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專題4　函數的奇偶性
1．函數的奇偶性定義
對于函數f(x)的定義域內任意一個x：
(1)f(－x)＝f(x)?f(x)是偶函數；
(2)f(－x)＝－f(x)?f(x)是奇函數．
2．函數的奇偶性的性質
(1)對稱性：奇(偶)函數的定義域關于原點對稱；
(2)整體性：奇偶性是函數的整體性質，對定義域內任意一個x必須成立；
(3)可逆性：f(－x)＝f(x)?f(x)是偶函數；f(－x)＝－f(x)?f(x)是奇函數；
(4)等價性：偶函數：f(－x)－f(x)＝0；奇函數：f(－x)＋f(x)＝0；
(5)奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱．
3．分類
奇函數，偶函數，既是奇函數又是偶函數，非奇非偶函數．
4．函數的奇偶性判斷方法與步驟
利用定義判斷：(1)定義域是否關于原點對稱，(2)數量關系f(－x)＝±f(x)哪一個成立．
例1　判斷下列函數是否具有奇偶性．
(1)f(x)＝x＋x3＋x5；
(2) f(x)＝＋.
變式訓練1　判斷下列函數是否具有奇偶性．
(1)f(x)＝x2＋1；
(2)f(x)＝x＋1；
(3)f(x)＝x2，x∈[－1,3]．
例2　求函數f(x)＝的奇偶性．
變式訓練2　判定函數f(x)＝的奇偶性．
例3　若f(x)是定義在R上的奇函數，當x<0時，f(x)＝x(1－x)，求當x≥0時，函數f(x)的解析式．
變式訓練3　已知函數f(x)是定義在(－∞，＋∞)上的偶函數，當x∈(－∞，0)時，f(x)＝x－x4，求當x∈(0，＋∞)時，f(x)的表達式．
A級
1．函數f(x)＝2x3的圖象(　　)
A．關于y軸對稱B．關于x軸對稱
C．關于直線y＝x對稱D．關于原點對稱
2．已知f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1,2a]上的偶函數，那么a＋b的值是(　　)
A．－B.C.D．－
3．函數f(x)＝x＋(　　)
A．是奇函數，但不是偶函數
B．是偶函數，但不是奇函數
C．既是奇函數，又是偶函數
D．既不是奇函數，又不是偶函數
4．設f(x)是定義在R上的奇函數，當x≤0時，f(x)＝2x2－x，則f(1)等于(　　)
A．－3B．－1C．1D．3
5．若f(x)＝(x＋a)(x－4)為偶函數，則實數a＝________.
6．若奇函數f(x)的定義域為[p，q]，則p＋q＝________.
7．奇函數f(x)的定義域為[－2,2]，若f(x)在[0,2]上單調遞減，且f(1＋m)＋f(m)<0，則實數m的取值范圍是________．
B級
8．定義在R上的函數f(x)在(－∞，2)上是增函數，且f(x＋2)＝f(2－x)對任意x∈R恒成立，則(　　)
A．f(－1)＜f(3) B．f(0)＞f(3)
C．f(－1)＝f(3) D．f(0)＝f(3)
9．已知函數f(x)對任意的x∈R有f(x)＋f(－x)＝0，且當x>0時，f(x)＝ln(x＋1)，則函數f(x)的大致圖象為(　　)
10．函數f(x)＝x|x＋a|＋b是奇函數，則(　　)
A．a·b＝0 B．a＋b＝0
C．a2＋b2＝0 D．a＝b
11．定義在[－2,2]上的奇函數f(x)，當x∈(0,2]時，f(x)＝－x＋1，則不等式f(x)－f(－x)≥2x的解集為________．
12．函數f(x)在R上為奇函數，且x>0時，f(x)＝＋1，則當x<0時，f(x)＝________.
13．函數f(x)的定義域為D＝{x|x≠0}，且滿足對于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判斷f(x)的奇偶性并證明你的結論；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函數，求x的取值范圍．
14．設函數f(x)＝.
(1)判斷它的奇偶性；
(2)x≠0，求f()＋f(x)的值；
(3)計算f()＋f()＋f()＋f()＋f(0)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)的值．
詳解答案
典型例題
例1　解　(1)函數f(x)＝x＋x3＋x5的定義域為R.
當x∈R，－x∈R.
∵f(－x)＝－x－x3－x5＝－(x＋x3＋x5)＝－f(x)．
∴f(x)＝x＋x3＋x5為奇函數．
(2)由得x＝－，或x＝.
∴函數f(x)的定義域為{－，}．
又∵對任意的x∈{－，}，－x∈{－，}，
且f(－x)＝－f(x)＝f(x)＝0，
∴f(x)既是奇函數又是偶函數．
變式訓練1　解　(1)函數f(x)＝x2＋1的定義域為R，當x∈R時，－x∈R.
∵f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，
∴f(x)＝x2＋1是偶函數．
(2)函數f(x)＝x＋1的定義域是R，當x∈R時，－x∈R，
∵f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)，
－f(x)＝－(x＋1)，
f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)(x∈R)
∴f(x)＝x＋1既不是奇函數，也不是偶函數．
(3)因為函數的定義域關于原點不對稱，存在3∈[－1,3]，而－3?[－1,3]．
∴f(x)＝x2，x∈[－1,3]既不是偶函數，也不是奇函數．
例2　解　函數定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)．
當x<0時，－x>0，
則f(－x)＝－(－x)2－x
＝－(x2＋x)＝－f(x)；
當x>0時，－x<0，
則f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x
＝－(－x2＋x)＝－f(x)．
∴對任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝－f(x)．
故f(x)為奇函數．
變式訓練2　解　當x>0時，－x<0
f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3
＝x2－2x＋3＝－f(x)；
當x<0時，－x>0
f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3
＝－x2－2x－3＝－f(x)．
∴f(x)是奇函數．
例3　解　由f(x)是奇函數，
當x>0時，f(x)＝－f(－x)
＝－{(－x)[1－(－x)]}＝x(1＋x)；
當x＝0時，f(0)＝－f(0)，
即f(0)＝0.
∴當x≥0時，f(x)＝x(1＋x)．
變式訓練3　解　當x∈(0，＋∞)時，
－x∈(－∞，0)，
因為x∈(－∞，0)時，f(x)＝x－x4，
所以f(－x)＝(－x)－(－x)4＝－x－x4，
因為f(x)是定義在(－∞，＋∞)上的偶函數，所以f(－x)＝f(x)，
所以當x∈(0，＋∞)時，f(x)＝－x－x4.
強化提高
1．D　[∵f(x)＝2x3，
∴f(－x)＝2(－x)3＝－2x3＝－f(x)，
故函數f(x)是奇函數，故函數圖象關于原點對稱，故選D.]
2．B　[依題意b＝0，且2a＝－(a－1)，
∴a＝，則a＋b＝.]
3．A　[f(x)＝x＋的定義域為{x|x≠0}，關于原點對稱，
且f(－x)＝－x－＝－(x＋)
＝－f(x)．
所以f(x)為奇函數，故選A.]
4．A　[∵f(x)是奇函數，當x≤0時，f(x)＝2x2－x，
∴f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.]
5．4
解析　∵f(x)＝(x＋a)(x－4)為偶函數，
∴f(－x)＝f(x)對于任意的x都成立，
即(x＋a)(x－4)＝(－x＋a)(－x－4)，
∴x2＋(a－4)x－4a＝x2＋(4－a)x－4a，
∴(a－4)x＝0，∴a＝4.
6．0
解析　因為奇函數f(x)的定義域[p，q]關于原點對稱，
故有p＝－q，即p＋q＝0.
7．(－，1]
解析　∵函數f(x)定義域在[－2,2]上為奇函數，
則由f(1＋m)＋f(m)<0，
可得f(1＋m)<－f(m)＝f(－m)，
又根據條件知函數f(x)在定義域上單調遞減，
∴－2≤－m<1＋m≤2，
解可得，－8．A　[f(x)的圖象關于直線x＝2對稱，所以f(3)＝f(1)，由于f(x)在(－∞，2)上是增函數，所以f(－1)＜f(1)＝f(3)．]
9．D　[∵函數f(x)對任意的x∈R有f(x)＋f(－x)＝0，
∴函數f(x)為R上的奇函數，圖象關于原點對稱，排除A、B，
將y＝lnx的圖象向左平移1個單位長度，
即可得到f(x)＝ln(x＋1)的圖象，
由對數函數的圖象性質排除C，故選D.]
10．C　[若f(x)是奇函數，
則f(－x)＝－f(x)，
即－x|－x＋a|＋b＝－x|x＋a|－b恒成立，
亦即x(|x－a|－|x＋a|)＝2b恒成立，
要使上式恒成立，
只需|x－a|－|x＋a|＝2b＝0，
即a＝b＝0，
故選C.]
11．{x|－2≤x≤－或0≤x≤}
解析　∵函數f(x)為奇函數，
∴f(－x)＝－f(x)，
則f(x)－f(－x)＝2f(x)≥2x，
即f(x)≥x，
當x∈(0,2]，f(x)＝－x＋1≥x，
解得0當x＝0時，f(x)＝0≥x，解得x＝0，
當x∈[－2,0)，f(x)＝－x－1≥x，
解得－2≤x≤－，
綜上所述：－2≤x≤－或0≤x≤.
12．－－1
解析　∵f(x)為奇函數，x>0時，f(x)＝＋1，
∴當x<0時，－x>0，
f(x)＝－f(－x)＝－(＋1)，
即x<0時，f(x)＝－(＋1)
＝－－1.
13．解　(1)∵對于任意x1，x2∈D，
有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，
∴f(1)＝0.
(2)令x1＝x2＝－1，
有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
∴f(－1)＝f(1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x有f(－x)
＝f(－1)＋f(x)，
∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)為偶函數．
(3)依題設有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，
由(2)知，f(x)是偶函數，
∴f(x－1)<2?f(|x－1|)又f(x)在(0，＋∞)上是增函數．
∴0<|x－1|<16，
解之得－15∴x的取值范圍是{x|－1514．解　(1)∵函數的定義域{x|x≠±1}，
f(－x)＝＝f(x)，
∴f(x)是偶函數；
(2)f()＝＝
＝－f(x)，
所以f()＋f(x)＝0.
(3)由(2)可得：f()＋f()＋f()＋f()＋f(0)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)
＝0＋0＋0＋0＋f(0)＝1.

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