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專題8　函數(shù)與方程
1．函數(shù)零點(diǎn)
(1)概念
對于函數(shù)y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)(x∈D)的零點(diǎn)．
(2)意義
函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)根．
(3)求法
①(代數(shù)法)求方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)根；
②(幾何法)求函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
2．函數(shù)零點(diǎn)存在性定理．
3．二分法
(1)概念
①中點(diǎn)：一般地，我們把稱為區(qū)間(a，b)的中點(diǎn)；
②二分法．
(2)用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的基本步驟．
例1　判斷下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否存在零點(diǎn)．
(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；
(2)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．
變式訓(xùn)練1　求下列函數(shù)的零點(diǎn)．
(1)f(x)＝x3＋1；(2)f(x)＝x3－2x2－x＋2.
例2　已知函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，若ac＜0，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(　　)
A．0B．1
C．2D．不確定
變式訓(xùn)練2　若函數(shù)f(x)＝ax＋b(a≠0)有一個(gè)零點(diǎn)為2，那么函數(shù)g(x)＝bx2－ax的零點(diǎn)是(　　)
A．0，－ B．0，
C．0,2 D．2，－
例3　已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋a2－1的兩個(gè)零點(diǎn)都在(－2,4)內(nèi)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
變式訓(xùn)練3　若函數(shù)f(x)＝ax2－x－1有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；
A級
(第1,7題是考查偶函數(shù)的性質(zhì)及零點(diǎn)的概念，解題關(guān)鍵是利用偶函數(shù)的對稱性．)
1．已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，其圖象與x軸有四個(gè)交點(diǎn)，則該函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為(　　)
A．0B．1C．2D．4
2．若關(guān)于x的方程x2＋mx＋1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　)
A．(－1,1) B．(－2,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
(第3題考查的是函數(shù)圖象與零點(diǎn)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是將函數(shù)圖象畫出來，然后判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)．)
3．函數(shù)f(x)＝lnx的圖象與函數(shù)g(x)＝x2－4x＋4的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　)
A．3B．2C．1D．0
(第4題考查的是零點(diǎn)存在性定理，解題方法是將答案一一驗(yàn)證．)
4．方程lgx＋x＝0的根所在的區(qū)間可能是(　　)
A．(－∞，0) B．(0.1,1) C．(1,2) D．(2,4)
(第5題考查的是零點(diǎn)的概念，求解方法是直接將零點(diǎn)求出來．)
5．函數(shù)f(x)＝的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________．
6．函數(shù)f(x)＝mx2－2x＋1有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．
7．函數(shù)f(x)對一切實(shí)數(shù)x都滿足f＝f，并且方程f(x)＝0有三個(gè)實(shí)根，則這三個(gè)實(shí)根的和為________．
B級
8．若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(x)為偶函數(shù)，又f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，f(2)＝0，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)有(　　)
A．一個(gè) B．兩個(gè)
C．至少兩個(gè) D．無關(guān)判斷
(第9,12題考查了零點(diǎn)的性質(zhì)應(yīng)用，求解方法是利用零點(diǎn)的性質(zhì)，輔助圖象解題．)
9．方程x2＋ax－2＝0在區(qū)間[1,5]上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A. B．(1，＋∞)
C. D.
10．方程2x＝x2的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是(　　)
A．1B．2C．3D．無數(shù)多
11．方程＋1＝3x的實(shí)數(shù)解為________．
12．已知函數(shù)f(x)＝
若函數(shù)y＝f(x)－a|x|恰有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．
13．不用求根公式，求函數(shù)f(x)＝(x－2)(x－5)－1的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并比較零點(diǎn)與3的大小．
14．已知a是正實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝2ax2＋2x－3－a.如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[－1,1]上有零點(diǎn)，求a的取值范圍．
詳解答案
典型例題
例1　解　(1)方法一　∵f(1)＝12－3×1－18＝－20<0，
f(8)＝82－3×8－18＝22>0，
∴f(1)·f(8)<0，
故f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零點(diǎn)．
方法二　令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，x∈[1,8]．
∴(x－6)(x＋3)＝0，∵x＝6∈[1,8]，x＝－3?[1,8]，
∴f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零點(diǎn)．
(2)方法一　∵f(1)＝log23－1>log22－1＝0，f(3)＝log25－3∴f(1)·f(3)<0，故f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]存在零點(diǎn)．
方法二　設(shè)y＝log2(x＋2)，y＝x，在同一直角坐標(biāo)系中畫出它們的圖象，從圖象中可以看出當(dāng)1≤x≤3時(shí)，兩圖象有一個(gè)交點(diǎn)，因此f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]存在零點(diǎn)．
變式訓(xùn)練1　解　(1)f(x)＝x3＋1＝(x＋1)(x2－x＋1)，令(x＋1)(x2－x＋1)＝0，解得x＝－1，
即函數(shù)f(x)＝x3＋1的零點(diǎn)為x＝－1；
(2)令x3－2x2－x＋2＝0，化得(x＋1)(x－1)(x－2)＝0，解得x＝－1或x＝1或x＝2，
所以函數(shù)y＝x3－2x2＋x－2的零點(diǎn)分別為x＝－1或x＝1或x＝2.
例2　C　[因ac<0，所以Δ＝b2－4ac>0，所以函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.]
變式訓(xùn)練2　A　[∵a≠0,2a＋b＝0，
∴b≠0，＝－.
令bx2－ax＝0，得x＝0或x＝＝－.]
例3　解　設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為x1與x2，且－2，
化簡得，
解得，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為－1變式訓(xùn)練3　解　若a＝0，
則f(x)＝－x－1，令f(x)＝0，
即－x－1＝0，得x＝－1，故符合題意；
若a≠0，則f(x)＝ax2－x－1是二次函數(shù)；
故有且僅有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于Δ＝1＋4a＝0，
解得a＝－.
綜上所述a＝0或a＝－.
強(qiáng)化提高
1．A　[因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是偶函數(shù)，所以其y軸左右各兩個(gè)點(diǎn)是關(guān)于y軸對稱的，則該函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為0，選A.]
2．C　[Δ＝m2－4>0，m>2或m<－2，應(yīng)選C.]
3．B　[畫出兩個(gè)函數(shù)f(x)，g(x)的圖象，
由圖知f(x)，g(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.]
4．B　[由于lgx有意義，所以x>0.令f(x)＝lgx＋x，顯然f(x)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，又f(0.1)＝－0.9<0，f(1)＝1>0，故f(x)在區(qū)間(0.1,1)內(nèi)有零點(diǎn)．]
5．2
解析　當(dāng)x≤0時(shí)，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；
當(dāng)x>0時(shí)，令－2＋lnx＝0，解得x＝e2，
所以函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)．
6．(－∞，0]∪{1}
解析　當(dāng)m＝0時(shí)，x＝為函數(shù)的零點(diǎn)；當(dāng)m≠0時(shí)，若Δ＝0，即m＝1時(shí)，x＝1是函數(shù)唯一的零點(diǎn)，若Δ≠0，顯然函數(shù)x＝0不是函數(shù)的零點(diǎn)，這樣函數(shù)有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)等價(jià)于方程mx2－2x＋1＝0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，
即mf(0)＜0，即m＜0.
7.
解析　設(shè)方程f(x)＝0的三個(gè)實(shí)根分別為x1，x2，x3，
因?yàn)閷ΨQ軸為x＝，
所以x2＝，且－x1＝x3－，
則x1＋x3＝3，所以x1＋x2＋x3＝.
8．B　[依據(jù)給出的函數(shù)性質(zhì)，易知f(－2)＝0，畫出函數(shù)的大致圖象如圖：
可知f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)．]
9．C　[設(shè)f(x)＝x2＋ax－2，
∵f(0)＝－2<0，
∴由x2＋ax－2＝0在區(qū)間[1, 5]上有解，只需f(1)≤0且f(5)≥0即可，
解得－≤a≤1.]
10．C　[畫出函數(shù)y1＝2x與y2＝x2的圖象可知x＝2與x＝4時(shí)，y1＝y(tǒng)2，當(dāng)x<0時(shí)存在一個(gè)x使y1＝y(tǒng)2；
當(dāng)x>4時(shí)，函數(shù)y1＝2x遞增的速度明顯比y2＝x2快，
即x>4后，再?zèng)]有交點(diǎn)，故選C.]
11．log34
解析　令t＝3x(t>0)，則原方程可化為：(t－1)2＝9(t>0)．
∴t－1＝3，t＝4，即x＝log34可滿足條件，
即方程＋1＝3x的實(shí)數(shù)解為log34.
12．1解析　畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示．
函數(shù)y＝f(x)－a|x|有4個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)y1＝a|x|的圖象與函數(shù)f(x)的圖象有4個(gè)交點(diǎn)(根據(jù)圖象知需a>0)．
當(dāng)a＝2時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)y1＝a|x|的圖象有3個(gè)交點(diǎn)．故a<2.
當(dāng)y＝a|x|(x≤0)與y＝|x2＋5x＋4|相切時(shí)，在整個(gè)定義域內(nèi)，f(x)的圖象與y1＝a|x|的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，
此時(shí)，由
得x2＋(5－a)x＋4＝0.
由Δ＝0得(5－a)2－16＝0，解得a＝1，或a＝9(舍去)，
則當(dāng)1故實(shí)數(shù)a的取值范圍是113．解　f(x)＝(x－2)(x－5)－1＝x2－7x＋9，令x2－7x＋9＝0，則x2－7x＋9＝0，
Δ＝(－7)2－4×9＝13>0，
所以方程x2－7x＋9＝0有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，
即函數(shù)f(x)＝(x－2)(x－5)－1有兩個(gè)零點(diǎn)；
又因?yàn)閒(3)＝(3－2)(3－5)－1＝－3<0，
且函數(shù)f(x)＝(x－2)(x－5)－1為開口向上的拋物線，
所以函數(shù)f(x)＝(x－2)(x－5)－1的零點(diǎn)有一個(gè)大于3，另一個(gè)小于3.
14．解　f(x)＝2ax2＋2x－3－a的對稱軸為x＝－.
①當(dāng)－≤－1，
即0≤a≤時(shí)，
須使
即
∴a的解集為?.
②當(dāng)－1<－<0，即a>時(shí)，
須使
即解得a≥1，
∴a的取值范圍是[1，＋∞)．

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