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專題11　空間中的平行關系
1．線線平行
(1)過直線外一點有且只有一條直線和這條直線平行．
(2)平行關系傳遞性：平行于同一直線的兩條直線互相平行．
2．直線與平面平行(簡稱：線面平行)
(1)定義：如果直線與平面無交點，則這條直線和這個平面平行．
(2)判定定理：若平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行．
(3)性質定理：如果一條直線與一個平面平行，那么過該直線任意一個平面與已知平面的交線與該直線平行．
3．平面與平面平行(簡稱：面面平行)
(1)定義
(2)判定定理：一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行．
推論：如果一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一平面的兩條相交直線，則這兩個平面平行．
(3)性質定理：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行．
4．等角定理
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例1　如圖，ABCD是平行四邊形，點P是平面ABCD外一點，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和AP作平面，交平面BDM于GH，求證：AP∥GH.
變式訓練1　過正方體AC1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1.求證：BB1∥EE1.
例2　在三棱錐P－ABC中，E、F、G分別在側棱PA、PB、PC上，且＝＝＝，
求證：平面EFG∥平面ABC.
變式訓練2　在長方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G分別是棱AB、BC、CC1的中點，P、Q、R分別在棱C1D1、A1D1、A1A上，且＝＝＝，
求證：平面EFG∥平面PQR.
例3　如圖所示，四面體A－BCD被一平面所截，截面EFGH是一個矩形．
(1)求證：CD∥平面EFGH；
(2)求異面直線AB、CD所成的角．
變式訓練3　
如圖，S是平行四邊形ABCD平面外一點，M，N分別是SA，BD上的點，且＝.
求證：MN∥平面SBC.
A級
(第1題考查的是直線與平面的定義，解題關鍵是理解直線與平面平行的定義．)
1．直線與平面平行是指(　　)
A．直線與平面內的無數條直線都無公共點
B．直線上兩點到平面的距離相等
C．直線與平面無公共點
D．直線不在平面內
(第2題考查的是線線平行的性質定理．)
2．直線a∥平面α，α內有n條直線交于一點，則這n條直線中與直線a平行的直線(　　)
A．至少有一條 B．至多有一條
C．有且只有一條 D．沒有
(第3,4題考查的是線面平行，線線平行，基本做法是畫出圖形判斷位置關系．)
3．a、b是兩條異面直線，下列結論中正確的是(　　)
A．過不在a、b上的任一點，可作一個平面與a、b都平行
B．過不在a、b上的任一點，可作一條直線與a、b都相交
C．過不在a、b上的任一點，可作一條直線與a、b都平行
D．空間中存在無數個與a、b同時平行的平面
4.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，截面BA1C1與直線AC的位置關系是(　　)
A．AC∥截面BA1C1
B．AC與截面BA1C1相交
C．AC在截面BA1C1內
D．以上答案都錯誤
(第5,7,8題考查的是面面平行，解題關鍵是掌握定義和判定定理．)
5．正方體中互相平行的平面有________對．
6．三角形ABC的一邊BC放在桌面上，E、F分別為AB、AC的中點，則EF與桌面的關系是________．
7．已知a和b是異面直線，且a?平面α，b?平面β，a∥β，b∥α，則平面α與β的位置關系是________．
B級
8．平面α與平面β平行的條件可以是(　　)
A．α內的一條直線與β平行
B．α內的兩條直線與β平行
C．α內的無數條直線與β平行
D．α內的兩條相交直線分別與β平行
9．已知平面α和β，在平面α內任取一條直線a，在β內總存在直線b∥a，則α與β的位置關系是________(填“平行”或“相交”)．
10.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是A1D1的中點，則直線MD與平面A1ACC1的位置關系是________．
11．已知不重合的直線a，b和平面α.
①若a∥α，b?α，則a∥b；
②若a∥α，b∥α，則a∥b；
③若a∥b，b?α，則a∥α；
④若a∥b，a∥α，則b∥α或b?α，
其中正確命題的個數是________．
(第12題考查了直線與平面平行的判定與性質定理，異面直線所成的角．對于證明線面平行，只需找到該面內的一條直線與該直線平行即可．對于異面直線所成的角首先要找其平面角，然后放到三角形中求解．)
12.如圖，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，M、N分別是AB、PC的中點．
(1)求證：MN∥平面PAD；
(2)若MN＝BC＝4，PA＝4，求異面直線PA與MN所成的角的大?。?br/>(第13題考查了平面與平面平行的判定，基本做法是在其中一個平面內找到兩個相交直線與另一個平面平行即可．)
13．正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是CC1、AA1的中點，求證：平面BDE∥平面B1D1F.
詳解答案
典型例題
例1　證明　如圖，連接AC交于BD于O，連接MO，
∵ABCD是平行四邊形，
∴O是AC中點．
又M是PC的中點，
∴AP∥OM.
根據直線和平面平行的判定定理，
則有PA∥平面BMD.
∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，
根據直線和平面平行的性質定理，
∴PA∥GH.
變式訓練1　證明　
如右圖，∵CC1∥BB1，CC1?平面CDD1C1，BB1?平面CDD1C1，
∴BB1∥平面CDD1C1，
BB1?平面BEE1B1，平面BEE1B1∩平面CDD1C1＝EE1，
∴BB1∥EE1.
例2　證明　
在△PAB中，∵＝，
∴EF∥AB，
∵EF?平面ABC，AB?平面ABC，
∴EF∥平面ABC，
同理FG∥平面ABC，
∵EF∩FG＝F，且EF、FG?平面EFG，
∴平面EFG∥平面ABC.
變式訓練2　證明　
∵＝，
∴PQ∥A1C1，
∵E、F分別為AB、BC的中點，
∴EF∥AC，
∵A1C1∥AC，∴PQ∥EF；
同理QR∥FG，
又PQ∩QR＝Q，EF∩FG＝F，PQ，QR?平面PQR，EF，FG?平面EFG，
∴平面PQR∥平面EFG.
例3　(1)證明　∵截面EFGH是一個矩形，
∴EF∥GH，又EF?平面BCD，GH?平面BCD，
∴EF∥平面BCD，
而EF?平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，
∴EF∥CD，∴CD∥平面EFGH.
(2)解　由(1)知CD∥EF，同理AB∥FG，
∴∠EFG為異面直線AB、CD所成的角，
∵∠EFG＝90°，
∴AB、CD所成的角為90°.
變式訓練3　證明　連接AN并延長交BC于P，連接SP.
因為AD∥BC，所以＝，
又因為＝，
所以＝，所以MN∥SP，
又MN?平面SBC，
SP?平面SBC，
所以MN∥平面SBC.
強化提高
1．C　[直線與平面平行的定義是直線與平面無公共點．]
2．B　[根據線面平行的性質定理知這n條直線中至多有一條．]
3．D　[A錯，有時作不出來；B錯，有時可作多條；C錯，不存在這樣的直線與a，b都平行，否則a∥b；D正確．]
4．A　[∵AC∥A1C1，又∵AC?面BA1C1，
∴AC∥面BA1C1.]
5．3
解析　由正方體的圖形可知正方體的三組對面互相平行．
6．平行
解析　∵EF∥BC，且EF?α，BC?α(α為桌面)，
∴EF∥α.
7．平行
解析　在b上任取一點O，則直線a與點O確定一個平面γ，設γ∩β＝l，則l?β，
∵a∥β，∴a與l無公共點，
∴a∥l，∴l∥α.
又b∥α，根據面面平行的判定定理可得α∥β.
8．D　[若兩個平面α、β相交，設交線是l，則有α內的直線m與l平行，得到m與平面β平行，從而可得A是不正確的，而B中兩條直線可能是平行于交線l的直線，也不能判定α與β平行，C中的無數條直線也可能是一組平行于交線l的直線，因此也不能判定α與β平行．由平面與平面平行的判定定理可得D項是正確的．]
9．平行
解析　如圖，假若α∩β＝l，則在平面α內，與l相交的直線a，設a∩l＝A，對于β內的任意直線b，若b過點A，則a與b相交，若b不過點A，則a與b異面，即β內不存在直線b∥a.
故α∥β.
10．相交
解析　因為M是A1D1的中點，所以直線DM與直線AA1相交，所以DM與平面A1ACC1有一個公共點，所以DM與平面A1ACC1相交．
11．1
解析?、偃鬭∥α，b?α，則a，b平行或異面；②若a∥α，b∥α，則a，b平行、相交、異面都有可能；③若a∥b，b?α，則a∥α或a?α.④正確．故答案為1.
12．(1)證明　取PD的中點H，連接AH，NH，∵N是PC的中點，
∴NH∥DC.由M是AB的中點，
∴NH綊AM，即四邊形AMNH為平行四邊形．
∴MN∥AH.
由MN?平面PAD，AH?平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
(2)解　連接AC并取其中點O，連接OM、ON，
∴OM∥BC，ON∥PA.
∴∠ONM就是異面直線PA與MN所成的角，
由MN＝BC＝4，PA＝4，得OM＝2，ON＝2.
∴MO2＋ON2＝MN2，∴∠ONM＝30°，
即異面直線PA與MN成30°的角．
13．證明　設G是BB1的中點，連接FG、CG.
∵FG∥AB，AB∥DC，
∴FG∥DC.
∴四邊形FGCD是平行四邊形，則DF∥CG.
由題設可得EB1∥CG，則DF∥EB1.
所以四邊形DFB1E是平行四邊形．
∴B1F∥ED，∵B1F?平面BDE，ED?平面BDE，
所以B1F∥平面BDE.
又∵B1D1∥BD，B1D1?平面BDE，BD?平面BDE.
∴B1D1∥平面BDE.
∵B1D1∩B1F＝B1，
∴平面BDE∥平面B1D1F.

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