資源簡介

高一年級寒假課程學習效果驗收考試
數學試卷
考生注意：
1．本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共4頁．
2．答卷前，考生務必用藍、黑色字跡的鋼筆或圓珠筆將自己的姓名、班級和學號填寫在相應位置上．
3．本次考試時間120分鐘，滿分150分．
第Ⅰ卷(共60分)
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．滿足A∪{－1,1}＝{－1,0,1}的集合A共有(　　)
A．2個 B．4個
C．8個 D．16個
2．下列函數中，既是偶函數又在區間(－∞，0)上單調遞增的是(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝x2＋1
C．f(x)＝x3 D．f(x)＝2－x
3．如果直線ax＋3y＋1＝0與直線2x＋2y－3＝0互相垂直，那么a的值等于(　　)
A．3 B．－
C．－3 D.
4．已知正方形的周長為x，它的外接圓的半徑為y，則y關于x的解析式為(　　)
A．y＝x B．y＝x
C．y＝x D．y＝x
5．方程x－1＝lgx必有一個根的區間是(　　)
A．(0.1,0.2) B．(0.2,0.3)
C．(0.3,0.4) D．(0.4,0.5)
6．已知f(x)＝則f{f[f(－2)]}的值為(　　)
A．0 B．2
C．4 D．8
7．某單位職工工資經過六年翻了三番，則每年比上一年平均增長的百分率是(　　)
(下列數據僅供參考：＝1.41，＝1.73，＝1.44，＝1.38)
A．38% B．41%
C．44% D．73%
8．比較1.5、23.1、2的大小關系是(　　)
A．23.1＜2＜1.5 B．1.5＜23.1＜2
C．1.5＜2＜23.1 D．2＜1.5＜23.1
9．過球的一條半徑的中點，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積是球的表面積的(　　)
A. B.
C. D.
10．已知直線l過圓x2＋(y－3)2＝4的圓心，且與直線x＋y＋1＝0垂直，則l的方程是(　　)
A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0
11．平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為，則此球的體積為(　　)
A.π B．4π
C．4π D．6π
12．如圖所示，將等腰直角△ABC沿斜邊BC上的高AD折成一個二面角，此時∠B′AC＝60°，那么這個二面角大小是(　　)
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A．90° B．60°
C．45° D．30°
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)
13．方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一個圓，則m的范圍是________．
14．下列四個命題：①若a∥b，a∥α， ( http: / / www.21cnjy.com )則b∥α；②若a∥α，b α，則a∥b；③若a∥α，則a平行于α內所有的直線；④若a∥α，a∥b，b α，則b∥α.
其中正確命題的序號是________．
15．已知函數f(x)＝若f(a)＝，則a＝______.
16．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為________．
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三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
17．(10分)已知集合A＝{x||x－a|<4}，B＝{x|x2－4x－5＞0}．
(1)若a＝1，求A∩B；
(2)若A∪B＝R，求實數a的取值范圍．
18．(12分)設直線l的方程為(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在兩坐標軸上的截距相等，求l的方程．
(2)若l不經過第二象限，求實數a的取值范圍．
19．(12分)已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
(1)若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，且截距不為零，求此切線的方程；
(2)從圓C外一點P(x1，y1)向該圓引一條切線，切點為M，O為坐標原點，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的點P的坐標．
20．(12分)已知f(x)為定義在[－1,1]上的奇函數，當x∈[－1，0]時，函數解析式f(x)＝－(a∈R)．
(1)寫出f(x)在[0,1]上的解析式；
(2)求f(x)在[0,1]上的最大值．
21．(12分)如圖，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥BC，∠A1AC＝60°，A1A＝AC＝BC＝1，A1B＝.
(1)求證：平面A1BC⊥平面ACC1A1；
(2)如果D為AB中點，求證：BC1∥平面A1CD.
22．(12分)如圖，在三棱柱ABC－A1 ( http: / / www.21cnjy.com )B1C1中，側棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分別是A1C1，BC的中點．
(1)求證：平面ABE⊥平面B1BCC1；
(2)求證：C1F∥平面ABE；
(3)求三棱錐E－ABC的體積．
詳解答案
1．B　[由題意知A＝{0}或A＝{0，－1}或A＝{0,1}或A＝{－1,0,1}，共4個．故選B.]
2．A　[A中f(x)＝是偶函數，且在( ( http: / / www.21cnjy.com )－∞，0)上是增函數，故A滿足題意．B中f(x)＝x2＋1是偶函數，但在(－∞，0)上是減函數．C中f(x)＝x3是奇函數．D中f(x)＝2－x是非奇非偶函數．故B，C，D都不滿足題意．]
3．C　[由兩直線垂直可得2a＋3×2＝0，所以a＝－3，故選C.]
4．C　[正方形的對角線長為x，從而外接圓半徑為y＝×x＝x.]
5．A　[設f(x)＝lg ( http: / / www.21cnjy.com )x－x＋1，f(0.1)＝lg0.1－0.1＋1＝－0.1<0，f(0.2)＝lg0.2－0.2＋1≈0.1>0，
f(0.1)f(0.2)<0.]
6．C　[∵－2<0，∴f(－2)＝0，
∴f[f(－2)]＝f(0)＝2>0，
f{f[f(－2)]}＝f(2)＝4.故選C.]
7．B　[設職工原工資為p，平均增長率為x，則p(1＋x)6＝8p，x＝－1＝－1＝41%.]
8．D　[∵1.5＝1.5－3.1＝()3.1，
2＝2－3.1＝()3.1，
又冪函數y＝x3.1在(0，＋∞)上是增函數，＜＜2，
∴()3.1＜()3.1＜23.1，故選D.]
9．A　[如圖所示的過球心的截面圖，
r＝＝R，
＝＝.]
10．D　[圓x2＋(y－3)2＝4的圓心為點(0,3)，
又因為直線l與直線x＋y＋1＝0垂直，
所以直線l的斜率k＝1.
由點斜式得直線l：y－3＝x－0，化簡得x－y＋3＝0.]
11．B　[利用截面圓的性質先求得球的半徑長．
如圖，設截面圓的圓心為O′，M為截面圓上任一點，則OO′＝，O′M＝1，
∴OM＝＝，
即球的半徑為，
∴V＝π()3＝4π.]
12．A　[連接B′C，則△AB′C為等邊三角形，設AD＝a，
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則B′D＝DC＝a，B′C＝AC＝a，
所以∠B′DC＝90°.]
13．(－∞，)
解析　D2＋E2－4F＝(－1)2＋12－4m＞0，得m<.
14．④
解析?、僦衎可能在α內；②a與b可能異面或者垂直；③a可能與α內的直線異面或垂直．
15.或－1
解析　當a＞0時，log2a＝，則a＝；當a≤0時，2a＝，則a＝－1.
16．24
解析　由俯視圖可以判斷該幾何體的底面為 ( http: / / www.21cnjy.com )直角三角形，由正視圖和左視圖可以判斷該幾何體是由直三棱柱(側棱與底面垂直的棱柱)截取得到的．在長方體中分析還原，如圖(1)所示，故該幾何體的直觀圖如圖(2)所示．在圖(1)中，V棱柱ABC－A1B1C1＝S△ABC·AA1＝×4×3×5＝30，V棱錐P－A1B1C1＝S△A1B1C1·PB1＝××4×3×3＝6.故幾何體ABC－PA1C1的體積為30－6＝24.故選C.
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17．解　(1)當a＝1時，
A＝{x||x－1|<4}＝{x|－3x2－4x－5＞0 x<－1或x＞5，
則B＝{x|x<－1或x＞5}．A∩B＝{x|－3(2)根據題意，得A＝{x|a－4B＝{x|x<－1或x＞5}，
若A∪B＝R，則有，
解可得118．解　(1)令x＝0，得y＝a－2.
令y＝0，得x＝(a≠－1)．
由a－2＝，解得a＝2，或a＝0.
∴所求直線l的方程為3x＋y＝0，或x＋y＋2＝0.
(2)直線l的方程可化為y＝－(a＋1)x＋a－2.
∵l不過第二象限，∴
∴a≤－1.∴a的取值范圍為(－∞，－1]．
19．解　(1)∵切線在兩坐標軸上的截距相等且截距不為零，
∴設切線方程為x＋y＝a(a≠0)，
又∵圓C：(x＋1)2＋(y－2)2＝2，
∴圓心C(－1,2)到切線的距離等于圓的半徑，
∴＝ a＝－1，或a＝3，則所求切線的方程為x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.
(2)∵切線PM與半徑CM垂直，
∴|PM|2＝|PC|2－|CM|2，
∴(x1＋1)2＋(y1－2)2－2＝x＋y，
∴2x1－4y1＋3＝0，
∴動點P的軌跡是直線2x－4y＋3＝0.
|PM|的最小值就是|PO|的最小值，而|PO|的最小值為O到直線2x－4y＋3＝0的距離d＝.此時P點的坐標為(－，)．
20．解　(1)∵f(x)為定義在[－1,1]上的奇函數，且f(x)在x＝0處有意義，∴f(0)＝0，
即f(0)＝－＝1－a＝0.∴a＝1.
設x∈[0,1]，則－x∈[－1,0]．
∴f(－x)＝－＝4x－2x.
又∵f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝4x－2x.
∴f(x)＝2x－4x.
(2)當x∈[0,1]時，f(x)＝2x－4x＝2x－(2x)2，
∴設t＝2x(t＞0)，則f(t)＝t－t2.
∵x∈[0,1]，∴t∈[1,2]．當t＝1時，取最大值，最大值為1－1＝0.
21．證明　(1)因為∠A1AC＝60°，A1A＝AC＝1，
所以△A1AC為等邊三角形．所以A1C＝1.
因為BC＝1，A1B＝，所以A1C2＋BC2＝A1B2.
所以∠A1CB＝90°，即A1C⊥BC.
因為BC⊥A1A，BC⊥A1C，AA1∩A1C＝A1，
所以BC⊥平面ACC1A1.
因為BC 平面A1BC，
所以平面A1BC⊥平面ACC1A1.
(2) 連接AC1交A1C于點O，連接OD.
因為ACC1A1為平行四邊形，
所以O為AC1的中點．
因為D為AB的中點，
所以OD∥BC1.
因為OD 平面A1CD，BC1 平面A1CD，
所以BC1∥平面A1CD.
22．(1)證明　在三棱柱ABC－A1B1C1中，
BB1⊥底面ABC，
所以BB1⊥AB.
又因為AB⊥BC，
所以AB⊥平面B1BCC1，
又AB 平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.
(2)證明　取AB的中點G，連接EG，FG.
因為E，F分別是A1C1，BC的中點，
所以FG∥AC，且FG＝AC.
因為AC∥A1C1，且AC＝A1C1，
所以FG∥EC1，且FG＝EC1，
所以四邊形FGEC1為平行四邊形．
所以C1F∥EG.
又因為EG 平面ABE，C1F 平面ABE，
所以C1F∥平面ABE.
(3)解　因為AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，
所以AB＝＝.
所以三棱錐E－ABC的體積V＝S△ABC·AA1
＝×××1×2＝.

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