資源簡介

專題3　函數的單調性
1．函數單調性的定義
(1)增函數
(2)減函數
2．函數單調區間的定義
如果函數y＝f(x)在區間D上是增函數或減函數，那么就說函數y＝f(x)在這一區間具有(嚴格的)單調性，區間D叫做y＝f(x)的單調區間．
3．用定義法證明函數單調性的一般步驟
取值——作差——變形——定號——下結論．
4．求單調區間的方法
定義法、圖象法．
5．復合函數y＝f[g(x)]在公共定義域上的單調性
(1)若f與g的單調性相同，則函數f[g(x)]為增函數；
(2)若f與g的單調性相反，則函數f[g(x)]為減函數．
注意：先求定義域，單調區間是定義域的子集．
例1　求證：函數f(x)＝－2x2＋3x－1在區間(－∞，]上是單調遞增函數．
變式訓練1　求證：函數f(x)＝－2x3－x在R上是單調遞減函數．
例2　求下列函數的增區間與減區間：
(1)y＝|x2＋2x－3|；(2)y＝.
變式訓練2　求函數f(x)＝的單調區間和值域．
例3　函數f(x)＝ax2－(3a－1)x＋a2在[1，＋∞)上是增函數，求實數a的取值范圍．
變式訓練3　已知函數f(x)＝－(1＋λ)x2＋2(1－λ)x＋1在[－1,1]上是增函數，求實數λ的取值范圍．
A級
1．下列函數中，在區間(－1,1)上為減函數的是(　　)
A．y＝ B．y＝cosx
C．y＝ln(x＋1) D．y＝2－x
2．函數f(x)的定義域為(a，b)，且對其內任意實數x1，x2均有(x1－x2)(f(x1)－f(x2))<0，則f(x)在(a，b)上是(　　)
A．增函數 B．減函數
C．不增不減函數 D．既增又減函數
3．函數y＝loga(2－ax)在[0,1]上是減函數，則a的取值范圍是(　　)
A．(0,1) B．(0,2)
C．(1,2) D．(2，＋∞)
4．已知f(x)為R上的減函數，則滿足f(x2－2x)A．[－1,3] B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C．(－3,3) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
5．函數f(x)＝(2k－1)x＋1在R上單調遞減，則k的取值范圍是________．
6．函數f(x)＝的單調遞減區間是________．
7．若函數f(x)＝4x2－mx＋5在區間[－2，＋∞)上是增函數，則m的取值范圍是________．
B級
8．函數y＝loga(x2＋2x－3)，當x＝2時，y>0，則此函數的單調遞減區間是(　　)
A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－1，＋∞)
9．函數f(x)在區間(－2,3)上是增函數，則y＝f(x＋5)的一個遞增區間是(　　)
A．(3,8) B．(－7，－2)
C．(－2，－3) D．(0,5)
10．已知f(x)是定義在區間[－1,1]上的增函數，且f(x－2)11．函數f(x)＝lgx2的單調遞減區間是________．
12．給出下列命題：
①y＝在定義域內為減函數；
②y＝(x－1)2在(0，＋∞)上是增函數；
③y＝－在(－∞，0)上為增函數；
④y＝kx不是增函數就是減函數．
其中錯誤命題的個數有________．
13．已知函數y＝f(x)在[0，＋∞)上是減函數，試比較f與f(a2－a＋1)的大小．
14．設函數f(x)＝－ax，其中a>0.證明：當a≥1時，函數f(x)在區間[0，＋∞)上是單調函數．
詳解答案
典型例題
例1　證明　對于區間(－∞，]內的任意兩個值x1，x2，且x1因為f(x1)－f(x2)
＝－2x＋3x1－1－(－2x＋3x2－1)
＝2x－2x＋3x1－3x2
＝(x1－x2)[3－2(x1＋x2)]，
又x1則x1－x2<0，x1＋x2<，
得3－2(x1＋x2)>0，
故(x1－x2)[3－2(x1＋x2)]<0，
即f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以，函數f(x)＝－2x2＋3x－1在區間(－∞，]上是單調遞增函數．
變式訓練1　證明　對于R上的任意兩個值x1，x2，且x1因為f(x1)－f(x2)
＝－2x－x1－(－2x－x2)
＝2x－2x＋x2－x1
＝(x2－x1)[2(x2＋x1)2＋x＋1]，
又x1則x2－x1>0,2(x2＋x1)2＋x＋1>0，
得(x2－x1)[2(x2＋x1)2＋x＋1]>0，
故f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
所以函數f(x)＝－2x3－x在R上是單調減函數．
例2　解　(1)令f(x)＝x2＋2x－3
＝(x＋1)2－4.
先作出f(x)的圖象，保留其在x軸及x軸上方部分，把它在x軸下方的圖象翻到x軸上方就得到y＝|x2＋2x－3|的圖象，如下圖所示．由圖象易得：
遞增區間是[－3，－1]，[1，＋∞)，遞減區間是(－∞，－3]，[－1,1]．
(2)由－x2－2x＋3≥0，得－3≤x≤1.
令u＝g(x)＝－x2－2x＋3
＝－(x＋1)2＋4.
在x∈[－3，－1]上是單調遞增，
在x∈[－1,1]上是單調遞減.
而y＝在u≥0上是增函數．
∴函數y的增區間是[－3，－1]，減區間是[－1,1]．
變式訓練2　解　由－x2＋6x－8≥0，可得x2－6x＋8≤0，
∴2≤x≤4，即函數的定義域為[2,4]，
令g(x)＝－x2＋6x－8＝－(x－3)2＋1，
∴函數g(x)在(－∞，3)上單調遞增，在(3，＋∞)上單調遞減，
∴函數f(x)＝的單調增區間為[2,3]，單調減區間為[3,4]，
∵0≤g(x)≤1，∴函數的值域為[0,1]．
例3　解　當a＝0時，f(x)＝x在區間[1，＋∞)上是增函數．
當a≠0時，對稱軸x＝，
當a>0時，由，得0若a<0時，無解．
∴a的取值范圍是0≤a≤1.
變式訓練3　解　f(x)＝－(1＋λ)x2＋2(1－λ)x＋1
①當λ＝－1時，f(x)＝4x＋1在[－1,1]上是增函數，
∴λ＝－1滿足題意．
②當λ≠－1時，對稱軸方程為x＝，
(ⅰ)當λ<－1時，≤－1，
解得λ<－1；
(ⅱ)當λ>－1時，≥1，
解得－1<λ≤0；綜上，λ≤0.
強化提高
1．D　[y＝與y＝ln(x＋1)在區間(－1,1)上為增函數；
y＝cosx在區間(－1,1)上不是單調函數；y＝2－x＝x在(－1,1)上單調遞減．]
2．B　[∵(x1－x2)(f(x1)－f(x2))<0?
或
即當x1f(x2)或當x1>x2時，f(x1)不論哪種情況，都說明f(x)在(a，b)上為減函數．]
3．C　[∵a>0，∴2－ax在[0,1]上是減函數．
∴y＝logau應為增函數，且u＝2－ax在[0,1]上應恒大于零．
∴，∴14．B　[因為f(x)為R上的減函數，
且f(x2－2x)所以x2－2x>3，即x2－2x－3>0，
解得x<－1或x>3，
所以滿足f(x2－2x)5．(－∞，)
解析　因為f(x)＝(2k－1)x＋1在R上單調遞減，
所以2k－1<0，解得k<，
所以k的取值范圍為(－∞，)．
6．(－∞，－1]
解析　令x2－x－2>0，
得x<－1，或x>2，
∴函數f(x)＝的定義域為(－∞，－1]∪[2，＋∞)，
∵f(x)＝
＝，
∴單調遞減區間是(－∞，－1]．
7．m≤－16
解析　由題意，得函數f(x)＝4x2－mx＋5的對稱軸x＝≤－2，所以m≤－16.
8．A　[當x＝2時，y＝loga(22＋2×2－3)，
∴y＝loga5>0，∴a>1，
由復合函數單調性知單減區間須滿足
，解之得x<－3.]
9．B　[令－210．[1，)
解析　由題意，得
解得1≤x<，
故滿足條件的x的取值范圍是1≤x<.
11．(－∞，0)
解析　
函數f(x)是定義域為{x|x≠0}的偶函數，
且f(x)＝lgx2
＝
函數大致圖象如圖所示，所以函數的單調遞減區間是(－∞，0)．
12．3
解析　y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)為減函數，所以①錯誤；
根據函數y＝(x－1)2的圖象可知，函數在(1，＋∞)上是增函數，所以②錯誤；
根據其函數圖象可知，y＝－在(－∞，0)上為增函數，所以③是正確的；
其中④中若k＝0，則命題不成立，④錯誤．
13．解　a2－a＋1＝2＋≥＞0，
∵y＝f(x)在[0，＋∞)上是減函數，
∴f(a2－a＋1)≤f.
14．證明　在區間[0，＋∞)上任取x1、x2，使得x1則f(x1)－f(x2)＝－－a(x1－x2)
＝－a(x1－x2)
＝(x1－x2)(－a)．
∵<1，且a≥1，
∴－a<0，
又x1－x2<0，∴f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)．
所以，當a≥1時，函數f(x)在區間[0，＋∞)上是單調遞減函數．

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