADCN是矩形．
證明：(1)∵CN∥AB，∴∠DAC＝∠NCA，在△AMD和△CMN中，∴△AMD≌△CMN(ASA)，∴AD＝CN.又∵AD∥CN，∴四邊形ADCN是平行四邊形，∴CD＝AN；(2)∵∠AMD＝2∠MDC，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC.∴∠MCD＝∠MDC，∴MD＝MC，由①知四邊形ADCN是平行四邊形，∴MD＝MN＝MA＝MC，∴AC＝DN，∴四邊形ADCN是矩形．
　正方形(青海4次、西寧2次)
7．(2012西寧中考)如圖，E、F分別是正方形ABCD上的點，BE＝CF，連接AE、BF，將△ABE繞正方形的對角線交點O按順時針方向旋轉到△BCF，則旋轉角是(　D　)
A．45° B．120° C．60° D．90°
(第7題圖)
　　　(第8題圖)
8．(2014西寧中考)如圖，G是正方形ABCD對角線CA的延長線上任意一點，以線段AG為邊作一個正方形AEFG，線段EB和GD相交于點H.若AB＝，AG＝1，則EB＝____．
9．(2016青海中考節選)如圖1，分別以△ABC的AB和AC為邊向△ABC外作正三角形(等邊三角形)、正四邊形(正方形)、正五邊形，BE和CD相交于點O.
(1)在圖1中，求證：△ABE≌△ADC；
證明：∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠DAC＝∠BAE，∴△ABE≌△ADC(SAS)；
(2)由(1)證得△ABE≌△ADC，由此可推得在圖1中∠BOC＝120°.請你探索在圖2中∠BOC的度數，并說明理由或寫出證明過程．
解：∠BOC＝90°.證明如下：設AD與BE交于點G，∵∠BAD＝90°，∴∠ABE＋∠AGB＝90°.∵△ABE≌△ADC，∴∠ADC＝∠ABE，∴∠ADC＋∠AGB＝90°，而∠AGB＝∠DGO，∴∠DGO＋∠ADC＝90°，∴∠DOG＝90°，∴∠BOC＝90°.
10．(2014青海中考)請你認真閱讀下面的小探究系列，完成所提出的問題．
(1)如圖①，將角尺放在正方形ABCD上，使角尺的直角頂點E與正方形ABCD的頂點D重合，角尺的一邊交CB于點F，另一邊交BA的延長線于點G.求證：EF＝EG；
(2)如圖②，移動角尺，使角尺的頂點E始終在正方形ABCD的對角線BD上，其余條件不變，請你思考后直接回答EF和EG的數量關系：EF________EG；(選填“＝”或“≠”)
(3)運用(1)(2)解答中所積累的活動經驗和數學知識，完成下題：如圖③，將(2)中的“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，使角尺的一邊經過點A(即點G，A重合)，其余條件不變，若AB＝4，BG＝3，求的值．
解：(1)∵∠AEF＋∠AEG＝90°，∠AEF＋∠CEF＝90°，∴∠AEG＝∠CEF，又∵∠GAE＝∠C＝90°，EA＝EC，∴△EAG≌△ECF(ASA)，∴EG＝EF；(2)＝；(3)過點E作EM⊥AB于點M，作EN⊥BC于點N，則∠MEN＝90°，EM∥BC，EN∥AB，∴＝＝.∴＝＝，
又∵∠GEM＋∠MEF＝90°，∠FEN＋∠MEF＝90°，∴∠FEN＝∠GEM，∴Rt△GME∽Rt△FNE，則＝＝.
　　　　　　　　　　　,中考考點清單)
　矩形的性質與判定
1．定義：把有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形．如圖(1)．
2．性質
文字描述
字母表示[參考圖(1)]
(1)對邊平行且相等
AD綊BC，AB綊CD
(2)四個內角都是直角
__∠DAB__＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°
(3)兩條對角線相等且互相平分
AC＝__BD__，OA＝OC＝OB＝OD
(4)矩形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形
　　3.判定
文字描述
字母表示[參考圖(1)]
(1)有一個角是直角的平行四邊形是矩形
若四邊形ABCD是平行四邊形，且∠BAD＝90°，則四邊形ABCD是矩形
(2)有三個角是直角的四邊形是矩形
若∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°，則四邊形ABCD是矩形
(3)對角線相等的平行四邊形是矩形
若AC＝__BD__，且四邊形ABCD是平行四邊形，則四邊形ABCD是矩形
　菱形的性質與判定
圖(2)
4．定義：把有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．如圖(2)
5．性質
文字描述
字母表示[參考圖(2)]
(1)菱形四條邊都相等
AB＝__BC__＝CD＝DA
(2)對角相等
∠DAB＝∠DCB，
∠ADC＝__∠ABC__
(3)兩條對角線互相垂直，且每條對角線平分一組對角
__AC__⊥BD，∠DAC＝∠CAB＝∠DCA＝∠ACB，∠ADB＝∠BDC＝∠ABD＝∠DBC
(4)菱形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形
6．判定
文字描述
字母表示[參考圖(2)]
(1)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形
若四邊形ABCD是平行四邊形，且AD＝AB，則四邊形ABCD是菱形
(2)四條邊相等的四邊形是菱形
若AB＝BC＝CD＝DA，則四邊形ABCD是菱形
(3)兩條對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
若AC⊥BD，且四邊形ABCD是平行四邊形，則四邊形ABCD是菱形
　正方形的性質與判定
7．定義：有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形．如圖(3)
8．性質
文字描述
字母表示[參考圖(3)]
(1)四條邊都相等
即AB＝BC＝CD＝DA
(2)四個角都是90°
即∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝∠BAD＝90°
(3)對角線互相垂直平分且相等
即AC⊥__BD__，AO＝OC＝OD＝OB
(4)對角線平分一組對角
∠DAC＝∠CAB＝∠DCA＝∠ACB＝∠ADB＝∠BDC＝∠ABD＝∠DBC＝45°
(5)正方形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形
　　9.判定
文字描述
字母表示[參考圖(3)]
(1)一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形．
若四邊形ABCD是平行四邊形，且AB＝BC，∠ADC＝90°，則四邊形ABCD是正方形．
(2)有一角是直角的__菱形__是正方形．
若∠ABC＝90°且四邊形ABCD是菱形，則四邊形ABCD是正方形.
(3)有一組鄰邊相等的矩形是正方形．
若AB＝BC，且四邊形ABCD是矩形，則四邊形ABCD是正方形．
(4)對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形．
若四邊形ABCD中，AC⊥BD，AC平分BD，BD平分AC，AC＝BD，則四邊形ABCD是正方形.
對特殊的平行四邊形的判定理解不透徹
【例】如圖，在矩形ABCD中，M，N分別是AD，BC的中點，P，Q分別是BM，DN的中點．
(1)求證：△MBA≌△NDC；
(2)四邊形MPNQ是什么樣的特殊四邊形？
【錯解】(1)證明：在矩形ABCD中，AD＝BC，∵M，N分別是AD，BC的中點，∴AM＝AD，CN＝BC，∴AM＝CN，在△MAB和△NCD中，∴△MAB≌△NCD；
(2)四邊形MPNQ是平行四邊形．
【錯因分析】由于對特殊四邊形的判定方法理解不透徹，所以不能對問題進行深入的探究和挖掘．
【正解】(1)證明：在矩形ABCD中，AD＝BC，∵M，N分別是AD，BC的中點，∴AM＝AD，CN＝BC，∴AM＝CN，在△MAB和△NCD中，∴△MAB≌△NCD；
(2)四邊形MPNQ是菱形，理由如下：連接AP，易證A，P，N三點共線，且△ABN≌△BAM，∴AN＝BM，∵△MAB≌△NCD，∴BM＝DN，∵P、Q分別是BM、DN的中點，∴PM＝NQ，DQ＝BP，又易知DM＝BN，∠MDQ＝∠NBP，∴△MQD≌△NPB，∴MQ＝NP，∴四邊形MPNQ是平行四邊形，∵M是AD的中點，Q是DN的中點，∴MQ＝AN，∴MQ＝BM，∵MP＝BM，∴MP＝MQ，∴四邊形MQNP是菱形．
,中考重難點突破)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　矩形的判定與性質
【例1】如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC＝180°.
(1)求證：四邊形ABCD是矩形；
(2)若∠ADF∶∠FDC＝3∶2，DF⊥AC，則∠BDF的度數是多少？
【解析】(1)先由對角線互相平分證明四邊形ABCD是平行四邊形，再由對角相等及已知其和等于180°可得∠ABC＝90°，即可得出結論；(2)由∠ADF∶∠FDC＝3∶2，∠ADC＝90°，可求出∠FDC的度數，再由DF⊥AC可求得∠DCO的度數，又由OC＝OD可得∠ODC的度數，從而利用∠BDF＝∠ODC－∠FDC求解即可．
【學生解答】解：(1)∵AO＝CO，BO＝DO，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC＝∠ADC，∵∠ABC＝∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∴四邊形ABCD是矩形；(2)∵∠ADC＝90°，∠ADF∶∠FDC＝3∶2，∴∠FDC＝36°，∵DF⊥AC，∴∠DCO＝90°－36°＝54°，∵四邊形ABCD是矩形，∴OC＝OD，∴∠ODC＝∠DCO＝54°，∴∠BDF＝∠ODC－∠FDC＝18°.
1．(2016成都中考)如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，對角線AC，BD相交于點O，AE垂直平分OB于點E，則AD的長為__3__．
(第1題圖)
　　　(第2題圖)
2．(2016廣東中考)如圖，在矩形ABCD中，對角線AC＝2，點E為BC邊上一點，BC＝3BE，將矩形ABCD沿AE所在的直線折疊，點B恰好落在對角線AC上的點B′處，則AB＝____．
　菱形的相關計算
【例2】如圖，在菱形紙片ABCD中，∠A＝60°，折疊菱形紙片ABCD，使點C落在DP(P為AB中點)所在的直線上，得到經過點D的折痕DE.求∠DEC的大小．
(例2題圖)
　　(例2題解圖)
【解析】如解圖，連接BD，∵四邊形ABCD為菱形，∠A＝60°，∴△ABD為等邊三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°，∵P為AB的中點，∴DP為∠ADB的平分線，即∠ADP＝∠BDP＝30°，∴∠PDC＝90°，∴由折疊的性質得到∠CDE＝∠PDE＝45°，在△DEC中，∠DEC＝180°－(∠CDE＋∠C)＝75°.
【學生解答】解：∠DEC＝75°.
3．(2016杭州中考)在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面內，以對角線BD為底邊作頂角為120°的等腰三角形BDE，則∠EBC的度數為__45°或105°__．
4．(2016陜西中考)如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2.點P是這個菱形內部或邊上的一點，若以點P，B，C為頂點的三角形是等腰三角形，則P，D(P，D兩點不重合)兩點間的最短距離為__2－2__.
　正方形的相關計算
【例3】(2017中考預測)如圖，在正方形ABCD和正方形CEFG中，點D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中點，求CH的長．
(例3題圖)
　　　(例3題解圖)
【解析】連接AC、CF，則在正方形ABCD和正方形CEFG中，∠ACG＝∠FCG＝45°，所以△ACF是直角三角形，AF為斜邊，又∵H是AF的中點，所以CH＝AF，延長AD交FE于M點，則Rt△AMF中，AM＝1＋3＝4，MF＝3－1＝2，根據勾股定理，得AF＝2，所以CH＝.
【學生解答】解：CH的長為.
5．(2016廣東中考)如圖，正方形ABCD的面積為1，則以相鄰兩邊中點的連線EF為邊的正方形EFGH的周長為(　B　)
A. B．2
C.＋1 D．2＋1
(第5題圖)
　　　(第6題圖)
6．(2016天津中考)如圖，在正方形ABCD中，點E，N，P，G分別在邊AB，BC，CD，DA上，點M，F，Q都在對角線BD上，且四邊形MNPQ和AEFG均為正方形，則的值等于____．
第六節　矩形、菱形、正方形
1．(2016益陽中考)下列判斷錯誤的是(　D　)
A．兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
B．四個內角都相等的四邊形是矩形
C．四條邊都相等的四邊形是菱形
D．兩條對角線垂直且平分的四邊形是正方形
2．(2015江西中考)如圖，小賢為了體驗四邊形的不穩定性，將四根木條用釘子釘成一個矩形框架ABCD，B與D兩點之間用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭動框架，觀察所得四邊形的變化．下面判斷錯誤的是(　C　)
　 　　　　　 　　　　　 　　　　
A．四邊形ABCD由矩形變為平行四邊形
B．BD的長度增大
C．四邊形ABCD的面積不變
D．四邊形ABCD的周長不變
(第2題圖)
　　　(第3題圖)
3．(2016寧夏中考)菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E，F分別是AD，CD邊上的中點，連接EF.若EF＝，BD＝2，則菱形ABCD的面積為(　A　)
A．2 B. C．6 D．8
4．(2015江西中考)紙片?ABCD中，AD＝5，S?ABCD＝15.過點A作AE⊥BC，垂足為E，沿AE剪下△ABE，將它平移至△DCE′的位置，拼成四邊形AEE′D，則四邊形AEE′D的形狀為(　C　)
A．平行四邊形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
(第4題圖)
　　　(第5題圖)
5．(2016眉山中考)把邊長為3的正方形ABCD繞點A順時針旋轉45°得到正方形AB′C′D′，邊BC與D′C′交于點O，則四邊形ABOD′的周長是(　A　)
A．6 B．6 C．3 D．3＋3
6．(2016鄂州中考)如圖，菱形ABCD的邊AB＝8，∠B＝60°，P是AB上一點，BP＝3，Q是CD邊上一動點，將梯形APQD沿直線PQ折疊，A的對應點A′.當CA′的長度最小時，CQ的長為(　B　)
A．5 B．7 C．8 D.
(第6題圖)
　　　(第7題圖)
7．(2016內江中考)如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AC＝8，BD＝6，OE⊥BC，垂足為點E，則OE＝____．
8．(2016東營中考)如圖，折疊矩形ABCD的一邊AD，使點D落在BC的點F處，已知折痕AE＝5 cm，且tan∠EFC＝，那么矩形ABCD的周長為__36__cm.
(第8題圖)
　　　(第9題圖)
9．(2016哈爾濱中考)如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，點E，F分別在邊AB，BC上，△BEF與△GEF關于直線EF對稱，點B的對稱點是點G，且點G在邊AD上．若EG⊥AC，AB＝6，則FG的長為__3__．
10．(2016哈爾濱中考)已知：如圖，在正方形ABCD中，點E在邊CD上，AQ⊥BE于點Q，DP⊥AQ于點P.
(1)求證：AP＝BQ；
(2)在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖中四對線段，使每對中較長線段與較短線段長度的差等于PQ的長．
解：(1)∵四方形ABCD是正方形，∴AD＝BA，∠BAD＝90°，即∠BAQ＋∠DAP＝90°，∵DP⊥AQ，∴∠ADP＋∠DAP＝90°，∴∠BAQ＝∠ADP，∵AQ⊥BE于點Q，DP⊥AQ于點P，∴∠AQB＝∠DPA＝90°，∴△AQB≌△DPA(AAS)，∴AP＝BQ；(2)①AQ－AP＝PQ；②AQ－BQ＝PQ；③DP－AP＝PQ；④DP－BQ＝PQ.
11．(2016宿遷中考)如圖，把正方形紙片ABCD沿對邊中點所在的直線對折后展開，折痕為MN，再過點B折疊紙片，使點A落在MN上的點F處，折痕為BE.若AB的長為2，則FM的長為(　B　)
A．2 B. C. D．1
(第11題圖)
　　　(第12題圖)
12．(2016黑龍江中考)如圖，在正方形ABCD中，E，F分別為BC，CD的中點，連接AE，BF交于點G，將△BCF沿BF對折，得到△BPF，延長FP交BA延長線于點Q，下列結論正確的個數是(　B　)
①AE＝BF；②AE⊥BF；③sin∠BQP＝；④S四邊形ECFG＝2S△BGE.
A．4 B．3 C．2 D．1
13．(2016銀川中考)如圖，矩形ABCD中，M為CD中點，以點B，M為圓心，分別以BC長，MC長為半徑畫弧，兩弧相交于點P.若∠PMC＝110°，則∠BPC的度數為__55°__．
(第13題圖)
　　　　(第14題圖)
14．(2015涼山中考)菱形OBCD平面直角坐標系中的位置如圖所示，頂點B(2，0)，∠DOB＝60°，點P是對角線OC上一個動點，E點為(0，－1)，當EP＋BP最短時，點P的坐標為__(2－3，2－)__．
15．(2016畢節中考)如圖，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC繞A點沿順時針方向旋轉得到△ADE，連接BD，CE交于點F.
(1)求證：△AEC≌△ADB；
(2)若AB＝2，∠BAC＝45°，當四邊形ADFC是菱形時，求BF的長．
解：(1)∵△ABC≌△ADE且AB＝AC，∴AE＝AD，AC＝AB，∠BAC＋∠BAE＝∠DAE＋∠BAE，∴∠CAE＝∠BAD，∴∴△AEC≌△ADB(SAS)；(2)∵四邊形ADFC是菱形，且∠BAC＝45°，∴∠DBA＝∠BAC＝45°，又由(1)有AB＝AD，∴∠DBA＝∠BDA＝45°，∴△ABD是直角邊為2的等腰直角三角形，∴BD2＝2AB2，BD＝2，又四邊形ADFC是菱形，∴AD＝DF＝FC＝AC＝AB＝2，∴BF＝BD－DF＝2－2.
16．(2016百色中考)如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，∠B＝60°，G是CD的中點，E是邊AD上的動點，EG的延長線與BC的延長線交于點F，連接CE，DF.
(1)求證：四邊形CEDF是平行四邊形；
(2)①求AE＝________cm時，四邊形CEDF是矩形；
②當AE＝________cm時，四邊形CEDF是菱形．(直接寫出答案)
解：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CF∥ED，∴∠FCG＝∠EDG，∵G是CD的中點，∴CG＝DG，在△FCG和△EDG中，∴△FCG≌△EDG(ASA)，∴FG＝EG，∵CG＝DG，∴四邊形CEDF是平行四邊形；(2)①3.5；②2.
17．(2016永州中考)如圖，在矩形ABCD中，點E在邊CD上，將該矩形沿AE折疊，使點D落在邊BC上的點F處，過F作FG∥CD，交AE于點G，連接DG.
(1)求證：四邊形DEFG為菱形；
(2)若CD＝8，CF＝4，求的值．
解：(1)由軸對稱性質得：∠1＝∠2，ED＝EF，GD＝GF.∵FG∥CD，∴∠1＝∠3，則∠2＝∠3，∴FE＝FG.如圖，∴ED＝EF＝GD＝GF.∴四邊形DEFG為菱形；(2)設DE＝x，由軸對稱得FE＝DE＝x，EC＝8－x，在Rt△EFC中，FC2＋EC2＝EF2，即42＋(8－x)2＝x2.解得x＝5，CE＝8－x＝3.∴＝.
18．(2016玉林中考)如圖，將?ABCD的邊DC延長到點E，使CE＝DC，連接AE，交BC于點F.
(1)求證：△ABF≌△ECF；
(2)若∠AFC＝2∠D，連接AC，BE，求證：四邊形ABEC是矩形．
證明：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，AB＝DC，∴∠ABF＝∠ECF.∵EC＝DC，∴AB＝EC.在△ABF和△ECF中，∵∠ABF＝∠ECF，∠AFB＝∠EFC，AB＝EC，∴△ABF≌△ECF；(2)∵AB＝EC，AB∥EC，∴四邊形ABEC是平行四邊形，∴FA＝FE，FB＝FC.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC＝∠D.又∵∠AFC＝2∠D，∴∠AFC＝2∠ABC.∵∠AFC＝∠ABC＋∠BAF，∴∠ABC＝∠BAF，∴FA＝FB，∴FA＝FE＝FB＝FC，∴AE＝BC，∴四邊形ABEC是矩形．
第四節　尺規作圖
,青海五年中考命題規律)
年份
地區
題型
題號
考查點
考查內容
分值
總分
命題規律
縱觀青海省五年中考．此考點沒有考查．本著學以致用的原則，此考點不能忽略．
命題預測
預計2017年青海中考尺規作圖可能會作為考查內容，題型以尺規作圖與幾何計算結合考查.
　　　　　　　　　
,中考考點清單)
　尺規作圖
尺規作圖為近2年各省市的必考點，題型多為選擇題、填空、解答題，主要考查五種常見的基本作圖的作法及作圖痕跡．
六種尺規作圖
六種尺規作圖
步驟
圖示
作一條線段OA等于已知線段a
(1)作射線OP；
(2)在OP上截取OA＝a，OA即為所求線段．
作∠AOB的平分線OP
(1)以O為圓心，任意長為半徑作弧，分別交OA，OB于點M，N；
(2)分別以點M，N為圓心，以大于MN長為半徑作弧，兩弧相交于點P；
(3)過點O作射線OP，OP即為∠AOB的平分線．
作線段AB的垂直平分線MN
(1)分別以點A，B為圓心，以大于AB長為半徑，在AB兩側作弧，分別交于點M和點N；
(2)過點M，N作直線MN，直線MN即為線段AB的垂直平分線．
續表
作一個角 ∠A′O′B′等于∠α
(1)在∠α上以O為圓心，以任意長為半徑作弧，交∠α的兩邊于點P，Q；
(2)作射線O′A′；
(3)以O′為圓心，OP長為半徑作弧，交O′A′于點M；
(4)以點M為圓心，PQ長為半徑作弧交(3)中所作的弧于點N；
(5)過點N作射線O′B′，∠A′O′B′即為所求角．
作直線l的垂線
過直線上一點
O作直線l的
垂線MN
(1)以點O為圓心，任意長為半徑向點O兩側作弧，分別交直線l于A，B兩點；
(2)分別以點A，B為圓心，以大于AB的長為半徑向直線兩側作弧，兩弧分別交于點M，N，過點M，N作直線MN，則直線MN即為所求垂線．
過直線l外一
點P作直線l
的垂線PN
(1)在直線另一側取點M；
(2)以點P為圓心，PM為半徑畫弧，分別交直線l于A，B兩點；
(3)分別以A，B為圓心，以大于AB為半徑畫弧，交M同側于點N；
(4)過點P，N作直線PN，則直線PN即為所求垂線．
,中考重難點突破)
　尺規作圖
【例】(2014辰溪模擬)已知⊙O外一點P，過點P作出⊙O的一條切線(只有圓規和三角板這兩種工具)．以下是甲、乙兩同學的作業：
甲：1.連接OP，作OP的垂直平分線l，交OP于點A；
2．以點A為圓心，OA為半徑畫弧，交⊙O于點M；
3．作直線PM，則直線PM即為所求(如圖①)．
乙：1.讓直角三角形板的一條直角邊始終經過點P；
2．調整直角三角板的位置，讓它的另一條直角邊過圓心O，直角頂點落在⊙O上，記這時直角頂點的位置為點M；
3．作直線PM，則直線PM即為所求(如圖②)．
對于兩人的作業，下列說法正確的是(　　)
A．甲對，乙不對　　　B．甲不對，乙對
C．兩人都對 D．兩人都不對
【解析】甲同學如解圖①連接OM，MA，∵作OP的垂直平分線l交OP于點A，∴OA＝AP，∵以點A為圓心，OA為半徑畫弧，交⊙O于點M，∴OA＝MA＝AP，∴∠O＝∠AMO，∠AMP＝∠MPA，∴∠OMA＋∠AMP＝∠O＋∠MPA＝90°，∴OM⊥MP，∴MP是⊙O的切線．
乙同學如解圖②，∵直角三角板的一條直角邊始終經過點P，它的另一條直角邊過圓心O，直角頂點落在⊙O上，∴∠OMP＝90°，∴MP是⊙O的切線．
故兩位同學的作法都正確．
【學生解答】C
1．(2016湖州中考)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8.分別以點A，B為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于點D，F.過點E，F作直線EF，交AB于點D，連接CD，則CD的長是__5__．
2．(2016河北中考)如圖，已知鈍角三角形ABC，依下列步驟尺規作圖，并保留作圖痕跡．
步驟1：以C為圓心，CA為半徑畫弧①；
步驟2：以B為圓心，BA為半徑畫弧②，交弧①于點D；
步驟3：連接AD，交BC的延長線于點H.下列敘述正確的是(　A　)
A．BH垂直平分線段AD 　　B．AC平分∠BAD
C．S△ABC＝BC·AH 　　D．AB＝AD
3．(2017中考預測)如圖，下面是利用尺規作∠AOB的平分線OC的
作法：①以O為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點D，E；②分別以D，E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內交于一點C；③畫射線OC，射線OC就是∠AOB的平分線．在用尺規作角平分線過程中，用到的三角形全等的判定方法是(　C　)
A．ASA　　　B．SAS　　　C．SSS　　　D．AAS
4．(2016深圳中考)如圖，在?ABCD中，AB＝3，BC＝5，以點B為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交BA，BC于點P，Q，再分別以點P，Q為圓心，以大于PQ的長為半徑作弧，兩弧在∠ABC內交于點M，連接BM并延長交AD于點E，則DE的長為__2__．
5．(2016北京中考)下面是“經過已知直線外一點作這條直線的垂線”的尺規作圖過程．
已知：直線l和l外一點P.
求作：直線l的垂線，使它經過點P.
作法：如圖，
(1)在直線l上任取兩點A，B；
(2)分別以點A，B為圓心，AP，BP長為半徑作弧，兩弧相交于點Q；
(3)作直線PQ.
所以直線PQ就是所求作的垂線．
請回答：該作圖的依據是__到線段兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上__．
6．(2015百色中考)如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝70°，分別以點A，C為圓心，大于AC的長為半徑作弧，兩弧相交于點M，N，作直線MN，分別交AC，BC于點D，E，連接AE，則∠AED的度數是__50__°.
7．(2015懷化二模)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.
(1)先作∠ABC的平分線交AC邊于點O，再以點O為圓心，OC為半徑作⊙O；(要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)
(2)請你判斷(1)中AB與⊙O的位置關系，并證明你的結論．
解：(1)略；(2)AB與⊙O相切，證明如下：過點O作OE⊥AB，E為垂足，∵BO平分∠ABC，OC⊥BC，OE⊥AB，∴OE＝OC＝r，∴AB與⊙O相切．
8．(2015懷化中考)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2.
(1)求作⊙O，使它過點A，B，C；(要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)
(2)在(1)所作的圓中，求出劣弧的長l.
解：(1)略；(2)π.
第四節　尺規作圖
1．(2016德州中考)如圖，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分別以點A和點C為圓心，大于AC的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，作直線MN，交BC于點D，連接AD.則∠BAD的度數為(　A　)
A．65°　　　B．60°　　　C．55°　　　D．45°
(第1題圖)
　　　(第2題圖)
2．(2016宜昌中考)任意一條線段EF，其垂直平分線的尺規作圖痕跡如圖所示，若連接EH，HF，FG，GE，則下列結論中，不一定正確的是(　B　)
A．△EGH為等腰三角形
B．△EGF為等邊三角形
C．四邊形EGFH為菱形
D．△EHF為等腰三角形
3．觀察圖中尺規作圖痕跡，下列結論錯誤的是(　C　)
A．PQ為∠APB的平分線
B．PA＝PB
C．點A，B到PQ的距離不相等
D．∠APQ＝∠BPQ
4．(2016蘭州中考)如圖，已知⊙O，用尺規作⊙O的內接正四邊形ABCD.(寫出結論，不寫作法，保留作圖痕跡，并把作圖痕跡用黑色簽字筆描黑)
解：如圖，四邊形ABCD即為所求．
5．(2017中考預測)如圖，已知△ABC(AC＜BC)，用尺規在BC上確定一點P，使PA＋PC＝BC，則符合要求的作圖痕跡是(　D　)
,A) ,B)
,C) ,D)
6．(2016中考改編)已知，如圖，直線MN交⊙O于A，B兩點，AC是直徑，AD平分∠CAM交⊙O于點D.
(1)利用尺規作圖，作出D到MN的距離；(保留作圖痕跡，不寫作法)
(2)求證：DE是⊙O的切線；
(3)若DE＝6 cm，AE＝3 cm，求AB的長．
略
7．(2016陜西中考)如圖，已知△ABC，∠BAC＝90°，請用尺規過點A作一條直線，使其將△ABC分成兩個相似的三角形．(保留作圖痕跡，不寫作法)
解：如圖，直線AD即為所求．
8．(2016廣東中考)如圖，已知在△ABC中，點D為AB的中點．
(1)請用尺規作圖法作邊AC的中點E，并連接DE；(保留作圖痕跡，不要求寫作法)
(2)在(1)的條件下，若DE＝4，求BC的長．
解：(1)作AC的垂直平分線MN，交AC于點E，圖略；(2)BC＝2DE＝8.
階段測評(四)　圖形的初步認識與三角形、四邊形
(時間：45分鐘　總分：100分)
一、選擇題(每小題4分，共36分)
1．(2016白銀中考)八邊形的內角和等于(　B　)
　 　　　　　 　　　　　 　　　　
A．360° B．1 080° C．1 440° D．2 160°
2．(2016達州中考)如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，連接AC，∠DAC＝∠BAC，若BC＝4，AD＝5，則AB的長度是(　C　)
A．6 B．7 C．8 D．9
3．(2016攀枝花中考)下列關于矩形的說法中正確的是(　B　)
A．對角線相等的四邊形是矩形
B．矩形的對角線相等且互相平分
C．對角線互相平分的四邊形是矩形
D．矩形的對角線互相垂直平分
4．(2016荊門中考)如圖，在矩形ABCD中(AD>AB)，點E是BC上一點，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足為點F，在下列結論中，不一定正確的是(　B　)
A．△AFD≌△DCE B．AF＝AD
C．AB＝AF D．BE＝AD－DF
(第4題圖)
　　　(第5題圖)
5．(2016蘭州中考)如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝2，DE＝2，則四邊形OCED的面積為(　A　)
A．2 B．4 C．4 D．8
6．(2016陜西中考)如圖，在正方形ABCD中，連接BD，點O是BD的中點，若M，N是邊AD上的兩點，連接MO，NO，并分別延長交邊BC于兩點M′，N′，則圖中的全等三角形共有(　C　)
A．2對 B．3對 C．4對 D．5對
(第6題圖)
　　　(第7題圖)
7．(2016淄博中考)如圖，正方形ABCD的邊長為10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，連接GH，則線段GH的長為(　B　)
A.　B．2　C.　D．10－5
8．(2016荊州中考)如圖，用黑白兩種顏色的菱形紙片，按黑色紙片數逐漸增加1的規律拼成下列圖案，若第n個圖案中有2 017個白色紙片，則n的值為(　B　)
A．671 B．672 C．673 D．674
9．(2015德州中考)如圖，AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，得到下面四個結論：①OA＝OD；②AD⊥EF；③當∠A＝90°時，四邊形AEDF是正方形；④AE2＋DF2＝AF2＋DE2.其中正確的是(　D　)
A．②③　 B．②④　 C．①③④　 D．②③④
二、填空題(每小題4分，共20分)
10．(2015江西中考)如圖，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA＝OB.則圖中有__3__對全等三角形．
,(第10題圖)) ,(第11題圖))
11．(2015紹興中考)由于木質衣架沒有柔性，在掛置衣服的時候不太方便操作．小敏設計了一種衣架，在使用時能輕易收攏，然后套進衣服后松開即可．如圖(1)，衣架桿OA＝OB＝18 cm，若衣架收攏時，∠AOB＝60°，如圖(2)，則此時A，B兩點之間的距離是__18__cm.
12．(2015武漢中考)如圖，∠AOB＝30°，點M，N分別在邊OA，OB上，且OM＝1，ON＝3，點P，Q分別在邊OB，OA上，則MP＋PQ＋QN的最小值是____．
13．(2016黔南中考)如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E是AB的中點，直線l平行于直線EC，且直線l與直線EC之間的距離為2，點F在矩形ABCD邊上，將矩形ABCD沿直線EF折疊，使點A恰好落在直線l上，則DF的長為__2或4－2__．
(第13題圖)
　　　(第14題圖)
14．(2016遵義中考)如圖所示，如果以正方形ABCD的對角線AC為邊作第二個正方形ACEF，再以AE為邊作第三個正方形AEGH，…已知正方形ABCD的面積S1＝1，按上述方法所作的正方形的面積依次為S2，S3，…，Sn(n為正整數)，那么第10個正方形面積S10＝__512__．
三、解答題(共44分)
15．(6分)(2016內江中考)如圖所示，△ABC中，D是BC邊上一點，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交CE的延長線于F，且AF＝BD，連接BF.
(1)求證：D是BC的中點；
(2)若AB＝AC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結論．
證明：(1)∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE, ∵點E為AD的中點，∴AE＝DE，在△AEF和△DEC中，∴△AEF≌△DEC(AAS)，∴AF＝DC，∵AF＝BD，∴BD＝DC，即D是BC的中點；(2)若AB＝AC，則四邊形AFBD是矩形．理由如下：∵AF∥BD，AF＝BD，∴四邊形AFBD是平行四邊形，∵AB＝AC，BD＝CD，∴∠ADB＝90°，∴平行四邊形AFBD是矩形．
16．(8分)(2016聊城中考)如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，點E是AC的中點，AC＝2AB，∠BAC的平分線AD交BC于點D，作AF∥BC，連接DE并延長交AF于點F，連接FC.
求證：四邊形ADCF是菱形．
證明：∵AF∥CD，∴∠AFE＝∠CDE，在△AFE和△CDE中，∴△AEF≌△CED，∴AF＝CD，∵AF∥CD，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵∠B＝90°，∴∠ACB＝30°，∴∠CAB＝60°，∵AD平分∠CAB，∴∠DAC＝∠DAB＝30°＝∠ACD，∴DA＝DC，∴四邊形ADCF是菱形．
17．(8分)(2016孝感中考)如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，∠CAB＝∠ACB，過點B作BE⊥AB交AC于點E.
(1)求證：AC⊥BD；
(2)若AB＝14，cos∠CAB＝，求線段OE的長．
解：(1)∵∠CAB＝∠ACB，∴AB＝CB，∴?ABCD是菱形．∴AC⊥BD；(2)在Rt△AOB中，cos∠OAB＝＝，AB＝14，∴AO＝14×＝，在Rt△ABE中，cos∠EAB＝＝，AB＝14，∴AE＝AB＝16，∴OE＝AE－AO＝16－＝.
18．(10分)(2017中考預測)如圖，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC繞點A按順時針方向旋轉得到的，連接BE，CF相交于點D.
(1)求證：BE＝CF；
(2)當四邊形ACDE為菱形時，求BD的長．
解：(1)由旋轉可知，∠EAF＝∠BAC，AF＝AC，AE＝AB.∴∠EAF＋∠BAF＝∠BAC＋∠BAF，即∠BAE＝∠CAF.又∵AB＝AC，∴AE＝AF.∴△ABE≌△ACF.∴BE＝CF；(2)∵四邊形ACDE是菱形，AB＝AC＝1，∴AC∥DE，DE＝AE＝AB＝1.又∵∠BAC＝45°，∴∠AEB＝∠ABE＝∠BAC＝45°.又∵∠AEB＋∠BAE＋∠ABE＝180°，∴∠BAE＝90°，∴BE＝＝＝，∴BD＝BE－DE＝－1.
19．(12分)(2016西寧七中模擬)如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD＝AC.
(1)求證：AD＝BC；
(2)若E，F，G，H分別是AB，CD，AC，BD的中點，求證：線段EF與線段GH互相垂直平分．
證明：(1)過點B作BM∥AC交DC的延長線于點M，∵AB∥CD，∴四邊形ABMC為平行四邊形．∴AC＝BM＝BD，∠BDC＝∠M＝∠ACD.在△ACD和△BDC中，，∴△ACD≌△BDC，∴AD＝BC；(2)連接EH，HF，FG，GE，∵E，F，G，H分別是AB，CD，AC，BD的中點，∴HE∥AD，且HE＝AD，FG∥AD，且FG＝AD，∴四邊形HFGE為平行四邊形，由(1)知，AD＝BC，∴HE＝EG，∴?HFGE為菱形，∴EF與GH互相垂直平分．

展開更多......

收起↑