資源簡介

第六章　圖形的變化
第一節　圖形的軸對稱與中心對稱
,青海五年中考命題規律)
年份
題型
題號
考查點
考查內容
分值
總分
2016
選擇
14
軸對稱圖形
判斷對稱軸的條數
3
3
2014
選擇
14
圖形的對稱
判斷既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形
3
3
2013
填空
6
對稱與折疊
利用折疊求角
2
選擇
14
圖形的對稱
判斷既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形
3
5
2012
選擇
13
圖形的對稱
判斷既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形
3
3
命題規律
縱觀青海省五年中考，圖形的對稱與折疊共考查5次，多以選擇題形式出現，沒設解答題，考查難度較低，基本上是送分題
命題預測
預計2017青海中考仍會涉及圖形對稱的識別，也可能涉及幾何圖形折疊問題的計算
,青海省(西寧)五年中考真題)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　圖形對稱的判斷(青海4次、西寧3次)
1．(2013西寧中考)在下列圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是(　B　)
A．角 B．線段
C．等腰三角形 D．平行四邊形
2．(2014青海中考)下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是(　B　)
,A) ,B) ,C) ,D)
3．(2014西寧中考)將兩個全等的直角三角形紙片構成如下的四個圖形，其中屬于中心對稱圖形的是(　C　)
,A) ,B) ,C) ,D)
4．(2013青海中考)下面的圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是(　C　)
,A) ,B) ,C) ,D)
5．(2016青海中考)以下圖形，對稱軸的數量小于3的是(　D　)
,A) 　,B) 　,C) 　,D)
6．(2016西寧中考)在一些漢字的美術字中，有的是軸對稱圖形，下面四個美術字中可以看作軸對稱圖形的是(　D　)
,A) ,B) ,C) ,D)
　對稱與折疊中的計算(青海1次、西寧3次)
7．(2016西寧中考)將一張長方形紙片折疊成如圖所示的形狀，則∠ABC＝(　A　)
A．73° 　　　B．56°
C．68° 　　　D．146°
8．(2013青海中考)如圖，把一張矩形紙片ABCD沿EF折疊，點C，D分別落在C′，D′的位置上，EC′交AD于G，已知∠EFG＝56°，那么∠BEG＝__68°__．
(第8題圖)
　　　(第9題圖)
9．(2015西寧中考)如圖，△ABC是邊長為1的等邊三角形，BD為AC邊上的高，將△ABC折疊，使點B與D重合，折痕EF交BD于點D1，再將△BEF折疊，使點B與點D1重合，折痕GH交BD1于點D2，依次折疊，則BDn＝____．
,中考考點清單)
　軸對稱圖形與軸對稱
軸對稱圖形
軸對稱
圖
形
定
義
如果一個圖形沿著某條直線對折后，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形就叫軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸
如果兩個圖形對折后，這兩個圖形能夠完全重合，那么我們就說這兩個圖形成軸對稱，這條直線叫做對稱軸
性
質
對應線段相等
AB＝①__AC__
AB＝A′B′
BC＝B′C′
AC＝A′C′
對應角相等
∠B＝∠C
∠A＝②__∠A′__，
∠B＝∠B′，∠C＝∠C′
對應點所連的線段被對稱軸垂直平分
區
別
(1)軸對稱圖形是一個具有特殊形狀的圖形，只對一個圖形而言；(2)對稱軸不一定只有一條
(1)軸對稱是指③__兩個__圖形的位置關系，必須涉及兩個圖形；(2)只有一條對稱軸
關
系
(1)沿對稱軸對折，兩部分重合；(2)如果把軸對稱圖形沿對稱軸分成“兩個圖形”，那么這“兩個圖形”就關于這條直線成軸對稱
(1)沿對稱軸翻折，兩個圖形重合；(2)如果把兩個成軸對稱的圖形拼在一起，看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形
【規律總結】1.常見的軸對稱圖形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圓.2.折疊的性質：折疊的實質是軸對稱，折疊前后的兩圖形全等，對應邊和對應角相等．
【方法技巧】凡是在幾何圖形中出現“折疊”這個字眼時，第一反應即存在一組全等圖形，其次找出與要求幾何量相關的條件量．
1．與三角形結合：
①若涉及直角，則優先考慮直角三角形的性質(勾股定理及斜邊上的中線等于斜邊的一半)，若為含特殊角的直角三角形，則應利用其邊角關系計算；
②若涉及兩邊(角)相等，則利用等腰三角形的相關性質計算，若存在60°角，則利用等邊三角形性質進行相關計算，一般會作出高線構造特殊角的直角三角形進行求解；③若含有中位線，則需利用中位線的位置及數量關系進行量的代換；
2．與四邊形結合：
①與平行四邊形、矩形、菱形、正方形結合，往往會利用其特殊性質求解；②若為一般的四邊形，則可通過構造特殊的三角形或四邊形求解．
　中心對稱圖形與中心對稱
中心對稱圖形
中心對稱
圖
形
定
義
如果一個圖形繞某一點旋轉180°后能與它自身重合，我們就把這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做它的對稱中心
如果一個圖形繞某點旋轉180°后與另一個圖形重合，我們就把這兩個圖形叫做成中心對稱
性
質
對應點
點A與點C，點B與點D
點A與點A′，點B與點B′，點C與點C′
對應
線段
AB＝CD，
AD＝BC
AB＝A′B′，④__BC__＝B′C′，AC＝A′C′
對應角
∠A＝∠C
⑤__∠B__＝∠D
∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，
∠C＝∠C′
區
別
中心對稱圖形是指具有某種特性的一個圖形
中心對稱是指兩個圖形的關系
聯
系
把中心對稱圖形的兩個部分看成“兩個圖形”，則這“兩個圖形”成中心對稱
把成中心對稱的兩個圖形看成一個“整體”，則“整體”成為中心對稱圖形
【規律總結】常見的中心對稱圖形：平行四邊形、矩形、菱形、正方形、正六邊形、圓等．
,中考重難點突破)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　軸對稱與中心對稱圖形的識別
【例1】(2016湖州中考)為了迎接杭州G20峰會，某校開展了設計“YJG20”圖標的活動．下列圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是(　　)
,A) ,B) ,C) ,D)
【解析】判斷軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形沿對稱軸折疊后對稱軸的圖形能夠完全重合；判斷中心對稱圖形的關鍵是尋找對稱中心，將圖形繞對稱中心旋轉180°后能夠與原圖形重合．選項A、D中的圖形是軸對稱圖形，選項D中的圖形也是中心對稱圖形．
【學生解答】D
1．(2016菏澤中考)以下圖標中不是軸對稱圖形的是(　D　)
,A) ,B) ,C) ,D)
2．(2016天津中考)下列圖形中，可以看作是中心對稱圖形的是(　B　)
,A) ,B) ,C) ,D)
3．(2016寧波中考)下列3×3網格圖都是由9個相同的小正方形組成的，每個網格圖中有3個小正方形已涂上陰影，請在余下的6個空白小正方形中，按下列要求涂上陰影：
(1)選取1個涂上陰影，使4個陰影小正方形組成一個軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形；
(2)選取1個涂上陰影，使4個陰影小正方形組成一個中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形；
(3)選取2個涂上陰影，使5個陰影小正方形組成一個軸對稱圖形．
(請將三個小題依次作答在圖(1)、圖(2)、圖(3)中，均只需畫出符合條件的一種情形)
解：(1)畫出下列其中一種即可：
(2)畫出下列其中一種即可：
(3)畫出下列其中一種即可：
　圖形折疊中的相關計算
【例2】(2016銅仁中考)如圖，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝3，將△BCD沿對角線BD翻折，點C落在C′處，BC′交AD于點E，則線段DE的長為(　　)
A．3 B. C．5 D.
【解析】∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，由折疊知∠CBD＝∠EBD，∴∠EBD＝∠EDB，∴ED＝EB.設ED＝EB＝x，則AE＝6－x，在Rt△ABE中，根據勾股定理，得BE2＝AE2＋AB2，即x2＝(6－x)2＋9，解得x＝.
【學生解答】B
4．(2016南充中考)如圖，對折矩形紙片ABCD，使AB與DC重合得到折痕EF，將紙片展平；再一次折疊，使點D落到EF上的點G處，并使折痕經過點A，展平紙片后∠DAG的大小為(　C　)
A．30° B．45° C．60° D．75°
5．(2017中考預測)如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使邊DC落在對角線AC上，折痕為CE，且點D落在對角線D′處，若AB＝3，AD＝4，求ED的長．
解：ED的長為.
第六章　圖形的變化
第一節　圖形的軸對稱與中心對稱
1．(2016山西中考)剪紙是我國傳統的民間藝術，下列剪紙作品中，是軸對稱圖形的為(　D　)
　 　　　　　 　　　　　 　　　　
,A) ,B)
　,C) ,D)
2．(2016郴州中考)下列生態環保標志中，是中心對稱圖形的是(　B　)
,A)　　,B)　　,C)　　,D)
3．(2016廣安中考)下列圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是(　D　)
,A)　,B)　,C)　,D)
4．(2016濰坊中考)下列科學計算器的按鍵中，其上面標的符號是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是(　D　)
,A)　　,B)　　,C)　　,D)
5．(2016宜昌中考)如圖，若要添加一條線段，使之既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，正確的添加位置是(　A　)
　,A)　,B)　,C)　,D)
6．(2015海南中考)如圖，△ABC與△DFE關于y軸對稱，已知A(－4，6)，B(－6，2)，E(2，1)，則點D的坐標為(　B　)
A．(－4，6) B．(4，6)
C．(－2，1) D．(6，2)
7．(2015牡丹江中考)如圖，把△ABC經過一定的變換得到△A′B′C′，如果△ABC上點P的坐標為(x，y)，那么這個點在△A′B′C′中的對應點P′的坐標為(　B　)
A．(－x，y－2) B．(－x，y＋2)
C．(－x＋2，－y) D．(－x＋2，y＋2)
8．(2016赤峰中考)如圖，將△ABC沿直線DE折疊后，使得點B與點A重合．已知AC＝5 cm，△ADC的周長為17 cm，則BC的長為(　C　)
A．7 cm B．10 cm C．12 cm D．22 cm
9．(2015六盤水中考)將一張正方形紙片按如圖①、圖②所示的方式對折，然后沿圖③中虛線裁剪得到圖④，將圖④的紙片展開鋪平，得到的圖案是(　B　)
,A) ,B) ,C) ,D)
10．(2016南充中考)如圖，直線MN是四邊形AMBN的對稱軸，點P是直線MN上的點，下列判斷錯誤的是(　B　)
A．AM＝BM B．AP＝BN
C．∠MAP＝∠MBP D．∠ANM＝∠BNM
,(第10題圖))　　　,(第11題圖))
11．(2015寧波中考)如圖，小明家的住房平面圖呈長方形，被分割成3個正方形和2個長方形后仍是中心對稱圖形．若只知道原住房平面圖長方形的周長，則分割后不用測量就能知道周長的圖形的標號為(　A　)
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
12．(2015揚州中考)如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，將△ABC繞直角頂點C順針旋轉90°得到△DEC.若點F是DE的中點，連接AF，則AF＝__5__．
,(第12題圖))　　,(第13題圖))
13．(2016長沙中考)如圖，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分線DE交AB于點D，交邊AC于點E，則△BCE的周長為__13__．
14．(2016玉樹模擬)如圖，將正方形紙片ABCD沿MN折疊，使點D落在邊AB上，對應點為D′，點C落在C′處．若AB＝6，AD′＝2，則折痕MN的長為__2__．
15．在?ABCD中，AB＜BC，已知∠B＝30°，AB＝2，將△ABC沿AC翻折至△AB′C，使點B′落在?ABCD所在的平面內，連接B′D.若△AB′D是直角三角形，則BC的長為__6或4__．
16．(2015哈爾濱中考)如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為1，四邊形ABCD的四個頂點都在小正方形的頂點上，點E在BC邊上，且點E在小正方形的頂點上，連接AE.
(1)在圖中畫出△AEF，使△AEF與△AEB關于直線AE對稱，點F與點B是對稱點；
(2)請直接寫出△AEF與四邊形ABCD重疊部分的面積．
解：(1)略；(2)重疊部分的面積＝2×4－×2×2＝8－2＝6.
17．(2017中考預測)在平面直角坐標系中，Rt△ABC的三個頂點分別是A(－3，2)，B(0，4)，C(0，2)．
(1)將△ABC以點C為旋轉中心旋轉180°，畫出旋轉后對應的△A1B1C.平移△ABC，若點A的對應點A2的坐標為(0，－4)，畫出平移后對應的△A2B2C2；
(2)若將△A1B1C繞某一點旋轉可以得到△A2B2C2，請直接寫出旋轉中心的坐標；
(3)在x軸上有一點P，使得PA＋PB的值最小，請直接寫出點P的坐標．
解：(1)略；(2)旋轉中心的坐標為(，－1)；(3)點P的坐標為(－2，0)．
第三節　視圖與投影
,青海五年中考命題規律)
年份
題型
題號
考查點
考查內容
分值
總分
2015
選擇
17
幾何體的三視圖
判別幾何體的俯視圖
3
3
2014
選擇
18
幾何體的三視圖
利用幾何體三視圖標注的數據求幾何體側面積
3
3
2013
選擇
18
幾何體的三視圖
已知一個物體的俯視圖，判別其對應的物體
3
3
命題規律
縱觀青海省五年中考，投影與視圖考查3次，全部以選擇題的形式出現，題目較簡單是中考的送分題
命題預測
預計2017年青海省中考仍會考查一道與視圖有關的選擇題
,青海省(西寧)五年中考真題)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　三視圖(青海3次、西寧4次)
1．(2015青海中考)如圖中的幾何體是由一個正方體切去一個小正方體后形成的，它的俯視圖是(　C　)
　　,A) 　　,B)
,C) 　　,D)
2．(2013西寧中考)如圖所示的幾何體的俯視圖應該是(　B　)
　,A) 　　,B)
,C) 　　,D)
3．(2013青海中考)如圖是一個物體的俯視圖，則它所對應的物體是(　C　)
　,A) 　　,B)
,C) 　　,D)
4．(2012西寧中考)如圖所示的物體由兩個緊靠在一起的圓柱組成，小剛準備畫出它的三視圖，那么他所畫的三視圖中的俯視圖應該是(　A　)
A．兩個外切的圓
B．兩個內切的圓
C．兩個相交的圓
D．兩個外離的圓
5．(2014青海中考)如圖是一個幾何體的三視圖，根據圖紙標注的數據，求得這個幾何體的側面積是(　B　)
A．12π B．15π C．24π D．30π
6．(2016西寧中考)下列幾何體中，主視圖和俯視圖都為矩形的是(　B　)
,A) ,B) ,C) ,D)
7．(2015西寧中考)請你寫一個在三視圖中俯視圖和主視圖完全相同的幾何體__球體(答案不唯一)__．
　立體圖形的展開與折疊(青海0次、西寧1次)
8．(2014西寧中考)如圖是每個面上都有一個漢字的正方體的一種平面展開圖，那么在原正方體中和“國”字相對的面是(　B　)
A．釣 B．魚 C．島 D．中
,中考考點清單)
　投影
平行投影
由平行光線照射在物體上所形成的投影，叫做平行投影
正投影
投影線垂直照射在投影面上的物體投影叫做正投影
中心投影
由一點射出的光線照射在物體上所形成的投影，叫做中心投影
　幾何體的三視圖
1．一個幾何體的正投影，又叫做這個幾何體的視圖．從正面得到的視圖叫做主視圖，從上面得到的視圖叫做俯視圖，從左面得到的視圖叫做左視圖．
2．三種視圖的關系
(1)主視圖可反映出物體的長和高，俯視圖可反映出物體的長和寬，左視圖可反映出物體的高和寬．
(2)在畫三視圖時，主、俯視圖要長對正，主、左視圖要高平齊，俯、左視圖要寬相等，看得見的輪廓線要畫成實線，看不見的輪廓線要畫成虛線．
3．常見幾何體的三視圖
幾何體
主視圖
左視圖
俯視圖
　　4.常見幾何體的體積和面積的計算公式
名稱幾何體
體積
表面積
正方體
①__a3__
6a2
長方體
abc
②__2(ab＋bc＋ac)__
三棱柱
h·S底面
2S底面＋h·C底長
圓錐
πr2h
πr2＋πlr
(l為母線長)
圓柱
πr2h
2πr2＋2πrh
球
πR3
4πR2
【方法技巧】要求解幾何體的體積或面積，就要先確定幾何體的形狀：1.由三視圖確定出實物的形狀和結構；2.由部分特殊圖確定出實物的形狀和結構．
　立體圖形的展開與折疊
5．常見幾何體的展開圖
常見幾何體
展開圖
圖示(選其一種)
兩個圓和一個矩形
一個圓和一個扇形
兩個全等的三角形和三個矩形
　　6.正方體表面展開圖的類型
一四一型
二三一型
三三型　
二二二型　
【警示】由上面幾個展開圖可以看出，不會出現兩種形式的圖形即“凹”字型和“田”字型．如下面2個圖形：
圖①與圖②兩種形式不是正方體的表面展開圖．
7．立體圖形的折疊
一個幾何體能展開成一個平面圖形，這個平面圖形就可以折疊成相應的幾何體，展開與折疊是一個互逆的過程．
中考重難點突破)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　幾何體的三視圖
【例1】(2016江西中考)有兩個完全相同的長方體，按如圖所示的方式擺放，其主視圖是(　　)
　　,A) 　,B)
,C) 　,D)
【解析】看得見的棱用實線表示，看不見的棱用虛線表示，由主視圖定義可知C是正確的．
【學生解答】C
1．(2016金華中考)從一個棱長為3的大立方體挖去一個棱長為1的小正方體，得到的幾何體如圖所示，是該幾何體的左視圖正確的是(　C　)
,A)　,B)　,C)　,D)
2．(2016宜昌中考)將一根圓柱形的空心鋼管任意放置，它的主視圖不可能是(　A　)
,A) 　,B) 　,C) 　,D)
3．(2016山西中考)如圖是由幾個大小相同的小正方體搭成的幾何體的俯視圖，小正方形中的數字表示該位置上小正方體的個數，則該幾何體的左視圖是(　A　)
,A)　 ,B)　 ,C)　 ,D)
　與三視圖有關的計算
【例2】(2015揚州中考)如圖，這是一個長方體的主視圖和俯視圖，由圖示數據(單位：cm)可以得出該長方體的體積是________cm3.
【解析】觀察其視圖知：該幾何體為長方體，且長方體的長為3，寬為2，高為3，故其體積為：3×3×2＝18.
【學生解答】18
4．(2016呼和浩特中考)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(　D　)
A．4π B．3π C．2π＋4 D．3π＋4
(第4題圖)
　　　(第5題圖)
5．(2016益陽中考)如圖是一個圓柱的三視圖，由圖中數據計算此圓柱的側面積為__24π__．(結果保留π)
　圖形的展開與折疊
【例3】(2016河北中考)圖(1)和圖(2)中所有的正方形都全等，將圖(1)所示的正方形放在圖(2)中的①②③④某一位置，所組成的圖形不能圍成正方體的位置是(　　)
A．① B．② C．③ D．④
【解析】如圖，當正方形放在①的位置時，若⑦是正方形的下面，則⑥是左面，⑤是上面，⑧是前面，①和⑨都是右面，此時沒有后面，不能圍成正方體，故選A.
【學生解答】A
6．(2016深圳中考)把下面圖形折成一個正方體的盒子，折好后與“中”相對的字是(　C　)
A．祝 B．你 C．順 D．利
(第6題圖)
　　　(第7題圖)
7．(2016連云港中考)如圖是一個正方體的平面展開圖，把展開圖折疊成正方體后，“美”字一面相對面上的字是(　D　)
A．麗 B．連 C．云 D．港
第三節　視圖與投影
　 　　　　　 　　　　　 　　　　
1．(2016東營中考)從棱長為2a的正方體零件的一角，挖去一個棱長為a的小正方體，得到一個如圖所示的零件，則這個零件的俯視圖是(　B　)
　　　,A)　　　　,B)
,C)　　　　,D)
2．(2016臨沂中考)如圖，一個空心圓柱體，其主視圖正確的是(　B　)
　,A)　,B)　,C)　,D)
3．(2016泰州中考)如圖所示的幾何體，它的左視圖與俯視圖都正確的是(　D　)
,A) ,B)
,C) ,D)
4．(2016德州中考)圖中三視圖對應的正三棱柱是(　A　)
　　　,A)　　　　　　,B)
,C) ,D)
5．(2016自貢中考)如圖是幾何體的俯視圖，所表示數字為該位置小正方體的個數，則該幾何體的正視圖是(　B　)
　　,A)　　　　　,B)
,C) ,D)
6．(2016濰坊中考)如圖，幾何體是由底面圓心在同一條直線上的三個圓柱構成的，其俯視圖是(　C　)
　　　,A)　　　　,B)
,C)　　　　,D)
7．(2015杭州中考)已知某幾何體的三視圖(單位：cm)，則該幾何體的側面積等于
(　B　)
A．12π cm2
B．15π cm2
C．24π cm2
D．30π cm2
8．(2016遵義一中二模)如圖，一個幾何體由5個大小相同、棱長為1的小正方體搭成，下列關于這個幾何體的說法正確的是(　B　)
A．主視圖的面積為5
B．左視圖的面積為3
C．俯視圖的面積為3
D．三種視圖的面積都是4
第二節　平移與旋轉
,青海五年中考命題規律)
年份
題型
題號
考查點
考查內容
分值
總分
2015
選擇
20
三角形的旋轉
利用一副三角板旋轉，結合等腰三角形和直角三角形求角
3
3
2014
選擇
14
三角形的旋轉
利用旋轉的性質求角
3
3
2013
填空
10
三角形的旋轉
利用平面直角坐標系中三角形的旋轉，求點的坐標
2
2
命題規律
縱觀青海省五年中考，平移與旋轉考查的次數較少，且屬于基礎題
命題預測
預計2017年青海省中考可能會考查旋轉的綜合應用，應注意強化訓練
,青海省(西寧)五年中考真題)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　平移與旋轉(青海3次、西寧3次)
1．(2012西寧中考)如圖，E，F分別是正方形ABCD的邊BC，CD上的點，BE＝CF，連接AE，BF，將△ABE繞正方形的對角線交點O按順時針方向旋轉到△BCF，則旋轉角是(　D　)
A．45° B．120° C．60° D．90°
(第1題圖)
　　　(第2題圖)
2．(2014青海中考)如圖，將△AOB繞點O按逆時針方向旋轉60°后得到△COD，若∠AOB＝15°，則∠AOD的度數是(　C　)
A．15° B．60° C．45° D．75°
3．(2013青海中考)如圖，將△AOB繞點O逆時針旋轉90°，得到△A′OB′，若點A的坐標為(a，b)，則點A′的坐標為__(－b，a)__．
(第3題圖)
　　　(第4題圖)
4．(2013西寧中考)如圖是兩塊完全一樣的含30角的三角板，分別記作△ABC和△A1B1C1，現將兩塊三角板重疊在一起，設較長直角邊的中點為M，繞中點M轉動上面的三角板ABC，使其直角頂點C恰好落在三角板A1B1C1的斜邊A1B1上，當∠A＝30°，AC＝10時，則此時兩直角頂點C、C1的距離是__5__.
5．(2016西寧中考)如圖，已知正方形ABCD的邊長為3，E，F分別是AB，BC邊上的點，且∠EDF＝45°，將△DAE繞點D逆時針旋轉90°，得到△DCM，若AE＝1，則FM的長為____．
,中考考點清單)
　圖形的平移
1．定義：在平面內，一個圖形由一個位置沿某個方向移動到另一個位置，這樣的圖形運動叫做平移．平移不改變圖形的形狀和大小．
2．三大要素：一是平移的起點，二是平移的方向，三是平移的距離．
3．性質：
(1)平移前后，對應線段__平行且相等__、對應角相等；
(2)各對應點所連接的線段平行(或在同一條直線上)且相等；
(3)平移前后的圖形全等．
4．作圖步驟：
(1)根據題意，確定平移的方向和平移距離；
(2)找出原圖形的關鍵點；
(3)按平移方向和平移距離、平移各個關鍵點，得到各關鍵點的對應點；
(4)按原圖形依次連接對應點，得到平移后的圖形．
　圖形的旋轉
5．定義：在平面內，一個圖形繞一個定點沿某個方向(順時針或逆時針)轉過一個角度，這樣的圖形運動叫旋轉．這個定點叫做旋轉中心，轉過的這個角叫做旋轉角．
6．三大要素：旋轉中心、旋轉方向和__旋轉角度__．
7．性質：
(1)對應點到旋轉中心的距離相等；
(2)每對對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；
(3)旋轉前后的圖形全等．
8．作圖步驟：
(1)根據題意，確定旋轉中心、旋轉方向及旋轉角；
(2)找出原圖形的關鍵點；
(3)連接關鍵點與旋轉中心，按旋轉方向與旋轉角將它們旋轉，得到各關鍵點的對應點；
(4)按原圖形依次連接對應點，得到旋轉后的圖形．
,中考重難點突破)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　圖形平移
【例1】如圖，已知△ABC的面積為3，且AB＝AC，現將△ABC沿CA方向平移CA個長度得到△EFA.
(1)求四邊形CEFB的面積；
(2)試判斷AF與BE的位置關系，并說明理由；
(3)若∠BEC＝15°，求AC的長．
【學生解答】解：(1)四邊形CEFB的面積為9；(2)BE⊥AF，理由略；(3)AC＝2.
1．(2016廣州中考)如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12 cm，點D在AC上，DC＝4 cm，將線段DC沿CB方向平移7 cm得到線段EF，點E，F分別落在邊AB，BC上，則△EBF的周長是__13__cm.
2．(2014濟南中考)如圖，將邊長為12的正方形ABCD沿其對角線AC剪開，再把△ABC沿著AD方向平移，得到△A′B′C′，當兩個三角形重疊部分的面積為32時，它移動的距離AA′等于__4或8__．
3．(2016安徽中考)如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的12×12網格中，給出了四邊形ABCD的兩條邊AB與BC，且四邊形ABCD是一個軸對稱圖形，其對稱軸為直線AC.
(1)試在圖中標出點D，并畫出該四邊形的另兩條邊；
(2)將四邊形ABCD向下平移5個單位長度，畫出平移后得到的四邊形A′B′C′D′.
略
　圖形旋轉的相關計算
【例2】如圖①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D，E分別是AB，AC邊的中點．將△ABC繞點A順時針旋轉α角(0°＜α＜180°)，得到△AB′C′(如圖②)．
(1)探究DB′與EC′的數量關系，并給予證明；
(2)當DB′∥AE時，試求旋轉角α的度數．
【解析】(1)證△B′AD≌△C′AE；(2)由于DB′∥AE，根據平行線的性質得到∠B′DA＝∠DAE＝90°，又因為AD＝AB＝AB′，根據含30°的直角三角形三邊的關系得到∠AB′D＝30°，利用互余即可得到旋轉角∠B′AD的度數．
【學生解答】解：(1)DB′＝EC′.證明略；(2)旋轉角α的度數為60°.
4．(2016岳陽中考)數學活動——旋轉變換
,圖(1)) ,圖(2)) ,圖(3))
(1)如圖(1)，在△ABC中，∠ABC＝130°，將△ABC繞點C逆時針旋轉50°得到△A′B′C′，連接BB′，求∠A′B′B的大小；
(2)如圖(2)，在△ABC中，∠ABC＝150°，AB＝3，BC＝5，將△ABC繞點C逆時針旋轉60°得到△A′B′C，連接BB′，以點A′為圓心，A′B′長為半徑作圓．
①猜想：直線BB′與⊙A′的位置關系，并證明你的結論；
②連接A′B，求線段A′B的長度；
(3)如圖(3)，在△ABC中，∠ABC＝α(90°＜α＜180°)，AB＝m，BC＝n，將△ABC繞點C逆時針旋轉2β角度(0°＜2β＜180°)得到△A′B′C，連接A′B和BB′，以點A′為圓心，A′B′長為半徑作圓．當角α與角β滿足什么條件時，直線BB′與⊙A′相切，請說明理由，并求此條件下線段A′B的長度．(結果用角α或角β的三角函數及字母m，n所組的式子表示)
解：(1)∠A′B′B＝65°；(2)①猜想：直線BB′與⊙A′相切．證明：由旋轉得∠A′B′C＝∠ABC＝150°，CB＝CB′，∠BCB′＝60°，∴∠BB′C＝(180°－∠BCB′)＝60°，∴∠A′B′B＝∠A′B′C－∠BB′C＝150°－60°＝90°，即BB′⊥A′B′，∴直線BB′與⊙A′相切；②由旋轉得A′B′＝AB＝3，B′C＝BC＝5，∠BCB′＝60°，∴△BCB′為等邊三角形，∴BB′＝BC＝5.在Rt△A′B′B中，A′B＝＝；(3)滿足條件：α＋β＝180°，理由如下：在△BB′C中，∠BB′C＝＝90°－β，∴∠A′B′B＝α－∠BB′C＝α－(90°－β)＝α＋β－90°，∵α＋β＝180°，∴∠A′B′B＝90°，即BB′⊥A′B′，∴直線BB′與⊙A′相切．過點C作CD⊥BB′于點D，∠B′CD＝∠BCB′＝β，在Rt△B′CD中，B′D＝B′C·sinβ，由α＋β＝180°得到△A′B′B為直角三角形，∴A′B＝＝＝.
5．(2016成都中考)如圖(1)，在△ABC中，∠ABC＝45°，AH⊥BC于點H，點D在AH上，且DH＝CH，連接BD.
,圖(1)) ,圖(2)) ,圖(3))
(1)求證：BD＝AC；
(2)將△BHD繞點H旋轉，得到△EHF(點B，D分別與點E，F對應)，連接AE.
①如圖(2)，當點F落在AC上時(點F不與點C重合)，若BC＝4，tanC＝3，求AE的長；
②如圖(3)，當△EHF由△BHD繞點H逆時針旋轉30°時，設射線CF與AE相交于點G，連接GH.試探究線段GH與EF之間滿足的數量關系，并說明理由．
解：(1)∵∠ABC＝45°，AH⊥BC，∴△ABH是等腰直角三角形，∴BH＝AH，∠BHD＝∠AHC＝90°，又DH＝CH，∴△BHD≌△AHC，∴BD＝AC；(2)①過點H作HM⊥AE交AE于點M，在Rt△AHC中，∵tanC＝3，∴＝3.∴BH＝AH＝3CH，∴BC＝4，又∵BH＋CH＝4CH＝4，∴CH＝1，BH＝3，由旋轉的性質可以得到，HE＝BH＝AH＝3，HF＝HC＝1，∠EHF＝∠AHC＝90°，∴∠EHA＝∠FHC，∴∠EAH＝∠C，AM＝EM，tan∠EAH＝tanC＝3，設AM＝x，HM＝3x，在Rt△AHM中，AH2＝AM2＋HM2，∴x＝，∴AE＝2AM＝2x＝；②EF＝2CH，設AH交CG于點N，由旋轉的性質可以得到HE＝HA，HF＝HC，∵旋轉角為30°，∴∠FHD＝∠BHE＝30°，∴∠EHA＝∠FHC＝120°，∴∠FCH＝∠GAH＝30°，∴△ANG∽△CNH，∴∠AGN＝∠CHN＝90°，＝，∴＝＝，又∵∠GNH＝∠AHC，∴△GNH∽△ANC，∴＝＝，∴＝＝2，∴EF＝2GH.
第二節　平移與旋轉
　 　　　　　 　　　　　 　　　　
1．(2016舟山中考)如圖，將斜邊長為4的直角三角板放在直角坐標系xOy中，兩條直角邊分別與坐標軸重合，P為斜邊的中點．現將此三角板繞點O順時針旋轉120°后點P的對應點的坐標是(　B　)
A．(，1) B．(1，－)
C．(2，－2) D．(2，－2)
2．(2016臨沂中考)如圖，將等邊△ABC繞點C順時針旋轉120°得到△EDC，連接AD，BD.則下列結論：
①AC＝AD；②BD⊥AC；③四邊形ACED是菱形．
其中正確的個數是(　D　)
A．0 B．1 C．2 D．3
(第2題圖)
　　　(第3題圖)
3．(2016河南中考)如圖，已知菱形OABC的頂點O(0，0)，B(2，2)，若菱形繞點O逆時針旋轉，每秒旋轉45°，則第60秒時，菱形的對角線交點D的坐標為(　B　)
A．(1，－1) B．(－1，－1)
C．(，0) D．(0，－)
4．(2016遵義紅花崗二模)如圖，點O，A，B，C，D都在方格紙的格點上，若△AOB繞點O按逆時針方向旋轉到△COD的位置，則旋轉的角度為(　C　)
A．30° B．45° C．90° D．135°
,(第4題圖))　　,(第5題圖))
5．(2016錦州中考)如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉得到△ADE，點C和點E是對應點，若∠CAE＝90°，AB＝1，則BD＝____．
6．(2016泰安中考)如圖，等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點O分斜邊AB為BO∶OA＝1∶，將△BOC繞C點順時針方向旋轉到△AQC的位置，則∠AQC＝__105°__．
,(第6題圖))　　　,(第7題圖))
7．(2017中考預測)如圖，在正方形ABCD中，AD＝1，將△ABD繞點B順時針旋轉45°得到△A′BD′，此時A′D′與CD交于點E，則DE的長度為__2－__.
8．(2016湘潭中考)如圖，△COD是△AOB繞點O順時針旋轉40°后得到的圖形，若點C恰好落在AB上，且∠AOD的度數為90°，則∠B的度數是__60°__．
(第8題圖)
　　　(第9題圖)
9．(2017中考預測)如圖，線段OA垂直射線OB于點O，OA＝4，⊙A的半徑是2.將OB繞點O沿順時針方向旋轉，當OB與⊙A相切時，OB旋轉的角度為__60°或120°__．
10．(2016巴中中考)如圖，△ACB是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，△EFG是以A點為中心的等邊三角形，P為△EFG邊上的任意一點，連接CP，把CP繞點C順時針旋轉90°到CQ的位置，連接BQ.
(1)求證：AP＝BQ；
(2)隨著P點運動，其對應點Q也隨著運動，請說出Q點運動所形成圖形的具體形狀、位置；
(3)當點P在邊AB上，且CP＝5時，直接寫出P與Q兩點之間的距離．
解：(1)∵∠ACB＝∠PCQ＝90°，∴∠PCA＝∠BCQ，∵AC＝BC，PC＝QC，∴△ACP≌△BCQ，∴AP＝BQ；(2)Q點運動所形成的圖形是和△EFG全等的等邊三角形，其中心為B，是△EFG繞點C旋轉90°得到的；(3)PQ＝5.
11．(2016昆明中考)如圖，△ABC三個頂點的坐標分別為A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)．
(1)請畫出將△ABC向左平移4個單位長度后得到的圖形△A1B1C1；
(2)請畫出△ABC關于原點O成中心對稱的圖形△A2B2C2；
(3)在x軸上找一點P，使PA＋PB的值最小，請直接寫出點P的坐標．
略
12．(2016吉林中考)(1)如圖(1)，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以點B為中心，把△ABC逆時針旋轉90°，得到△A1BC1；再以點C為中心，把△ABC順時針旋轉90°，得到△A2B1C，連接C1B1，則C1B1與BC的位置關系為________；
(2)如圖(2)，當△ABC是銳角三角形，∠ABC＝α(α≠60°)時，將△ABC按照(1)中的方式旋轉α，連接C1B1，探究C1B1與BC的位置關系，寫出你的探究結論，并加以證明；
(3)如圖(3)，在圖(2)的基礎上，連接B1B，若C1B1＝BC，△C1BB1的面積為4，則△B1BC的面積為________．
解：(1)平行；
(2)C1B1∥BC.理由如下：如圖，過C1作C1E∥B1C，交BC于點E，則∠C1EB＝∠B1CB，由旋轉的性質知，BC1＝BC＝B1C，∠C1BC＝∠B1CB，∴∠C1BC＝∠C1EB，∴C1B＝C1E，∴C1E＝B1C，∴四邊形C1ECB1是平行四邊形，∴C1B1∥BC；(3)6.
13．(2015昆明中考)如圖，△ABC三個頂點的坐標分別為A(2，4)，B(1，1)，C(4，3)．
(1)請畫出△ABC關于x軸對稱的△A1B1C1，并寫出點A1的坐標；
(2)請畫出△ABC繞點B逆時針旋轉90°后的△A2BC2；
(3)求出(2)中C點旋轉到C2點所經過的路徑長．(結果保留根號和π)
解：(1)△A1B1C1如圖所示， 點A1的坐標為(2，－4)；(2)△A2BC2如圖所示；(3)BC＝＝，∴C點旋轉到C2點所經過的路徑長為＝.
階段測評(六)　圖形的變化
(時間：45分鐘　總分：100分)
一、選擇題(每小題4分，共40分)
1．(2017中考預測)下列四個圓形圖案中，分別以它們所在圓的圓心為旋轉中心，順時針旋轉120°后，能與原圖形完全重合的是(　A　)
　 　　　　　 　　　　　 　　　　
,A) 　,B) 　,C) 　,D)
2．(2016湖州中考)由六個相同的立方體搭成的幾何體如圖所示，則它的主視圖是(　A　)
　　,A)　　　　,B)
,C) ,D)
3．(2016紹興中考)我國傳統建筑中，窗框[如圖(1)]的圖案玲瓏剔透，千變萬化，窗框一部分如圖(2)，它是一個軸對稱圖形，其對稱軸有(　B　)
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
4．(2016茂名中考)如圖是某幾何體的三視圖，該幾何體是(　D　)
A．球
B．三棱柱
C．圓柱
D．圓錐
5．(2016青島中考)如圖，線段AB經過平移得到線段A′B′，其中點A，B的對應點分別為點A′，B′，這四個點都在格點上．若線段AB上有一個點P(a，b)，則點P在A′B′上的對應點P′的坐標為(　A　)
A．(a－2，b＋3) B．(a－2，b－3)
C．(a＋2，b＋3) D．(a＋2，b－3)
6．(2016資陽中考)如圖是一個正方體紙盒的外表面展開圖，則這個正方體是(　C　)
　,A)　　　,B)　　　,C)　　　,D)
7．(2016大慶中考)由若干邊長相等的小正方體構成的幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖如圖所示，則構成這個幾何體的小正方體有(　B　)
A．5個 B．6個 C．7個 D．8個
8．(2016海南中考)如圖，AD是△ABC的中線，∠ADC＝45°，把△ADC沿著直線AD對折，點C落在點E的位置．如果BC＝6，那么線段BE的長度為(　D　)
A．6 B．6 C．2 D．3
(第8題圖)
　　　(第9題圖)
9．(2016黃石中考)如圖所示，線段AC的垂直平分線交線段AB于點D，∠A＝50°，則∠BDC＝(　B　)
A．50° B．100° C．120° D．130°
10．(2016湖州中考)如圖(1)，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝4，BC＝7.如圖(2)，在底邊BC上取一點D，連接AD，使得∠DAC＝∠ACD.如圖(3)，將△ACD沿著AD所在直線折疊，使得點C落在點E處，連接BE，得到四邊形ABED.則BE的長是(　B　)
A．4 B. C．3 D．2
二、填空題(每小題5分，共20分)
11．(2016西寧虎臺中學模擬)如圖是一個長方體的三視圖(單位：cm)，根據圖中數據計算這個長方體的體積是__24__cm3.
,(第11題圖))　　　,(第12題圖))
12．(2016青海湟川中學模擬)如圖，點A，B，C的坐標分別為(2，4)，(5，2)，(3，－1)，若以點A，B，C，D為頂點的四邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，則點D的坐標為__(0，1)__．
13．在平面直角坐標系中，線段AB的兩個端點的坐標分別為A(－2，1)，B(1，3)，將線段AB經過平移后得到線段A′B′.若點A的對應點為A′(3，2)，則點B的對應點B′的坐標是__(6，4)__．
14．如圖，將周長為8的△ABC沿BC方向平移1個單位長度得△DEF，則四邊形ABFD的周長為__10__．
三、綜合題(40分)
15．(12分)如圖所示，正方形網格中，△ABC為格點三角形．(即三角形的頂點都在格點上)
(1)把△ABC沿BA方向平移后，點A移到點A1，在網格中畫出平移后得到的△A1B1C1；
(2)把△A1B1C1繞點A1按逆時針方向旋轉90°，在網格中畫出旋轉后的△A1B2C2；
(3)如果網格中小正方形的邊長為1，求點B經過(1)、(2)變換的路徑總長．
解：(1)略；(2)略；(3)∵B→B1的路徑長為：BB1＝＝3，B1→B2的路徑長為：＝＝π，∴B→B2的路徑長為：BB1＋＝3＋π.
16．(14分)(2016紹興中考)對于坐標平面內的點，現將該點向右平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度，這種點的運動稱為點A的斜平移，如點P(2，3)經1次斜平移后的點的坐標為(3，5)．已知點A的坐標為(1，0)．
(1)分別寫出點A經1次、2次斜平移后得到的點的坐標．
(2)如圖，點M是直線l上的一點，點A關于點M的對稱點為點B，點B關于直線l的對稱點為點C.
①若A，B，C三點不在同一條直線上，判斷△ABC是否是直角三角形？請說明理由．
②若點B由點A經n次斜平移后得到，且點C的坐標為(7，6)，求出點B的坐標及n的值．
略
17．(14分)(2016十堰中考)如圖，將矩形紙片ABCD(AD>AB)折疊，使點C剛好落在線段AD上，且折痕分別與邊BC，AD相交，設折疊后點C，D的對應點分別為點G，H，折痕分別與邊BC，AD相交于點E，F.
(1)判斷四邊形CEGF的形狀，并證明你的結論；
(2)若AB＝3，BC＝9，求線段CE的取值范圍．
解：(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠GFE＝∠FEC，∵圖形翻折后點G與點C重合，EF為折線，∴∠GEF＝∠FEC，∴∠GFE＝∠FEG，∴GF＝GE，∵圖形翻折后EC與GE完全重合，∴GE＝EC，∴GF＝EC，又∵GF∥EC，∴四邊形CEGF為平行四邊形，∴四邊形CEGF為菱形；(2)如圖(1)，當F與D重合時，CE取最小值，由折疊的性質得CD＝DG，∠CDE＝∠GDE＝45°，∵∠ECD＝90°，∴∠DEC＝45°＝∠CDE，∴CE＝CD＝DG，∵DG∥CE，∴四邊形CEGD是矩形，∴CE＝CD＝AB＝3；如圖(2)，當G與A重合時，CE取最大值，由折疊的性質得AE＝CE，∵∠B＝90°，∴AE2＝AB2＋BE2，即CE2＝32＋(9－CE)2，∴CE＝5，∴線段CE的取值范圍3≤CE≤5.
圖(1)
　　圖(2)

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