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專題5　指數函數
一、指數與指數冪的運算
1．根式的概念
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.當n是奇數時，＝a，當n是偶數時，＝|a|＝.
2．分數指數冪
正數的分數指數冪的意義，規定：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)，0的負分數指數冪沒有意義，0的正分數指數冪等于0.
3．實數指數冪的運算性質
(1)ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．
(3)(a·b)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
二、指數函數及其性質
1．指數函數的概念
一般地，函數y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數函數，其中x是自變量，函數的定義域為R.
2．指數函數的圖象和性質
例1　求函數y＝的定義域和值域．
變式訓練1　求函數y＝的定義域．
例2　已知函數f(x)＝x2－bx＋c滿足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝3，則f(bx)與f(cx)的大小關系是________．
變式訓練2　比較大小：(1)0.6－，0.6；(2)4.54.5,4.55.
例3　已知函數y＝x2－4x＋1，求函數的單調區間及值域．
變式訓練3　求函數y＝3x2－5x－6的單調區間．
A級
1．已知m10＝2，則m等于(　　)
A.B．－C.D．±
(第2,3,4,5題都是指數函數性質——單調性的簡單應用，解題時要牢記指數函數圖象特征與底數特點．)
2．已知函數y＝ax(a>0，且a≠1)在[0,1]上的最大值與最小值的和為3，則a等于(　　)
A．2B．3C．4D．5
3．設y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝()－1.5，則(　　)
A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3
C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2
4．若()2a＋1<()3－2a，則實數a的取值范圍是(　　)
A．(1，＋∞) B．(，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，)
5．若函數f(x)＝(2a＋1)x是減函數，則a的取值范圍是________．
6．若10x＝2,10y＝3，則10＝________.
(第7題是求抽象函數定義域，解題時要注意x的作用．)
7．已知函數y＝f(x)的定義域為(1,2)，則函數y＝f(2x)的定義域為________．
B級
8．函數f(x)＝的定義域是(　　)
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，＋∞)
9．設<()b<()a<1，則(　　)
A．aaC．ab(第10題是求復合函數單調性問題，可以按照求復合函數的單調區間的步驟去做．)
10．函數y＝()1－x的單調增區間為(　　)
A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0,1)
11．給出函數f(x)＝則f(x)的值域為________．
(第12題是求函數圖象恒過定點問題，解題關鍵是掌握函數y＝ax圖象與函數y＝ax－2013＋2013的圖象的關系．)
12．函數y＝ax－2013＋2013(a>0且a≠1)的圖象恒過定點________．
13．化簡：÷(1－2)×.
(第14題先確定自變量x的范圍，然后根據x的范圍和函數的單調性確定值域．)
14．已知2x≤()x－3，求函數y＝()x的值域．
詳解答案
典型例題
例1　解　由題意可得1－6x－2≥0，
即6x－2≤1，∴x－2≤0，故x≤2.
∴函數f(x)的定義域是(－∞，2]．
令t＝6x－2，則y＝，
又∵x≤2，∴x－2≤0.
∴0<6x－2≤1，即0∴0≤1－t<1，即0≤y<1.
∴函數的值域是[0,1)．
變式訓練1　解　由2x2－4x＋3－1≥0，
即2x2－4x＋3≥1＝20，
得x2－4x＋3≥0，即x≥3或x≤1，
所以定義域為{x|x≥3或x≤1}．
例2　f(cx)≥f(bx)
解析　∵f(1＋x)＝f(1－x)，
∴函數f(x)的對稱軸是x＝1.
故b＝2，又f(0)＝3，∴c＝3，
∴函數f(x)在(－∞，1]上遞減，
在[1，＋∞)上遞增．
若x≥0，則3x≥2x≥1，∴f(3x)≥f(2x)；
若x<0，則3x<2x<1，∴f(3x)>f(2x)．
綜上可得f(3x)≥f(2x)，即f(cx)≥f(bx)．
變式訓練2　解　(1)因為y＝0.6x是定義域內的減函數，－<1，
所以0.6－>0.6.
(2)因為y＝4.5x是定義域內的增函數，4.5<5，
所以4.54.5<4.55.
例3　解　令t＝x2－4x＋1，則y＝t.
又t＝x2－4x＋1＝(x－2)2－3在(－∞，2]上單調遞減，在[2，＋∞)上單調遞增，
∴函數y＝x2－4x＋1的單調遞減區間為[2，＋∞)，單調遞增區間為(－∞，2]．
又∵x∈R時，t≥－3，
∴0＜y≤－3，即值域為(0,8]．
變式訓練3　解　設y＝3u, y關于u遞增，而u＝x2－5x－6在x∈上是減函數，在x∈上是增函數，所以y＝3x2－5x－6的單調減區間為x∈，單調增區間為x∈.
強化提高
1．D　[∵m10＝2，∴m是2的10次方根．
又∵10是偶數，∴2的10次方根有兩個，且互為相反數．
∴m＝±.故選D.]
2．A　[當0所以函數在[0,1]端點處取得最大值和最小值，
所以a0＋a1＝3，所以a＝2.
當a>1時，函數y＝ax是增函數，
所以函數在[0,1]端點處取得最小值和最大值，
所以a1＋a0＝3，所以a＝2.]
3．D　[y1＝40.9＝21.8，y2＝80.48＝21.44，
y3＝()－1.5＝21.5，
∵y＝2x在定義域內為增函數，
且1.8>1.5>1.44，∴y1>y3>y2.]
4．B　[函數y＝()x在R上為減函數，
∴2a＋1>3－2a，∴a>.]
5．(－，0)
解析　根據題意可得，0<2a＋1<1，
解得－6.
解析　由10x＝2,10y＝3，得10x＝(10x)＝2，
102y＝(10y)2＝32，∴10＝＝＝.
7．(0,1)
解析　由函數的定義，
得1<2x<2?0所以應填(0,1)．
8．A　[由1－2x≥0得2x≤1，根據y＝2x的圖象可得x≤0，選A.]
9．C　[由已知條件得0∴ab10．A　[設t＝1－x，則y＝t，
則函數t＝1－x的遞減區間為(－∞，＋∞)，
即為y＝1－x的遞增區間．]
11．[8，＋∞)
解析　當x≥3時，2x≥23＝8；當x<3時，皆可通過有限次加1轉化為第一類．
12．(2013,2014)
解析　因為函數y＝ax恒過點(0,1)，所以令x－2013＝0解得x＝2013，則y＝2014，所以函數y＝ax－2013＋2013恒過點(2013,2014)．
13．解　原式＝÷
·a
＝··a
＝a·a·a＝a.
14．解　由2x≤()x－3，得2x≤2－2x＋6，
∴x≤－2x＋6，∴x≤2.
∴()x≥()2＝，
即y＝()x的值域為[，＋∞)．

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