資源簡介

第五章　圖形的相似與解直角三角形
第一節　圖形的相似與位似
,青海五年中考命題規律)
年份
題型
題號
考查點
考查內容
分值
總分
2016
解答
25
相似三角形性質與判定
以圓為背景，證明等積式成立
3
3
2015
選擇
15
相似三角形
以平行四邊形為背景，判兩個三角形相似，求對應邊的比
3
3
2014
填空
5
相似三角形的應用
利用相似三角形測水塔的高
2
2
2013
填空
11
相似三角形的應用
利用相似三角形測旗桿的高度
2
2
2012
填空
10
相似三角形的應用
利用相似三角形測樓高
2
2
命題規律
縱觀青海省五年中考考查相似三角形的應用3次，相似三角形的判定與性質一次都以填空題或選擇題的形式出現，對于相似三角形的判定與性質綜合應用一般與函數、圓、四邊形結合，以解答題形式呈現，難度較高
命題預測
預計2017年青海省中考仍有一道小題涉及到相似三角形的應用；其判定與性質與函數結合應用
,青海省(西寧)五年中考真題)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　相似三角形的判定與性質(青海1次、西寧0次)
1．(2015青海中考)如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是邊AD上一點，且AE＝2ED，EC交對角線BD于點F，則＝(　A　)
A. B. C. D.
　相似三角形的實際應用(青海3次、西寧0次)
2．(2012青海中考)如圖，利用標桿BE測量建筑物的高度，標桿BE高1.5 m，測得AB＝2 m，BC＝14 m，則樓高CD為__12__m.
(第2題圖)
　　　(第3題圖)
3．(2014青海中考)如圖，為了測量一水塔的高度，小強用2 m的竹竿做測量工具，移動竹竿，使竹竿、水塔的頂端的影子恰好落在地面的同一點．此時，竹竿與這一點相距8 m，與水塔相距32 m，則水塔的高度為__10__m.
4．(2013青海中考)如圖，小明在測量旗桿高度的實踐活動中，發現地面上有一灘積水，他剛好能從積水中看到旗桿的頂端，測得積水與旗桿底部距離CD＝6 m，他與積水的距離BC＝1 m，他的眼睛距地面AB＝1.5 m，則旗桿的高度DE＝__9__m.
(第4題圖)
　　　(第5題圖)
5．(2011青海中考)如圖，△ABC是一塊銳角三角形的材料，邊BC＝120 mm，高AD＝80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上，這個正方形零件的邊長是__48__mm.
6．(2016西寧九年級調研測試二)如圖，在?ABCD中，AE⊥BC于點E，AF⊥CD于點F，BD與AE，AF分別相交于點G，H.
(1)求證：△ABE∽△ADF；
(2)若AG＝AH，求證：四邊形ABCD是菱形．
證明：(1)∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABE＝∠ADF，∴△ABE∽△ADF；(2)∵AG＝AH，∴∠AGH＝∠AHG，∴∠BGE＝∠DHF，∵∠AEB＝∠AFD＝90°，∴∠DBC＝∠BDC，∴BC＝CD.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是菱形．
7．(2016青海中考)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，△ACD沿AD折疊，使得點C落在斜邊AB上的點E處．
(1)求證：△BDE∽△BAC；
(2)已知AC＝6，BC＝8，求線段AD的長度．
解：(1)∵將△ACD沿AD折疊得到△AED，∴∠AED＝∠BED＝∠ACD＝90°，∵∠DBE＝∠ABC，∴△BDE∽△BAC；(2)AD＝3.
,中考考點清單)
　比例的相關概念及性質
1．線段的比：兩條線段的比是兩條線段的__長度__之比．
2．比例中項：如果＝，即b2＝__ac__，我們就把b叫做a，c的比例中項．
3．比例的性質
性質1
＝?__ad__＝bc(a、b、c、d≠0)．
性質2
如果＝，那么＝.
性質3
如果＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0)，則＝__(不唯一)__.
　　4.黃金分割：如果點C把線段AB分成兩條線段，使＝____，那么點C叫做線段AC的__黃金分割點__，AC是BC與AB的比例中項，AC與AB的比叫做__黃金比__．
　相似三角形的判定及性質
5．定義：對應角__相等__，對應邊__成比例__的兩個三角形叫做相似三角形，相似三角形對應邊的比叫做相似比．
6．性質：
(1)相似三角形的__對應角__相等；
(2)相似三角形的對應線段(邊、高、中線、角平分線)成比例；
(3)相似三角形的周長比等于__相似比__，面積比等于__相似比的平方__．
7．判定：
(1)__有兩角__對應相等，兩三角形相似；
(2)兩邊對應成比例且__夾角__相等，兩三角形相似；
(3)三邊__對應成比例__，兩三角形相似；
(4)兩直角三角形的斜邊和一條直角邊__對應成比例__，兩直角三角形相似．
【方法技巧】判定三角形相似的幾條思路：
(1)條件中若有平行線，可采用相似三角形的判定(1)．
(2)條件中若有一對等角，可再找一對等角[用判定(1)]或再找夾邊成比例[用判定(2)]．
(3)條件中若有兩邊對應成比例，可找夾角相等．
(4)條件中若有一對直角，可考慮再找一對等角或證明斜邊、直角邊對應成比例．
(5)條件中若有等腰條件，可找頂角相等，可找一個底角相等，也可找底和腰對應成比例．
【易錯警示】應注意相似三角形的對應邊成比例，若已知△ABC∽△DEF，列比例關系式時，對應字母的位置一定要寫正確，才能得到正確的答案．
如：＝，此式正確．那么想一想，哪種情況是錯誤的呢？請舉例說明．
　相似多邊形
8．定義：對應角__相等__，對應邊__成比例__的兩個多邊形叫做相似多邊形，相似多邊形對應邊的比叫做它們的相似比．
9．性質：
(1)相似多邊形的對應邊__成比例__；
(2)相似多邊形的對應角__相等__；
(3)相似多邊形周長的比__等于__相似比，相似多邊形面積的比等于__相似比的平方__．
　位似圖形
10．定義：如果兩個圖形不僅是相似圖形而且每組對應點所在的直線都經過同一個點，那么這樣的兩個圖形叫做__位似圖形__，這個點叫做__位似中心__，相似比叫做位似比．
11．性質：
(1)在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于__k或－k__；
(2)位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于__位似比或相似比__．
12．找位似中心的方法：將兩個圖形的各組對應點連接起來，若它們的直線或延長線相交于一點，則該點即是__位似中心__．
13．畫位似圖形的步驟：
(1)確定__位似中心__；
(2)確定原圖形的關鍵點；
(3)確定__位似比__，即要將圖形放大或縮小的倍數；
(4)作出原圖形中各關鍵點的對應點；
(5)按原圖形的連接順序連接所作的各個對應點．
,中考重難點突破)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　相似三角形的判定與性質
【例1】如圖，M為線段AB的中點，AE與BD交于點C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于點F，ME交BC于點G.
(1)寫出圖中兩對相似三角形并證明其中的一對；
(2)請連接FG，如果α＝45°，AB＝4，AF＝3，求FG的長．
【學生解答】解：(1)略；(2)FG的長為.
【點撥】(1)兩角對應相等的兩個三角形是相似三角形；(2)由相似三角形性質求BG的長，由AB的長可求AC，BC的長，在Rt△FCG中由勾股定理求FG的長．
1．(2016江西中考)如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長均相等，網格中三個多邊形(分別標記①，②，③)的頂點均在格點上，被一個多邊形覆蓋的網格線中，豎直部分線段長度之和記為m，水平部分線段長度之和記為n，則這三個多邊形中滿足m＝n的是(　C　)
A．只有② B．只有③
C．②③ D．①②③
2．(2016廣安中考)如圖，三個正方形的邊長分別為2、6、8，則圖中陰影部分的面積為__21__．
3．(2016杭州中考)如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，∠AED＝∠B，射線AG分別交線段DE，BC于點F，G，且＝.
(1)求證：△ADF∽△ACG；
(2)若＝，求的值．
解：(1)∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，∴∠ADF＝∠C，又∵＝，∴△ADF∽△ACG；(2)∵△ADF∽△ACG，∴＝，又∵＝，∴＝，∴＝1.
　位似圖形
【例2】(2015懷化模擬)如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點O在坐標原點，邊OA在x軸上，OC在y軸上，如果矩形OA′B′C′與矩形OABC關于點O位似，且矩形OA′B′C′的面積等于矩形OABC的面積的，那么點B′的坐標是(　　)
A．(－2，3)
B．(2，－3)
C．(3，－2)或(－2，3)
D．(－2，3)或(2，－3)
【學生解答】D
【點撥】在第二象限與第四象限分別能畫出符合條件的矩形OA′B′C′.
4．(2016十堰中考)如圖，以點O為位似中心，將△ABC縮小后得到△A′B′C′，已知OB＝3OB′，則△A′B′C′與△ABC的面積比為(　D　)
A．1∶3 B．1∶4
C．1∶8 D．1∶9
5．(2016德州中考)對于平面圖形上的任意兩點P，Q，如果經過某種變換得到新圖形上的對應點P′，Q′，保持PQ＝P′Q′，我們把這種變換稱為“等距變換”，下列變換中不一定是等距變換的是(　D　)
A．平移 B．旋轉 C．軸對稱 D．位似
第五章　圖形的相似與解直角三角形
第一節　圖形的相似與位似
1．(2016蘭州中考)如圖，在△ABC中，DE∥BC，若＝，則＝(　C　)
A.　 　　B.　 　　C.　 　　D.
(第1題圖)
　　　　(第2題圖)
2．(2016哈爾濱中考)如圖，在△ABC中，D，E分別為AB，AC邊上的點，DE∥BC，BE與CD相交于點F，則下列結論一定正確的是(　A　)
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
3．(2016湘西中考)如圖，在△ABC中，DE∥BC，DB＝2AD，△ADE的面積為1，則四邊形DBCE的面積為(　D　)
A．3 B．5 C．6 D．8
(第3題圖)
　　　(第4題圖)
4．(2016安順中考)如圖，點P在△ABC的邊AC上，要判斷△ABP∽△ACB，添加一個條件不正確的是(　D　)
A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC
C.＝ D.＝
5．(2015濟南中考)如圖，正方形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，∠ACB的平分線分別交AB，DB于M，N兩點．若AM＝2，則線段ON的長為(　C　)
A. B. C．1 D.
(第5題圖)
　　　(第6題圖)
6．一塊直角三角板ABC按如圖放置，頂點A的坐標為(0，1)，直角頂點C的坐標為(－3，0)，∠B＝30°，則點B的坐標為__(－－3，3)__．
7．(2016新疆中考)如圖所示，△ABC中，E，F分別是邊AB，AC上的點，且滿足＝＝，則△AEF與△ABC的面積比是__1∶9__．
(第7題圖)
　　　(第8題圖)
8．(2016宿遷中考)如圖，正方形DEFG的邊EF在△ABC的邊BC上，頂點D，G分別在邊AB，AC上．若△ABC的邊BC長為40 cm，高AH為30 cm，則正方形DEFG的邊長為____cm.
9．(2016威海中考)如圖，在?ABCD中，E為CD上一點，連接AE，BD，且AE，BD交于點F，S△DEF∶S△ABF＝4∶25，則DE∶EC＝__2∶3__.
(第9題圖)
　　　(第10題圖)
10．(2015包頭中考)如圖，在平面直角坐標系中，Rt△ABO的頂點O與原點重合，頂點B在x軸上，∠ABO＝90°，OA與反比例函數y＝的圖象交于點D，且OD＝2AD，過點D作x軸的垂線交x軸于點C.若S四邊形ABCD＝10，則k的值為__－16__．
11．(2015連云港中考)如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝90°，直線l1∥l2∥l3，l1與l2之間距離是1，l2與l3之間距離是2，且l1，l2，l3分別經過點A，B，C，則邊AC的長為____．
12．(2015泰安中考)如圖，在△ABC中，AB＝AC，點P，D分別是BC，AC邊上的點，且∠APD＝∠B.
(1)求證：AC·CD＝CP·BP；
(2)若AB＝10，BC＝12，當PD∥AB時，求BP的長．
解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠APD＝∠B，∴∠APD＝∠B＝∠C.∵∠APC＝∠BAP＋∠B，∠APC＝∠APD＋∠DPC，∴∠BAP＝∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴＝，∴AB·CD＝CP·BP，∵AB＝AC，∴AC·CD＝CP·BP；(2)∵PD∥AB，∴∠APD＝∠BAP，∵∠APD＝∠C，∴∠BAP＝∠C，∵∠B＝∠B，∴△BAP∽△BCA，∴＝，∵AB＝10，BC＝12，∴＝，∴BP＝.
13．(2016隨州中考)如圖，D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，且DE∥AC，AE，CD相交于點O，若S△DOE∶S△COA＝1∶25，則S△BDE與S△CDE的比是(　B　)
A．1∶3 B．1∶4
C．1∶5 D．1∶25
14．(2016盤錦中考)如圖，四邊形ABCD是矩形，點E和點F是矩形ABCD外兩點，AE⊥CF于點H，AD＝3，DC＝4，DE＝，∠EDF＝90°，則DF長是(　C　)
A. B. C. D.
,(第14題圖))　　,(第15題圖))
15．(2016濱州中考)如圖，平行于BC的直線DE把△ABC分成面積相等的兩部分，則＝____.
16．(2016長春中考)如圖，在?ABCD中，點E在邊BC上，點F在邊AD的延長線上，且DF＝BE，EF與CD交于點G.
(1)求證：BD∥EF；
(2)若＝，BE＝4，求EC的長．
解：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC.∵DF＝BE，∴四邊形BEFD是平行四邊形，∴BD∥EF；(2)∵四邊形BEFD是平行四邊形，∴DF＝BE＝4.∵DF∥EC，∴△DFG∽△CEG，∴＝，∴CE＝＝4×＝6.
17．(2016青海師大附中模擬)某中學為新生設計的學生板凳的正面視圖如圖所示．其中BA＝CD，BC＝20 cm，BC，EF平行于地面AD且到地面AD的距離分別為40 cm、8 cm，為使板凳兩腿底端A，D之間的距離為50 cm，那么橫梁EF應為多長？(材質及其厚度等暫忽略不計)
解：過點C作CM∥AB，交EF，AD于點N，M，作CP⊥AD，交EF，AD于點Q，P，由題意，得四邊形ABCM是平行四邊形，∴EN＝AM＝BC＝20 cm .∴MD＝AD－AM＝50－20＝30(cm)．由題意知CP＝40 cm，PQ＝8 cm，∴CQ＝32 cm.∵EF∥AD，∴△CNF∽△CMD，∴＝，即＝.解得NF＝24 cm.∴EF＝EN＋NF＝20＋24＝44(cm)．
答：橫梁EF應為44 cm.
18．(2016安徽中考)已知：如圖△ABC三個頂點的坐標分別為A(0，－3)，B(3，－2)，C(2，－4)，正方形網格中，每個小正方形的邊長是1個單位長度．
(1)畫出△ABC向上平移6個單位長度得到的△A1B1C1；
(2)以點C為位似中心，在網格中畫出△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC位似，且△A2B2C2與△ABC的位似比為2∶1，并直接寫出點A2的坐標．
解：(1)如圖所示：△A1B1C1，即為所求；(2)如圖所示：△A2B2C2即為所求，A2坐標為(－2，－2)．
19．(2015連云港中考)如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，D為AC延長線上一點，AC＝3CD，過點D作DH∥AB，交BC的延長線于點H.
(1)求BD·cos∠HBD的值；
(2)若∠CBD＝∠A，求AB的長．
解：(1)∵DH∥AB，∴∠BHD＝∠ABC＝90°，∠A＝∠HDC，∴△ABC∽△DHC，∴＝＝3，∴CH＝1，BH＝BC＋CH＝4，在Rt△BHD中，cos∠HBD＝，∴BD·cos∠HBD＝BH＝4；(2)∵∠CBD＝∠A，∠ABC＝∠BHD，∴△ABC∽△BHD，∴＝，∵△ABC∽△DHC，∴＝＝3，∴AB＝3DH，∴＝，解得DH＝2，∴AB＝3DH＝3×2＝6，即AB的長是6.
20．如圖，在矩形ABCD中，AB＝10 cm，BC＝20 cm，兩只小蟲P和Q同時分別從A，B出發沿AB，BC向終點B，C方向前進．小蟲P每秒走1 cm，小蟲Q每秒走2 cm.
請問：它們同時出發多少秒時，以P，B，Q為頂點的三角形與以A，B，C為頂點的三角形相似？
解：設它們同時出發了t s時△PBQ與△ABC相似，BP＝10－t，BQ＝2t.①∵∠B＝∠B，∴當＝時，△PBQ∽△ABC，∴＝，t＝5；②∵∠B＝∠B，∴當＝時，△PBQ∽△CBA，∴＝，t＝2.綜上所述，它們同時出發了2 s或5 s時，△PBQ與△ABC相似．
21．(2016眉山中考)如圖，△ABC和△BEC均為等腰直角三角形，且∠ACB＝∠BEC＝90°，AC＝4，點P為線段BE延長線上一點，連接CP以CP為直角邊向下作等腰直角△CPD，線段BE與CD相交于點F.
(1)求證：＝；
(2)連接BD，請你判斷AC與BD有什么位置關系？并說明理由；
(3)設PE＝x，△PBD的面積為S，求S與x之間的函數關系式．
解：(1)∵△BCE和△CDP均為等腰直角三角形，∴∠ECB＝∠PCD＝45°，∠CEB＝∠CPD＝90°，∴△BCE∽△DCP，∴＝；(2)AC∥BD，理由：∵∠PCE＋∠ECD＝∠BCD＋∠ECD＝45°，∴∠PCE＝∠BCD，又∵＝，∴△PCE∽△DCB，∴∠CBD＝∠CEP＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CBD，∴AC∥BD；(3)如圖所示，作PM⊥BD于M，∵AC＝4，△ABC和△BEC均為等腰直角三角形，∴BE＝CE＝4，∵△PCE∽△DCB，∴＝，即＝，∴BD＝x，∵∠PBM＝∠CBD－∠CBP＝45°，BP＝BE＋PE＝4＋x，∴PM＝，∴△PBD的面積S＝BD·PM＝×x＝x2＋2x.
第二節　銳角三角函數及解直角三角形的應用
,青海五年中考命題規律)
年份
題型
題號
考查點
考查內容
分值
總分
2016
解答
24
解直角三角形
利用在陽光下建筑物的影子為背景構造直角三角形，求樓高、點面的距離
8
8
2015
解答
23
解直角三角形
以建筑物和旗桿為背景構造直角三角形的建筑物和旗桿的高
8
8
2013
選擇
15
銳角三角函數
求網格中的銳角的正切值
3
解答
24
解直角三角形
以兩建筑物為背景構造直角三角形，求兩樓之間的距離和其中一樓的高
8
11
2012
選擇
17
銳角三角函數
已知Rt△斜邊上的中線和一邊上的高，求其中一個銳角的正切值
3
3
命題規律
縱觀青海省五年中考，求銳角三角函數考查2次，解直角三角形的應用考查3次，題型屬于中檔題，既有選擇題，又有解答題的形式呈現
命題預測
預計2017年青海省中考以解直角三角形的應用、以解答題的形式出現的可能大，應強化訓練
,青海省(西寧)五年中考真題)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　銳角三角函數值(青海2次、西寧0次)
1．(2013青海中考)在正方形網格中，△ABC的位置如圖所示，則tanB的值為(　B　)
A. B. C. D.
(第1題圖)
　　　(第2題圖)
2．(2012青海中考)如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，已知CD＝5，AC＝6，則tanB的值是(　C　)
A. B. C. D.
　解直角三角形(青海0次、西寧1次)
3．(2012西寧中考)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，已知CD⊥AB，BC＝1.
(1)如果∠BCD＝30°，求AC；
(2)若tan∠BCD＝，求CD.
解：(1)∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°，∵∠DCB＝30°，∴∠B＝60°，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∴tan60°＝，∴AC＝；(2)在Rt△BDC中，tan∠BCD＝＝，設BD＝k，則CD＝3k，由勾股定理得：k2＋(3k)2＝12，解得k1＝，k2＝－(不合題意，舍去)，∴k＝，CD＝.
　解直角三角形的實際應用(青海3次、西寧4次)
4．(2016青海中考)如圖，某辦公樓AB的后面有一建筑物CD，當光線與地面的夾角是22°時，辦公樓在建筑物的墻上留下高2 m的影子CE.而當光線與地面夾角是45°時，辦公樓頂A在地面上的影子F與墻角C有25 m的距離．(B，F，C在一條直線上)．
(1)求辦公樓AB的高度；
(2)若要在A，E之間掛一些彩旗，請你求出A，E之間的距離．
(參考數據：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈)
解：(1)AB＝20 m；(2)A，E間的距離為48 m．
中考考點清單)
　銳角三角函數的概念
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b，則∠A的
正
弦
sinA＝＝①____
余
弦
cosA＝＝②____
正
切
tanA＝＝③____
　特殊角的三角函數值
三角函數
30°
45°
60°
sinα
④____
cosα
⑤____
tanα
⑥____
1
　解直角三角形
解直角三角形常用的關系：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，則
三邊關系
⑦__a2＋b2＝c2__
兩銳角關系
⑧__∠A＋∠B＝90°__
邊角關系
30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．
sinA＝cosB＝
cosA＝sinB＝
tanA＝
　解直角三角形的應用
仰角、俯角
在視線與水平線所成的銳角中，視線在水平線上方的角叫⑨__仰角__，視線在水平線下方的角叫⑩__俯角__．
坡度(坡比)、坡角
坡面的鉛直高度h和?__水平寬度__l的比叫坡度(坡比)，用字母i表示；坡面與水平線的夾角α叫坡角．i＝tanα＝?____.
方位角
指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角，叫做?__方位角__，A點位于O點的北偏東30°方向，B點位于O點的南偏東60°方向，C點位于O點的北偏西45°方向(或西北方向)
【規律總結】解直角三角形的方法：(1)解直角三角形，當所求元素不在直角三角形中時，應作輔助線構造直角三角形，或尋找已知直角三角形中的邊角替代所要求的元素；(2)解實際問題的關鍵是構造幾何模型，大多數問題都需要添加適當的輔助線，將問題轉化為直角三角形中的邊角計算問題．
,中考重難點突破)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　銳角三角函數及特殊角三角函數值
【例1】(2015樂山中考)如圖，已知△ABC的三個頂點均在格點上，則cosA的值為(　　)
A. B. C. D.
【學生解答】D
1．(2015西寧中考)某校數學興趣小組要測量西山植物園浦寧之珠的高度，如圖，他們在點A處測得浦寧之珠最高點C的仰角為45°，再往浦寧之珠方向前進至點B處測得最高點C的仰角為56°，AB＝62 m，根據這個興趣小組測得的數據，則浦寧之珠的高度CD約為__189__m．(sin56°≈0.83，tan56°≈1.49，結果保留整數)
(第1題圖)
　　　(第2題圖)
2．(2013西寧中考)如圖，甲乙兩幢樓之間的距離是30 m，自甲樓頂A處測得乙樓頂端C處的仰角為45°，測得乙樓底部D處的俯角為30°，則乙樓的高度為__(30＋10)__m.
　解直角三角形的實際應用
【例2】(2015內江中考)“馬航事件”的發生引起了我國政府的高度重視，迅速派出了艦船和飛機到相關海域進行搜尋．如圖，在一次空中搜尋中，水平飛行的飛機觀測到在點A俯角為30°方向的F點處有疑似飛機殘骸的物體(該物體視為靜止)．為了便于觀察，飛機繼續向前飛行了800 m到達B點，此時測得點F在點B俯角為45°的方向上，請你計算當飛機飛臨F點的正上方點C時(點A，B，C在同一直線上)，豎直高度CF約為多少米？(結果保留整數，參考數值：≈1.7)
【解析】在Rt△ACF中，利用tan30°＝即可．
【學生解答】CF＝1 080 m.
【點撥】所求邊CF是兩個直角三角形的公共邊，充分抓住兩個直角三角形的聯系，運用三角函數和列方程求解．
3．(2016西寧中考)如圖，為保護門源百里油菜花海，由“芬芳浴”游客中心A處修建通往百米觀景長廊BC的兩條棧道AB、AC，若∠B＝56°，∠C＝45°，則游客中心A到觀景長廊BC的距離AD的長約為__60__m．(sin56°≈0.8，tan56°≈1.5)
4．(2015青海中考)如圖，為測量某建筑物BC上旗桿AB的高度，小明在距離建筑物BC底部11.4 m的點F處，測得視線與水平線夾角∠AED＝60°，∠BED＝45°.小明的觀測點與地面的距離EF為1.6 m.
(1)求建筑物BC的高度；
(2)求旗桿AB的高度．(結果精確到0.1 m，參考數據：≈1.41，≈1.73)
解：(1)在Rt△EDB中，∠BED＝45°，∴BD＝ED＝FC＝11.4，∴BC＝BD＋CD＝BD＋EF＝11.4＋1.6＝13(m)；(2)在Rt△EDA中，∠AED＝60°，∴AD＝ED≈19.7，∴AB＝AD－BD＝19.7－11.4＝8.3(m)．
第二節　銳角三角函數及解直角三角形的應用
1．(2016襄陽中考)如圖，△ABC的頂點是正方形網格的格點，則sinA的值為(　B　)
A.　　　　　B.
C. D.
2．(2016自貢中考)如圖，若銳角△ABC內接于⊙O，點D在⊙O外(與點C在AB同側)，則下列三個結論：①sin∠C＞sin∠D；②cos∠C＞cos∠D；③tan∠C＞tan∠D中，正確的結論為(　D　)
　 　　　　　 　　　　　 　　　　
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
(第2題圖)
　　　(第3題圖)
3．(2015蘇州中考)如圖，在一筆直的海岸線l上有A，B兩個觀測站，AB＝2 km，從A測得船C在北偏東45°的方向，從B測得船C在北偏東22.5°的方向，則船C離海岸線l的距離(即CD的長)為(　B　)
A．4 km B．(2＋)km
C．2 km D．(4－)km
4．(2015泰安中考)如圖，輪船從B處以每小時60海里的速度沿南偏東20°方向勻速航行，在B處觀測燈塔A位于南偏東50°方向上，輪船航行40分鐘到達C處，在C處觀測燈塔A位于北偏東10°方向上，則C處與燈塔A的距離是(　D　)
A．20海里 B．40海里
C.海里 D.海里
5．(2015懷化中考)已知α、β均為銳角，且滿足|sinα－|＋＝0，則α＋β＝__75°__．
6．如圖，在河兩岸分別有A，B兩村，現測得三點A，B，D在一條直線上，A，C，E在一條直線上，若BC∥DE，DE＝90 m，BC＝70 m，BD＝20 m，那么A，B兩村間的距離為__70__m.
7．(2016西寧模擬)在一個斜坡上前進13 m，水平高度升高了5 m，則該斜坡坡度i＝__5∶12__．
8．(2016包頭中考)如圖，已知四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC的延長線與AD的延長線交于點E.
(1)若∠A＝60°，求BC的長；
(2)若sinA＝，求AD的長．
(注意：本題中的計算過程和結果均保留根號)
解：(1)∵∠A＝60°，∠ABE＝90°，AB＝6，tanA＝，∴∠E＝30°，BE＝tan60°·6＝6，又∵∠CDE＝90°，CD＝4，sinE＝，∠E＝30°，∴CE＝＝8，∴BC＝BE－CE＝6－8；(2)∵∠ABE＝90°，AB＝6，sinA＝＝，∴設BE＝4x，則AE＝5x，得AB＝3x，∴3x＝6，得x＝2，∴BE＝8，AE＝10，∴tanE＝＝＝＝，解得DE＝，∴AD＝AE－DE＝10－＝，即AD的長是.
9．(2016宜賓中考)一艘觀光游船從港口A以北偏東60°的方向出港觀光，航行80海里至C處時發生了側翻沉船事故，立即發出了求救信號，一艘在港口正東方向的海警船接到求救信號，測得事故船在它的北偏東37°方向，馬上以40海里每小時的速度前往救援，求海警船到達事故船C處所需的大約時間．(參考數據：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6)
解：如圖，過點C作CD⊥AB交AB延長線于D.在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，AC＝80海里，∴CD＝AC＝40海里．在Rt△CBD中，∵∠CDB＝90°，∠CBD＝90°－37°＝53°，∴BC＝≈＝50(海里)，∴海警船到達事故船C處所需的時間大約為：50÷40＝(h)．
10．(2016淄博中考)如圖是由邊長相同的小正方形組成的網格，A，B，P，Q四點均在正方形網格的格點上，線段AB，PQ相交于點M，則圖中∠QMB的正切值是(　D　)
A. B．1 C. D．2
11．(2016黔東南中考)如圖，要在寬為22 m的九州大道兩邊安裝路燈，路燈的燈臂CD長2 m，且與燈柱BC成120°角，路燈采用圓錐形燈罩，燈罩的軸線DO與燈臂CD垂直，當燈罩的軸線DO通過公路路面的中心線時照明效果最佳，此時路燈的燈柱BC高度應該設計為(　D　)
A．(11－2)m
B．(11－2)m
C．(11－2)m
D．(11－4)m
12．(2016廣安中考)如圖，小明所在教學樓的每層高度為3.5 m，為了測量旗桿MN的高度，他在教學樓一樓的窗臺A處測得旗桿頂部M的仰角為45°，他在二樓窗臺B處測得M的仰角為31°，已知每層樓的窗臺離該層的地面高度均為1 m，求旗桿MN的高度．(結果保留兩位小數，參考數據：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)
解：過點M的水平線交直線AB于點H，由題意，得∠AMH＝∠MAH＝45°，∠BMH＝31°，AB＝3.5，設MH＝x，則AH＝x，BH＝xtan31°＝0.60x，∴AB＝AH－BH＝x－0.60x＝0.4x＝3.5，解得x＝8.75，則旗桿高度MN＝x＋1＝9.75(m)．答：旗桿MN的高度約為9.75 m.
13．(2017中考預測)小華為了測量樓房AB的高度，他從樓底的B處沿著斜坡向上行走20 m，到達坡頂D處．已知斜坡的坡角為15°.(以下計算結果精確到0.1 m)
(1)求小華此時與地面的垂直距離CD的值；
(2)小華的身高ED是1.6 m，他站在坡頂看樓頂A處的仰角為45°，求樓房AB的高度．(sin15°≈0.259，cos15°≈0.966)
解：(1)在Rt△BCD中，∠CBD＝15°，BD＝20，∴CD＝BD·sin15°，∴CD＝5.2 m．答：小華與地面的垂直距離CD的值是5.2 m；(2)在Rt△AFE中，∵∠AEF＝45°，∴AF＝EF＝BC，由(1)知，BC＝BD·cos15°≈19.3(m)，∴AB＝AF＋DE＋CD＝19.3＋1.6＋5.2＝26.1(m)．答：樓房AB的高度是26.1 m.
14．(2016資陽中考)如圖，“中國海監50”正在南海海域A處巡邏，島礁B上的中國海軍發現點A在點B的正西方向上，島礁C上的中國海軍發現點A在點C的南偏東30°方向上，已知點C在點B的北偏西60°方向上，且B，C兩地相距120海里．
(1)求出此時點A到島礁C的距離；
(2)若“中國海監50”從A處沿AC方向向島礁C駛去，當到達點A′時，測得點B在A′的南偏東75°的方向上，求此時“中國海監50”的航行距離．(結果保留根號)
解：(1)如圖所示：延長BA，過點C作CD⊥BA延長線與點D，由題意可得：∠CBD＝30°，BC＝120海里，則DC＝60海里，故cos30°＝＝＝，解得AC＝40.答：點A到島礁C的距離為40海里；(2)如圖所示：過點A′作A′N⊥BC于點N，可得∠1＝30°，∠BA′A＝45°，A′N＝A′E，則∠2＝15°，即A′B平分∠CBA，設AA′＝x，則A′E＝x，故CA′＝2A′N＝2×x＝x，∵x＋x＝40，∴解得x＝20(－1)．則此時“中國海監50”的航行距離為(60－20)海里．
階段測評(五)　圖形的相似與解直角三角形
(時間：45分鐘　總分：100分)
一、選擇題(每小題4分，共32分)
1．(2016達州中考)如圖，A，B，C三點在正方形網格線的格點處，若將△ACB繞著點A逆時針旋轉得到△AC′B′，則tanB′的值為(　B　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
(第1題圖)
　　　　(第2題圖)
2．(2015嘉興中考)如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC分別交l1，l2，l3于點A，B，C；直線DF分別交l1，l2，l3于點D，E，F.AC與DF相交于點H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，則的值為(　D　)
A．1 B．2 C. D.
3．(2015恩施中考)如圖，在平行四邊形ABCD中，EF∥AB交AD于點E，交BD于點F，DE∶EA＝3∶4，EF＝3，則CD的長為(　B　)
A．4 B．7 C．3 D．12
,(第3題圖))　　,(第4題圖))
4．(2015南京中考)如圖，在△ABC中，DE∥BC，＝，則下列結論中正確的是(　C　)
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
5．(2015永州中考)如圖，下列條件不能判定△ADB∽△ABC的是(　D　)
A．∠ABD＝∠ACB
B．∠ADB＝∠ABC
C．AB2＝AD·AC
D.＝
6．(2015十堰中考)在平面直角坐標系中，已知點A(－4，2)，B(－6，－4)，以原點O為位似中心，相似比為，把△ABO縮小，則點A的對應A′的坐標是(　D　)
A．(－2，1) B．(－8，4)
C．(－8，4)或(8，－4) D．(－2，1)或(2，－1)
7．(2016攀枝花中考)如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，且＝＝，則S△ADE∶S四邊形BCED的值為(　C　)
A．1∶ B．1∶2
C．1∶3 D．1∶4
(第7題圖)
　　　(第8題圖)
8．(2016新疆中考)輪船從B處以每小時50海里的速度沿南偏東30°方向勻速航行，在B處觀測燈塔A位于南偏東75°方向上，輪船航行半小時到達C處，在C處觀測燈塔A位于北偏東60°方向上，則C處與燈塔A的距離是________海里(　D　)
A．25 B．25 C．50 D．25
二、填空題(每小題4分，共24分)
9．(2016西寧九中模擬)若x∶y＝5∶2，則(x＋y)∶y的值是____．
10．(2016張家界中考)△ABC中，AB＝4，BC＝3，∠BAC＝30°，則△ABC的面積為__2±__．
11．(2015重慶中考)已知△ABC∽△DEF，若△ABC與△DEF的相似比為2∶3，則△ABC與△DEF對應邊上中線的比為__2∶3__．
12．(2016新疆中考)如圖，測量河寬AB(假設河的兩岸平行)，在C點測得∠ACB＝30°，D點測得∠ADB＝60°，又CD＝60 m，則河寬AB為__30__m．(結果保留根號)
(第12題圖)
　　　(第13題圖)
13．(2016十堰中考)在綜合實踐課上，小聰所在小組要測量一條河的寬度，如圖，河岸EF∥MN，小聰在河岸MN上點A處用測角儀測得河對岸小樹C位于東北方向，然后沿河岸走了30 m，到達B處，測得河對岸電線桿D位于北偏東30°方向，此時，其他同學測得CD＝10 m．請根據這些數據求出河的寬度為__(30＋10)__m．(結果保留根號)
14．(2017中考預測)在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一個銳角60°，BC＝6.若點P在直線AC上(不與點A，C重合)，且∠ABP＝30°，則CP的長為__2或4或6__．
三、解答題(共44分)
15．(10分)(2016上海中考)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，點D在邊AC上，且AD＝2CD，DE⊥AB，垂足為點E，連接CE，求：
(1)線段BE的長；
(2)∠ECB的余切值．
解：(1)∵AD＝2CD，AC＝3，∴AD＝2，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，∴∠A＝∠B＝45°，AB＝＝＝3，∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，∠ADE＝∠A＝45°，∴AE＝AD·cos45°＝2×＝，∴BE＝AB－AE＝3－＝2，即線段BE的長為2；(2)過點E作EH⊥BC，垂足為H，如圖所示：∵在Rt△BEH中，∠EHB＝90°，∠B＝45°，∴EH＝BH＝BE·cos45°＝2×＝2，∵BC＝3，∴CH＝1，在Rt△CHE中，cot∠ECB＝＝，即∠ECB的余切值為.
16．(10分)(2016內江中考)禁漁期間，我漁政船在A處發現正北方向B處有一艘可疑船只，測得A，B兩處距離為200海里，可疑船只正沿南偏東45°方向航行，我漁政船迅速沿北偏東30°方向前去攔截，經歷4小時剛好在C處將可疑船只攔截．求該可疑船只航行的平均速度．(結果保留根號)
解：過點C作CD⊥AB，垂足為點D，設BD＝x海里，則AD＝(200－x)海里，∵∠ABC＝45°，∴BD＝CD＝x，∵∠BAC＝30°，∴tan30°＝，在Rt△ACD中，則CD＝AD·tan30°＝(200－x)，則x＝(200－x)，解得x＝100－100，即BD＝100－100，在Rt△BCD中，cos45°＝，解得BC＝100－100，則(100－100)÷4＝25(－)(海里/時)，則該可疑船只的航行速度約為25(－)海里/時．
17．(12分)(2016賀州中考)如圖，是某市一座人行天橋的示意圖，天橋離地面的高BC是10 m，坡面10 m處有一建筑物HQ，為了方便使行人推車過天橋，市政府部門決定降低坡度，使新坡面DC的傾斜角∠BDC＝30°，若新坡面下D處與建筑物之間需留下至少3 m寬的人行道，問該建筑物是否需要拆除．(計算最后結果保留一位小數，參考數據：＝1.414，＝1.732)
解：由題意得，AH＝10 m，BC＝10 m，在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，∴AB＝BC＝10，在Rt△DBC中，∠CDB＝30°，∴DB＝＝10，∴DH＝AH－AD＝AH－(DB－AB)＝10－10＋10＝20－10≈2.7(m)，∵2.7 m<3 m，∴該建筑物需要拆除．
18．(12分)(2016宜昌中考)在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，D是△ABC內部或BC邊上的一個動點(與B，C不重合)，以D為頂點作△DEF，使△DEF∽△ABC(相似比k>1)，EF∥BC.
(1)求∠D的度數；
(2)若兩三角形重疊部分的形狀始終是四邊形AGDH.
①如圖(1)，連接GH，AD，當GH⊥AD時，請判斷四邊形AGDH的形狀，并證明；
②當四邊形AGDH的面積最大時，過A作AP⊥EF于P，且AP＝AD，求k的值．
解：(1)∠D＝90°；(2)①四邊形AGDH為正方形，理由略；②k＝.

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