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專題2　函數(shù)的概念及其表示
1．函數(shù)的基本概念
(1)函數(shù)的定義
一般地，設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，通常記為y＝f(x)，x∈A.
(2)函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域．
(3)函數(shù)相等：如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等．
2．函數(shù)的表示法
表示函數(shù)的常用方法有：解析法、圖象法、列表法．
3．映射的概念
4．區(qū)間的分類
開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間．
5．分段函數(shù)
例1　試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)：
(1)f(x)＝，g(x)＝；
(2)f(x)＝，g(x)＝
(3)f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1.
變式訓(xùn)練1　試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)：
(1)y＝1，y＝x0；
(2)y＝·，y＝；
(3)y＝x，y＝；
(4)y＝|x|，y＝()2.
例2　已知函數(shù)f(x)＝＋.
(1)求函數(shù)的定義域；
(2)求f(－1)，f(7)，f(a－2)(a>0，且a≠3)的值．
變式訓(xùn)練2　已知函數(shù)f(x)＝.
(1)求函數(shù)的定義域；
(2)求f(2)－f()的值．
例3　已知某廣告公司某年的1至6月份的經(jīng)濟(jì)收入如下：1月份為10000元，從2月份起每月的收入比上一個(gè)月多5000元，用表格、圖象、解析式三種形式表示該公司1至6月份的收入y(元)與月份序號(hào)x的函數(shù)關(guān)系，并指出函數(shù)的定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系．
變式訓(xùn)練3　某商場(chǎng)新進(jìn)了8臺(tái)彩電，每臺(tái)售價(jià)3000元，試求出售臺(tái)數(shù)x與收款數(shù)y之間的函數(shù)關(guān)系，分別用列表法、圖象法、解析法表示出來．
例4　若f(2x－1)＝x2，求f(x)．
變式訓(xùn)練4　若f(x＋1)＝2x2＋1，求f(x)．
A級(jí)
(以下3個(gè)小題考查的是函數(shù)的基本概念．理解函數(shù)的有關(guān)概念是解決下列問題的關(guān)鍵)
1．下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系的是(　　)
A．真空中自由落體運(yùn)動(dòng)物體的下落距離和下落時(shí)間
B．正方形邊長(zhǎng)和面積
C．正n邊形邊數(shù)和頂點(diǎn)角度之和
D．人的年齡和身高
2．函數(shù)f(x)＝ln(x2－x)的定義域?yàn)?　　)
A．(0,1)
B．[0,1]
C．(－∞，0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
3．下列說法中，不正確的是(　　)
A．函數(shù)值域中的每一個(gè)數(shù)都有定義域中的數(shù)與之對(duì)應(yīng)
B．函數(shù)的定義域和值域一定是無限集合
C．定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系確定后，函數(shù)值域也就確定了
D．若函數(shù)的定義域只有一個(gè)元素，則值域也只有一個(gè)元素
4．設(shè)函數(shù)f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，則g(x)的表達(dá)式是(　　)
A．2x＋1B．2x－1C．2x－3D．2x＋7
5．已知函數(shù)f(x)＝則滿足方程f(a)＝1的所有a的值組成的集合為________．
6．函數(shù)y＝＋的定義域?yàn)開_______________．
(第7題要掌握求函數(shù)的解析式的方法，比較常見的方法有代入法、換元法、待定系數(shù)法和解函數(shù)方程等)
7．已知f(－1)＝x＋2，則f(x)＝________________.
B級(jí)
8．設(shè)f(x)＝g(x)＝
則f[g(π)]的值為(　　)
A．1B．0C．－1D．π
9．小明騎車上學(xué)，開始時(shí)勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間，后為了趕時(shí)間加快速度行駛．與以上事件吻合得最好的圖象是(　　)
(第10題是求抽象函數(shù)的定義域，求解關(guān)鍵是理解函數(shù)自變量的定義)
10．已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－1,0)，則函數(shù)f(2x＋1)的定義域?yàn)?　　)
A．(－1,1) B．(－1，－)
C．(－1,0) D．(，1)
(第11題考查映射的概念和應(yīng)用，需要透徹理解映射的概念．)
11.已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1，－2}，設(shè)映射f：A→B，如果集合B中的元素都是A中元素在f下的象，那么這樣的映射有________個(gè)．
12．已知函數(shù)f(x)＝2x－1，則f[f(x)]≥1的解集為________________．
(第13題考查了列代數(shù)式及一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出代數(shù)式或方程，再求解．)
13．某租賃公司擁有汽車100輛．當(dāng)每輛車的月租金為3000元時(shí)，可全部租出．當(dāng)每輛車的月租金每增加50元時(shí)，未出租的車將會(huì)增加一輛．租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)150元，未租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)50元．
(1)當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時(shí)，能租出多少輛車？
(2)當(dāng)每輛車的月租金定為多少元時(shí)，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？
詳解答案
典型例題
例1　解　對(duì)于(1)，A中，兩個(gè)函數(shù)的解析式不同，故不表示同一函數(shù)；
對(duì)于(2)，由于函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)閧x|x∈R且x≠0}，而函數(shù)g(x)＝的定義域是R，所以二者不是同一函數(shù)；
對(duì)于(3)，f(x)與g(t)的定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函數(shù)．
變式訓(xùn)練1　解　(1)y＝1的定義域?yàn)镽，y＝x0的定義域?yàn)閧x|x∈R且x≠0}，
∴它們不是同一函數(shù)．
(2)y＝·的定義域?yàn)?br/>{x|x≥2}，
y＝的定義域?yàn)閧x|x≥2或x≤－2}，
∴它們不是同一函數(shù)．
(3)y＝x，y＝＝t，它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同，
∴它們是同一函數(shù)．
(4)y＝|x|的定義域?yàn)镽，y＝()2的定義域?yàn)閧x|x≥0}，
∴它們不是同一函數(shù)．
例2　解　(1)要使函數(shù)有意義，只須，
解得x≥－2，且x≠1，
∴原函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≥－2且x≠1}．
(2)f(－1)＝＋＝，f(7)＝＋＝，
f(a－2)＝＋＝＋.
變式訓(xùn)練2　解　(1)要使函數(shù)有意義，只須x≠－1即可，
∴原函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠－1}．
(2)f(2)－f()＝－＝.
例3　解　依據(jù)題意，該公司1到6月份收入為：10000元，15000元，20000元，30000元，35000元．
(1)表格形式如下表：
(2)函數(shù)圖象形式如圖．
(3)解析式形式為：
y＝5000(x＋1)(1≤x≤6，x∈N*)
其定義域?yàn)閧x|1≤x≤6，x∈N*}，值域?yàn)閧10000,15000,20000,25000,30000，35000}，對(duì)應(yīng)關(guān)系是：x→y＝5000(x＋1)．
變式訓(xùn)練3　解　(1)列表法：
(2)圖象法：
(3)解析式形式為：
y＝3000x(1≤x≤8，x∈N*)．
例4　解　∵f(2x－1)＝x2，
∴令t＝2x－1，則x＝，
∴f(t)＝2，∴f(x)＝2.
變式訓(xùn)練4　解　∵f(x＋1)＝2x2＋1，
∴令t＝x＋1，則x＝t－1，
∴f(t)＝2(t－1)2＋1＝2t2－4t＋3，
∴f(x)＝2x2－4x＋3.
強(qiáng)化提高
1．D　[A由物理知識(shí)知，自由落體運(yùn)動(dòng)物體的下落距離h和下落時(shí)間t滿足h＝gt2(t>0)．
B中任意一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)總對(duì)應(yīng)唯一的一個(gè)面積，
C中任意的正n邊形邊數(shù)(n≥3)總對(duì)應(yīng)唯一的頂點(diǎn)角度之和((n－2)180°)，故A，B，C均為函數(shù)關(guān)系，而D中的任意一個(gè)年齡對(duì)應(yīng)的身高不唯一，故而不是函數(shù)關(guān)系，故選D.]
2．C　[要使f(x)＝ln(x2－x)有意義，只需x2－x>0，
解得x>1或x<0.
所以函數(shù)f(x)＝ln(x2－x)的定義域?yàn)?br/>(－∞，0)∪(1，＋∞)．]
3．B
4．B　[∵g(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，
∴g(x)＝2x－1.]
5．{3,0}
解析　當(dāng)a>0時(shí)，由log3a＝1，解得a＝3>0，符合題意，當(dāng)a≤0時(shí)，由()a＝1，解得a＝0，符合題意，綜上所述，a＝0或a＝3.
6．{x|x≥－1且x≠2}
解析　若使該函數(shù)有意義，則有，
∴x≥－1且x≠2，∴其定義域?yàn)閧x|x≥－1且x≠2}.
7．x2＋4x＋3(x≥－1)
解析　令t＝－1(t≥－1)，
則x＝(t＋1)2，
所以f(t)＝(t＋1)2＋2(t＋1)
＝t2＋4t＋3(t≥－1)，
所以f(x)＝x2＋4x＋3(x≥－1)．
8．B
9．C　[排除法．考查四個(gè)選項(xiàng)，橫坐標(biāo)表示時(shí)間，縱坐標(biāo)表示的是距學(xué)校的距離，由此知，此函數(shù)圖象一定是下降的，由此排除A；再由小明騎車上學(xué)，開始時(shí)勻速行駛可得出圖象開始一段是直線下降型，又途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間，故此時(shí)有一段函數(shù)圖象與x軸平行，由此排除D，后為了趕時(shí)間加快速度行駛，此一段時(shí)間段內(nèi)函數(shù)圖象下降的比較快，由此可確定C正確，B不正確．故選C.]
10．B　[∵原函數(shù)的定義域?yàn)?－1,0)，
∴－1<2x＋1<0，解得－1∴則函數(shù)f(2x＋1)的定義域?yàn)?－1，－)．故選B.]
11．14
解析　∵集合A中的元素1,2,3,4各有2種對(duì)應(yīng)情況，
∴映射f：A→B的個(gè)數(shù)是2×2×2×2＝16個(gè)．
∵集合B中的元素不都是A中元素在f下的象的映射有2個(gè)，
∴集合B中的元素都是A中元素在f下的象的映射一共有16－2＝14個(gè)．
12．{x|x≥1}
解析　f[f(x)]＝2f(x)－1＝2(2x－1)－1＝4x－3≥1，
∴4x≥4，x≥1，
故f[f(x)]≥1的解集為{x|x≥1}．
13．解　(1)當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時(shí)，未租出的車輛數(shù)為＝12，∴這時(shí)租出了88輛車．
(2)設(shè)每輛車的月租金為x(x≥3000)元，則租賃公司月收益為
y＝(100－)(x－150)－×50，整理后得：
y＝－＋162x－21000
＝－(x－4050)2＋307050，
∴當(dāng)x＝4050時(shí)，y的最大值為307050，即當(dāng)每輛車的月租金定為4050元時(shí)，租賃公司的月收益最大，最大為307050元．

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